第13章 计算流体力学CFD(5)复习课程
计算流体力学(CFD)文档——5. The momentum equation
5. THE MOMENTUM EQUATION SPRING 20115.1 Scalar-transport equations for momentum 5.2 Pressure-velocity coupling 5.3 Pressure-correction methods Summary Examples5.1 Scalar-Transport Equations for MomentumEach momentum component satisfies its own scalar-transport equation. For one cell:sourcediffusion advection change of rate VS AC V t faces=−φ+φ∑)()(d d (1) where C is the mass flux through a cell face.For momentum:concentration, φvelocity component (φ = u , v or w ) diffusivity, viscosity, source non-viscous forcesHowever, the scalar-transport equations for momentum differ in three important ways from those for passive scalars because they are: • non-linear; • coupled; • also required to satisfy a second condition: mass conservation.For example, the x -momentum flux through an x -directed face is u uA Cu )(= Mass flux C is not constant but changes with u . The momentum equation is therefore non-linear and must be solved iteratively .Similarly, the y -momentum flux through an x -directed face is v uA Cv )(=The v equation depends on the solution of the u equation (and vice versa). Hence, the momentum equations are coupled and must be solved together .Pressure also appears in each momentum equation. This further couples the equations and demands some means of determining pressure. Mathematically, this is linked to the requirement of continuity (mass conservation) • In compressible flow, continuity provides a transport equation for density ().Pressure is obtained by solving an energy equation for temperature (T ) and then using an equation of state (e.g., p = RT ). • In incompressible flow, density variations (if there are any) are, by definition, notdetermined by pressure. A pressure equation arises from the requirement that the solutions of the momentum equations are also mass-consistent . In other words,mass conservation actually leads to a pressure equation! uAIn many incompressible-flow codes mass and momentum equations are solved sequentially and iteratively according to the following pseudocode. We call this a segregated approach.In compressible-flow codes the main fluid variables are assembled together and solved as a vector; e.g. (, u , v , w , e ). This is called a coupled approach, but won’t be followed here.5.2 Pressure-Velocity CouplingQuestion 1. How are velocity and pressure linked? Question 2. How does a pressure equation arise?Question 3. Should velocity and pressure be co-located (stored at the same positions)? 5.2.1 Pressure-Velocity LinkageIn the momentum equation, pressure forces appear as a source of momentum ; e.g. in the x -momentum equation:A p p force pressure net e w )( −=The discretised momentum equation is of the formforces other )(+−=−∑434214434421forcespressure e w fluxnet F F F P P p p A u a u a (2)Hence,L +−=)(e w P P p p d u where PP a Ad =(3)Answer 1(a) The momentum equation links velocity and pressure.(b) Velocity depends on the pressure gradient or, when discretised, onthe difference between pressure values ½ cell either side .momentum equation → L +−=)(e w P P p p d uorL +−=p d uwhere ∆ indicates a centred difference (“right minus left”).p eSubstituting for velocity in the continuity equation,LL L+−+−=+−−−=+−=E E p p W W P W w E P e w e p a p a p a p p Ad p p Ad uA uA )()()()()()(0This has the same algebraic form as the scalar-transport equations.Answer 2The momentum equation gives a link between velocity and pressure which, when substituted into the continuity equation, gives an equation for pressure .The posh version of this is …A pressure equation arises from the requirement that solutions of the momentum equation be mass-consistent.5.2.2 Co-located Storage of VariablesInitially, suppose that pressure and velocity are co-located (stored at the same positions) and that advective velocities (the cell-face velocities used to calculate mass fluxes) are calculated by linear interpolation.In the momentum equation the net pressure force involves)()()(1121121121+−+−−=+−+=−i i i i i i e w p p p p p p p pHence, the discretised momentum