2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题
2020年湖南省普通高中学业水平考试样卷
2020年湖南省普通高中学业水平考试样卷一、选择题（共本大题10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1.下列几何体中为圆锥的是（ ）2.已知集合A a A ∈=4},,3,2,1{，则=a （ ） A.1 B.2 C.3 D.43.函数x y 2sin =的最小正周期是（ ） A.π4 B.π2 C.π D.2π 4.某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从中抽取10人参加一项活动，则抽取的男生的人数为（ ）A.5B.6C.7D.8 5.为了得到函数y =cos(x +π4)的图象，只需将y =cosx 的图象向左平移（ ） A.12个单位长度 B.π2个单位长度 C.14个单位长度 D.π4个单位长度6.已知向量)0,2(),1,1(==b a ，则=⋅b a （ ）A.0B.1C.2D.3 7.已知R c b a ∈>,，则下列不等式恒成立的是（ ）A.c b b a +>+B.bc ac >C.c b c a -<-D.22b a < 8.函数xx f 2)(=的图象大致为（ ）9.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若120,2===C b a ，则=c （ ） A.2 B.22 C.3 D.3210.已知直线043=++y x 与圆心在)0,2(的圆C 相切，则圆C 的方程为（ ） A.3)2(22=+-y x B.9)2(22=+-y x C.3)2(22=++y x D.9)2(22=++y x二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11.若则1log 2=x ,则=x13.已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1−a n =2,a n =__________________.14.若关于x 的不等式0))((≤--n x m x 的解集为}42|{≤≤x x ，则=+n m . 15.已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为___________.三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写了相应的文字说明，证明过程及演算步骤） 16.（本小题10分）甲乙两个学习小组各有7名同学，在某次数学测试中，测试成绩的茎叶图如图所示. （1）求甲组同学成绩的中位数和乙组同学成绩的众数；（2）从这次测试成绩在90分以上的学生中，随机抽取1名学生，求抽到的这名学生来自甲组的概率.17. (本小题10分） 已知α为锐角，且sinα=45（1）求cosα的值； (2)求sin(2α+π4)的值.18. (本小题10分）如图所示，三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ，AC AB ⊥. （1）求证：⊥AB 平面11A ACC ;（2）已知4,3==AC AB ，且异面直线1BB 与C A 1所成的角为 45，求三棱柱111C B A ABC -的体积.CABA 1B 1C 119. (本小题10分）已知二次函数1)1(2)(2--+=x a ax x f . （1）若)(x f 为偶函数，求a 的值；（2）判断函数)(x f 在区间)2,0(内是否有零点，请说明理由； （3）已知函数)22)((sin ππ<<-=x x f y 存在最小值)(a h ，求)(a h 的最大值.。
2020年湖南省普通高中学业水平合格性仿真考试数学试卷无答案
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2020年湖南省普通高中学业水平合格性仿真考试数学试卷
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2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷(六)(解析版)
点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．
9．已知 ， 取值如下表：
从所得的散点图分析可知： 与 线性相关，且 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a的值．
【详解】
依题意,得 (0+1+4+5+6+8)=4, (1.3+1.8+5.6+6.1++7.4+9.3)=5.25.
又直线y=0.95x+a必过中心点( ),即点(4,5.25),于是5.25=0.95×4+a,解得a=1.45.
故选B.
【点睛】
本题考查线性回归方程，利用线性回归方程恒过样本中心点是关键．
湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷
数学试题卷（六）
一、单选题
1．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）
A．圆柱B．圆锥
C．圆台D．棱锥
【答案】C
【解析】由几何体的三视图可得则该几何体为圆台，得解.
【详解】
解：由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，即选项A错误，
由俯视图可知，该几何体不可能是棱锥、圆锥，即选项B、D错误，
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求异面直线 与 所成的角的大小.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）取PD的中点H，连接AH，NH，
∵N是PC的中点，
∴NH DC.
