第五讲运动基本概念、运动的合成与分解

第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解

5、如图所示，有一河面宽L=1km ，河水由北向南流动，流速v=2m/s ，一人相对于河水以u=1m/s 的速率将船从西岸划向东岸。

（1）若船头与正北方向成α=30°角，船到达对岸要用多少时间？到达对岸时，船在下游何处？

（2）若要使船到达对岸的时间最短，船头应与岸成多大的角度？最短时间等于多少？到达对岸时，船在下游何处？

（3）若要使船相对于岸划行的路程最短，船头应与岸成多大的角度？到达对岸时，船在下游何处？要用多少时间？

（1）船头与正北方向成15°角，船到对岸花多少时间？何处？

（2

已知水流速度 V ＝2m/s ，船在静水中的速度是 V`＝S ＝1千米＝1000米

（1）当船头与正北方向成15°角时，把静水中的航速V`正交分解在平行河岸与垂直河岸方向，

垂直河岸方向的速度分量是 V`1＝V`*sin15°＝1.5*sin15°＝1.5*根号[(1－cos30°) / 2 ]＝0.388m/s

平行河岸方向的速度分量是 V`2＝V`*cos15°＝1.5*cos15°＝1.5*根号[(1＋cos30°) / 2 ]＝1.45m/s

船过河所用时间是 t1＝S / V`1＝1000 / 0.388＝2575.8秒＝42.93分钟 在沿河岸方向的总速度是 V 岸＝V －V`2＝2－1.45＝0.55 m/s

在这段时间内，船向下游运动距离是L1＝V 岸* t1＝0.55*2575.8＝1416.7米＝1.42千米

即船到达对岸的位置是在出发点的下游1.42千米远的对岸处。

（2）要求时间最短，船头的指向必须与河对岸垂直，即船头与河岸应90度。 最短时间是 t 短＝S / V`＝1000 / 1.5＝666.67秒＝11.11分钟

在这段时间内，船向下游运动的距离是 L ＝V* t 短＝2*666.67＝1333.33米＝1.33千米

即船到达对岸的位置是在出发点的下游1.33千米远的对岸处。

北

东

【例题1】如图所示，两个边长相同的正方形线框相互叠放，且沿对角线方向，A 有向左的速度v ，B 有向右的速度2v ，求交点P 的速度。

【例题2】一人以7m/s 的速度向北奔跑时，感觉风从正西北方向吹来，当他转弯向东以1m/s 的速度行走时，感觉风从正西南方向吹来，求风速。

以自学伽利略变换系，很简单的，主要因为这些都是向量运算，高中阶段可能不好理解，我以坐标系的坐标式表示 第一次人的速度(0,7)，风相对人的速度为(b,-b) 推得风速为(b,7-b)第二次 人的速度为 (1,0)

v

2v

A

B

P

风

相对人的速度为(a,a) 推得人的速度为(1+a,a)

解方程组就行了，可得(4,3) 风速大小就是5了，方向为arctan(3/4)

【例题3】 一人站在到离平直公路距离为d=50m 的B 处，公路上有一汽车以v 1=10m/s 的速度行驶，如图所示。当汽车在与人相距L=200m 的A 处时，人立即以v 2=3m/s 的速率奔跑。为了使人跑到公路上时，能与车相遇。问：（1）人奔跑的方向与AB 连线的夹角θ为多少？（2）经多长时间人赶上汽车？（3）若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇，最小速度为多少？

如图所示，一个人站在距离平直公路h=50m 远的B 处，公路上有一辆汽车以v 1=10m/s 的速度行驶．当汽车与人相距L=200m 的A 处时，为了使人跑到公路上时能与车相遇，人的速度至少为多大？此时人应该沿哪个方向运动？

用α表示人看到汽车的视线与人跑动的方向之间的夹角，θ表示视线与公路间的夹角． 设人从B 处跑到公路上的D 处与汽车相遇，所用的时间为t ， 对△ABD 有：AD=v 1t ，BD=v 2t ，AB=L ，∠ABD=α，sin θ= h L

d A

β

v 1

据正弦定理列式可得：AD

sinα

= BD

sinθ

，

即

v1t

sinα

=

v2t

sinθ

，

v2=

sinθ

sinα

v1=

hv1

Lsinα

要使人的速度最小，sinα应该最大，即α=90°，

v2=

hv

1

L

=

50×

10

200

=2.5m/s．

人应该沿垂直AB方向运动．

答：人的速度至少为2.5m/s，人应该沿垂直AB方向运动．

【练习】1、一艘船在河中逆流而上，突然一只救生圈掉入水中顺流而下。经过t0时间后，船员发现救生圈掉了，立即掉转船头去寻找丢失的救生圈。问船掉头后要多长时间才能追上救生圈？

某传在静水中的速度为54KM\H，现在流速为5M\S的河水中逆流而上，在A处船尾的救生圈掉入水中，半小时被船员发现并立即掉头追赶，问追上时的地方离A处有多远？

以河水为参照物，救生圈掉入水中半小时后被发现开始掉头追赶，由于船与河水的相对速度一定，所以掉头追赶的时间等于发现救生圈掉落掉头时的时间等于半

小时。

这样，从救生圈从A 处掉落到船掉头追上累计用时：0.5+0.5=1小时

1小时的时间救生圈随河水漂流的距离=v 河水*t=5*3600=18000米=18km

答：追上时的地方离A 处18km

2、平面上有两直线夹角为θ（θ<90°），若它们各以垂直于自身大小为v 1和v 2的速度在该平面上作如图所示的匀速运动，试求交点相对于纸面的速率和相对于每一直线的速率。

第二题：

经过时间t 以后，交点的竖直位移是v2t ，水平位移是

合位移是s=t√(v2)^2+(v2/tanα+v1/sinα)^2。 下面算根号里边的部分： (v2)^2+(v2/tanα)^2=(v2/sinα)^2，

所以根号里边的部分等于(v1/sinα)^2+(v2/sinα)^2+[2v1v2cosα/(sinα)^2]， 所以交点速度v=s/t=√(v1/sinα)^2+(v2/sinα)^2+[2v1v2cosα/(sinα)^2]。

先算相对于L2的速度：

因为L2是水平的，交点的水平位移是v2t/tanα+v1t/sinα，

所以v2’=v1/sinα+v2/tanα=(v1+v2cosα)/sinα，根据对称性，交换一下v1

和v2， 就是v1‘=v1/tanα+v2/sinα=(v1cosα+v2)/sinα。

3、如图所示，一辆汽车以速度v 1在雨中行驶，雨滴落下的速率v 2与竖直方向偏前θ角，求车后一捆行李不会被雨淋湿的条件。

1． 如图，一辆汽车以速度v 1与竖直方向偏前θH

L

θv θv v ≥

cos sin 221-

4、如图所示，AA 1和BB 1是两根光滑的细直杆，并排固定于天花板上，绳的一端拴在B 点，另一端拴在套于AA 1杆中的珠子D 上，另有一珠子C 穿过绳及杆BB 1以速度