equation has the form:L +−=+−)(1121i i i i p p d uIn the continuity equation the net outward mass flux depends onL+−−−=−=+−+=−−−++−+−+)]()([)()()(2121411121121121i i i i i i i i i i i i w e p p d p p d u u u u u u u uThus, both mass and momentum equations only produce links between pressures at alternate nodes , leading to odd-even decoupling.Thus, the combination: • co-located u , p ; • linear interpolation for advective velocities;leads to decoupling of odd nodal values p 1, p 3, p 5, … from even nodal values p 2, p 4, p 6, … . This odd-even decoupling or checkerboard effect leads to indeterminate oscillations in the pressure field.xpThere are two common remedies: (1) use a staggered grid (velocity and pressure stored at different locations); or (2) use a co-located grid but Rhie-Chow interpolation for the advective velocitiesBoth provide a link between adjacent pressure nodes, preventing odd-even decoupling.5.2.3 Staggered Grid (Harlow and Welch, 1965)In the staggered-velocity-grid arrangement, velocity components are stored half-way between the pressure nodes that drive them.This leads to different sets of control volumes.The usual convention is that each velocitynode has the same index (P or ijk ) as thepressure node to which it points. Other scalars are stored at the same position as pressure.On a Cartesian mesh …In the momentum equation pressure is stored at precisely the pointsrequired to compute the pressure force.L +−=−)(1i i i i p p d uIn the continuity equation velocity is stored at precisely the points required to compute mass fluxes. The net mass flux involves: 11111111)()()(+++−−+++−++−=+−−−=+−i i i i i i i i i i i i i i i p d p d d p d p p d p p d u u L LIn both cases no interpolation is required for cell-face values and there is a strong linkage between successive , rather than alternate pressure nodes, avoiding odd-even decoupling.Advantages • No interpolation required; variables are stored where they are needed. • No problem of odd-even pressure decouplingDisadvantages • Added geometrical complexity from multiple sets of nodes andcontrol volumes. • If the mesh is not Cartesian then the velocity nodes may ceaseto lie between the pressure nodes that drive them (see right).upressure/scalarcontrol volumeu control volumev control volume p i5.2.4 Rhie-Chow Velocity Interpolation (Rhie and Chow, 1983)The alternative approach is to use co-located pressure and velocity but employ a different interpolation for advective velocities (the cell-face velocities used to calculate mass fluxes).The momentum equation provides a connection between the nodal velocity and pressure:K +−−=∑)(w e P PF F P p p d a u a uIn the Rhie-Chow algorithm the pressure and non-pressure parts of the velocityp d u u −=)are separately interpolated to the cell face.(i) First work out the non-pressure part (“pseudovelocity ” uˆ) at nodes: p d u u +=)with centred difference p from interpolated face values(ii) Then linearly interpolate u )and d to the cell face:p d u u face face face −=)with centred difference p taken from adjacent nodesThis amounts to adding and subtracting centred pressure differences worked out at different )(P E e e e p p d u −−= (4)Using this interpolative technique, mass conservation gives:LL L+−+−−=+−+−−−=+−=E E P P W W w e W P w P E e w e w e p a p a p a u A u A p p Ad p p Ad u A uA Au Au )ˆ()ˆ()()()()()ˆ()ˆ()()(0 (5) wherew W Ad a )(=, e E Ad a )(=, L ++=E W P a a a (“…” signifies omitted terms from other directions).Notes . • The central pressure value p P does not cancel so there is no odd-even decoupling. • This is a pressure equation. Moreover, on rearrangement it has the same algebraicform as that arising from the scalar-transport equation:P FF F P P b p a p a +=∑, where ∑=≥F P F a a a ,0•Actually, in practice one does not solve directly for pressure but iteratively for pressure corrections (see Section 5.3). Equation (5) then becomesL +′−′+′−−=E E P P W W w e p a p a p a Au Au *)(*)(0where the asterisk * here denotes “current value of”. This can be rearranged as:outflowmass current p a p a p a E E P P W W −=+′−′+′−LAnalysis of Rhie-Chow InterpolationParts (a) and (c) of the example above show that in a constant pressure gradient Rhie-Chow interpolation gives the same result as linear interpolation, whereas if there is a local pressure peak to one side of the face (part (b)) then the advective velocity rises to compensate.By retaining general values of u i and p i and following the same analysis with a general (constant) coefficient d the above example gives)33(4)(21432132p p p p du u u face +−+−++=Thus, Rhie-Chow interpolation is equivalent to the addition of a “pressure-smoothing” term Expanding pressures about the cell face shows that the bracketed pressure term is, to leading order, proportional to )/(333x p x ∂∂on the cell face. Subtracting a similar term on the opposite cell face to give the net mass flux yields an additional term proportional to )/(444x p x ∂∂, corresponding to 4th -order diffusion.Pressure-velocity coupling is the dominant feature of the Navier-Stokes equations. Staggered grids are an effective way of handling it on Cartesian meshes. However, for non-Cartesian (or curvilinear ) meshes, co-located grids are the norm and are employed in almost all general-purpose CFD codes.5.3 Pressure-Correction MethodsConsider how changing pressure can be used to enforce mass conservation.What are pressure-correction methods? • Iterative numerical schemes for pressure-linked equations. • Used to derive velocity and pressure fields which satisfy both mass and momentumequations. • Consist of alternating updates of velocity and pressure: – solve the momentum equation for velocity with the current pressure; – observing the relationship between velocity and pressure changes imposedby the momentum equation, rephrase the continuity equation as a pressure- correction equation and solve for the pressure correction p necessary to “nudge” the velocity field towards mass conservation.• There are two common schemes: SIMPLE and PISO.The Relationship Between Velocity and Pressure CorrectionsThe momentum equation connects velocity and pressure: L +−=+−)(2/12/1p p d uOne must correct velocity to satisfy continuity: u u u ′+→*but simultaneously correct pressure so as to retain a solution of the momentum equation:L +′−′=′+−)(2/12/1p p d uThe velocity-correction formula is, therefore,L +′−′+→+−)(*2/12/1p p d u u5.3.1 SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations – Patankar and Spalding, 1972).Stage 1. Solve momentum equations with current pressure .32143421sourcesother P force pressure e w F F p P b p p A u a u a +−=−∑)**( Resulting velocity generally won’t be mass-consistent.Stage 2. Formulate the pressure-correction equation.(i) Relate changes in u to changes in p :)(e w P P F F P p p d a u a u ′−′+′=′∑, PP a A d =.(ii) Make the SIMPLE approximation: neglect ∑′F F u a .)(e w P P p p d u ′−′≈′(Legitimate since all corrections will be zero in the final converged solution.)(iii)Apply mass conservation to a control volume centred on the pressure node. The net mass flux results from current (u *) plus correction (u ′) velocity fields:0*out flow mass net =′+=∑∑facesnfaces nA u A ui.e.*)()(mA u A u w e &L −=+′−′ (minus the current net mass flux) or, writing in terms of the pressure correction (staggered or non-staggered mesh):*)()()()(mp p Ad p p Ad PWwEPe&L −=+′−′−′−′This results in a pressure-correction equation of the form:*mp a p a FFF PP&−=′−′∑(6)Stage 3. Solve the pressure-correction equationThe discretised pressure-correction equation (6) is of precisely the same form as the discretised scalar equations, and hence the same algebraic solvers may be used.Stage 4. Correct pressure and velocity :)(**e w P P P PP P p p d u u p p p ′−′+→′+→ (7)(and similarly for the other velocity components). Notes • Staggered and unstaggered grids . The distinction between staggered andunstaggered grids is subtle. In both cases, the expression for eu ′ etc. at cell faces depends on the pressure corrections at adjacent nodes. However, for a (Cartesian) staggered grid the relevant normal velocities are actually stored on the faces of the