∵M是AB的中点，且DC AB，
∴NH AM，即四边形AMNH为平行四边形．
(完整版)湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A.圆柱B.圆锥C.圆台D.球2.已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a ∉{0,1,2}，则a 的值为A.0B.1C.2D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为 A.51 B.52 C.53 D.54 4.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是A.2B.3C.4D.55.在△ABC 中，若0=⋅AC AB ，则△ABC 的形状是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 6.sin120︒的值为A.22B.－1C.23D.－22 7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BD 与A 1C 1的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直 8.不等式(x ＋1)(x －2)≤0的解集为 A.{x|－1≤x ≤2} B. {x|－1＜x ＜2}C. {x|x ≥2或x ≤－1}D. {x|x ＞2或x ＜－1} 9.点P(m,1)不在不等式x ＋y －2＜0表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。
11.样本数据－2，0，6，3，6的众数是＿＿＿＿＿＿。
12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，sinA ＝31，则sinB ＝＿＿＿＿＿＿。
13.已知a 是函数f(x)＝2－log 2x 的零点，则实数a 的值为＿＿＿＿＿＿。
14.已知函数y ＝sin ωx(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，则ω的值为＿＿＿＿＿＿。
2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题(原卷版)
湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量：120分钟，满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是A. 棱柱B. 棱台C. 棱柱与棱锥的组合体D. 不能确定 2.已知集合{}1,3A =，{}3,4B =，则A B 等于（ ） A. {}1,3B. {}3,4C. {}3D. {}1,3,4 3.若()1cos 2πα+=-，322παπ<<，则sin α=（ ） A. 12B. 3±C. 32D. 3-4.如图所示的程序框图中，输入2x =，则输出的结果是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 5.63a =，1b =，9a b ⋅=-，则a 与b 的夹角（ ）A. 120︒B. 150︒C. 60︒D. 306.已知0a >，0b >，1a b +=，则11a b +的最小值为（ ） A. -2 B. 2C. 4D. -4 7.函数()f x = ） A . (),0-∞B. [)0,+∞C. [)2,+∞D. (),2-∞ 8.经过点(02) P ，且斜率为2的直线方程为( ) A. 220x y ++=B. 220x y --=C. 220x y -+=D. 220x y +-= 9.设11333124log ,log ,log ,233a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D. b c a << 10.函数f (x )=12-cos 2π-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调增区间是( ) A. ππ2π-,2π22k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z B. π3π2π,2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z C. π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z D. πππ-,π44k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知角的终边过点(1,2)P -，则sin α的值为 ．12.若x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则xy 的最大值为_____．13.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．14.若实数x ，y 满足约束条件001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y=+的最大值为______.15.如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A 处时，经观察，在河对岸有一参照物C 与学生前进方向成30角，学生前进200m 后，测得该参照物与前进方向成75︒角，则河的宽度为______m .三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.判断函数()4f x x x =+在[]1,4上的单调性，并求函数()f x 的最大值和最小值. 17.已知23cos(),(,)41024x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.18. 如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；19.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直直线为2l .（1）求直线2l 方程；（2）求直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积．20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2*114n n S a n N =+∈. （1）求1a 、2a ； （2）求证：数列{}n a 是等差数列.。
2020年湖南省普通高中学业水平合格性仿真考试数学试卷参考答案
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2020年湖南省仿普真通考高中数学学业参水考平答合案格!性第仿!真页考试数学试卷
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2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟试题数学试题(解析版)
2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟试题数 学全卷共19小题，满分100分，考试时间为90分钟一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.2sin 22.5cos22.5︒︒的值为（ ）A.2B.4C.12D.22.已知集合{}1,0,2A =-，}3{B x =，，若{}2A B ⋂=，则x 的值为（ ） A. 3B. 2C. 0D. 1-3.函数()(1)(2)f x x x =-+的零点个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 34.函数()22log 4y x =-的定义域为（ ） A. RB. (,2)(2,)-∞-+∞UC. (,2)(2,)-∞⋃+∞D. (2,)+∞5.已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 06.已知直线l 1:y=2x+1,l 2:y=2x+5,则直线l 1与l 2的位置关系是( ) A. 重合 B. 垂直 C. 相交但不垂直D. 平行7.袋内装的红､白､黑球分别有3，2，1个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少一个白球；都白球 B. 至少一个白球；至少一个黑球 C. 至少一个白球；一个白球一个黑球D. 至少一个白球；红球､黑球各一个8．在△ABC 中，ab b c a =+-222，则角C 为（ ）A ．45°或135°B ．60°C ．120°D ．30°9.在等差数列{}n a 中，21a =，33a =，则其前10项和为（ ） A. 60B. 80C. 100D. 12010.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01A. y ＝2x －2B. y ＝12(x 2－1) C. y ＝log 2xD. y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．12.已知3a =r ，4b =r ，()(2)23a b a b +⋅+=r r r r，那么a r 与b r 的夹角为____________.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是_______________.14．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，*1,n n a S n +=∈N ，则5a =________．15．已知236()(0)1x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是___________.三､解答题（本大题共4小题，每小题10分，满分40分）16.已知函数()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 最小正周期.。
