湖南省普通高中学业水平考试数学试卷十套真题
10-17年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共3页。
时量120分钟，满分100分。
注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上。
2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．本卷共3页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4．考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}3,12,2,1==N M ，则N M ⋃= ( ) A ．{}2,1 B ．{}3,2 C ．{}3,1 D ．{}3,2,12．已知R c b a ∈、、，b a >，则（ ）A ．c b c a +>+B ．c b c a +<+C ．c b c a +≥+D ．c b c a +≤+ 3.下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．三棱锥 4．已知圆C 的方程是()()42122=-+-y x ，则圆心坐标与半径分别为（ ）A ．()2,1，2=rB ．()2,1--，2=rC ．()2,1，4=rD ．()2,1--，4=r 5．下列函数中，是偶函数的是（ ） A ．()x x f = B ．()xx f 1=C ．()2x x f = D ．()x x f sin = 6．如图所示的圆盘由八个全等的扇形构成，指针绕中心旋转，可能随机停止，则指针停止在阴影部分内的概率是（ ）A ．21 B ．41C ．61D ．817．化简()2cos sin αα+=（ ）A ．α2sin 1+B ． αsin 1-C ．α2sin 1-D ．αsin 1+8．在ABC ∆中，若0=⋅CB CA ，则ABC ∆是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 9．已知函数()x f =xa （0>a 且1≠a ），()21=f ，则函数()x f 的解析式是（ ）A ． ()x f =x4 B ．()x f =x⎪⎭⎫ ⎝⎛41 C ．()x f =x 2 D ． ()x f =x⎪⎭⎫ ⎝⎛2110．在ABC ∆中，c b a 、、分别为角A 、B 、C 的对边，若︒=60A ，1=b ，2=c ，则a =（ ）A ．1B ．3C ．2D ．7 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11．直线22+=x y 的斜率是 ． 12．已知若图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的y 值是 ． 13．已知点()y x ，在如图所示的阴影部分内运动，则y x z +=2的最大值是 ． 14．已知平面向量)24(，=a ，)3(，x b =，若a ∥b ，则实数x 的值为 ． 15.张山同学的家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了这一段时间内这种冷饮每天的销售量y （杯）与当天最高气温x （C ︒）的有关数据，通过描绘散点图，发现y 和x 呈现线性相关关系，并求的回归方程为∧y =602+x ，如果气象预报某天的最高气温为C ︒34，则可以预测该天这种饮料的销售量为 杯。
湖南省普通高中学业水平考试试卷(数学).doc
湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学一、选择题1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则A B=（A{1} B.{2} C.{1，2} D.{-2，0，1，2}2.若运行右图的程序，则输出的结果是 （ ）A.4，B. 9C. 13D.223.将一枚质地均匀的 子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6A.31 B.41 C.51 D.614.4cos4sinππ的值为（ ）A.21B.22C.42D.25.已知直线l 过点（0，7），且与直线y=-4x+2平行，则直线l 的方程为（ ）A.y=-4x-7B.y=4x-7C.y=-4x+7D.y=4x+7 6.已知向量),1,(),2,1(-==x b a 若b a ⊥，则实数x 的值为（ ） A.-2 B.2 C.-1 D.1 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为 （ ）A.（1，2）B.（2，3）C.(3,4)D. (4,5)8.已知直线l ：y=x+1和圆C ：x 2+y 2=1,则直线l 和圆C 的位置关系为（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 9.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A.xy )31(= B.y=log 3x C.xy 1=D.y=cosx 10.已知实数x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,0,0,1y x y x 则z=y-x 的最大值为（ ）A.1B.0C.-1D.-2 二、填空题11.已知函数f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),0(1)0(2x x x x x 则f(2)=___________.12.把二进制数101（2）化成十进制数为____________.13.在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a,b,A=600,a=3,B=300,则b=__________.14.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为_________.15.如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，若,AM AC AB λ=+则实数λ=________. 三、解答题16.已知函数f(x)=2sin(x-3π), (1)写出函数f(x)的周期；（2）将函数f(x)图像上所有的点向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图像，写出函数g(x)的表达式，并判断函数g(x)的奇偶性.17.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理.为了较合理地确定居民日常用水量的标准，有关部门抽样调查了100位居民.右表是这100位居民月均用水量（单位：吨）的频率分布表，根据右表解答下列问题：（1）求右表中a 和b 的值；（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.B0 1 2 3 4 5 6 月均用水量18.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求异面直线BC 与PD 所成的角.19.如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米（2≤x ≤6）. (1)用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元， 请将墙壁的总造价y(元)表示为x(米)的函数； （3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？正项等比数列{a n }中，a 1=4,a 3=64. (1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)记b n =log 4a n ,求数列{b n }的前n 项和S n ;(3)记y=-λ2+4λ-m,对于（2）中的S n ,不等式y ≤S n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案B CD AP Ex一、选择题二、填空题11.2 12.5 13.1 14.3π 15.2 三、解答题 16.（1）2π（2）g(x)=2sinx ,奇函数. 17.（1）a==0.2 (2)2.5吨 18.（1）略 （2）45019.（1）AB=24/x; (2)y=3000(x+x16) (3)x=4,y min =24000. 1)a n =4n ; (2)S n =2)1(+n n (3)m ≥3.。
2022年湖南省学业水平考试高二数学试题
一、单选题二、多选题1. 甲､乙､丙､丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：甲乙丙丁8.29.59.97.70.160.650.090.41根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2. 设函数f （x ）是定义在区间上的函数，f'（x ）是函数f （x ）的导函数，且，则不等式的解集是A．B ．（1，＋∞）C ．（－∞，1）D ．（0，1）3. 已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34. 已知直线l ：与圆O ：相交于M ，N 两点，且的面积，则（ ）A．B．C ．或D ．或5. 某车站每天上午发出两班客车，每班客车的发车时刻和发车概率如下：第一班车：在8:00，8:20，8:40发车的概率分别为，，；第二班车：在9:00，9:20，9:40发车的概率分别为，，.假设这两班客车在什么时刻发车是相互独立的，一位旅客8:10到达车站乘车，则该旅客候车的分钟数的数学期望为（ ）A ．30B ．35C ．40D ．256.已知数列的前n项和，满足，则＝（ ）A ．72B ．96C ．108D ．1267. 已知集合A =(3，+∞)，集合B ={x |3x >9}，则x ∈A 是x ∈B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 设，，，则（ ）A．B．C．D．9. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）A．B．点关于x轴的对称点在直线上C．直线与直线相交于点D ，则A ，O ，D 三点共线D ．直线与间的距离最小值为42022年湖南省学业水平考试高二数学试题2022年湖南省学业水平考试高二数学试题三、填空题四、解答题10. 已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）A．B．C．D．11. 已知m ，n 是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，，则D ．若，，，则12. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，，则D ．若，，则13.如图，在直三棱柱中，，点E ，F分别是棱，AB 上的动点，当最小时，三棱锥外接球的表面积为___.14. 函数取得最大值时的值是__________.15. 已知复数满足，则的最小值为_________ .16. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．17. 已知一种动物患某种疾病的概率为0.1，需要通过化验血液来确定是否患该种疾病，化验结果呈阳性则患病，呈阴性则没有患病.多只该种动物化验时，可逐个化验，也可将若干只动物的血样混在一起化验，仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性，若混合血样呈阳性，则该组血样需要再逐个化验．(1)求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率．(2)现有4只该种动物的血样需要化验，有以下三种方案，方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：混合在一起化验．请问：哪一种方案最合适（即化验次数的均值最小）？18.如图，是边长为6的正三角形，点E ，F ，N 分别在边AB ，AC ，BC 上，且，为BC 边的中点，AM 交EF于点，沿EF 将三角形AEF 折到DEF 的位置，使.(1)证明：平面平面；(2)试探究在线段DM上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19. 设数列满足，.(1)证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.20. 近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查，调查数据如下：共份有效问卷，名男性中有名不愿意接种疫苗，名女性中有名不愿意接种疫苗.（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？愿意接种不愿意接种合计男女合计（2）从不愿意接种疫苗的份调查问卷中得知，其中有份是由于身体原因不能接种：且份是男性问卷，份是女性问卷，若从这问卷中任选份继续深入调研，求这份问卷分别是份男性问卷和份女性问卷的概率.附：21. 某数学调研学习小组为调查本校学生暑假玩手机的情况，随机调查了100位同学8月份玩手机的时间（单位：小时），并将这100个数据按玩手机的时间进行整理，得到下表：玩手机时间人数112282415137将8月份玩手机时间为75小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，75小时以下者视为“手机自我管理到位”．(1)请根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”；手机自我管理到位手机自我管理不到位合计男生女生1240合计(2)从手机自我管理不到位的学生中按性别分层抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．附：，其中．0.100.050.0100.0012.7063.841 6.63510.828。
湖南省2024年高中学业水平合格考数学试卷试题(含答案详解)
湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试考前押题卷（三）数学时量：90分钟，满分：100分本试题卷包括选择题､填空题和解答题三部分，共4页.注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名､准考证号､考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸､试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保证字体工整､笔迹清晰､卡面清洁.一､单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,3A =，{}2,3,4B =，则A B ⋂等于（）A ．{}1B ．{}3C ．{}1,3D ．{}1,2,3,42．命题“0x ∃∈R ，2001x x +≥”的否定是（）A ．0x ∃∈R ，2001x x +<B ．0x ∃∈R ，2001x x +≤C ．x ∀∈R ，21x x +<D ．x ∀∈R ，21x x +≤3．设p ：四棱柱是正方体，q ：四棱柱是长方体，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()ln(1)f x x =+的定义域是（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．(1,)-+∞5．已知23m =，25n =，则2m n +的值为（）A ．53B ．2C ．8D ．156．图象中，最有可能是2log y x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．复数1i z =+（i 为虚数单位）的模是（）A ．1B ．iC D ．28．已知扇形的半径为1，圆心角为60 ，则这个扇形的弧长为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．609．如图，在平行四边形ABCD 中，AB a=，AD b = ，则BD 可以表示为（）A ．a b +B ．b a- C ．()12a b+ D ．()12b a- 10．已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3，则tan θ值为（）A ．35B ．45C ．43D ．3411．为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的A ，B ，C 三所中学抽取80名学生进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有400，560，320名学生，则从C 学校中应抽取的人数为（）A ．10B ．20C ．30D ．4012．已知a为非零向量，则()43a -⨯= （）A ．12a -B ．4a- C ．