pressure control volumes where they are required to establish mass conservation. • Source term for the pressure-correction equation . That the “source” for thepressure-correction equation should be minus the current net mass flux (*m&−) is reasonable. If there is a net mass flow into a control volume then the pressure in that control volume must rise in order to “push” mass back out of the cell. • Under-relaxation . In practice, substantial under-relaxation of the pressure update isneeded to prevent divergence. In the correction step the pressure (but not the velocity) update is relaxed: p p p p ′+→* Typical values of p are in the range 0.1 – 0.3. Velocity is under-relaxed in themomentum equations, but the under-relaxation is generally less severe: u ≈ 0.6 – 0.8. • Iterative process . Since the equations are non-linear and coupled, the matrixequations may change at each iteration. There is little to be gained by solving the matrix equations exactly at each stage, but only doing enough iterations of the matrix solver to reduce the residuals by a sufficient amount. Alternative strategies at each SIMPLE iteration are: m iterations of each u , v , w equation, followed by n iterations of the p ′equation (typically m = 1, n ≈ 4);ordo enough iterations of each equation to reduce the residual error to a smallfraction of the original (typically 10%).5.3.2 Variants of SIMPLEThe SIMPLE scheme can be inefficient and requires considerable pressure under-relaxation. This is because the corrected fields are good for updating velocity (since a mass-consistent flow field is produced) but not pressure (because of the inaccuracy of the approximation connecting velocity and pressure corrections).To remedy this, a number of variants of SIMPLE have been produced, including:SIMPLER (SIMPLE Revised – Patankar, 1980), SIMPLEC (Van Doormaal and Raithby, 1984), SIMPLEX (Raithby and Schneider, 1988)SIMPLERThis variant acknowledges that the correction equation is good for updating velocity but not pressure and precedes the momentum and pressure-correction equations with the equation for the pressure itself (equation (5)).SIMPLECThis scheme seeks a more accurate relationship between velocity and pressure changes.From the momentum equations, the velocity and pressure equations are related by)((*)1e w P F F PP p p d u a a u ′−′+′=′∑43421(8) The SIMPLE approximation is to neglect the term (*). However, this is actually of comparable size to the LHS. In the SIMPLEC scheme, (8) is rewritten by subtracting P F P u a a ′∑)/1( from both sides:)()()(1)11(e w P P F F P P F Pp p d u u a a u a a ′−′+∗∗′−′=′−∑∑444344421Assuming that P P F u u u ′′−′«, it is more accurate to neglect the term (**), thus producing analternative formula connecting velocity and pressure changes:)(/1e w PF PPp p a a d u ′−′−≈′∑ (9) Compare:(SIMPLEC))(/1(SIMPLE))(e w PF P Pe w P P p p a a d u p p d u ′−′−≈′′−′≈′∑ (10)Although conceptually appealing, there is a difficulty here. The “sum-of-the-neighbouring-coefficients” constraint on a P means that, in steady-state calculations, 1/=∑P F a a , and hence the denominator of (9) vanishes. This problem doesn’t arise in time-varying calculations, where a time-dependent part is added to a P , removing the singularity.This scheme assumes that velocity and pressure corrections are linked by some general relationship)(e w P P p p u ′−′≈′(11) This includes both SIMPLE and SIMPLEX as special cases (see equation (10)). However, the SIMPLEX scheme attempts to improve on this by actually solving equations for the δP . These equations are derived from (8) but we shall not go into the details here.The author’s experience is that SIMPLER and SIMPLEX offer substantial performance improvements over SIMPLE on staggered grids, but that the “advanced” schemes are difficult to formulate and offer little advantage on co-located grids.5.3.3 PISOPISO – Pressure Implicit with Splitting of Operators (Issa, 1986).This was originally proposed as a time-dependent , non-iterative pressure-correction method. Each timestep (t old → t new ) consists of a sequence of three