2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷(三)(解析版)
2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（三）一、单选题1．三视图如右图的几何体是A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台【答案】B【解析】根据三视图可知，该几何体底面是四边形，侧面是三角形，因此可知该几何体是四棱锥，选B2．已知集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，若A B ⊆，则a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1【答案】B【解析】根据A B ⊆可得出关于a 的等式，解出即可. 【详解】Q 集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，A B ⊆，21a ∴+=，解得1a =-.故选：B. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 3．函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，C ．5,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】D【解析】根据正弦函数的单调性，并采用整体法，可得结果. 【详解】 由()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令22,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈所以522,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 函数()f x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 故选：D 【点睛】本题考查正弦型函数的单调递增区间，重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用，使问题化繁为简，属基础题.4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.5．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）. A ．a b c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】根据所给数据，分别求出平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，然后进行比较可得选项. 【详解】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=， 中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c . 故选：B. 【点睛】本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6．已知直线a α⊂，给出以下三个命题： ①若平面//α平面β，则直线//a 平面β； ②若直线//a 平面β，则平面//α平面β；③若直线a 不平行于平面β，则平面α不平行于平面β。
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
（第3题图）俯视图侧视图正视图2020年普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）A ．8B ．2C ．-2D ．-86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15,5,25B ．15,15,15C ．10,5,30D ．15,10,207．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）A ．15 B ．14 C ．49 D ．598．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．59．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（ ） A ．22(2)(1)5x y +++= B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)10x y +++=10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）A B km C ．1.5km D ．2km（第14题图）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log 4+= .．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ．14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为 .15．已知向量a 与b 的夹角为4π，2a =，且4a b =，则b = .三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1cos ,(0,22παα=∈（1）求tan α的值；（2）求sin()6πα+的值.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．（本小题满分8分） 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.a （第17题图）FEDCBA（第18题图）已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. 20．（本小题满分10分）已知函数()22x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式12≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案一、选择题二、填空题11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=； 14； 15、 4三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>，从而cos α=（2）2sin 2cos22sin cos 12sin ααααα+=+-=17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人） 18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩ （2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)1232n n n S n +∴=++++=20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-（2）由505k k ->⇒< （3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒<112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足2014年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页时量120分钟，满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球2.已知元素{0,1,2,3}a ∈，且{0,1,2}a ∉，则a 的值为 A.0 B.1 C.2 D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为A.15 B. 25C.35 D.454.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是A.2B.3C.4D.55.在△ABC 中，若0AB AC ⋅=，则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6.sin120的值为A.22B.1-C. 32D. 22-7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线BD 与11A C 的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直 8.不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为A.{|12}x x -≤≤B. {|12}x x -<<C. {|12}x x x ≤-≥或D. {|12}x x x <->或9.点(,1)P m 不在不等式02<-+y x 表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是 A.1m < B. 1m ≤ C.1m ≥ D.1m >10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11. 样本数据2,0,6,3,6-的众数是 .12. 在ABC ∆中, 角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知11,2,sin 3a b A ===，则sin B ＝ .13. 已知a 是函数()22log f x x =-的零点, 则实数a 的值为 . 14.已知函数sin (0)y x ωω=>在一个周期内的图像如图所示，则ω的值为 .15. 