3a D ．10a13．下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则ac bc >C ．若a b >，c d >，则a c b d +>+D ．若a b >，c d >，则ac bd >14．已知2nm =，则22m n +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．415．从5张分别写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取1张，则所取卡片上的数字是奇数的概率是（）A ．15B ．25C ．35D ．4516．已知sin y x =，则sin y x =上的所有点全部向右移动π6个单位的函数解析式是（）A ．πsin(6y x =+B ．πsin()6y x =-C ．πsin()3y x =+D ．πsin()3y x =-17．已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（）A ．2π3B ．πC ．4π3D ．2π18．已知四棱锥S ABCD -底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，则（）A ．SB SC ⊥B ．SD AB ⊥C ．SA ⊥平面ABCDD ．//SA 平面SBC二､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19．函数,0(),0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则()3f =.20．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T=．21．函数()2f x x x =+的零点个数为．22．在ABC 中，3BC =，30A =︒，60B =︒，则AC =．三､解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.23．已知向量()1,2a =r ，()2,b x = ，()3,c y = ，且a b ⊥ ，a c ∥.(1)求向量b 与c的坐标；(2)若m a b =+ ，n a c =- ，求向量m 与n的夹角的大小.24．从某高校随机抽样1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14.（1）求这1000名学生中该周课外阅读时间在(]8,10范围内的学生人数；（2）估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率.25．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是BC ，PC 的中点.(1)求证：//MN 平面PDB ；(2)求证：AC ⊥平面PDB .1．B【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】集合{}1,3A =，{}2,3,4B =，则A B ⋂等于{}3.故选：B 2．C【分析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断.【详解】命题“0x ∃∈R ，2001x x +≥”的否定为“x ∀∈R ，21x x +<”，故选：C.3．A【分析】结合正方体和长方体的定义，根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】根据真数大于0，即可求解.【详解】由题意可得10x +>，解得1x >-，所以函数()ln(1)f x x =+的定义域是(1,)-+∞.故选：D 5．D【分析】根据指数的运算求解即可.【详解】2223515m n m n +=⨯=⨯=.故选：D 6．C【分析】利用对数函数的定义域，确定图象位置即可判断作答.【详解】函数2log y x =的定义域为(0,)+∞，因此函数2log y x =的图象总在y 轴右侧，选项ABD 不满足，C 满足.故选：C 7．C【分析】由复数模计算公式可得答案.【详解】由题可得z =.故选：C 8．B【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】易知π603=，由扇形弧长公式可得ππ133l =⨯=.故选：B 9．B【分析】根据向量减法运算法则直接计算.【详解】由题意得，BD AD AB =-，因为AB a=，AD b = ，所以BD AD AB b a =-=- .故选：B 10．D【分析】由三角函数的定义可得出tan θ的值.【详解】已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3，由三角函数的定义可得3tan 4θ=.故选：D.11．B【分析】根据分层抽样原理求出从C 学校抽取的人数作答.【详解】依题意，从三所中学抽取80名学生，应从C 学校抽取的人数为3208020400560320⨯=++.故选：B 12．A【分析】根据数乘运算的运算性质计算即可.【详解】()4312a a -⨯=-.故选：A.13．C【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】对于A ，取特殊值，1a =-，2b =-，满足条件，但不满足结论，故A 错误；对于B ，由a b >，若0c =，则ac bc =，故B 错误；对于C ，由同向不等式的性质知，a b >，c d >可推出a c b d +>+，故C 正确；对于D ，取3,0,1,2a b c d ===-=-，满足条件，但ac bd <，故D 错误.故选：C.14．D【分析】由基本不等式求解即可.【详解】2224m n mn +≥=，当且仅当“m n =”时取等.故22m n +的最小值为4.故选：D.15．C【分析】由古典概型计算公式可得答案.【详解】设随机抽取一张卡片为事件A ，抽取卡片数字为奇数为事件B ，则()()53,n A n B ==，则相应概率为()()35n B P n A ==.故选：C 16．B【分析】根据给定条件，利用函数图象变换求出函数解析式作答.【详解】把sin y x =上的所有点全部向右移动π6个单位的函数解析式是πsin()6y x =-.故选：B 17．A【分析】根据圆锥体积公式直接计算.【详解】由题意知，圆锥底面积为2π1πS =⨯=，圆锥的高2h =，则圆锥的体积为311π2332πV Sh ==⨯⨯=.故选：A 18．B【分析】推导出BC SC ⊥，可判断A 选项；利用线面垂直的性质可判断B 选项；利用反证法可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为SD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则BC SD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，则BC CD ⊥，因为SD CD D = ，SD 、CD ⊂平面SCD ，所以，BC ⊥平面SCD ，因为SC ⊂平面SCD ，则BC SC ⊥，故SBC ∠为锐角，A 错；对于B 选项，因为SD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则SD AB ⊥，B 对；对于C 选项，若SA ⊥平面ABCD ，且SD ⊥平面ABCD ，则SA 、SD 平行或重合，矛盾，假设不成立，C 错；对于D 选项，若//SA 平面SBC ，则SA 与平面SBC 无公共点，这与SA 平面SBC S =矛盾，假设不成立，D 错.故选：B.19．3【分析】根据给定的分段函数，代入计算作答.【详解】函数,0(),0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，所以()33f =.故答案为：320．π【分析】根据正余弦函数的周期公式2T πω=即可求解.【详解】根据正余弦函数的周期公式2T πω=可知：函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期22T ππ==，故答案为：π.21．2【分析】函数的零点个数就是对应方程的实数根的个数，直接解方程求解.【详解】令20x x +=，解得：0x =或=1x -，函数的零点个数就是方程20x x +=的实数根的个数，所以函数的零点有2个.故答案为：2【点睛】本题考查函数零点个数，属于基础题型.22．【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算作答.【详解】在ABC 中，3BC =，30A =︒，60B =︒，由正弦定理sin sin AC BCB A =，得sin 3sin 60sin sin 30BC B AC A ︒===︒故答案为：23．(1)()2,1b =-r，()3,6c = (2)3π4【分析】（1）根据向量垂直和平行列方程，化简求得,x y ，进而求得b 与c.（2）先求得m 与n，然后根据夹角公式求得正确答案.【详解】（1）由于a b ⊥ ，a c ∥，所以22=01=23x y +⎧⎨⨯⨯⎩，解得1,6x y =-=，所以()2,1b =-r，()3,6c = .（2）()==3,1m a b + ，()==2,4n a c ---，=64=10m n m n ⋅---，所以cos ,=2m n m n m n⋅-⋅，由于0,πm n ≤≤ ，所以3π,=4m n .24．（1）200人；（2）0.700.【分析】（1）根据频数和为1，求出(]8,10的频率，即可求解；（2）根据频率分布直方图，求出(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14频率和，即可得出结论.【详解】（1）该周课外阅读时间在(]8,10的频率为：12(0.0250.0500.0750.1500.0750.025)0.200-⨯+++++=，该周课外阅读时间在(]8,10范围内的学生人数10000.200200⨯=人；（2）阅读时间超过6小时的概率为：2(0.1500.1000.0750.025)0.700⨯+++=，所以估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率为0.700.【点睛】本题考查补全频率分布直方图以及应用，属于基础题.25．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据中位线的性质证明MN PB ∥即可；（2）根据线面垂直的判定与性质，证明AC BD ⊥，AC PD ⊥即可【详解】（1）因为M ，N 分别是BC ，PC 的中点，故MN PB ∥.又PB ⊂平面PDB ，MN ⊄平面PDB ，故//MN 平面PDB.（2）因为PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，故AC PD ⊥.又因为四棱锥P ABCD -的底面是正方形，则AC BD ⊥.又BD PD D = ，,BD PD ⊂平面PDB ，故AC ⊥平面PDB.。
(完整版)湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A.圆柱B.圆锥C.圆台D.球2.已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a ∉{0,1,2}，则a 的值为A.0B.1C.2D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为 A.51 B.52 C.53 D.54 4.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是A.2B.3C.4D.55.在△ABC 中，若0=⋅AC AB ，则△ABC 的形状是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 6.sin120︒的值为A.22B.－1C.23D.－22 7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BD 与A 1C 1的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直 8.不等式(x ＋1)(x －2)≤0的解集为 A.{x|－1≤x ≤2} B. {x|－1＜x ＜2}C. {x|x ≥2或x ≤－1}D. {x|x ＞2或x ＜－1} 9.点P(m,1)不在不等式x ＋y －2＜0表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。
11.样本数据－2，0，6，3，6的众数是＿＿＿＿＿＿。
12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，sinA ＝31，则sinB ＝＿＿＿＿＿＿。
13.已知a 是函数f(x)＝2－log 2x 的零点，则实数a 的值为＿＿＿＿＿＿。
14.已知函数y ＝sin ωx(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，则ω的值为＿＿＿＿＿＿。
湖南省普通高中学业水平考试数学试题(Word版)
机密★启用前湖南省普通高中学业水平考试数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列几何体中为圆柱的是2．执行如图1所示的程序框图，若输入x 的值为10，则输出y 的值为 A ．10 B ．15 C ．25 D ．353．从1，2，3，4，5这五个数中任取一个数，则取到的数为偶数的概率是A ．45 B ．35 C ．25 D ．154．如图2所示，在平行四边形ABCD 中中，AB AD +=u u u r u u u rA ．AC uuu rB ．CA u u u rC ．BD u u u r D ．DB u u u r5．已知函数y ＝f （x ）（[1,5]x ∈-）的图象如图3所示，则f （x ）的单调递减区间为 A ．[1,1]- B ．[1,3] C ．[3,5] D ．[1,5]- 6．已知a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式恒成立的是 A ．a +c ＞b ＋d B ．a +d >b +c C ．a -c >b -d D ．a -b >c-d 7．为了得到函数cos()4y x π=+的图象象只需将cos y x =的图象向左平移A ．12个单位长度 B ．2π个单位长度C ．14个单位长度 D ．4π个单位长度 8．函数(1)2()log x f x -=的零点为A ．4B ．3C ．2D ．1 9．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝45°，AC，则BC ＝A ．12BCD ．110．过点M （2，1）作圆C ：22(1)2x y -+=的切线，则切线条数为A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题；本大题共5小题，每小题4分，共20分， 11．直线3y x =+在y 轴上的截距为_____________。
湖南省普通高中学业水平考试试卷之数学