stages: (1) Solution of the time-dependent momentum equation with the t old pressure in thesource term. (2) A pressure-correction equation and pressure/velocity update à la SIMPLE to producea mass-consistent flow field. (3) A second corrector step required to produce a second mass-consistent flow field butwith time-advanced pressure.Apart from time-dependence, steps (1) and (2) are essentially the same as SIMPLE. However, step (3) is designed to eliminate the need for iteration at each time step as would be the case with SIMPLE.Evidence suggests that PISO is more efficient in time-dependent calculations, but SIMPLE and its variants are better in direct iteration to steady state .•Each component of momentum satisfies its own scalar-transport equation, with the following correspondence:concentration, φ velocity component (u, v or w)diffusivity, viscosity,source, S forces•However, the momentum equations are:non-linear;coupled;required also to satisfy continuity.and, as a consequence, have to be solved:together;iteratively;in conjunction with a continuity equation.•For incompressible flow the requirement that solutions of the momentum equation be mass-consistent generates a pressure equation.•Pressure-gradient source terms can lead to an odd-even decoupling (“checkerboard”) effect when all variables are co-located (stored at the same nodes). This may be remedied by using either:– a staggered velocity grid;– a non-staggered grid, but Rhie-Chow interpolation for advective velocities.•Pressure-correction methods operate by making small corrections to pressure in order to “nudge” the velocity field towards mass conservation whilst still preserving a solution of the momentum equation.•Widely-used pressure-correction algorithms are SIMPLE(and its variants) and PISO. The first is an iterative scheme; the second is a non-iterative, time-dependent scheme.Q1.For the rectangular control volume with surface pressures shown, what is: (a) the net force in the x direction?(b) the net force in the x direction, per unit volume ? (c) the average pressure gradient in the x direction?Q2.The figure shows a triangular cell in a 2-d unstructuredmesh, together with the coordinates of its vertices and the average pressures on the cell faces. Calculate the x and ycomponents of the net pressure force on the cell (per unit depth).Q3. (MSc Examination, April 2005) (a) Explain (briefly) how an equation for pressure is derived in finite-volume calculationsof incompressible fluid flow.(b) Explain how the problem of “odd-even decoupling” in the discretised pressure fieldarises with co-located storage and linear interpolation for advective velocities, and detail the Rhie-Chow interpolation which can be used to overcome this. (c) The figure below shows part of a Cartesian mesh with the velocity u and pressure p atthe centre of 4 control volumes. If the momentum equation leads to a pressure-velocity linkage of the formL +−=p u 3, (where represents a centred difference) use the Rhie-Chow procedure to find theadvective velocity on the cell face marked f .u = 5 4 3 2p = 0.6 0.7 1.1 1.6(d)Describe the SIMPLE pressure-correction method for the solution of coupled mass and momentum equations.ppeQ4. (Computational Hydraulics Examination, June 2009) (a) Explain, briefly, the origin of the “odd-even decoupling” problem in the discretepressure field that may occur with co-located storage of velocity and pressure in a finite-volume mesh. (b) Describe, with the help of diagrams, the “staggered-grid” arrangement of velocity andpressure to overcome this problem and state its advantages and disadvantages. (c) Describe the alternative Rhie-Chow approach to computing cell-face velocities on aco-located mesh. (d) For the part of a uniform Cartesianmesh shown in the figure right the momentum equation gives a velocity vs pressure relationship of the formL +−=p u 2 for each cell, where denotes acentred difference, u is velocity, p ispressure and all quantities are expressed in consistent units. If the values of u and p are as given in the figure, calculate the advective velocity