如图1，矩形ABCD 中，2,,AB BC E F =分别是,AB CD 的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个二面角A EF C --（如图2）则在图2中直线AF 与平面EBCF 所成的角为 .三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分6分）已知函数,[0,2],()4,(2,4].x x f x x x∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩（1）画出函数()f x 的大致图像；（2）写出函数()f x 的最大值和单调递减区间.17.（本小题满分8分）某班有学生50人，期中男同学300人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动.（1）求从该班男、女同学中各抽取的人数；（2）从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率.18. （本小题满分8分）已知等比数列{}n a 的公比2q =，且234,1,a a a +成等差数列. （1）求1n a a 及；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前5项和5S .19. （本小题满分8分） 已知向量(1,sin ),(2,1).a b θ== （1）当6πθ=时，求向量2a b +的坐标；（2）若a ∥b ，且(0,)2πθ∈，求sin()4πθ+的值.20. （本小题满分10分）已知圆22:230C x y x ++-=. （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于1122(,),B(,)A x y x y 两点，求证：1211x x +为定值； （3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于,D E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大.参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDBBACDACA二 、填空题（每小题4分，满分20分） 11.6 12.23 13.4 14.2 15. 45（或4π）三 、解答题（满分40分）16. 解：(1)函数()f x 的大致图象如图所示; ……………………………2分 (2)由函数()f x 的图象得出,()f x 的最大值为2, ………………4分其单调递减区间为[]2,4.…………6分17. 解: (1)305350⨯=(人), 205250⨯=(人), 所以从男同学中抽取3人, 女同学中抽取2人; ……………………………………4分 (2)过程略. 3()5P A =. ……………………………………………………………………………8分18. 解: (1)12n n a -=; ………………………………………………………………4分 (2)546S =. ……………………………………………………………………………8分 19. 解: (1)()4,2; …………………………………………………………………4分 (2)264+. ………………………………………………………………………8分 20. 解: (1)配方得()2214x y ++=, 则圆心C 的坐标为()1,0-,……………………2分 圆的半径长为2; ………………………………………………………………………4分 (2)设直线l 的方程为y kx =, 联立方程组22230x y x y kx⎧++-=⎨=⎩,消去y 得()221230k x x ++-=, ………………………………………………5分则有: 1221222131x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩………………………………………………6分所以1212121123x x x x x x ++==为定值. ………………………………………………7分 (3)解法一 设直线m 的方程为y kx b =+, 则圆心C 到直线m 的距离d =所以DE =, …………………………………8分()2241222CDEd d S DE d d ∆-+=⋅=≤=,当且仅当d =即d =时, CDE ∆的面积最大, …………………………9分=解之得3b =或1b =-, 故所求直线方程为30x y -+=或10x y --=.……………………………………10分解法二 由(1)知2CD CE R ===, 所以1sin 2sin 22CDE S CD CE DCE DCE ∆=⋅⋅∠=∠≤,当且仅当CD CE ⊥时, CDE ∆的面积最大,此时DE = ………………………………………………………8分 设直线m 的方程为y x b =+ 则圆心C 到直线m的距离d =…………………………………………………9分由DE ===,得d=得3b =或1b =-, 故所求直线方程为30x y -+=或10x y --=.……………………………………10分普通高中学业水平考试数学试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
2020年湖南高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷(一)含答案
2020年湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（一）时量：90分钟，满分：100分 班级： 姓名： 学号： 得分：一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，将装有水的长方体固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A. 棱柱B. 棱台C. 棱柱与棱锥的组合体D. 不能确定2.已知集合{}1,3A =，{}3,4B =，则A B U 等于( )A. {}1,3B. {}3,4C. {}3D. {}1,3,4 3.若()1cos 2πα+=-，322παπ<<，则sin α=( ) A. 12 B. 3± C. 3 D. 3- 4.如图所示的程序框图中，输入2x =，则输出的结果是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 5.6 3.a =v ，1b =v ，9a b ⋅=-v v ，则a v 与b v 的夹角( )A. 120︒B. 150︒C. 60︒D. 30° 6.已知0a >，0b >，1a b +=，则11a b +的最小值为( ) A. -2 B. 2C. 4D. -4 7.函数()23x f x -=的定义域为( ) A . (),0-∞B. [)0,+∞C. [)2,+∞D. (),2-∞ 8.经过点(02) P ，且斜率为2的直线方程为( ) A. 220x y ++=B. 220x y --=C. 220x y -+=D. 220x y +-=9.设11333124log ,log ,log ,233a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a b c << B. c b a << C. b a c << D. b c a <<10.函数f(x)=12-cos2π-4x⎛⎫⎪⎝⎭的单调增区间是( )A.ππ2π-,2π22k k⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k∈Z B.π3π2π,2π22k k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k∈ZC.π3ππ,π44k k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k∈Z D.πππ-,π44k k⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k∈Z二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知角的终边过点(1,2)P-，则sinα的值为．12.若x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则xy的最大值为__ ___．13.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．14.若实数x，y满足约束条件1xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y=+的最大值为______.15.如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A处时，经观察，在河对岸有一参照物C与学生前进方向成30°角，学生前进200m后，测得该参照物与前进方向成75︒角，则河的宽度为______m.三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知23 cos(),(,)41024 x xπππ-=∈.（1）求sin x 的值；（2）求sin(2)3xπ+的值.17. 如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；18.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l . （1）求直线2l 的方程；（2）求直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积．19.