湖南省普通高中学业水平考试试卷之数学更多资料请访问.(.....)c:\iknow\docshare\data\cur_work\.....\2020年湖南省一般高中学业水平考试试卷数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量120分钟.总分值100分.一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合,，那么( ) .A. B.C. D.2. 假设运行右图的程序，那么输出的结果是〔〕.A. 4B. 13C. 9D. 223. 将一枚质地平均的骰子抛掷一次，显现〝正面向上的点数为6”的概率是〔〕.A . B. C. D.4. 的值为〔〕.A. B. C. D.5. 直线过点〔0，7〕，且与直线平行，那么直线的方程为〔〕.A. B.C. D.6. 向量,,假设,那么实数的值为〔〕.A. B. C. D.7. 函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在以下区间中，函数必有零点的区间为〔〕.A.〔1，2〕B. 〔2，3〕C.〔3，4〕D. 〔4，5〕8. 直线：和圆C: ，那么直线和圆C 的位置关系为〔 〕.A .相交 B. 相切 C .相离 D. 不能确定 9. 以下函数中，在区间上为增函数的是〔 〕. A. B. C. D.10. 实数满足约束条件，那么的最大值为〔 〕.A. 1B. 0C.D. 二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分. 11. 函数，那么 .12. 把二进制数101〔2〕化成十进制数为 . 13. 在△中，角A 、B 的对边分别为, 那么= .14. 如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为 .15. 如图，在△中，M 是BC 的中点，假设,那么实数= .三、解答题：本大题共5小题，共40分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题总分值6分) 函数，.〔1〕写出函数的周期；〔2〕将函数图象上的所有的点向左平行移动个单位,得到函数的图象,写出函数的表达式,并判定函数的奇偶性.〔第14题图〕俯视图〔第15题图〕17. (本小题总分值8分)某市为节约用水，打算在本市试行居民生活用水定额治理，为了较为合理地确定居民日常用水量的标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量〔单位：吨〕，右表是100位居民月均用水量的频率分布表，依照右表解答以下问题： 〔1〕求右表中和的值；〔2〕请将频率分布直方图补充完整，并依照直方图估量该市每位居民月均用水量的众数.18. (本小题总分值8分)如图,在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，底面,且P A=AB. 〔1〕求证：BD 平面P AC ； 〔2〕求异面直线BC 与PD 所成的角.19. (本小题总分值8分)如图，某动物园要建筑两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米 .〔第17题图〕〔1〕用x表示墙AB的长；〔2〕假设所建熊猫居室的墙壁造价〔在墙壁高度一定的前提下〕为每米1000元，请将墙壁的总造价y〔元〕表示为x(米)的函数；〔3〕当x为何值时，墙壁的总造价最低？〔第19题图〕20. (本小题总分值10分)在正项等比数列中，, .(1) 求数列的通项公式;(2) 记,求数列的前n项和;(3) 记关于〔2〕中的，不等式对一切正整数n及任意实数恒成立，求实数m的取值范畴.湖南省一般高中学业水平考试数学测试卷参考答案一、选择题〔每题4分，共40分〕二、填空题〔每题4分，共20分〕11.2；12. 5；13.1 ；14. ；15. 2三、解答题16.解：(1)周期为………………………3分(2),………………………5分因此g(x)为奇函数……………………6分17.解：(1) =20;………2分=0.20.………4分(2)〔第16题图〕依照直方图估量该市每位居民月均用水量的众数为2.5………………8分〔说明：第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得2分，两个全对的4分.〕18.〔1〕证明：∵，，……………………1分又为正方形，，……………2分而是平面内的两条相交直线，……………………4分(2)解：∵为正方形，∥，为异面直线与所成的角，…6分由可知，△为直角三角形，又，∵，，异面直线与所成的角为45º.……………………8分19.解：〔1〕…………………2分〔2〕………………5分〔没写出定义域不扣分〕〔3〕由当且仅当，即时取等号(米)时，墙壁的总造价最低为24000元.答：当为4米时，墙壁的总造价最低.……………8分20.解：(1). ，解得或(舍去)……2分……………3分 (没有舍去的得2分)〔2〕，………5分数列是首项公差的等差数列………7分(3)解法1：由〔2〕知，，当n=1时，取得最小值………8分要使对一切正整数n及任意实数有恒成立，即即对任意实数，恒成立，,因此,故得取值范畴是……………10分解法2：由题意得：对一切正整数n及任意实数恒成立，即因为时，有最小值3，因此,故得取值范畴是……………10分。
2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题
一、单选题1. 在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．2. 某俱乐部通过抽奖活动回馈球迷，奖品为第22届世界杯足球赛吉祥物“拉伊卜”.已知中奖的概率为，则参加抽奖的甲、乙两位球迷都中奖的概率为（ ）A．B．C．D．3. 如图，在中，，，与交于点．设，，，则为（）A．B．C．D．4. 这三个数的大小顺序是（ ）A．B．C．D．5. 2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A ，B 两种不同口味的果汁饮料.现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶（均是500mL ）组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标（毫克/升）的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是（）A ．A 种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B 种果汁饮料添加剂指标的平均值B ．A 种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B 种果汁饮料添加剂指标的中位数C ．A 种果汁饮料添加剂指标的方差高于B 种果汁饮料添加剂指标的方差D ．A 种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B 种果汁饮料添加剂指标的最小值6. 已知m ，n 是两条不同的直线，是平面，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若m ，n 与所成的角相等，则7. 在内取一个实数m ，设，记事件A 为“函数有零点”，事件B 为“函数只有负零点”，则（ ）A．B．C．D．8. 下列三个图中的多边形均为正多边形，图①，②中，是所在边上的中点，双曲线均以图中的，为焦点，设图①，②，③中的双曲线的离心率分别为，，，则（ ）2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题二、多选题三、填空题A．B．C．D．9. 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中错误的是（ ）A．的标准方程为B．的离心率等于C．与双曲线的渐近线不相同D ．直线与有且仅有一个公共点10.已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．11. 复数z满足，则z 的实部是（ ）A ．－1B ．1C ．－3D ．312. 已知圆柱的高为h ，它的两个底面半径为r 的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）A．B．C．D．13. 已知函数，则（ ）A ．函数在区间上单调递增B ．直线是函数图象的一条对称轴C ．函数的值域为D ．方程最多有8个根，且这些根之和为14. 下列说法正确的有（ ）A ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则B ．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高D．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立15. 下列各式中能够说明随机事件A 与随机事件B 相互独立的是（ ）A．B．C．D．16. 已知a ，b ，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，则C．D．四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题八、解答题17. 已知实数，满足，则的最小值是__________.18. 已知，则_________.19. 冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”，“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点，冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福，小明在纪念品商店买了3个“冰墩墩”和2个“雪容融”，随机选了3个作为礼物寄给他的好朋友小华，则小华收到的礼物中既有“冰墩墩”又有“雪容融”的概率为__________.20.已知椭圆的左､右焦点为，点在椭圆上，分别延长，交椭圆于点，且，则线段的长为___________，椭圆的离心率为___________.21. 已知复数，则复数的模为______；复数的虚部为_______.22. （1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：23.已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值24. 在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？并画出它们的图形：(1)；(2).25. 是各项均为正数的等差数列，其前项和为，已知，.(1)求的通项公式；(2)设，若的前项和为，求证：.26. 如图所示，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且E ，F 分别为BC ，PC 的中点.（1）求证: EF //平面PAB ;（2）已知AB =AC =4，PA =6，求三棱锥F -AEC 的体积.27. “不关注分数，就是对学生的今天不负责：只关注分数，就是对学生的未来不负责.”为锻炼学生的综合实践能力，长沙市某中学组织学生九、解答题对雨花区一家奶茶店的营业情况进行调查统计，得到的数据如下：月份x24681012净利润（万元〕y 0.92.04.23.95.25.1(1)设.试建立y 关于x 的非线性回归方程和（保留2位有效数字）；(2)从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好，并据此预测次年2月（）的净利润（保留1位小数）.附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；②参考数据：，28. 如图，在平面四边形ABCD 中，若，，，，．(1)求的值；(2)求AD 的长度．。
2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题(专家B卷)
一、单选题1. 函数的部分图像大致为（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，给出下列四个命题：①为奇函数；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称；其中正确的命题为（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③D ．③④3. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．4. 函数的图象是A． B． C． D． 5. 设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）A．B ．5C．D．6. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数，若，则在区间上可以用二次函数来近似代替，其中，，若令，请依据上述算法，估算的近似值是（ ）A．B．C．D．7. 如图，四边形，，均为正方形．动点E 在线段上，F ，G ，M 分别是，，的中点，则下列选项正确的是（）2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题(专家B卷)2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题(专家B卷)二、多选题三、填空题四、解答题A．B ．平面C ．存在点E ，使得平面平面D ．存在点E ，使得平面平面8. 数列满足：，若数列是等比数列，则的值是A ．1B．C．D．9. 设双曲线的焦距为，离心率为e ，且a ，c ，成等比数列，A 是E 的一个顶点，F 是与A 不在y 轴同侧的焦点，B 是E 的虚轴的一个端点，PQ 为E的任意一条不过原点且斜率为的弦，M 为PQ 中点，O 为坐标原点，则（ ）A ．E的一条渐近线的斜率为B．C ．（，分别为直线OM ，PQ 的斜率）D ．若，则恒成立10. 已知函数，曲线的切线l 的斜率为k ，则下列各选项正确的是（ ）A ．在上单调递减B ．是偶函数C ．当时，取得极大值D ．当时，l 在x轴上的截距的取值范围为11.已知函数部分图象如图所示，则（）A．B．函数在上单调递减C ．方程的解集为D ．是函数是奇函数的充分不必要条件12. 设函数，若，且的最小正周期大于，则（ ）A．B．是偶函数C ．在区间上单调递增D．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象13.抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若，则_______.14. 已知函数，若，则_______.15.的最大值是3，的图像与y 轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则______．16.数列，满足，，．(1)求证：是常数列；(2)设，，求的最大项．17.某兴趣小组为了解某城市不同年龄段的市民每周的阅读时长情况，在市民中随机抽取了人进行调查，并按市民的年龄是否低于岁及周平均阅读时间是否少于小时将调查结果整理成列联表，现统计得出样本中周平均阅读时间少于小时的人数占样本总数的.岁以上（含岁）的样本占样本总数的，岁以下且周平均阅读时间少于小时的样本有人.周平均阅读时间少于小时周平均阅读时间不少于小时合计岁以下岁以上（含岁）合计(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析周平均阅读时间长短与年龄是否有关联.如果有关联，解释它们之间如何相互影响.(2)现从岁以上（含岁）的样本中按周平均阅读时间是否少于小时用分层抽样法抽取人做进一步访谈，然后从这人中随机抽取人填写调查问卷，记抽取的人中周平均阅读时间不少于小时的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：，.18. 已知动点和定点，的中点为．若直线，的斜率之积为常数(其中为原点，)，动点的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）曲线上是否存在两点、，使得是以为顶点的等腰直角三角形？若存在，指出这样的三角形共有几个；若不存在，请说明理由．19. 已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于两点，.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知点，过点的直线与双曲线交于两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.20. 某公司生产A ，B 两种型号的盲盒，每一种型号的盲盒有12款形态各异的玩偶，买家拆封之前，不知道盲盒里玩偶的款式．(1)小明看中了A 型号盲盒，12款玩偶中有2款他特别喜欢，1款他不喜欢，另有3款他已经拥有．小明从中随机购买2款，若他购买到1款他特别喜欢的玩偶，积3分；购买到1款他不喜欢的玩偶，积-3分；购买到1款他已经拥有的玩偶，积-1分；购买到1款其他款式玩偶，积1分．设X 表示小明购买的2款玩偶的总积分，求X 的分布列和数学期望；(2)五一前，该公司推出C ，D 两种新型号盲盒，现规定每一名爱好者一次只能购买其中一种型号的盲盒.据统计，爱好者第一次购买C ，D 两种型号盲盒的概率都是．如果上次购买C 型号盲盒，则这次购买C 型号盲盒的概率为，购买D 型号盲盒的概率为；如果上次购买D 型号盲盒，那么这次购买C ，D 型号盲盒的概率都为．如此重复．设一名爱好者第n 次购买C 型号盲盒的概率为P n ．①求P n ；②如果这名爱好者长期购买C，D型号盲盒，试判断该爱好者购买C型号盲盒的概率能否达到．21. 设等差数列满足，.(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，若，求的值.。
2022年湖南省学业水平考试高二数学试题(解析版)