onthe cell face marked f by Rhie-Chow interpolation if: (i) p w = 1.2; (ii) p w = 1.0. (e) The figure below shows a quadrilateral 2-d cell (of unit depth) with given cell-vertexcoordinates and cell-face pressures. Find the x and y components of the net pressure force on the cell.face pressure w 5 e 3 s 4 n 9u =p =22351.2p 0.80.6WQ5. (Computational Hydraulics Examination, January 2006) (a) Describe the main principles of pressure-correction methods for the numericalsolution of the incompressible fluid-flow equations. (b) Explain the problems that can arise with co-located storage of velocity and pressureon a finite-volume mesh and demonstrate how a staggered-grid arrangement can alleviate them.In the conventional 2-d staggered-grid arrangement shown below, u and v (the x and y components of velocity), are stored at nodes indicated by arrows, whilst pressure p is stored at the intermediate nodes A, B, C, D. The grid spacing is uniform and the same in both directions. The velocity is fixed on the boundaries as shown in the Figure. The velocity components at the interior nodes (u B , u D , v C and v D ) are to be found.At an intermediate stage of calculation the internal velocity values are found to be u B = 11, u D = 14, v C = 8, v D = 5whilst correction formulae derived from the momentum equation are)(3,)(2n s e w p p v p p u ′−′=′′−′=′with geographical (w ,e ,s ,n ) notation indicating the relative location of pressure nodes. (c) Show that applying mass conservation to control volumes centred on pressure nodesleads to simultaneous equations for the pressure corrections. Solve for the pressure corrections and use them to generate a mass-consistent flow field.CD(d) Explain why, in practice, it is necessary to solve for the pressure correction and not just the velocity corrections in order to satisfy mass conservation.Q6. (MSc Examination, May 2008 – part)The figure defines the relative position of velocity () and pressure (•) nodes in a 1-d, staggered-grid arrangement.1234Velocity u 1 = 4 is fixed as a boundary condition. After solving the momentum equation the velocities at the other nodes are found to be u 2 = 3, u 3 = 5, u 4 = 6.The relationship between velocity and pressure is found (from the discretised momentum equation) to be of the form L +−=p u 4at each node, where denotes a centred difference in space.Apply mass conservation to cells centred on scalar nodes, calculate the pressure corrections necessary to enforce continuity, and confirm that a mass-consistent velocity field is obtained.Q7. (MSc Examination, May 2010) In the 2-d staggered-grid arrangement shown, u and v (the x and y components of velocity), are stored at nodes indicated by arrows, whilst pressure p is storedat the intermediate nodes A, B, C, D. The grid spacingis uniform and the same in both directions. The velocity is fixed on the inflow boundary and the upper and lower boundaries are stationary walls. Interior velocities (u C , u D , v A and v C ) are to be updated by the pressure-correction method to satisfy continuity.At an intermediate stage of calculation, following an iteration of the momentum equation, the outflow velocities are u E = 10, u F = 5whilst the internal velocity values are u C = 13, u D = –1, v A = –1, v C = 8Correction formulae derived from the momentum equation are)(3,)(2n s e w p p v p p u ′−′=′′−′=′with geographical (w ,e ,s ,n ) notation indicating the relative location of pressure nodes. (a) Apply a uniform scaling factor to the outflow velocities to enforce global massconservation, stating the scaling factor and the outflow velocities after its application. (b) Show that applying mass conservation to control volumes centred on pressure nodesleads to simultaneous equations for the pressure corrections. Solve for the pressure corrections and use them to generate a mass-consistent flow field.。
计算流体力学CFD课件
2 数值方法
探索常见偏微分方程，如Navier-Stokes方程， 以及它们在CFD中的作用。
介绍数值方法在CFD中的应用，包括差分法和 有限பைடு நூலகம்法等。
网格划分
传统网格划分方法
深入了解传统网格划分方法，如结构化网格和非结 构化网格。
自适应网格划分方法
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离散化方法
1
有限体积法
研究有限体积法如何将连续流场离散化并转化为离散方程。