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2*114n n S a n N =+∈. （1）求1a 、2a ；（2）求证：数列{}n a 是等差数列.2020年湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（一）答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）ADDBB CCCBC二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）25, 18, 16, 3 , ()5031+ 三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是272sin()1cos ()4410x x ππ-=--= sin sin[()]sin()cos cos()sin 444444x x x x ππππππ=-+=-+-7222241021025=⨯+⨯= （2）因为3(,)24x ππ∈，故2243cos 1sin 1()55x x =--=--=- 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-=-=- 所以中2473sin(2)sin 2cos cos 2sin 333x x x πππ++=+=-. 17. (1)证明：∵SA ⊥底面ABCD ，BDÌ底面ABCD ，∴SA ⊥BD∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD∴BD ⊥平面SAC ，又BDÌ平面EBD∴平面EBD ⊥平面SAC.(2)解：设AC∩BD ＝O ，连结SO ，则SO ⊥BD由AB ＝2，知BD ＝22SO ＝()22224232SA AO +=+= ∴S △SBD ＝12BD·SO ＝12·22·22＝6 令点A 到平面SBD 距离为h ，由SA ⊥平面ABCD, 则12·S △SBD ·h ＝12·S △ABD ·SA ∴6h ＝12·2·2·4 Þ h ＝12∴点A 到平面SBD 的距离为1218.试题分析：(1) 由直线1l ：3410x y ++=,知134l k =- 又因为1l ⊥2l ，所以121l l k k ⋅=-解得243l k =所以2l 的方程为整理得4320x y -+= （2）由2l 的方程4320x y -+= 解得，当0x =时，23y =当0y =时，12x =- 所以11212236S ∆=-⋅=，即该直线与两坐标轴围成的面积为16. 19.（1）由已知条件得：()211114a a =+.∴11a =. 又有()2122114a a a +=+，即222230a a --=. 解得21a =-（舍）或23a =.（2）由()2114n n S a =+得 2n ≥时：()211114n n S a --=+， ∴()()22111114n n n n S S a a --⎡⎤-=+-+⎣⎦ ()2211124n n n n a a a a --⎡⎤=-+-⎣⎦， 即2211422n n n n n a a a a a --=-+-， ∴2211220n n n n a a a a ---+-=， ∴()()1120n n n n a a a a ----+=， ∴120n n a a ---=即()122n n a a n --=≥， 经过验证1n =也成立， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列.。
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示的几何体是（ ）A ．圆锥B ．棱锥C ．圆台D ．棱柱2．已知向量()2,1a =，()11b =-,，若(),2a b x +=，则x =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（ ） A ．4πB ．2π C ．π D ．2π4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．15．要得到函数y =1+sin x 的图象，只需将函数y =sin x 的图象（ ） A ．向上平移1个单位长度 B ．向下平移1个单位长度 C ．向右平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度6．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n ，则a 4=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．327．已知函数2,0()0x x f x x +≤⎧⎪=>，若f (0)=a ，则f (a )=（ ）A ．4B ．2CD ．08．函数()2sin cos f x x x =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π9．用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A ．3cm 2B ．6cm 2C ．9cm 2D ．12cm 210．已知定义在[3,3]-上的函数y =f (x )的图象如图所示.下述四个结论:①函数y =f (x )的值域为[2,2]- ②函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]- ③函数y =f (x )仅有两个零点④存在实数a 满足()()0f a f a +-= 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．②④二、填空题11．已知集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，若A B ⊆，则a =______________. 12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________13．已知直线l 1:y =x ，l 2:y =kx .若l 1⊥l 2，则k =______________.14．已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，则{ a n }的前5项和S 5= __________. 15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值; （2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.17．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值.18．如图所示，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且E ，F 分别为BC ，PC 的中点.（1）求证: EF //平面P AB ;（2）已知AB =AC =4，P A =6，求三棱锥F -AEC 的体积. 19．已知函数(())x x f x a g x a -==，，其中0a >，且1a ≠. （1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式()()f x g x ≥对x ∈R 都成立，求a 的取值范围;（3）设(1)2f =，直线1y t =与()y f x =的图象交于A B ，两点，直线2y t =与()y g x =的图象交于C D ，两点，得到四边形ABCD .证明:存在实数12t t ，，使四边形ABCD 为正方形.参考答案1．D 【分析】分析几何体的结构，可得出合适的选项. 【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱. 故选：D. 【点睛】本题考查几何体的识别，属于基础题. 2．B 【分析】根据平面向量的坐标运算可求得x 的值. 【详解】已知向量()2,1a =，()11b =-,，则()()1,2,2a b x +==，因此，1x =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的坐标运算求参数的值，考查计算能力，属于基础题. 3．C 【分析】根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积. 【详解】由圆的方程知：圆C 的半径为1，所以面积2S r ππ==， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题. 4．A 【分析】直接由古典概型的概率公式求解即可 【详解】解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球，所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是13, 故选：A 【点睛】此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题 5．A 【分析】由函数图象平移原则即可知如何平移y =sin x 的图象得到y =1+sin x 的图象. 【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y =sin x 的图象向上平移1个单位可得y =1+sin x 的图象，故选：A. 【点睛】本题考查了由平移前后的函数解析式描述图象变换过程，属于简单题. 6．B 【分析】由已知可得通项公式12n n a ，即可求a 4的值.【详解】由题意a n +1=2a n 可知，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 故可得数列的通项公式为12n na ，∴3428a ==，故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列，由定义法求等比数列通项公式，进而求项，属于简单题. 7．C 【分析】先由f (0)=a ，可得2a =，从而可求出f (a )的值 【详解】解：因为f (0)=a ，代入分段函数中可得02a +=，得2a =，所以()(2)f a f ==，故选：C 【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题 8．B 【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果. 