到生活中学数学 在生活中用数学

到生活中学数学在生活中用数学

——《黄金分割——一个有趣的数学问题》课堂教学与评析

新课程标准确定了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的新目标。新课标指出：“数学学习活动要通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策。”“认识体验数学活动充满着探索与创造，感受其中的数学思想方法，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。”“认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用，领略数学命题和数学方法的美学价值。”

要使上述教学新理念在教学中得到落实，除了认真研读《数学课程标准》，更重要的是要领会新教材的精神和内涵，结合教学实际机动灵活的实用教材，要敢于创新。基于此想法，笔者在执教九年义务教育四年制人教版《几何》第二册§5.1节《黄金分割》一课时做了一些尝试，本节课教学内容是在课本中该内容是分成了两个部分出现的：第一部分是课本P159的一个定义；第二部分是课本的P176“读一读”内容在教材中虽然不占有重要地位，但它与以后学习的正五边形有联系，现将教学过程实录如下。

Ⅰ、创设情景、激发兴趣

[教师]1、来自生活的问题:

①你看过文艺晚会吗?主持人是站在舞台中央报幕的吗?为什么?

②外界温度是多少时身体感到最舒适？为什么?

[学生1]：略

（来自生活的问题贴近生活、激发学生好奇心，回答不完整也没关系。重在引起学生注意，激发学习兴趣。）

[教师] 2、实例估算：

①向日葵花盘，有两组螺旋线，一组顺时针盘绕，另一组逆时针盘绕，彼此相嵌。不同品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但不会超出34和55、55和89或者89和144这三组数字。求第一组数的比值。

②五星红旗通用尺度有如下一种：宽64厘米，长96厘米。求宽与长的比值。

③维纳斯雕像高约204厘米，下身长（肚脐以下）约126厘米。求下身与身高的比值。（均保留三位有效数字）

[学生2]：略

[教师]这几组比值都接近0.6，这是巧合还是隐藏着一定的规律？今天这节课我们就来揭示其中的奥秘。

（教师引导学生有意识地进行简单的数据估算。根据数据作出判断与预测，让学生大胆地猜测。通过实例的估算，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯，培养学生直觉思维能力，从而提出疑问，激发学生的求知欲。）

Ⅱ、导入新课、探索新知

课题：黄金分割——一个有趣的数学问题

[教师]问题的历史背景：

在2000多年前希腊学者欧多克斯(公元前408年—公元前355年),提出这样一个问题:能否将一条线段分为不相等的两部分,使较长的部分为原线段和较短线段的比例中项? 这一问题被后人称为黄金分割。

（让学生了解黄金分割问题的历史，建立数学模型进而解决问题，增强求知的欲望。）

[讲授新课]

[教师]1、黄金分割的定义；

图1

定义:如图，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做AB的黄金分割点.

（通过课件，直观地将黄金分割的定义展示在学生面前，让学生运用图形直观形象地描述问题，利于问题思考。）

[教师]2、长度为1的线段黄金分割点的具体位置在哪？

（老师提出问题：黄金分割点的代数找法，让学生自己探求结果。）

如图：点C是AB的黄金分割点,如果AB=1,

那么点C 在AB的什么位置?

图2

[学生3] 解：不妨设AC=x，则BC=1–x

∵C是AB的黄金分割点, ∴AC2=BC·AB

∴得方程：x2=1-x即: x2+x-1=0

解这个方程得：x=∴AC=

那么从上面的题解不难发现:

点C的位置是可以确定的.由计算的结果得AC=AB≈0.618AB.

所以0.618被人们称之为黄金分割数. 点C称为是线段AB的黄金分割点。

[教师]3、黄金分割点的作法:

那么怎样把一条线段黄金分割呢?你能用尺规作图的方法找出一条线段的黄金

分割点吗？

（老师设疑：黄金分割点的几何找法。对问题进行更深层次的讨论，引起学生思考探究问题，满足学生的好奇心，促进学生智能的发展。）

[课件] 黄金分割点的尺规作图演示：

图3

[老师]已知：线段AB求作：AB的黄金分割点

作法：(1)过点B作BD⊥AB,使2BD=AB

(2)连结AD,在DA上截取DE=DB

(3)在AB截取AC=AE

点C就是线段AB的黄金分割点

（多媒体课件的动画演示：黄金分割点的尺规作图。通过电脑动画演示作图过程，给学生以具体化、形象化的展示，增强对黄金分割点作图的感性认识，加深印象，使知识掌握更加牢固）

[老师]为什么按照上述做法可得到线段AB的黄金分割点？能说出理由吗？

[学生4]证明：证明：设AB=a，则BD=DE=a

在Rt△ABD中根据勾股定理得：AD=

∴AC =—a = a

∴BC=a∴AC2=AB·BC即点C是AB的黄金分割点。

（学生板演给其他同学做示范。老师点评时要注重引导学生思思路，注意规范书写及逻辑推导的严谨性）

Ⅲ、检测反馈、应用新知

巩固练习：（略）

创新练习：

科学家研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某女士身高为158cm，下肢长为95cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为cm。（精确到0.1cm）

（巩固练习是检验学生的基础知识是否掌握，也为了使新知达到熟练程度。创新练习是是学生将知识形成技能技巧，发展智力的重要手段。能否活学活用解决生活中的问题，体现数学的应用价值。）

Ⅳ、网络查询、相关应用

互联网搜索引擎google、百度（baidu）

（通过上网查询与黄金分割相关的网页，教给学生通过互联网查找相关知识的方法和技巧，让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、学会查找资料，学习、学会筛选有价值的信息。）

[教师]在搜索栏内键入“黄金分割”，然后搜索，会发现相关网页。

（让学生根据自己事先搜集的资料交流！）

[学生5] 0.618——神奇的黄金数

若点C把线段AB分割成AC、CB两段，(AC>BC）若AB：AC=AC：CB，即AC2=AB?BC，当AB=1时，可得AC≈0.618。由于0.618有许多极为宝贵的性质，因此人们珍惜地称之为黄金分割数，称点C为黄金分割点，把这种分割称为黄金分割，它在社会各领域内被人们广泛地应用。

黄金分割在艺术和生活中的应用

画家及雕塑家研究发现，人体上有很多黄金分割点：当人的两手向左右两边伸直，肩胛是黄金分割点；嘴是鼻至下颏的黄金分割点；鼻尖是嘴和眉心的黄金分割点；眼睛是头的上下部的黄金分点……意大利画家达?芬奇发现，人的肚脐约位于身长的0.618处。雕塑家、画家