2022年湖南省学业水平考试高二数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，UA （ ） A ．{}1,2,3B ．{}2,3,4C ．{}3,4,5D ．{}4,5【答案】C【分析】利用补集的定义直接求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =， 所以UA{}3,4,5.故选：C2．已知(2,1),0a a b =+=，则b =（ ） A ．()1,2-- B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()2,1--【答案】D【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解.【详解】解：设(,)b x y =，因为(2,1),0a a b =+=，所以202101x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，所以(2,1)b =--. 故选：D.3．已知m R ∈，i 为虚数单位，2(1)i z m m =++-，若z 为实数，则m 取值为（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B【分析】根据复数的分类即可求解，为实数，则虚部为0. 【详解】2(1)i z m m =++-为实数，则101m m -=⇒= 故选：B4．甲地下雨的概率为0.5，乙地下雨的概率为0.4，两地是否下雨相互独立，则两地同时下雨的概率为（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.6D ．0.8【答案】A【分析】根据独立事件的概率公式即可求解.【详解】解：记“甲地下雨”为事件A ，则()0.5P A =， 记“乙地下雨”为事件B ，则()0.4P B =，两地同时下雨的概率为()()()0.50.40.2P AB P A P B ==⨯=. 故选：A.5．下列函数中，在()0,1为减函数的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x =C ．2y xD ．3y x =【答案】A【分析】根据导函数的正负来判断原函数的单调性即可求解. 【详解】对于1y x -=,210y x '=-<,所以在()0,1为减函数,对于12y x =,0y '=>,所以在()0,1单调递增,2y x ,20y x '=>,3y x =,230y x '=>,故在()0,1单调递增.故选：A6．在ABC 中，0AB BC ⋅=，ABC 为（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】A【分析】根据向量数量积为0可得AB BC ⊥，即可得出结论.【详解】解：因为0AB BC ⋅=，所以AB BC ⊥，则在ABC 中，AB BC ⊥，90B ∠=︒， 所以ABC 为直角三角形. 故选：A. 7．已知4sin 5α，则sin()πα-=（ ） A ．35 B ．35C ．45-D ．45【答案】D【分析】利用三角函数诱导公式求解即可. 【详解】解：因为4sin 5α，则4sin()sin 5παα-==. 故选：D.8．已知0,0,4a b ab >>=，则a b +的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【分析】由均值不等式求解即可. 【详解】0,0,4a b ab >>=，4a b ∴+≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，故选：B9．将sin()6y x π=+的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，则得到的新的解析式为（ ）A ．1sin()36y x π=+B ．sin(3)6y x π=+C ．1sin()36y x π=+D ．3sin()6y x π=+【答案】D【分析】根据三角函数图象的变换关系进行求解即可.【详解】解：sin()6y x π=+的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到的新的解析式为1sin()36y x π=+，整理得3sin()6y x π=+.故选：D.10．R,20x x ∀∈>的否定是（ ） A ．R,20x x ∃∈> B ．R,20x x ∃∈≤C ．R,20x x ∀∈<D ．R,20x x ∀∈≤【答案】B【分析】利用全称命题的否定可得结论.【详解】解：命题“R,20x x ∀∈>”为全称命题，该命题的否定为“R,20x x ∃∈≤”. 故选：B.11．,a b 是空间中两条不同的直线，“,a b 是异面直线”是“,a b 没有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据空间直线与直线的位置关系及充分不必要条件的定义即可求解.【详解】解：若,a b 是空间中两条不同的直线，且,a b 是异面直线，则,a b 没有公共点； 若,a b 是空间中两条不同的直线，且,a b 没有公共点，则,a b 是异面直线或//a b ， 故“,a b 是异面直线”是“,a b 没有公共点”的充分不必要条件. 故选：A.12．3,2,2,1,1的第50百分位数是（ ） A ．1 B ．2.5C ．2D ．3【答案】C【分析】根据百分位数的计算550% 2.5⨯= ，找从小到大排的第三个数即可.【详解】将3,2,2,1,1从小到大排列为：1，1，2，2，3，第50百分位数是第三个数据2， 故选：C13．函数曲线log 1a y x =+恒过定点（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()1,1 D ．()1,0【答案】C【分析】由对数函数的性质可求解.【详解】因为对数函数log a y x =恒过点(1,0)， 所以函数曲线log 1a y x =+恒过点(1,1). 故选：C14．(2)0x x ->的解集为（ ） A ．{}02x x << B ．{0x x <或}2x > C ．{}0x x >D ．R【答案】B【分析】直接求解一元二次不等式即可.【详解】解：因为(2)0x x -=时，解得0x =或2x =， 所以(2)0x x ->的解集为0x <或2x >. 故选：B.15．函数()sin f x x x =的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．1+D ．【答案】B【分析】根据辅助角公式化简即可求解.【详解】π()sin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故最大值为2故选：B16．函数()ln 2f x x x =+-的零点所在的一个区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【分析】因为()ln 2f x x x =+-为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可. 【详解】因为()ln 2f x x x =+-为增函数,且()1ln11210f +-=-<=,()2ln 222ln 20f +-=>=根据零点存在性定理知()ln 2f x x x =+-的零点在区间()1,2内. 故选B【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.17．大西洋的鲑鱼每年会逆流而上，回原地产卵.鲑鱼研究者发现鲑鱼的速度为31Οlog 2100v =，其中O 表示氧气的消耗量.已知鲑鱼的速度1m /s 2v =，则氧气消耗量O 为（ ） A ．100个单位 B ．300个单位 C ．600个单位 D ．900个单位【答案】B【分析】根据所给函数关系式，代入1m /s 2v =求解即可. 【详解】根据所给函数关系31Οlog 2100v =，当1m /s 2v =时，3011log 22Ο10=，即3Ο1001log =， 解得300O =， 故选：B18．已知函数()y f x =的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．()()20Z f k k =∈B ．()()211Z f k k +=∈C ．,(1)()x R f x f x ∀∈+=D ．()()R,11x f x f x ∀∈+=-【答案】C【分析】根据函数图象，判断函数()y f x =的奇偶性、周期性、对称性等性质，逐项判断即可.【详解】解：由函数()y f x =的图象可得，函数()y f x =为偶函数，函数()y f x =关于(Z)x k k =∈对称，且最小正周期为2，最大值为1，最小值为0，A 项中，()()(2)(0)(2)20Z f f f f k k -====∈，故A 项正确；B 项中，()()(1)(1)(3)211Z f f f f k k -===+=∈，故B 项正确；C 项中，因为(1)()f x f x +=，则函数()f x 的周期为1，而函数的最小正周期为2，故C 项错误.D 项中，()()R,11x f x f x ∀∈+=-，则函数()f x 关于1x =对称，故D 项正确. 故选：C. 二、填空题19．138=___________. 【答案】2【分析】根据指数幂的运算，直接计算求值即可. 【详解】解：()11333822==.故答案为：2.20．一支游泳队有男运动员20人，女运动员12人，按性别分层，用分层随机抽样从全体运动员抽取一个容量为8的样本，那么抽取的女运动员人数为___________. 【答案】3【分析】根据抽样比例,即可求解. 【详解】抽取的女运动员人数为128=332⨯ 故答案为:321___________. 【答案】8π【分析】利用球的表面积公式即可求解.【详解】，所以球的表面积为24428S r πππ==⨯=. 故答案为：8π.22．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．已知60a b A ===，则B 的度数为____． 【答案】45【详解】由正弦定理：sin sin a b A B = 可得：sin sin 2b A B a ==， 由a b > 可得A B > ，则：45B ∠= . 三、解答题23．某人通过计步仪器，记录了自己100天每天走的步数（单位：千步）得到频率分布表，如图所示[10，12） ab[12，14） 20 0.20 [14，16] 10 0.10 合计 1001(1)求频率分布表中,a b 的值，并补全频率分布直方图； (2)估计此人每天步数不少于1万步的概率.【答案】(1)30,0.30a b ==；频率分布直方图见解析.(2)35【分析】（1）根据频率分布表可直接计算,a b 的值，根据,a b 的值补全频率分布直方图即可.（2）根据频率分布表可得此人每天步数不少于1万步的天数，利用古典概型概率公式即可求解.【详解】(1)解：由频率分布表可得，100(515202010)30a =-++++=，1(0.050.150.200.200.10)0.30b =-++++=，则频率分布直方图为：(2)解：根据频率分布表可得，每天步数不少于1万步的天数为30201060++=天， 故此人每天步数不少于1万步的概率为6031005P ==.24．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 中点.(1)求证：AD ⊥平面11BCC B ；(2)若12,3AB BC AA ===，求四棱锥11A BCC B -的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)3【分析】（1）由AD BC ⊥，1B B AD ⊥根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据（1）可知棱锥高，利用体积公式求解可. 【详解】(1)AB AC =，D 为BC 中点，AD BC ∴⊥,在直三棱锥111ABC A B C -中，1B B ⊥平面ABC , AD ⊂平面ABC . 1B B AD ∴⊥，又1BC B B B =∩,AD ∴⊥平面11BCC B(2)2AB AC BC ===，D 为BC 中点，323AD ∴== 由（1）知，四棱锥11A BCC B -的高即为3AD =， 又13AA =，所以111326B BCC S B B BC =⋅=⨯=矩形， 11632333V S h ∴=⋅=⨯25．已知函数()21f x x =-.(1)写出()f x 的定义域并判断()f x 的奇偶性； (2)证明：()f x 在(0,1)x ∈是单调递减；(3)讨论()2(0)f x kx k =>的实数根的情况.【答案】(1)(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞，偶函数 (2)证明见解析 (3)有2个实数根【分析】（1）根据题意可得分母不能为0，即10x -≠，求解函数()f x 的定义域即可，利用奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性即可； （2）利用定义法证明函数()f x 在(0,1)x ∈是单调递减即可.（3）构造函数2()(0)g x kx k =>，求解函数()f x 与函数()g x 在区间(0,)+∞上的单调性，利用极限的思想可得函数()f x 与函数()g x 在区间(0,)+∞上有一个交点，利用偶函数的性质可得函数()f x 与函数()g x 共有2个交点，即为方程的根.【详解】(1)解：由题可知101x x -≠⇒≠±，所以函数()f x 的定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞，因为2()()1f x f x x -==--，所以函数()f x 为偶函数. (2)解：当(0,1)x ∈时，()21f x x =-， 设12,x x 为区间(0,1)上的任意的两个值，且12x x <， 则122121212()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， 因为1201x x ，所以211210,10,0x x x x -<-<-<， 故21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <， 所以函数()f x 在区间(0,1)上单调递减.(3)解：由（2）得，当(0,1)x ∈时，函数()f x 在区间(0,1)上单调递减，且(0)2f =-，当1x →时，()f x →-∞， 当(1,)x ∈+∞时，()21f x x =-， 设12,x x 为区间(1,)+∞上的任意的两个值，且12x x <， 则122121212()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， 因为1201x x ，所以211210,10,0x x x x ->->-<， 故21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <， 所以函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减.且当1x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()0f x →，设2()(0)g x kx k =>，则()g x 为偶函数，且()0g x ≥恒成立，当0x >时，函数()g x 在区间(0,)+∞单调递增，且(0)0g =，当x →+∞时，()g x →+∞. 所以函数()f x 与函数()g x 在区间(0,)+∞必有一个交点，又因为函数()f x 与函数()g x 均为偶函数，所以函数()f x 与函数()g x 在区间(,0)-∞必有一个交点，所以函数()f x 与函数()g x 有2个交点，即方程()2(0)f x kx k =>有2个实数根.。
2024年湖南省普通高中学业水平合格性考试(压轴卷)数学试题(解析版)
湖南省普通高中学业水平合格性考试（压轴卷）数学时量：90分钟满分：100分一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}|24A x x =<<，{}|13B x x =≤≤，则A B ⋃=（）A.{}|23x x <≤B.{}|23x x <≤C.{}|14x x ≤< D.{}|14<<x x 【答案】C 【解析】【分析】由并集的定义可得出答案.【详解】因为{}|24A x x =<<，{}|13B x x =≤≤，所以{}|14A B x x =≤< ，故选：C.2.“1x >”是“21x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为1x >，则21x >，但是21x >不一定有1x >，所以“1x >”是“21x >”成立的充分不必要条件．故选：A ．3.已知角θ的终边经过点(1,P ，则cos θ的值为（）A.B.C.1 D.12【答案】D【解析】【分析】根据三角函数定义求解即可.【详解】由任意角的三角函数定义可得1cos 2θ==.故选：D.4.命题“(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（）A.(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-B.(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-C.(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-D.(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=-【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-”.故选：C5.如图，一只转盘，均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（）A.12B.25C.35D.23【答案】A 【解析】【分析】利用概率公式计算即可得.【详解】共有8个数，其中偶数的个数为4个，故4182P ==.故选：A.6.在ABC 中，1c =，2a =，30C =︒，则A =（）A.60︒ B.90︒C.45︒D.120︒【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理，求出sin A ，从而求出角A .【详解】由正弦定理得，sin sin a cA C=，所以21sin sin 30A =︒，解得sin 1A =，由A 为三角形内角，所以90A =︒，故选：B.7.