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深入了解CFD在多相流动模拟中的应用，如湍流、颗粒运动等。
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分析来改善产品设计。
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工程流体力学的计算方法CFD基础
E
水击波：
C2
1
ED
E因
D：管道直径
E：流体体积弹性系数
E固：管壁材料的弹性模量 ρ ：流体密度
δ ：管壁厚度
水击波的传播速度C=1200～1400m/s
退出
P 1 P
t P t C 2 t
P 1 P
x P x C 2 x
这样连续性方程可改写成: C u 1 (P u P ) 0
上面4方程可用矩阵表示：
-10 4 4 -10 10 01
10 01 -10 4 4 -10
2,2 15
2,3 3,2 3,3
17
0.5
11
退出
利用高斯法解此线性方程组得：
2,2
7 6
,
2,
3
7 3
6721d 5 7d 1.5 0 令 x 10d 则上式化为：f (x) 0.06721x5 0.7x 1.5 0 选 x0 2 作为初值 x1 x0 f (x0 ) f (x0 )
经3次迭代后得 x3 2.31707误差小于 106
因此取 d 0.214m
yi)x
1 4
yi x3
o(x4 )
可见：
yi
yi1
1 2
(
yi1
yi)x
具有三阶精度。
退出
在平面势流中，流函数和速度势 函数均满足拉普拉斯方程：
2 2 0
x2 y 2
现将计算区域分成若干网格，每个
工程流体力学的计算方法CFD基础课件
云计算技术使得大规模CFD模拟成为 可能，同时提供了灵活的计算资源和 数据管理方式。未来，云计算技术将 进一步优化，以降低计算成本和提高 计算效率。
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粘性。
热传导
流体在温度梯度作用下会产生 热传导现象。
流体动力学基本方程
质量守恒方程
表示流体质量随时间的变化规律 。
动量守恒方程
表示流体动量随时间的变化规律。
能量守恒方程
表示流体能量随时间的变化规律。
流体流动的分类
层流流动
均匀流动和非均匀流动
流体质点仅沿流线方向作有规则的线 运动，互不混杂。
根据流动是否具有空间均匀性进行分 类。
06
CFD未来发展与挑战
高精度算法与求解器
总结词
随着计算能力的不断提升，高精度算法和求解器在 CFD领域的应用将更加广泛。
详细描述
高精度算法和求解器能够提供更精确的流场模拟结果 ，有助于更深入地理解流体动力学现象。未来，高精 度算法和求解器将进一步优化，以适应更复杂、更高 要求的CFD模拟。
多物理场耦合模拟
有限体积法的优点在于能够很好地处 理流体流动中的非线性特性和复杂边 界条件，因此在工程流体力学中得到 了广泛应用。
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解：由于板在y、z方向为无限大，因此可作为一维问题 处理，即只考虑x方向。相对于无源问题，控制方程中增 加了源项。即
d dx
(k
dT dx
)
q
0
第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元
aPP aWW aEE Su （2 8）
aW
w
xWP
Aw
,
aE
e
k x
A,
aP
aW
aE SP
SP
2k x
A，Su
2k x
A
TB
23
根据以上过程可以得到左右边界控制体的离散方程：
左端控制体
kA(T2
x
T1
)
kA(T1 TA ) x / 2
0
右端控制体
kA(TB x
T5
/2
)
kA(T5 T4 ) x
0
(T2 T1) (2T1 2TA ) 0 (2TB 2T5 ) (T5 T4 ) 0
计算流体力学电子教案
1
目录
• 第一章 绪论 • 第二章 扩散问题的有限体积法 • 第三章 对流扩散问题的有限体积法 • 第四章 差分格式问题 • 第五章 压力--速度耦合问题的有限体积法 • 第六章 有限体积法离散方程的解法 • 第七章 非稳态流动问题的有限体积法 • 第八章 边界条件处理
2
第二章 扩散问题的有限体积法
即
kA(T2 T1 ) x
kA(T1 TA ) x / 2
0
在上述过程中有一假定：认为A点的温度梯度dT/dx与A
中科院计算流体力学最新讲义CFD2011-第5讲-差分方法3
（1）
2
保证“系数非负”
1 un j
a u
k k
n j k
ak 0
且
Cn 0, j 1
Dn 0, j 1
2
Cn Dn 1 j 1 j 1
则格式（1）是TVD格式
1 n n n n n n un un j j C j 1 (u j 1 u j ) D j 1 (u j u j 1 )
t
a
n un j 1 u j 1
2x
a 2 t n n (u j 1 2u n j u j 1 ) 2 2x
1 n n n n n n un un j j C j 1 (u j 1 u j ) D j 1 (u j u j 1 )
2 2
6
Copyright by Li Xinliang
2） 重要概念： 网格 Reynolds数 以网格尺度度量的Reynolds数
Re x Rex
j+1
含义： 数值振荡—— 流动尺度为网格尺度 网格 Reynolds数小，该尺度的能量 被耗散掉—— 不发生振荡
网格足够小：不会发生振荡； 网格小于激波的实际厚度，则不会振荡
有效网格点数： 一个波长里 面的网格点数 （PPW: Point per Wavelength)
PPW
x
2 2 k x
GVC2 格式
u j 1 / 2 (3u j u j 1 ) / 2 (u j u j 1 ) / 2 when u j u j 1 u j 1 u j when u j u j 1 u j 1 u j
(b1x) 2 I
北理工-《流体力学》课程总复习PPT课件
关于流场的一些基本概念
28
迹线和流线
迹线(Pathline):单
个质点在连续时间 过程内流动轨迹线 ，迹线是拉格朗日
A A A A
法描述流动的一种 A
t2时刻 A
方法。
t1时刻
关于流场的一些基本概念
29
迹线和流线
流线(Streamline):是某一 时刻在流场中画出的一条
uC
uD
空间曲线，在该时刻，曲
1
独立思考，事实求是，锲而不舍，以勤补拙
《流体力学》课程总复习
黄彪 机械与车辆学院热能与动力工程系
2
考试： 时间: 1月11日 上午 9:50-11:50 地点: 信1002 平时与作业:25%, 考试:75%
答疑： 时间: 1月8日 14:00-16:00（周四） 1月9日 14:00-16:00（周五）
212121limttxxutt????212121limttyyvtt????212121limttzzwtt????duvwdttxyz????????????ijkxyz??????????duvwdtxyzt???????????????????????vddtt物质导数物理意义表示跟踪一个运动的流体微团的时间变化率当地导数物理意义表示固定点处的时间变化率由物理场的非定常性引起迁秱导数物理意义表示流体微团从一点运动到另一点流场空间不均匀性引起的时间变化率28关于流场的一些基本概念迹线和流线迹线pathline
流体力学是一门宏观力学，研究的是流体宏观的 平衡和运动规律，对微观的分子热运动不感兴趣 。流体微团须满足：1）在宏观上体积无穷小；2 ）在微观上体积无穷大。
6
流体的主要物理属性 • 密度与重度； •压缩性和膨胀性；
计算流体动力学(CFD)简介ppt课件
1 6
图3-6 矩形截面管道示意图
图3-7 流体计算区域示意图
1 7
2.4.2 实例分析
当利用Fluent解决某一工程问题时，要详细考虑以下几个问题： (1) 确定计算目标； (2) 选择计算模型； (3) 确定物理模型； (4) 确定解的程序。
9
在以上介绍的Fluent软件包中，求解器Fluent6.2.16是应用范围最广的， 所以在以后的章节中我们会对它进行详细的介绍。这个求解器既可使用 结构化网格，也可使用非结构化网格。对于二维问题，可以使用四边形 网格和三角形网格；对于三维问题，可以使用六面体、四面体、金字塔 形以及契形单元，具体的网格见图3-1。Fluent6.2.16可以接受单块和
TGrid用于从现有的边界网格生成体网格，Filters可以转换由其他软件生 成的网格从而用于Fluent计算。与Filters接口的程序包括ANSYS、 I-DEAS、NASTRAN 、 PATRAN等。
（2）求解器： 它是流体计算的核心，根据专业领域的不同，求解 器主要分以下几种类型。
①Fluent4.5：基于结构化网格的通用CFD求解器。 ②Fluent6.2.16：基于非结构化网格的通用CFD求解器。 ③ Fidap：基于有限元方法，并且主要用于流固耦合的通用CFD求 解器。 ④ Polyflow：针对粘弹性流动的专用CFD求解器。 ⑤ Mixsim：针对搅拌混合问题的专用CFD软件。 ⑥ Icepak: 专用的热控分析CFD软件。 （3）后处理器：Fluent求解器本身就附带有比较强大的后处理功 能。另外，Tecplot也是一款比较专业的后处理器，可以把一些数据可视 化，这对于数据处理要求比较高的用户来说是一个理想的选择。
第13章_计算流体力学CFD(5)
第二步：
