苏教版数学高二-【优化课堂】数学苏教版选修1-1精练 1.3.2 含有一个量词的命题的否定

1．写出下列命题的否定．

(1)∀x∈R,2x2＋3x＋4＝0；________________________________________________________________________；

(2)所有的等边三角形都全等；________________________________________________________________________；

(3)锐角都相等；________________________________________________________________________；

(4)实系数一元二次方程都有实数解．________________________________________________________________________.

答案：(1)∃x∈R,2x2＋3x＋4≠0

(2)有的等边三角形不全等

(3)锐角不都相等

(4)有的实系数一元二次方程没有实数解

2．写出下列命题的否定．

(1)存在没有最小正周期的周期函数；________________________________________________________________________；

(2)∃x∈R，x2＋2x＋15>0；________________________________________________________________________；

(3)有的实数没有平方根．________________________________________________________________________.

答案：(1)不存在没有最小正周期的周期函数

(2)∀x∈R，x2＋2x＋15≤0

(3)所有的实数都有平方根

3．命题“∀x∈R，x2－4x－6≥0”的否定是________________________________________________________________________．答案：∃x∈R，x2－4x－6<0

4．命题“ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根”的否定是________________________________________________________________________ ________________.

答案：ax2＋2x＋1＝0没有任何负实根

一、填空题

1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“非p”形式的命题是________．

答案：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根

2．命题“原函数与反函数的图象关于y＝x对称”的否定是________．

解析：命题中隐含全称量词“所有的”．

答案：存在一个原函数与反函数的图象不关于y＝x对称

3．下列命题的否定为假命题的是________．

①∀x∈R，－x2＋x－1<0

②∀x ∈R ，|x |>x

③∀x ，y ∈Z,2x －5y ≠12

④∃x 0∈R ，sin 2x 0＋sin x 0＋1＝0

解析：命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．

答案：①

4．对于函数f (x )，若命题“∀x 0∈R ，f (x 0)≠x 0的否定成立，则称x 0为f (x )的不动点”，则函数f (x )＝x 2－x －3的不动点是________．

解析：由题意有x ＝x 2－x －3，解得x ＝－1或x ＝3，∴函数f (x )＝x 2－x －3的不动点是－1,3.

答案：－1,3

5．命题“∀x ∈R ，x 2＋2x －3>0”是________命题．(填“真”或“假”)

解析：因为x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)，所以存在x ＝1，使x 2＋2x －3＝0，故“∀x ∈R ，x 2＋2x －3>0”为假命题．

答案：假

6．已知命题p ：不等式x 2＋2x ＋3≤0的解集为R ；命题q ：不等式x －2x －1

≤0的解集为{x |1

解析：∵x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2>0，

∴命题p 为假命题，又不等式x －2x －1

≤0⇔(x －2)(x －1)≤0且x －1≠0⇔{x |1

答案：p 或q ， p

7．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为 p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．

答案：存在性命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 真

8．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题 p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．

解析：因为命题 p 是真命题，所以命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，就

是不等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立，这时就有⎩⎨⎧ a >0Δ＝4－12a <0

，解得a >13，因此当命题p 是假命题，即命题 p 是真命题时，实数a 的取值范围是a ≤13

. 答案：a ≤13

二、解答题

9．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)二次函数的图象是抛物线；

(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；

(3)有些四边形存在外接圆；

(4)∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解．

解：(1) p ：∃x ∈{二次函数}，x 的图象不是抛物线．假命题．

(2) p ：在直角坐标系中，∃x ∈{直线}，x 不是一次函数的图象．真命题．