若平面//α平面β，l ⊂α，则l 与β的位置关系是（）A.l 与β相交B.l 与β平行C.l 在β内D.无法判定【答案】B 【解析】【分析】利用面面平行的性质定理即可得解.【详解】//αβ ，l ⊂α，利用线面平行的性质定理可得l //β.故选：B8.函数()2log 2y x =-在区间[]3,4上的最大值为（）A.0 B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】由定义域求出2x -的范围，进而求出y 的范围与最大值.【详解】因为[]3,4x ∈，所以[]21,2x -∈，所以()2log 2[0,1]x -∈，最大值为1，故选：B.9.sin690︒的值为（）A.12B.2C.12-D.32【解析】【分析】直接用诱导公式可求解.【详解】()1sin 690sin 72030sin 302︒=︒-︒=-︒=-故选：C10.若函数()225f x x ax =-+在区间[)1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.(],2∞- B.[)2,∞+ C.[)4,+∞ D.(],4-∞【答案】D 【解析】【分析】结合二次函数的对称轴，列式求实数a 的取值范围.【详解】由题意，得函数()f x 的图象的对称轴为直线4a x =．∵函数()225f x x ax =-+在区间[)1,+∞上是增函数，∴14a≤，解得4a ≤，∴实数a 的取值范围是(],4-∞．故选:D ．11.某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：射击次数501002004001000射中8环以上的次数4478158320800根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（）A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82【答案】C 【解析】【分析】利用频率估计概率即可求解.【详解】大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在0.8，所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为0.8，故选：C.12.已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则((1))=f f （）A.e B.-1C.0D.1【答案】D【分析】先求得()1f ，然后求得()()1f f .【详解】()1ln10f ==，()()()0101f f f e ===.故选：D13.若函数()()sin R,0,02πy x x ωϕωϕ=+∈>≤<的部分图象如图，则（）A.π2=ω，π4ϕ=B.π3ω=，π2ϕ=C.π4ω=，π4ϕ=D.π4ω=，5π4ϕ=【答案】C 【解析】【分析】根据最小正周期求出ω，根据函数过点()1,1求出ϕ.【详解】由图可知3124T =-=，所以8T =，又0ω>，所以2π8ω=，解得π4ω=；所以πsin 4y x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又函数过点()1,1，所以πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ≤<2，所以ππ9π444ϕ≤+<，所以ππ42ϕ+=，所以π4ϕ=.故选：C14.关于函数()x x f x e e -=-，下列判断正确的是（）A.图象关于y 轴对称，且在(,)∞∞-+上是减函数B.图象关于y 轴对称，且在(,)∞∞-+上是增函数C.图象关于原点对称，且在(,)∞∞-+上是减函数D.图象关于原点对称，且在(,)∞∞-+上是增函数【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性及单调性即可得解.【详解】解：函数的定义域为R ，因为()()xxf x e f x e--=-=-，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，又因为,x x y e y e -==-都是R 上的减函数，所以函数()f x 在(,)∞∞-+上是减函数.故选：C .15.在空间四边形ABCD 中，AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接各边中点E ，F ，G ，H ，所得四边形EFGH 的形状是（）A.梯形 B.矩形C.正方形 D.菱形【答案】D 【解析】【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH 是平行四边形，再由AC=BD 即可判断四边形EFGH 的形状.【详解】如图所示，空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH ，由中位线的性质及基本性质4知，EH ∥FG ，EF ∥HG ；∴四边形EFGH 是平行四边形，又AC=BD ，∴HG=12AC=12BD=EH ，∴四边形EFGH 是菱形.故选：D 16.设10,,2,32α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，则使幂函数()f x x α=的定义域为R ，且为偶函数的α的值是（）A.0B.12C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】分别对0α=，12，2，3时的幂函数分析判断即可【详解】当0α=时，()0f x x =，其定义域为{}0x x ≠，所以不合题意，当12α=时，()12f x x =，其定义域为{}0x x ≥，所以不合题意，当2α=时，2()f x x =，其定义域为R ，且为偶函数，所以符合题意，当3α=时，3()f x x =，其定义域为R ，而此函数为奇函数，所以不合题意，故选：C17.《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成1111ABCD A B C D -的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为1:16，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为3567m ，则该方亭的上底面边长为（）mA.3B.4C.6D.12【答案】A 【解析】【分析】设11A B x =，表达出4AB x =，方亭的高为3x ，由棱台的体积公式列出方程，求出3x =，得到答案.【详解】因为上底面与下底面的面积之比为1:16，设11A B x =，则4AB x =，故方亭的高为3x ，故方亭的体积为(22221161635673x x x x x ++⋅⋅=，解得3x =，故113A B =m ，即该方亭的上底面边长为3m.故选：A18.已知函数()()252,13,1x a x x f x a x ⎧-+-≥=⎨-<⎩在(),∞∞-+上是增函数，则a 的取值范围为（）A.51,2⎛⎫⎪⎝⎭B.()1,2 C.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.(]1,2【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 在()-∞+∞，上是增函数，所以()1250125123a a a a ⎧-+>⎪>⎨⎪-+⨯-≥-⎩，解得12a <≤，所以a 的取值范围是(]1,2.故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，19.已知-组数据为1-，0，1，2，3．则该样本的平均数为______，中位数为______．【答案】①.1②.1【解析】【分析】根据题意，利用平均数的计算公式和中位数的概念及求法，即可求解.【详解】由样本数据1,0,1,2,3-，可则样本的平均数为1012315x -++++==，根据样本中位数的求法，可得样本数据的中位数为1.故答案为：1；1.20.已知i 是复数的虚数单位，且32ii ia b -=+(),a b ∈R ，则a b +的值为______．【答案】5-【解析】【分析】计算出32ii-，从而求出a ，b 以及a b +的值.【详解】因为232i (32i)i 3i 223i i i 1--+===---，所以2a =-，3b =-，所以5a b +=-，故答案为：5-.21.在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则三角形ABC 为___________三角形.（填“锐角”､“钝角”或“直角”）【答案】钝角【解析】【分析】根据数量积的性质，判断出A 的范围，可得结论.【详解】解：因为cos 0AB AC AB AC A ⋅=<，故cos 0A <，而A 为三角内角，故A 为钝角，所以ABC 是钝角三角形.故答案为：钝角.22.设0a ＞，0b ＞，且21a b +=，则12a a a b++的最小值是_______．【答案】1+##1【解析】【分析】由换元法与基本不等式求解即可.【详解】设a xa b y=⎧⎨+=⎩，则b y x =-，21a b x y +=+=，12122211a x x y x y xa ab x y x y x y++=+=+=++≥+，当且仅当2y x xy=即1x =，2y =-时等号成立，故当1a =-，3b =-时，12aa a b++取最小值1+.故答案为：1+.三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，23.某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若产品的质量指数在[8，10]内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．【答案】（1）6X =甲，5X =乙（2）815【解析】【分析】（1）由频率分布直方图直接求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数即可；（2）先确定甲、乙生产线的样品中抽取的优等品的个数，再利用列举法写出所有情况，利用古典概率模型求解即可．【小问1详解】解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：30.05250.15270.2290.12 6.4x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=甲；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：30.15250.1270.2290.052 5.6x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=乙．【小问2详解】由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100×0.1×2＝20件，乙生产线的样品中优等品有100×0.05×2＝10件．从甲生产线的样品中抽取的优等品有20642010⨯=+件，记为a ，b ，c ，d ；从乙生产线的样品中抽取的优等品有10622010⨯=+件，记为E ，F ；从这6件产品中随机抽取2件的情况有：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，E ），（a ，F ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，d ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），（E ，F ），共15种；其中符合条件的情况有：（a ，E ），（a ，F ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），共8种．故所求概率815P =．24.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，122AA AC CB AB ===．（1）证明：1BC ∥平面1ACD ；（2）求异面直线1BC 和1A D 所成角的大小；【答案】（1）证明见解析（2）π6.【解析】【分析】（1）连接1AC 交1AC 于点F ，由三角形中位线定理得1//BC DF ，由此能证明1BC ∥平面1ACD ；（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为轴正方向，CB 的方向为轴正方向，1CC 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出异面直线1BC 与1A D 所成角．【小问1详解】证明：连接1AC 与1AC 相交于点F ，连接DF ，由矩形11ACC A 可得点F 是1AC 的中点，又D 是AB 的中点，1//BC DF ，1BC ⊄ 平面1A CD ，DF ⊂平面1A CD ，故1//BC 平面1ACD 【小问2详解】∵122AA AC CB AB ===，不失一般性令12AA AC CB ===，22AB =则222AC CB AB +=，∴AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA的方向为轴正方向，CB的方向为轴正方向，1CC 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．则(1,1,0)D ，()10,0,2C ，()12,0,2A ，(0,2,0)B ，()10,2,2BC =- ，()11,1,2A D =-- ,设异面直线1BC 与1A D 所成角为θ，π(0]2,θ∈，则1111110243cos cos ,286BC A D BC A D BC A Dθ--⋅=〈〉==⋅ ，∴π6θ=，∴异面直线1BC 与1A D 所成角为π6.另解：由（1）得1A DF ∠或其补角为异面直线1BC 和1A D 所在角，设2AB =，则1112DF BC====，1A D ==11112A F A C==．在1A DF中，由余弦定理得，2221113cos 2A DF +-∠==，且()10,πA DF ∠∈，1π6A DF ∴∠=，∴异面直线1BC 和1A D 所成角的大小为π6..25.已知函数()1f x ax x=+．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若0a >，判断()f x 在⎛⎝的单调性，并用定义法证明；（3）若1a =，()()e 18xg x f =-，判断函数()g x 的零点个数，并说明理由．【答案】（1）奇函数（2）()f x 在⎛⎝上单调递减，证明见解析（3）()g x有两个不同的零点，理由见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断即可；（2）任取120x x <<<，可得()()()21211210f x f x x x a x x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，由单调性定义可得结论；（3）令e x t =，()()1180h t t t t =+->，令()0h t =可求得t 的值，由此可求得对应的x 的取值，即()g x 的零点.【小问1详解】由题意知：()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()1f x ax f x x-=--=- ，()f x \为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数.【小问2详解】()f x 在⎛ ⎝上单调递减，证明如下：任取120x x <<<()()()2121212112111f x f x ax ax x x a x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭；120x x <<<，121x x a ∴<，1210a x x ∴-<，又210x x ->，()()210f x f x ∴-<，()f x \在⎛⎝上单调递减.【小问3详解】当1a =时，()1f x x x =+，()1e 18e x x g x ∴=+-；令e x t =，则0t >，()()1180h t t t t =+->；令()0h t =，解得：18852t ±=，e x t = 在R 上单调递增，∴当1885ln2x -=或1885ln 2x +=时，()0g x =，()g x ∴有两个不同的零点.。
