最新结构化学作业解答(第二章)电子教案

1 r2
r
r 2
r
1
s
e2 4
0
r
1
s
h2 8 2m
1 r2
2 r
r
1s
r2
2 r 2
1s
e2 4 0 r
1s
h2 8 2m
1 r2
2
r
a e 1 2
5 2
r a0
0
r 2
a e 1 2
7 2
r a0
0
4
e2
0
r
1
s
r a0
h 2 r 2a0
8
2 mra
2 0
e2 4 0 r
10 11 m
2.184 10 18 J 4.363 10 18 J 2.18 10 18 J
^
M21s
2h2si1nsinsi1n222a03
e 1/2 r/a0
01s
所以 : M20
M0
（b）对氢原子， V r1 ，故：
T 1 V 2
E1s T
V
1 V 2
V
1 V 2
V 2E1s 2 13.6eV 27.2eV
[解]：（a）能量平均值
E ci2Ei c12E1c22E2c32E3
i
c1213.6212 eVc2213.6212 eVc3213.6312 eV
13.6 4
c12c22
eV193.9c32eV
能量-3.4eV出现的概率为：
c12 c22 c12 c22 c32
c12 c22
（b）
M ci2 Mi c12 M1 c22 M2 c32 M3
结构化学作业解答(第二章)
[2.8] 已知氢原子的归一化基态波函数为：
1s
a03
1 2
expar0
（a）利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量；
（b）利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。
[解] （a）
^
H 1S
h2 8 2m
1 r2
r
r
2
r
e2 4 0源自文库r
1s
h2 8 2m
i
c12
l1l1
1
h
2
c22
l2l2
1
h
2
c32
l3l3
1
h
2
c12
111
h
2
c22
111
h
2
c32
111 h
2
2h
2
c12 c22 c32
角动量为1.414h/2π出现的概率为
（c）
M z ci2 M zi
i
c1 2c2 2c3 21
c12m1
h 2
c22m2
h 2
c32m3
2r
D1s
4r
2
2 1s
4
a
0
3
r
2
e
a0
令
d dr
D1s
0
d dr
2r
4a03r
2e
a0
2r
4a03
2re
a0
2r 2 a0
2r
e a0
2r
8a03re a0
1
r a0
0
D1s在r=a0处有极大值，a0称为H原子的最可几半径，也常成为 玻尔半径。核电荷为Z的单电子“原子”，1s态最可几半径 为a0/Z。
(e) 节面的个数、位置和形状怎样？
(f) 概率密度极大值的位置在何处？
(g) 画出径向分布示意图。
[解] （a）原子轨道能为：E 2 .1 8 1 1 0 J 82 1 2 5 .4 5 1 1 0 J 9
（b ）轨道角动量为： M ll12h 22h
轨道磁矩为： ll1e2e
（c）
cosMz 02h 0
M
22h
90
（d） r2 * P Zr ^ 2 p zd 0 0 0 2 2 2 p zrr 2 sid nd rd
（e）n-1=2-1=1，令 2pz
（f）概率密度为：22pz
0, 90
312a0 3ar02ear0 co2s
ksin 0 , 0 , 1 80
d d rd d r 31 a 2 0 3 a r0 2e a r0 31 a 2 0 5r e a r0 2a r0 0
T 1 V 1 27.2eV 13.6eV
2
2
[2.9]已知氢原子的
2pz
4
21a0 3ar0exp2ra0cos
试回答下列问题:
(a) 原子轨道能E=?
(b) 轨道角动量|M|=？轨道磁矩|μ|=？
(c) 轨道角动量M和z轴的夹角是多少度？
(d) 列出计算电子离核平均距离的公式。
h 2
c12
0
c22
1
c32
1
h 2
c22 c32
h 2
角动量z轴分量h/π出现的概率为0。
[2-11] 作氢原子的ψ21s-r图及D1s-r图，证明D1s极大值在 r=a0处，并说明两种图形不同的原因。
解：氢原子的： 1s
a
3 0
e 1 2
r a0
2 1s
a
3 0
e 1
2r a0
r 2a0
d2
dr2
0
r2a0
m
3
1
2a03
2a0 a0
2e2aa00
e2
8a03
36.4nm3
（g） D 2pz r2R2r2216a 105 2r e2ra0221a 40 5r4ear0
[2.10] 对氢原子，ψ=c1 ψ210+c2 ψ211+c3 ψ31-1，所有波函 数都已归一化。请对ψ所描述的状态计算： （a）能量平均值及能量为-3.4eV出现的概率； （b）角动量平均值及角动量为1.414h/2π出现的概率； （c）角动量在z轴上的分量的平均值及角动量z轴分量h/π 出现的概率。
ML
LL1 h
2
2h
2
LL1e 2e
[2.17] 用slater法计算Be原子的第一到第四电离能,将计算
结果与Be的常见氧化态联系起来。
[解]：
I1
13.59e5V40.852220.352
240.8522
22
7.87e1V
I2 13.59e5V40.28252217.98eV
I3 13.59e5V40.3221615.48eV
两种图形的不同的原因是其物理意义不同，一个是电子在空间 某点出现的概率密度，另一个是在两个球壳内找到电子的概 率。
[2.13] 计算其激发态(2s)1(2p)1的轨道角动量和磁矩。
[解]：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）Ⅲ（本征函数， 本征值和本征方程），得：
He原子激发态(2s)1(2p)1角动量加和后L=1，故轨道角动量和 轨道磁矩分别为：
I4 13.59e5V42 21.75eV
[2.18] 用式 有效半径r*。
r*
n2 Z*
a0
计算Na原子和F原子的3s和2p轨道的
[解]：
1s
8
h2
2
ma
2 0
e2 4 0 a 0
1s
所以：
h2
e2
E1
8
2
ma
2 0
4 0a0
6.6262 10 34 J s 2 8 2 9.1095 10 31 kg 5.2917 10 11 m 2
4
8.8542
1.6022 10 12 C 2
10 19 C 2 J 1 m 1 5.2917