【详解】()2sin cos sin 2f x x x x ==，所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 9．C 【分析】由已知可得6x y +=，而矩形的面积S xy =，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.【详解】设矩形的长、宽分别为,x y cm ，则有2()12x y +=，即6x y +=， ∵矩形的面积Sxy =，∴2()94x y S xy +=≤= cm 2，当且仅当3x y ==时等号成立，故选：C 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题. 10．D 【分析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与x 轴交点的个数可得其零点的个数，当1a =时，可得()()0f a f a +-= 【详解】解：由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于2-，所以①错误； 由图像可知函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-，所以②正确；由图像可知其图像与x 轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误； 当1a =时，有()()(1)(1)220f a f a f f +-=+-=-+=，所以④正确， 故选：D 【点睛】此题考查函数图像的应用，考查函数的零点，单调性，考查数形结合的思想，属于基础题 11．1 【分析】由A B ⊆，得到1是方程2x a =是方程的根，代入即可求解. 【详解】由题意，集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，因为A B ⊆，所以1B ∈，即1是方程2x a =是方程的根，解得1a =， 当1a =，可得集合{}1,1b =-,此时满足A B ⊆， 所以1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题. 12．12【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可 【详解】解：因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人， 所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为151302=， 故答案为：12【点睛】此题考查分层抽样的应用，属于基础题 13．-1 【分析】由两直线垂直有斜率之积为-1，即可求k 值. 【详解】由l 1⊥l 2，知：1k =-， 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了根据直线垂直求斜率，属于简单题. 14．15 【分析】由题意可得等差数列通项公式n a n =，结合1()2n n n a a S +=可得前n 项和公式，进而求5S 即可. 【详解】由等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，知：公差1d =，∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为1(1)n a a n d n =+-=， ∴由等差数列前n 项和公式1()(1)22n n n a a n n S ++==， 即可得55(51)152S ⨯+==， 故答案为：15. 【点睛】本题考查了求等差数列前n 项和，属于简单题. 15．35【分析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可 【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)，所以3cos 5x r α===， 故答案：35【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题 16．（1）25小时；（2）0.3. 【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率. 【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数， ∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=； （2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P =⨯=. 【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题. 17．（1）6B π=，（2）f (x )的最大值为2，此时2,3x k k Z ππ=+∈【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值 【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC所以222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅ 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+， 所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈【点睛】 此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题18．（1）证明见解析；（2）4.【分析】（1）连接EF 有中位线//EF PB ，结合,EF PB 与面PAB 的关系，由线面平行的判定即可证//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G 易知FG 是三棱锥F -AEC 的高，结合已知有2ABC AEC S S=即可求三棱锥F -AEC 的体积.【详解】（1）连接EF ，在△PBC 中EF 为中位线，故//EF PB ，∵EF ⊄面PAB ，PB ⊂面PAB∴//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G ，如下图示：∵P A ⊥平面ABC ，∴FG ⊥平面ABC ，即FG 是三棱锥F -AEC 的高，又F 为PC 的中点，∴由P A =6，则32PA FG ==， 又AB =AC =4，E 为BC 的中点且AB ⊥AC ，知：44424ABC AEC S S ⨯===， ∴三棱锥F -AEC 的体积143AEC V FG S =⋅⋅=.【点睛】 本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题. 19．（1）偶函数，理由见解析；（2）1a >；（3）证明见解析 【分析】 （1）利用函数的奇偶性做出判断;（2）()()x x x f x g a a -⇔≥≥对x ∈R 都成立，可求出a 的范围（3）由(1)2f =，求出2a =，由已知AB BC =得到000222x x x -=-，求得121t t =得证.【详解】 (1) ()f x 是偶函数 ()x f x a =，))((x x f x aa f x -∴==-=,()f x ∴是偶函数 （2）))((x x f x a g a x -==，(())x x x f x g a a -≥⇔≥∴ 当1a >时0x x x x R ≥-⇒≥⇒∈ 满足题意， 当01a <<时00x x x x ≥-⇒≤⇒= 不满足题意所以1a >（3）(1)2,2f a =∴= ()22()x x f x g x -∴==，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC = ,设01(,)B x t 则02(,)C x t 0122x t t ∴=- ，又00122,2,x x t t -== 02122log log x t t ∴==-212212log log 01t t t t ∴+=⇒=故存在实数12t t ，当121t t =使得四边形ABCD 为正方形.【点睛】本题考查函数奇偶性、不等式求参数范围及利用函数图象交点判断方程有解，属于中档题.。
2020年湖南省普通高中学业水平和合格性考试仿真卷数学试题PDF版含答案
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2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷一-教师版