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．如图所示的几何体是（ ）A ．圆锥B ．棱锥C ．圆台D ．棱柱【答案】D【解析】分析几何体的结构，可得出合适的选项. 【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱. 故选：D. 【点睛】本题考查几何体的识别，属于基础题.2．已知向量()2,1a =，()11b =-,，若(),2a b x +=，则x =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据平面向量的坐标运算可求得x 的值. 【详解】已知向量()2,1a =，()11b =-,，则()()1,2,2a b x +==，因此，1x =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的坐标运算求参数的值，考查计算能力，属于基础题. 3．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（ ） A ．4πB ．2π C ．π D ．2π【答案】C【解析】根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积.【详解】由圆的方程知：圆C 的半径为1，所以面积2S r ππ==， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题.4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】A【解析】直接由古典概型的概率公式求解即可 【详解】解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球， 所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是13, 故选：A 【点睛】此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题5．要得到函数y =1+sin x 的图象，只需将函数y =sin x 的图象（ ） A ．向上平移1个单位长度 B ．向下平移1个单位长度 C ．向右平移1个单位长度 D ．向左平移1个单位长度【答案】A【解析】由函数图象平移原则即可知如何平移y =sin x 的图象得到y =1+sin x 的图象. 【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y =sin x 的图象向上平移1个单位可得y =1+sin x 的图象，故选：A. 【点睛】本题考查了由平移前后的函数解析式描述图象变换过程，属于简单题. 6．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n ，则a 4=（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】由已知可得通项公式12n n a ，即可求a 4的值.【详解】由题意a n +1=2a n 可知，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 故可得数列的通项公式为12n na ，∴3428a ==，故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列，由定义法求等比数列通项公式，进而求项，属于简单题.7．已知函数2,0()0x x f x x +≤⎧⎪=>，若f (0)=a ，则f (a )=（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】C【解析】先由f (0)=a ，可得2a =，从而可求出f (a )的值 【详解】解：因为f (0)=a ，代入分段函数中可得02a +=，得2a =，所以()(2)f a f ==，故选：C 【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题8．函数()2sin cos f x x x =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】利用二倍角的正弦公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果. 【详解】()2sin cos sin 2f x x x x ==，所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9．用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A ．3cm 2B ．6cm 2C ．9cm 2D ．12cm 2【答案】C【解析】由已知可得6x y +=，而矩形的面积S xy =，应用基本不等式即可求矩形的最大面积. 【详解】设矩形的长、宽分别为,x y cm ，则有2()12x y +=，即6x y +=， ∵矩形的面积Sxy =，∴2()94x y S xy +=≤= cm 2，当且仅当3x y ==时等号成立，故选：C 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题. 10．已知定义在[3,3]-上的函数y =f (x )的图象如图所示.下述四个结论:①函数y =f (x )的值域为[2,2]- ②函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]- ③函数y =f (x )仅有两个零点④存在实数a 满足()()0f a f a +-= 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．②④【答案】D【解析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与x 轴交点的个数可得其零点的个数，当1a =时，可得()()0f a f a +-= 【详解】解：由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于2-，所以①错误； 由图像可知函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-，所以②正确；由图像可知其图像与x 轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误； 当1a =时，有()()(1)(1)220f a f a f f +-=+-=-+=，所以④正确， 故选：D 【点睛】此题考查函数图像的应用，考查函数的零点，单调性，考查数形结合的思想，属于基础题二、填空题11．已知集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，若A B ⊆，则a =______________. 【答案】1【解析】由A B ⊆，得到1是方程2x a =是方程的根，代入即可求解. 【详解】由题意，集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，因为A B ⊆，所以1B ∈，即1是方程2x a =是方程的根，解得1a =， 当1a =，可得集合{}1,1b =-,此时满足A B ⊆， 所以1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题.12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________ 【答案】12【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可 【详解】解：因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人， 所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为151302=， 故答案为：12【点睛】此题考查分层抽样的应用，属于基础题13．已知直线l 1:y =x ，l 2:y =kx .若l 1⊥l 2，则k =______________. 【答案】-1【解析】由两直线垂直有斜率之积为-1，即可求k 值. 【详解】由l 1⊥l 2，知：1k =-， 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了根据直线垂直求斜率，属于简单题.14．已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，则{ a n }的前5项和S 5= __________. 【答案】15【解析】由题意可得等差数列通项公式n a n =，结合1()2n n n a a S +=可得前n 项和公式，进而求5S 即可. 【详解】由等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，知：公差1d =，∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为1(1)n a a n d n =+-=， ∴由等差数列前n 项和公式1()(1)22n n n a a n n S ++==， 即可得55(51)152S ⨯+==， 故答案为：15. 【点睛】本题考查了求等差数列前n 项和，属于简单题.15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.【答案】35【解析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可 【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)， 所以223cos 534x r α===+， 故答案：35【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值; （2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率. 【答案】（1）25小时；（2）0.3.【解析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率. 【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数， ∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=；（2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P =⨯=. 【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题. 17．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC =23.（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值. 【答案】（1）6B π=，（2）f (x )的最大值为2，此时2,3x k k Z ππ=+∈【解析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）利用正弦函数的性质直接求其最大值 【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC 3所以222222(23)3cos 222223AB BC AC B AB BC +-===⋅⨯⨯， 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+，所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题18．如图所示，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且E ，F 分别为BC ，PC 的中点.（1）求证: EF //平面PAB ;（2）已知AB =AC =4，PA =6，求三棱锥F -AEC 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】（1）连接EF 有中位线//EF PB ，结合,EF PB 与面PAB 的关系，由线面平行的判定即可证//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G 易知FG 是三棱锥F -AEC 的高，结合已知有2ABCAECSS =即可求三棱锥F -AEC 的体积.【详解】（1）连接EF ，在△PBC 中EF 为中位线，故//EF PB ，∵EF ⊄面PAB ，PB ⊂面PAB ∴//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G ，如下图示：∵P A ⊥平面ABC ，∴FG ⊥平面ABC ，即FG 是三棱锥F -AEC 的高，又F 为PC 的中点， ∴由P A =6，则32PAFG ==， 又AB =AC =4，E 为BC 的中点且AB ⊥AC ，知：44424ABCAECSS⨯===， ∴三棱锥F -AEC 的体积143AECV FG S =⋅⋅=.【点睛】本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题.19．已知函数(())xxf x ag x a-==，，其中0a >，且1a ≠.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式()()f x g x ≥对x ∈R 都成立，求a 的取值范围;（3）设(1)2f =，直线1y t =与()y f x =的图象交于A B ，两点，直线2y t =与()y g x =的图象交于C D ，两点，得到四边形ABCD .证明:存在实数12t t ，，使四边形ABCD 为正方形.【答案】（1）偶函数，理由见解析；（2）1a >；（3）证明见解析 【解析】（1）利用函数的奇偶性做出判断;（2）()()xx x f x g a a -⇔≥≥对x ∈R 都成立，可求出a 的范围（3）由(1)2f =，求出2a =，由已知AB BC =得到000222x xx -=-，求得121t t =得证. 【详解】(1) ()f x 是偶函数()x f x a =，))((xxf x aa f x -∴==-=,()f x ∴是偶函数（2）))((xxf x ag ax -==，(())xx x f x g a a-≥⇔≥∴当1a >时0x x x x R ≥-⇒≥⇒∈ 满足题意， 当01a <<时00x x x x ≥-⇒≤⇒= 不满足题意 所以1a >第 11 页 共 11 页 （3）(1)2,2f a =∴= ()22()x x f x g x -∴==，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC = ,设01(,)B x t 则02(,)C x t0122x t t ∴=- ，又00122,2,x x t t -==02122log log x t t ∴==-212212log log 01t t t t ∴+=⇒=故存在实数12t t ，当121t t =使得四边形ABCD 为正方形.【点睛】本题考查函数奇偶性、不等式求参数范围及利用函数图象交点判断方程有解，属于中档题.。
2023年湖南省普通高中学业水平考试数学试题及答案
2023年湖南省普通高中学业水平考试数学试题及答案1. 选择题1.一条直线过点A(-1,2)且与直线y=2x垂直，求该直线方程。
A. x=2B. x=-2C. y=2D. y=-2答案：B. x=-22.已知函数y=mx-3是抛物线y=x²的切线，求m的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A. 13.若直线y=ax+b与圆x²+y²=9相切，且直线与圆的交点为(2,3)，求a+b的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C. 62. 填空题1.设直线y=kx+b与圆x²+y²-4x-2y+4=0交于点P和Q，若P(1,2)，则k的值为______。
答案：42.若集合A={x|x²-2x+1>0}，则A的解集为______。
答案：(1, +∞)3.若复数z=3+4i，则|z|的值为______。
答案：53. 解答题1.已知正方形ABCD，其边长为2，点E是边AD上的动点，连接BE并延长交边DC于F，则直线EF的方程为______。
解析：由正方形性质可知，AD垂直于DC，因此直线EF平行于直线AD。
设直线EF的斜率为k，则直线EF的方程为y=kx+b，其中b为截距。
由于点D的坐标为(0, 2)，所以直线EF过点D，将点D的坐标代入直线方程可得，2=k*0+b，即b=2。
因此，直线EF的方程为y=kx+2。
2.已知复数z满足|z-1-2i|=|z+1-2i|，求z的值。
解析：设z的实部为x，虚部为y，则可得复数z 的一般形式为z=x+yi。
将复数的一般形式代入所给的条件可得|(x+yi)-1-2i|=|(x+yi)+1-2i|，即|z-1-2i|=|z+1-2i|。
对复数的绝对值应用定义可得(x-1)²+(y-2)²=(x+1)²+(y-2)²，进一步化简可得x=-1。
因此，复数z的值为-1+yi。
