概率论高等数学习题解答(可编辑修改word版)

2 ⎪

⎨ ⎪

1 算了一次）或C 1

5 1种，故 P 1 2 2 ,其他结果类似 ⎩

习 题 二

（A ）

三、解答题

1. 一颗骰子抛两次，以 X 表示两次中所得的最小点数

(1) 试求 X 的分布律； (2) 写出 X 的分布函数．

解: (1)

分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共 36 种，如果 X=1，则表明两次

中至少有一点数为 1，其余一个 1 至 6 点均可，共有C 1 ⨯ 6 -1（这里C 1 指任选某次点

2

2

数为 1，6 为另一次有 6 种结果均可取，减 1 即减去两次均为 1 的情形，因为C 1 ⨯ 6 多

⨯ + { = } = C 1 ⨯ 6 -1 = C 1

⨯ 5 + 1 =11

可得. (2)

2

⎧ 0 于 x < 1

36 36 36 ⎪P {X = 1}于1 ≤ x < 2 ⎪P {X = 1} + P {X = 2} 于 2 ≤ x < 3 F (x ) = ⎪

P {X = 1} + P {X = 2} + P {X = 3} 于 3 ≤ x < 4

⎪P {X = 1} + P {X = 2} + P {X = 3} + P {X

= 4}于 4 ≤ x < 5 ⎪P {X = 1} + P {X = 2} + P {X = 3} + P {X = 4} + P {X = 5}于 5 ≤ x < 6 ⎪

于 x ≥ 6

X

⎪ ⎨36 ⎪36 k !

= 10

⎧ 0 于 ⎪11

x < 1 ⎪ 于1 ≤ x < 2 ⎪36 ⎪ 20

于 2 ≤ x < 3 ⎪36 = ⎪ 27 于

⎪ ⎪32 于

⎪

3 ≤ x <

4 4 ≤ x <

5 ⎪35 于 5 ≤ x <

6 ⎪36 ⎪

⎩1 于 x ≥ 6

2. 某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各 5 只，抽奖者交纳一元钱后得

到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出 5 只球，若 5 只球同色，则获奖 100 元，否则无奖， 以 X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求 X 的分布律．

解：

- 1

9

9

i

注意，这里 X 指的是赢钱数，X 取 0-1 或 100-1，显然 P {X = 99} =

2 1 .

5 12

6 3 k

．设随机变量 X 的分布律为 P {X = k } = a k ! , k = 0,1,2, ;

> 0 为常数，试求常数 a ．

∞

k

-

-

解：因为∑ a

= ae k =0

= 1 ，所以

a = e .

4．设随机变量 X 的分布律为

X -1 2 3 p i

1/4

1/2

1/4

(2) 求 P {X ≤ 1}， P {3 < X ≤ 5}， P {2 ≤ x ≤ 3} ．

2 2 2 解：

C

2

2 2

22 22i 2 ∞ ⎭ - ⎪ 0于

x -1

0于 1 x -1

(1) P { X 1}于 F ( x ) x 2 于 4 x 2 ， P { X } P { X 2}于 2 x 3

3于2 x 3 1于 x 3

4 1于

x 3

⎧ ≤ 1 ⎫ = p {X

= -1} = 1 、 P ⎧ 3 < X ≤ 5 ⎫ = P {X = 2} = 1 ,

(2) P ⎨X ⎬

⎩ ⎭ ⎨ ⎬ 4 ⎩ ⎭

2 P {2 ≤ X ≤ 3} = P {{X = 2} {X = 3}} = P {X = 2}+ P {X

= 3} = 3

. 4

5. 设随机变量 X 的分布律为 P {X = k } =

1 , k = 1,2, 求： 2

k

(1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5} (3) P {X = 3 的倍数}

解：(1) P {X = 于于

} = 1

+ 1 + + 1

⎛ 1 ⎛ 1 ⎫ ⎫

1 ⎪ + = lim ⎝ ⎭ ⎪ = 1 ，

22 24 22i

i →∞ ⎝

1 ⎪ 3 2

2 ⎪

(2) P X 1 X 1 1 1

1 1

1 15 1 ， 2

2 1

⎡ 23

⎛ 1 ⎫i ⎤ 24 16 16

3 ⎢1 - 3 ⎪ ⎥ (3) P {X = 3于于于

}= ∑ 1 = lim 2 ⎢⎣ ⎝ 2 ⎭ ⎥⎦ = 1 . i =1 23i i →∞

1 -

1 7 23

6. 某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为 0.5t 的泊松分

布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）

(1) 求某一天中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率． (2) 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到一次紧急呼救的概率． 解：

(1) X ~ P (0.5t ) = P (1.5) P {X = 0}= e -1.5 .

(2) 0.5t = 2.5

P {x ≥ 1}= 1 - P {x = 0}= 1 - e -2.5 .

7. 某人进行射击，每次射击的命中率为 0.02，独立射击 400 次，试求至少击中 2 次的概率．

1 -