2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷一数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是一个（ ）A. 棱锥B. 棱台C. 棱柱D. 圆柱【答案】A 【分析】根据三视图的特征可得这是一个锥体.【详解】根据三视图，正视图和侧视图是三角形， 所以这个几何体是一个棱锥. 故选：A【点睛】此题考查三视图的辨析，关键在于根据三视图的特征准确认识几何体的特征，需要在平常的学习中熟练掌握常见几何体的三视图特征. 2.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A. {|0}A B x x =<IB. A B R =UC. {|1}A B x x =>UD. A B =∅I【答案】A∵集合{|31}xB x =<∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A3.已知cos ?tan 0θθ<，那么角θ是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角【答案】C∵cos ?tan 0θθ<，∴ 当cosθ<0，tanθ>0时，θ∈第三象限；当cosθ>0，tanθ<0时，θ∈第四象限，选C ．4.执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【详解】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =-==. 循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =-=-==； 第二次：121,1,3S a k =-+==-=；第三次：132,1,4S a k =-=-==； 第四次：242,1,5S a k =-+==-=； 第五次：253,1,6S a k =-=-==； 第六次：363,1,7S a k =-+==-=，结束循环，输出3S =.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.5.已知向量()1,2a =r，()2,3b k =r ，且()2a a b ⊥+r r r ，则实数k 的值为（ ）A. 8-B. 2-C. 1.5D. 7【答案】A 【分析】根据()2a a b ⊥+r r r ，得()20a a b ⋅+=r r r，利用向量数量积的坐标表示列等式求解即可.【详解】由题：()2a a b ⊥+r r r ，所以()20a a b ⋅+=r r r ，220a a b +⋅=r r r，()214260k ⨯+++=，解得：8k =-. 故选：A【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，根据坐标表示计算数量积，建立等式求解方程. 6.下列命题正确的是（ ）A. 1a a +的最小值是2 B. 221a a +的最小值是2 C. 1a a+的最大值是2D. 221a a+的最大值是2【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求出答案.【详解】2212a a +=…， 当且仅当1a =±时，取等号，而1a a+即无最小值，也无最大值. 故选：B.【点睛】本题主要考查的是基本不等式的应用，应用基本不等式时要注意：一正、二定、三相等，三者缺一不可，是基础题.7.已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xxx xxx f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.8.已知直线l 过点()4,3P ，圆C ：2225x y +=，则直线l 与圆C 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切【答案】D 【分析】经过计算得点()4,3P 在圆C ：2225x y +=上，所以直线l 与圆C 的位置关系是相交或相切.【详解】由题：224325+=所以点()4,3P 在圆C ：2225x y +=上，所以直线l 与圆C 的位置关系是相交或相切.故选：D【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的辨析，关键在于根据直线经过的定点的位置分析动直线与圆可能的位置关系.9.要得到函数sin cos y x x =+的图像，只需将曲线2sin y x =上所有的点（ ）A. 向左平移4π个单位长度 B. 向右平移4π个单位长度 C. 向左平移2π个单位长度 D. 向右平衡2π个单位长度 【答案】A 【分析】根据辅助角公式sin cos 2sin 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，根据函数的平移法则即可得解.【详解】由题：sin cos 2sin 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，要得到其图象，只需将曲线2sin y x =上所有的点向左平移4π个单位长度. 故选：A【点睛】此题考查函数的平移变换，根据平移前后的函数解析式分析变换方式，需要熟练掌握三角函数辅助角公式，准确进行函数图象的平移.10.在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( )A.35B.65C.125D.185【答案】C设阴影部分的面积约为S ，由几何概型可得1204200S =，解之可得． 【详解】由题意可得正方形的面积为2×2＝4，设阴影部分的面积约为S ， 则由几何概型可得1204200S =，解得S 125=故选C ． 【点睛】本题考查几何概型，考查模拟方法估计概率，属基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.函数()()cos cos 2f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为______. 【答案】π【分析】根据诱导公式和二倍角公式关系进行变换()()cos cos 2f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos sin sin 22x x x ==，即可得到函数的最小正周期.【详解】由题：()()1cos cos cos sin sin 222f x x x x x x ππ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭， 所以其最小正周期22T ππ==. 故答案为：π【点睛】此题考查求函数的最小正周期，关键在于准确使用诱导公式和二倍角公式准确进行三角恒等变换. 12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3:4:7，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中B 型号产品有28件，那么此样本的容量n 等于______.【答案】98 【分析】根据三种产品的比例关系结合样本中B 型号产品有28件，即可求解.【详解】由题：某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3:4:7， 样本中B 型号产品有28件， 所以42814n=，解得98n =. 故答案：98【点睛】此题考查分层抽样的抽样比关系，根据样本中各个层的比例与总体的比例一致，建立等量关系求解.13.如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，若AB AC AM λ+=u u u r u u u r u u u u r,则实数λ= .【答案】2试题分析：由于在△ABC 中，M 是BC 的中点，可得2AB AC AM +=u u u r u u u ru u u ur ，而AB AC AM λ+=u u u r u u u r u u u u r ，因此可知实数λ=2，故答案为2. 考点：向量的加减法的法则点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，中点公式的应用，得到2AB AC AM +=u u u r u u u ru u u ur ，是解题的关键14.若函数()2100x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则()2f = _____________． 【答案】4【分析】根据分段函数的解析式，代入2x =，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()2100x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则()2224f ==，故答案4.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中利用分段函数的解析式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15.函数f(x)＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】1(,1)3【分析】当0a =时，函数无零点，不合题意，当0a ≠，函数()12f x ax a =+-在区间()1,1- 为单调函数，结合零点的存在性定理，f(－1)f(1)<0，得a 的取值范围 【详解】当a ＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.根据零点存在性定理可得f(－1)f(1)<0，即(－3a ＋1)·(1－a)<0，所以(a －1)(3a －1)<0，解得13<a<1，所以实数a 的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】函数()y f x =的图象在区间[],a b 上是一条连续不断的曲线，若()()0f a f b <，则函数()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. (1)求n a ；(2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)13n n a -=.（2）22nn nS -=.试题分析：(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得方程组1413{81a q a q ==，解得11{3a q ==，即可写出通项公式. （2）因为3log 1n nb a n ==-，利用等差数列的求和公式即得. 试题解析：(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得1413{81a q a q ==，解得11{3a q ==，因此，13n n a -=. （2）因为3log 1n nb a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==. 考点：等比数列、等差数列.17.在直三棱柱111ABC A B C －中，13454AC BC AB AA ＝，＝，＝，＝，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥平面11BCC B ； (2)求证：1AC ∥平面1CDB . 