2021年湖南省普通高中学业水平考试数学试题精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）2021年湖南省普通高中学业水平考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )A ．正方体B ．圆柱C ．三棱柱D ．球2．已知集合{}0,1A =,{}1,2B =,则A B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知向量(),1a x =,()4,2b =,()6,3c =.若c a b =+,则x =( )A ．10-B ．10C ．2-D ．24．执行如图所示的程序框图,若输入x 的值为2-,则输出的y =( )A ．2-B ．0C ．2D ．45．在等差数列{}n a 中,已知1211a a +=,316a =,则公差d =( )A ．4B ．5C ．6D ．76．既在函数12()f x x =的图像上，又在函数1()g x x -=的图像上的点是（ ） A ．（0,0） B ．（1,1） C ．1(2,)2 D ．1(,2)27．如图所示,四面体ABCD 中,,E F 分别为,AC AD 的中点,则直线CD 跟平面BEF 的位置关系是( )A ．平行B ．在平面内C ．相交但不垂直D ．相交且垂直8．已知()sin 2sin ,0,θθθπ=∈,则cos θ=( )A ．B ．12-C ．12D ．29．已知221log ,1,log 42a b c ===,则( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a << 10．如图所示,正方形的面积为1.在正方形内随机撒1000粒豆子,恰好有600粒豆子落在阴影部分内,则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为( )A ．45B ．35C ．12D ．25二、填空题11．已知函数()cos ,R x x f x ω=∈(其中0>ω)的最小正周期为π,则ω=______. 12．某班有男生30人,女生20人,用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务,则抽出的学生中男生比女生多______人.13．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知4a =,3b =,sin 1C =,则ABC ∆的面积为______.14．已知点()1,A m 在不等式组004x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域内,则实数m 的取值范围为______.15．已知圆柱1OO 及其侧面展开图如图所示,则该圆柱的体积为______.三、解答题16．已知定义在区间[],ππ-上的函数()sin f x x =的部分函数图象如图所示．（1）将函数()f x 的图象补充完整;（2）写出函数()f x 的单调递增区间.17．已知数列{}n a 满足13()n n a a n N *+=∈，且26a =．（1）求1a 及n a ．（2）设2n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．为了解数学课外兴趣小组的学习情况,从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析,得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数;（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人,求选出的两人来自同一组的概率.19．已知函数()22,02(1),0x x f x x m x ⎧<=⎨-+≥⎩ （1）若1m =-,求()0f 和()1f 的值,并判断函数()f x 在区间()0,1内是否有零点; （2）若函数()f x 的值域为[)2,-+∞,求实数m 的值.20．已知O 为坐标原点,点(P 在圆M :22410x y x ay +-++=上.（1）求实数a 的值；（2）求过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程；（3）过点O 作互相垂直的直线1l ,2l ,1l 与圆M 交于,A B 两点,2l 与圆M 交于,C D 两点,求AB CD ⋅的最大值．参考答案1．A【解析】【分析】主视图､左视图､俯视图是分别从物体正面､左面和上面看所得到的图形,即可求得答案.【详解】主视图､左视图､俯视图都是正方形∴该几何体为正方体故选:A.【点睛】本题主要考查了根据三视图判断其立体图形,解题关键是掌握三视图的基础知识,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.2．C【分析】根据并集定义求得A B ,即可求得答案.【详解】 {}0,1A =,{}1,2B =∴{}{}{}0,11,20,1,2A B ==∴A B 中元素的个数为:3.故选:C.【点睛】本题主要考查了并集运算,解题关键是掌握并集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.3．D【分析】因为(),1a x =,()4,2b =,()6,3c =,由向量和的坐标计算法则计算可得c a b =+,即可求得答案.【详解】向量(),1a x =,()4,2b =,(4,3)a b x ∴+=+()6,3c =且=+c a b∴46x +=可得:2x =故选: D.【点睛】本题主要考查了向量和的坐标计算法则,解题关键是掌握向量坐标运算基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.4．B【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y 的值,模拟程序的运行过程,即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是计算并输出分段函数:2,02,0x x y x x -≥⎧=⎨+<⎩ 输入x 的值为2-,20-<∴()220y =+-=故输出结果是:0.故选:B.【点睛】本题主要考查了根据框图求输出结果,解题关键是掌握框图的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.5．D【分析】利用等差数列的通项公式,即可求得答案.【详解】等差数列{}n a 中,已知1211a a +=,316a =,可得:11211216a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得:12,7a d ==故选:D.【点睛】本题主要考查了求等差数列公差,解题关键是掌握等差数列通项公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.6．B【解析】【分析】根据幂函数的性质解答。
2022年湖南省学业水平考试高二数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．B．C．D．2. 已知，则（ ）A．B．C．D．3.函数，若，则的值是（ ）A ．3或B．C ．3或D ．以上都不对4. 如图，为等腰直角三角形，为斜边上的高，点在射线上，则的最小值为（）A．B．C．D．5. 已知函数，若，且，则的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16. 已知，则=（ ）A ．-7B．C．D ．57. 已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q ，若，则（ ）．A．B ．2C．D．8. 已知全集，，，则集合是（ ）A．B．C．D．9. 下列说法正确的有（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10.如图是国家统计局于年月日发布的年月到年月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如年月与年月相比；环比是指本期与上期作对比，如年月与年月相比.下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是（ ）2022年湖南省学业水平考试高二数学试题(1)2022年湖南省学业水平考试高二数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．年月份，全国居民消费价格同比下降B ．年月至年月，全国居民消费价格环比在年月涨幅最高C ．年月至年月，全国居民消费价格同比均降低D ．年月的全国居民消费价格高于年月的全国居民消费价格11.已知两个不等的平面向量满足，其中是常数，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则或B．若，则在上的投影向量的坐标是C．当取得最小值时，D ．若的夹角为锐角，则的取值范围为12.已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ）A ．所在的平面与正方体表面的交线为五边形B ．所在的平面与正方体表面的交线为六䢍形C．长度的最大值是D．长度的最小值是13. 已知实数，满足，则的取值范围是___________.14. 已知向量，，若，方向相反，则______．15.若，其中都是实数，是虚数单位，则_____________.16. 已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示），沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面，是棱的中点（如图2所示）．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17. 某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径（单位：）数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是，样本数据分组为.已知样本中钢球直径在内的个数是20.(1)求样本容量；(2)若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数.18. 已知函数在处的切线斜率为（e为自然对数的底数）．(1)求函数的最值；(2)设为的导函数，函数仅有一个零点，求实数a的取值范围．19. 椭圆的左、右焦点分别为，是上的一个动点（不在轴上），射线，分别与交于点，记，的周长分别为，，已知．(1)求椭圆的标准方程；(2)记，，的面积分别为，，，求证：是定值．20. 如图，在多面体中，平面平面，，，，，．（1）求平面与平面所成二面角的正弦值；（2）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行．21. 在四棱锥中，底面是平行四边形，，底面，，，分别是，的中点，点在线段上.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.。
2021年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选取题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.1．已知集合M ={1,2}，N ={2,3}， 则 MUN =（ ） A {1,2} B {2,3} C {1,3} D {1,2,3} 2．已知a>b ，c R ∈，则（ ）A a+c>b+cB a c b c +<+C a c b c +≥+D a+c b c ≤+ 3．下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相似是( ) A 圆柱 B 圆锥 C 球 D 三菱柱4．已知圆C 方程为：2(1)x -+2(2)y -=4，则圆心坐标与半径分别为（ ） A （1，2），r=2 B （-1，-2），r=2 C （1，2），r=4 D （-1，-2），r=4 5．下列函数中，是偶函数是（ ） A f(x)=x B f(x)=1xC f(x)=x 2D f(x)=sinx 6．如图所示圆盘由八个全等扇形构成，指针绕中心旋转，也许随机停止，则指针停止在阴影某些内概率是（ ） A12 B 14 C 16 D 187．化简(sin α+cos α)2=（ ）A 1+sin2αB 1-sin αC 1-sin2αD 1+sin α 8．在△ABC 中，若0CA CB =，则△ABC 是（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形 9．已知函数() (01)x f x a a a =>≠且，f(1)=2，则函数f(x)解析式是（ ） A f(x)=4x B f(x)= 1()4x C f(x)=2x D f(x)=1()2x10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 对边，若A=60，b=1，c=2，则a =（ ） A 1 B3 C 2 D 7二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11 直线y=2x+2斜率是________12 已知如图所示程序框图，若输入 x 值为1，则输出和y 值是_____ 13 已知点(x ，y)在如图所示阴影 某些内运动，则z=2x+y 最大值是______14 已知向量a =(4，2)，b =（x ，3）， （13题） 若a||b ，则实数x 值为______15 张山同窗家里开了一种小卖部， （12题）为了研究气温对某种冷饮销售量影响，她收集了这一段时间内这种冷饮每天销售量y （杯）与当天最高气温x(0C)关于数据，通过描绘散点图，发现y 和x 呈现线性有关关系，并求得回归方程为y =2x+60,如果气象预报某天最高气温为340C ，则可以预测该天这种饮料销售量为____杯。
2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知函数的图像关于直线对称，则方程的解的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52. 若，则（ ）A．B．C．D．3. 如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．四棱柱4. 古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（）A．B．C．D．5. 已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ）A ．1B ．–1C ．2D ．–26. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）.A．B．C．D．7. 过双曲线(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c ，0)作其渐近线y＝x 的垂线，垂足为M ，若S △OMF ＝4(O 为坐标原点)，则双曲线的标准方程为（ ）A．B．C．D．8.已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（ ）A．B ．1C ．2D ．39.在平面直角坐标系中，，点是圆上的动点，则（ ）A．当的面积最大时，点的坐标为B．2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题三、填空题四、解答题C ．若点不在轴上，则平分D ．当直线与圆相切时，10. 数学模型在生态学研究中具有重要作用．在研究某生物种群的数量变化时，该种群经过一段时间的增长后，数量趋于稳定，增长曲线大致呈“S ”形，这种类型的种群增长称为“S ”形增长，所能维持的种群最大数量称为环境容纳量，记作K 值．现有一生物种群符合“S ”形增长，初始种群数量大于0，现用x 表示时间，表示种群数量，已知当种群数量为时，种群数量的增长速率最大．则下列函数模型可用来大致刻画该种群数量变化情况的有（ ）A．B．C．D．11. 近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为万人，从该县随机选取人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下组：、、、，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.则（）A．由直方图可估计样本的平均数约为B．由直方图可估计样本的中位数约为C ．由正态分布可估计全县的人数约为万人D ．由正态分布可估计全县的人数约为万人12. 已知高和底面边长均为2的正四棱锥，则（ ）A．B．与底面的夹角的正弦值为C．二面角的平面角的正切值为2D ．四棱锥的体积为13. 设P为内一点，且，则的面积与面积之比为 __________.14.的展开式中的系数是 ．15. 已知，数列为，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，则数列的前30项和为______．16.在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.17. 在等比数列中，且成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．18. 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．（1）共有多少个样本点？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？19. 已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．①证明：直线CD过椭圆右焦点；②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积．20. 如图甲，在直角梯形中，，，，，点在线段的垂直平分线上，为线段的中点．现将沿折起使得平面平面，如图乙，是线段的中点．(1)证明：在图乙中，；(2)若三棱锥的体积为，求实数的值．21. 已知等腰梯形ADCE中，，，，B为EC的中点，如图1，将三角形ABE沿AB折起到（平面ABCD），如图2.（1）点F为线段的中点，判断直线DF与平面的位置关系，并说明理由；（2）当的面积最大时，求的长.。