【答案】(1)见解析.(2)见解析.【分析】(1)由底面三角形满足勾股定理得到AC BC ⊥，再由直三棱柱侧棱垂直于底面的性质得到1CC AC ⊥进而得到线面垂直；（2）通过三角形中位线的性质得到1//DE AC 进而得到线面平行. 【详解】（1）因为在ABC ∆中，3AC =，4BC =，5AB =， 所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以1CC AC ⊥，又1C C CB C =I ， 所以AC ⊥平面11BCC B（2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE .因为四边形11BCC B 为正方形，所以E 是1BC 的中点， 又因为D 是AB 的中点，所以1//DE AC . 因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB【点睛】这个题目考查了线面平行的证明以及线面垂直的证明，一般证明线面平行可以通过线线平行来证明，线线平行常见的证明方法是，构造中位线，或者平行四边形得到线线平行.18.已知向量2(2sin ,1)a x =r ，(1,1)b r =-，x R ∈.（1）当6x π=时，求下列a b rr+的坐标；（2）若函数()3f x a b =⋅+rr ，问：x 为何值时，()f x 取得最大值？最大值是多少？【答案】（1）3,02⎛⎫⎪⎝⎭；（2）当2x k ππ=+()k Z ∈时，函数()f x 有最大值为4.试题分析：（1）由x 值求出向量坐标，再由向量的坐标运算得出的坐标；也可先求的坐标,再将x 值代入求解；（2）先由向量的坐标运算,找出()f x 的具体表达式,利用三角恒等变形化简函数表达式,再由()cos y A x ωϕ=+的性质可得出函数在x 为何值时,函数取最大值. 试题解析：（1）由题知：当6x π=时，21(2sin,1)(,1)62a π==r ，∴113(,1)(1,1)(1,11)(,0)222a b +=+-=+-=rr .2()3(2sin ,1)(1,1)3f x a b x =⋅+=⋅-+rr ，∴2()2sin 133cos 2f x x x =-+=- 当22x k ππ=+，即2x k ππ=+()k Z ∈时，函数()f x 有最大值为4.考点：1.向量的坐标运算；2.三角恒等变形；3.三角函数()cos y A x ωϕ=+的性质.【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算,三角恒等变形,及三角函数性质.平面向量集数形一体,是沟通代数,几何与三角函数的一种非常重要的工具.解决向量与三角函数知识综合题的关键是把向量关系转化为向量的有关运算,再进一步转化为实数运算（即坐标运算）,进而利用三角函数的知识解决问题.求三角函数的最值时应该注意角的范围.求应该结合图象求解,不要误认为最值一定在端点处取得. 19.高二某班某同学用“五点法”画函数()()sin f x A x =+ωϕ（0>ω，2πϕ<）某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据如表：（1）写出函数()f x 的解析式，并将表格数据补充完整； （2）求()f x 最小正周期及单调增区间. 【答案】（1）()5sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，表中空格应填712π，0，1312π；（2）最小正周期为π，单调增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ..【分析】（1）根据表格得出5A =，根据周期求出22T πω==，根据顶点坐标求6πϕ=-，即可得出解析式和表格中的空余部分； （2）结合（1）求出的解析式，求出周期，令222262k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z 求解单调区间. 【详解】解：（1）由表中数据知5A =，52632T πππ=-=， 所以T π=，所以22T πω==； 令232ππϕ⋅+=，解得6πϕ=-；所以()5sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； 令26x ππ-=，解得712x π=，此时()0f x =. 令226x ππ-=，解得1312x π=. 故表中空格应填：712π，0，1312π. （2）由()5sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭知，()f x 的最小正周期为T π=； 令222262k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，233k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z .所以()f x 的单调增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 【点睛】此题考查根据函数图象求解函数解析式，根据函数解析式求最小正周期和利用整体代入法求单调增区间，需要熟练掌握三角函数的性质.20.已知点()2,2P -在圆O ：222x y r +=（0r >）上，直线l 与圆O 交于A ，B 两点. （1）r =______.（2）如果PAB ∆为等腰三角形，底边AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）r =（2）20x y -+=，20x y --=.【分析】（1）根据点在圆上，代入计算即可求得半径；（2）结合几何关系有PO AB ⊥，设直线l 的方程为y x m =+，根据弦长建立等量关系解方程即可得解.【详解】解：（1）因为点()2,2P -在圆O ：222x y r +=（0r >）上，所以r =（2）因为PAB ∆为等腰三角形，且点P 在圆O 上，所以PO AB ⊥.因为PO 的斜率20120k -==---， 所以可设直线l 的方程为y x m =+. 由22,8,y x m x y =+⎧⎨+=⎩得222280x mx m ++-=. ()2224886440m m m ∆=-⨯-=->，解得44m -<<.设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，可得1,2x ==.所以12AB x =-==解得2m =±.所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y --=.【点睛】此题考查根据直线与圆的位置关系求解直线方程，关键在于熟练掌握圆的几何特征，根据直线和圆的方程计算求解.。
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2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 如图所示的几何体是（）
A．圆锥B．棱锥C．圆台D．棱柱
2. 已知向量，，若，则（）A．B．C．D．
3. 圆C: x2+y2= 1的面积是（）
C．πD．2π
A．B．
4. 盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（）
D．1
A．B．C．
5. 要得到函数y=1+sin x的图象，只需将函数y=sin x的图象（）A．向上平移1个单位长度B．向下平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度
6. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n，则a4=（）
A．4 B．8 C．16 D．32
7. 已知函数，若f(0)=a，则f(a)=（）
A．4 B．2 C．D．0
8. 函数的最小正周期是（）
B．C．D．
A．
9. 用12cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是
（）
A．3cm2B．6cm2C．9cm2D．12cm2
10. 已知定义在上的函数y =f(x)的图象如图所示.下述四个结论:
①函数y=f(x)的值域为
②函数y=f(x)的单调递减区间为
③函数y=f(x)仅有两个零点
④存在实数a满足
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②B．②③C．③④D．②④
二、填空题
11. 已知集合，若，则______________.
12. 某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________
13. 已知直线l1:y=x，l2:y=kx.若l1⊥l2，则k=______________.
14. 已知等差数列{a n}满足a1=1，a2=2，则{ a n }的前5项和S5= __________.
15. 已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.
三、解答题
16. 2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;
（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.
17. 如图所示，△ABC中，AB=AC=2，BC=2.
（1）求内角B的大小;
（2）设函数f(x)=2sin(x+B)，求f(x)的最大值，并指出此时x的值.
18. 如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F分别为BC，PC的中点.
（1）求证: EF//平面PAB;
（2）已知AB=AC=4，PA=6，求三棱锥F-AEC的体积.
19. 已知函数，其中，且.
（1）判断的奇偶性，并说明理由;
（2）若不等式对都成立，求a的取值范围;
（3）设，直线与的图象交于两点，直线与的图象交于两点，得到四边形ABCD.证明:存在实数，使四边形为正方形.。