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湖南省2009年普通高中学业水平考试数学班级学号姓名一、选择题1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则A B=（）A{1}B.{2}C.{1，2}D.{-2，0，1，2}2.若运行右图的程序，则输出的结果是（）A.4，B.9C.13D.223.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（）A.31 B.41 C.51 D.614.4cos 4sinππ的值为（）A.21 B.22 C.42 D.25.已知直线l 过点（0，7），且与直线y=-4x+2平行，则直线l 的方程为（）A.y=-4x-7B.y=4x-7C.y=-4x+7D.y=4x+76.已知向量),1,(),2,1(-==x b a 若b a ⊥，则实数x 的值为（）A.-2B.2C.-1D.17.已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x 12345f(x)-4-2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为（）A.（1，2）B.（2，3）C.(3,4)D.(4,5)8.已知直线l ：y=x+1和圆C ：x 2+y 2=1,则直线l 和圆C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定9.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.xy 31(= B.y=log 3xC.xy 1=D.y=cosxA=9A=A+13PRINT A END10.已知实数x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,0,0,1y x y x 则z=y-x 的最大值为（）A.1B.0C.-1D.-2二、填空题11.已知函数f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),0(1)0(2x x x x x 则f(2)=___________.12.把二进制数101（2）化成十进制数为____________.13.在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a,b,A=600,a=3,B=300,则b=__________.14.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为_________.15.如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，若,AM AC AB λ=+则实数λ=________.三、解答题16.已知函数f(x)=2sin(x-3π),(1)写出函数f(x)的周期；（2）将函数f(x)图像上所有的点向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图像，写出函数g(x)的表达式，并判断函数g(x)的奇偶性.22233ABMC17.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理.为了较合理地确定居民日常用水量的标准，有关部门抽样调查了100位居民.右表是这100位居民月均用水量（单位：吨）的频率分布表，根据右表解答下列问题：（1）求右表中a 和b 的值；（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.18.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求异面直线BC 与PD 所成的角.分组频数频率[0,1)100.1[1,2)a 0.2[2,3)300.3[3,4)20b [4,5)100.1[5,6)100.1合计10011234560.10.20.30.4频率/组距月均用水量BCDAP19.如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米（2≤x≤6）.(1)用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y(元)表示为x(米)的函数；（3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？20.在正项等比数列{a n }中，a 1=4,a 3=64.(1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)记b n =log 4a n ,求数列{b n }的前n 项和S n ;(3)记y=-λ2+4λ-m,对于（2）中的S n ,不等式y≤S n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围.ABCD EFx2010年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学班级学号姓名一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}3,12,2,1==N M ，则N M ⋃=()A ．{}2,1B ．{}3,2C ．{}3,1D ．{}3,2,12．已知R c b a ∈、、，b a >，则（）A ．cb c a +>+B ．cb c a +<+C ．cb c a +≥+D ．cb c a +≤+3.下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．三棱锥4．已知圆C 的方程是()()42122=-+-y x ，则圆心坐标与半径分别为（）A ．()2,1，2=r B ．()2,1--，2=r C ．()2,1，4=r D ．()2,1--，4=r 5．下列函数中，是偶函数的是（）A ．()xx f =B ．()xx f 1=C ．()2xx f =D ．()xx f sin =6．如图所示的圆盘由八个全等的扇形构成，指针绕中心旋转，可能随机停止，则指针停止在阴影部分内的概率是（）A ．21B ．41C ．61D ．817．化简()2cos sin αα+=（）A ．α2sin 1+B ．αsin 1-C ．α2sin 1-D ．αsin 1+8．在ABC ∆中，若0=⋅CB CA ，则ABC ∆是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．已知函数()x f =xa （0>a 且1≠a ），()21=f ，则函数()x f 的解析式是（）A ．()x f =x4B ．()x f =x⎪⎭⎫⎝⎛41C ．()x f =x2D ．()x f =x⎪⎭⎫⎝⎛2110．在ABC ∆中，c b a 、、分别为角A 、B 、C 的对边，若︒=60A ，1=b ，2=c ，则a =（）A ．1B ．3C ．2D ．7二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．直线22+=x y 的斜率是．12．已知若图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的y 值是．13．已知点()y x ，在如图所示的阴影部分内运动，则y x z +=2的最大值是．14．已知平面向量)24(，=a ，)3(，x b =，若a ∥b ，则实数x 的值为．15.张山同学的家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了这一段时间内这种冷饮每天的销售量y （杯）与当天最高气温x （C ︒）的有关数据，通过描绘散点图，发现y 和x 呈现线性相关关系，并求的回归方程为∧y =602+x ，如果气象预报某天的最高气温为C ︒34，则可以预测该天这种饮料的销售量为杯。
三、解答题：本大题共5小题，满分40分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分6分）已知函数x A x f 2sin )(=（0>A ）的部分图像，如图所示，（1）判断函数()x f y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡434ππ，上是增函数还是减函数，并指出函数()x f y =的最大值。
（2）求函数()x f y =的周期T 。
如图是一名篮球运动员在某一赛季10场比赛的得分的原始记录的茎叶图，（1）计算该运动员这10场比赛的平均得分；（2）估计该运动员在每场比赛中得分不少于40分的概率。
18.（本小题满分8分）在等差数列{}n a 中，已知22=a ，44=a ，（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设na nb 2=，求数列{}n b 前5项的和5S .如图，1111D C B A ABCD -为长方体，（1）求证:11D B ∥平面DBC 1（2）若BC =C C 1,求直线1BC 与平面ABCD 所成角的大小.20.（本小题满分10分）已知函数()x f =()1log 2-x ,（1）求函数()x f 的定义域;（2）设()x g =()x f +a ；若函数()x g 在（2，3）有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围；（3）设()x h =()x f +()x f m，是否存在正实数m ，使得函数y =()x h 在［3，9］内的最大值为4？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
2011年湖南普通高中学业水平考试试卷数学班级学号姓名一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4,5}=A ，{2,5,7,9}=B ，则 A B 等于（）A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,5,7,9}C ．{2,5}D ．{1,2,3,4,5,7,9}2．若函数()=f x (6)f 等于（）A ．3B ．6C ．9D 3．直线1:2100--=l x y 与直线2:3440+-=l x y 的交点坐标为（）A ．(4,2)-B ．(4,2)-C ．(2,4)-D ．(2,4)-4．两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为（）A ．2:3B ．4:9C D ．5．已知函数()sin cos =f x x x ，则()f x 是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数6．向量(1,2)=- a ，(2,1)=b ，则（）A ．// a bB ．⊥ a bC ． a 与 b 的夹角为60D ． a 与 b 的夹角为307．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41=a ，则12a 的值是（）A ．15B ．30C ．31D ．648．阅读下面的流程图，若输入的a ，b ，c 分别是5，2，6，则输出的a ，b ，c 分别是（）A ．6，5，2B ．5，2，6C ．2，5，6D ．6，2，59．已知函数2()2=-+f x x x b 在区间（2，4）内有唯一零点，则b 的取值范围是（）A ．RB ．(,0)-∞C ．(8,)-+∞D ．(8,0)-10．在ABC ∆中，已知120=A ，1=b ，2=c ，则a 等于（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查.已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师人．12．3log 4的值是．13．已知0m >，0n >，且4m n +=，则mn14．若幂函数()y f x =的图像经过点1(9,3，则(25)f 15．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2- 上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如图所示，那么()f x 三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分6分）一个均匀的正方体玩具，各个面上分别写有1，2，3，4，5，6，将这个玩具先后抛掷2次，求：（1）朝上的一面数相等的概率；（2）朝上的一面数之和小于5的概率．17．（本小题满分8分）如图，圆心C 的坐标为（1，1），圆C 与x 轴和y 轴都相切.（1）求圆C 的方程；（2）求与圆C 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程．18．（本小题满分8分）如图，在三棱锥P ABC -，PC ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 、E 分别是AB 、PB 的中点．（1）求证：//DE 平面PAC ；（2）求证：AB PB ⊥．19．（本小题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()12na nb =，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．20．（本小题满分10分）设函数()f x a b =⋅ ，其中向量(cos 21,1)a x =+，2)b x m =+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4()4f x -<<恒成立，求实数m 的取值范围．2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷班级学号姓名一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知等差数列{}n a 的前3项分别为2，4，6，则数列{}n a 的第4项为（）A 、7B 、8C 、10D 、122、如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A 、球B 、圆柱C 、圆台D 、圆锥3、函数()()()21+-=x x x f 的零点个数是（）A 、0B 、1C 、2D 、34、已知集合{}{}3,,2,0,1x B A =-=，若{}2=⋂B A ，则x 的值为（）A 、3B 、2C 、0D 、-15、已知直线12:1+=x y l ，52:2+=x y l ，则直线1l 与2l 的位置关系是（）A 、重合B 、垂直C 、相交但不垂直D 、平行6、下列坐标对应的点中，落在不等式01<-+y x 表示的平面区域内的是（）A 、()0,0B 、()4,2C 、()4,1-D 、()8,17、某班有50名同学，将其编为1、2、3、、、50号，并按编号从小到大平均分成5组，现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第二组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为（）A 、14B 、23C 、33D 、438、如图，D 为等腰三角形ABC 底边AB 的中点，则下列等式恒成立的是（）A 、0=⋅CB CA B 、0=⋅AB CD C 、0=⋅CD CA D 、0=⋅CB CD 9、将函数x y sin =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin πx y B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y ADBC10、如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，A 、32B 、54C 、56D 、34二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11、比较大小：5log 23log 2（填“>”或“<”12、已知圆()422=+-y a x 的圆心坐标为()0,3，则实数13、某程序框图如图所示，若输入的c b a ,,值分别为3，414、已知角α的终边与单位圆的交点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321，，则=αcos 15、如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、C 之间的距离是100米，︒=∠105BAC ，︒=∠45ACB ，则A 、B两点之间的距离为米。