时间步长为 ，空间导数采用中心差分，只对y的 导数采用隐式处理。
交替方向隐式(ADI)方法
第二步：
简化为三对角形式
交替方向隐式(ADI)方法
第二步：
对每一个固定的i，对所有 的j联立形成方程组。 对不同的i，重复上述过程。
交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程：
V 0
t 在可压缩流动中，右图 速度的棋盘分布经过一 个时间步就会被抹平。
右上角是u的值， 左下角是v的值
交错网格的应用
二维不可压流体压力梯 度采用中心差分：
压力会出现右图的 棋盘式分布
棋盘式的离散压力分 布
交错网格的应用
在交错网格上使用中心 差分就不会出现速度和 压力的棋盘式分布问题。
数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程（修正方程）：
尽管人工粘性降低了解的精度，但通常有助于提高解的稳 定性。
6.6 交替方向隐式(ADI)方法
交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程： 采用Crank-Nicolson方法（隐式）：
等号右端有五个未知量，不能得到三对角方程组，不能采 用托马斯算法（追赶法）求解。
MacCormack方法
在MacCormack方法中，预估步用向前差分， 校正步用向后差分；也可以预估步用向后差分， 校正步用向前差分。或者在时间推进解法的相 继两个时间步中轮流使用这两种办法。
6.3 粘性流动、守恒形式和空间推进
6.3.1 粘性流动
粘性流动
粘性流动的控制方程是N-S方程。
对定常流动，N-S方程的数学性质更多地表现为 椭圆型的，不能采用Lax-Wendroff方法和 MacCormack方法求解。
第13章_计算流体力学CFD(5)总结
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
对于亚声速流动，上述 方程是椭圆型的，所有 空间推进方法都不适用， MacCormack方法也不 适用。
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
对于超声速流动，上述方 程是双曲型的，空间推进 方法适用，MacCormack 方法也适用。
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
MacCormack方法：
偏微分方程（修正方程）：
修正方程等号右端的项是截断误差，如果截断误差的主项 是偶数阶导数，数值解将主要表现出耗散行为；如果主项 是奇数阶导数，数值解将主要表现出色散行为。
数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程（修正方程）：
等号右端的偶数阶导数项起数值耗散的作用，奇数阶导数 项起数值色散的作用。
数值耗散、色散及人工粘性
速度修正量
可以从
得到。
压力修正法的基本原理
压力修正法本质上是一种迭代法，思路如下：
4） 用步骤3)中修正后的压力做为新的p*，回到步 骤2)。重复这个过程，直到速度场满足连续性方程 为止。
这样就得到修正好了的流场。
6.7.4 压力修正公式
压力修正公式
压力修正公式为：
压力修正公式
压力修正公式为：
SIMPLE算法的步 骤如下： 1）在右图所示的交 错网格上分别给出
p
* n
,
u
* n
,
v
* n
数值方法：SIMPLE方法
SIMPLE算法的步 骤如下： 2）求出 u
* n 1
,
v
* n 1
采用动量方程求解。
数值方法：SIMPLE方法
2）
u
计算流体力学课件
• 引言 • 基本概念与原理 • 数值模拟方法 • 计算流体力学软件介绍 • 计算流体力学在工程中的应用 • 计算流体力学的未来发展与挑战
目录
Part
01
引言
流体力学的重要性
流体力学是物理学的一个重要分支，它研究流体（液体和气体）的运动规律、热力 学性质以及流体与其他物质的相互作用。
Part
04
计算流体力学软件介绍
Fluent软件介绍
1
商业化的计算流体动力学 软件
4
提供丰富的物理模型和材 料库，方便用户进行模拟 和分析
2
支持多种求解器和网格生
成技术
3
广泛应用于流体动力学模
拟、燃烧模拟等领域
CFX软件介绍
英国AEA公司开发的计算流体动 力学软件
提供丰富的物理模型和材料库， 方便用户进行模拟和分析
迭代法
通过迭代的方式求解离散 化的方程组，得到数值解 。
有限差分法
有限差分法的基本思想
将偏微分方程转化为差分方程，通过 求解差分方程得到数值解。
有限差分法的步骤
建立差分方程、求解差分方程、误差 估计等。
有限元法
有限元法的基本思想
将连续的物理量离散为有限个单元，通过求解每个单元的近似解得到整个问题 的数值解。
规模的流动模拟。
大涡模拟
总结词
大涡模拟是一种针对湍流中大尺度涡旋进行模拟的方法，通过过滤掉小尺度涡旋 的影响，降低计算量。
详细描述
大涡模拟只关注大尺度涡旋的运动规律，忽略小尺度涡旋的影响。这种方法能够 显著减少计算量，适用于较大尺度的流动模拟。然而，由于忽略了小尺度涡旋的 影响，大涡模拟的精度和适用范围有限。
水流模拟
流体力学第十三章_计算流体力学基础
9
复杂流动空间的非结构化网格
10
11
自适应网格
12
动网格
13
（3）定义边界条件 对于生成网格的计算区域，对整个区域定义边界条件， 边界条件不但会影响迭代求解的速度，还会影响迭代计 算最终能否收敛以及结果是否准确。
计算求解
确定求解问题的类型，定义各种物理模型（湍流模型， 传热模型，燃烧模型，喷雾模型等），确定所要求解的 方程组，对微分方程进行离散化处理。定义材料属性， 定义初始条件和边界条件，定义或选择合适的求解算法， 差分格式，松弛因子等等。最后进行迭代求解。
1
CFD求解的基本思想
把流场中在时−空上连续的物理量的场（分布），用一 系列有限个离散点上的变量值的集合来代替，通过一定 的原则和方式建立起关于这些离散点上场变量之间关系 的代数方程组，然后求解代数方程组获得场变量的近似 值。
2
‹#›
对任一流动问题，基本方程组加上定解条件（初始和边界条件 ），理论上存在唯一（数值）解，这对层流流动是准确的，对 湍流流动，则是不确定的。
第十三章 计算流体力学基础
13.1 问题的提出
什么是计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics，简称CFD）
以计算机为工具，采用数值方法求解流体力学基本方程 组，从而获得流动现象的物理特征，以及各流动参数的 时−空分布规律的一门学科。
CFD的作用和意义
成本低、周期短、流场数据完备，具有模拟复杂真实流 动和理想条件流动的能力，广泛应用于工程技术各领域。
前处理
（1）建立流动问题的几何模型，即计算区域 确定计算区域的形状，结构及尺寸参数。简单模型可以 在编制的计算程序中设定或利用网格生成软件来生成， 复杂模型可以采用2D/3D专业作图软件绘制，然后导入 计算程序或网格生成软件。
计算流体力学CFDPPT学习教案
第68页/共156页
动量方程
作用在流体微 团上的X方向 的压力＝
第69页/共156页
动量方程
作用在流体微 团上的X方向 的正应力＝
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动量方程
作用在流体微 团上的X方向 的切应力＝
第71页/共156页
动量方程
作用在流体微 团上的X方向 总的表面力＝
第65页/共156页
动量方程
正应力：与流体微团体积的时间变化率有关， 如下图中的xx
第66页/共156页
动量方程
作用在单位质量流体微团 上的体积力记做 f ，其X
方向的分量为 fx
随流体运动的无穷小微团模 型
第67页/共156页
动量方程
作用在流体微团上的体 积力的X方向分量＝
fx dxdydz
第21页/共156页
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
/t叫做当地导数，它在物理上是固定点处的时间变化率；
流体微团在流场中的 运动－物质导数的示 意图
第22页/共156页
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
叫做迁移导数，它在物理上表示由于流体微团从流场 中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性而引起的时 间变化率。
洞内温度比洞外温度低所引起的温降 被雪球击中所引起的温降
迁移导数 当地导数
总的温降
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物质导数
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
物质导数
全微分：
对时间的全导数 ：
第26页/共156页
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
物质导数 对时间的全导数 ：
物质导数在本质上与对时间的全导数相同 。
计算流体力学课件完整版
●实验要受测量技术限制，实验周期长、费用高。
☆ 理论研究 ●在研究流体流动规律的基础上，建立了流体流动基 本方程。 ●对于一些简单流动，通过简化求出研究问题的解析 解。
计算流体力学
●对于实际流动问题，通常需运用流体力学基本方程， 借助于计算机求数值解（计算机数值模拟）— 计算流体力学CFD。
Z
skirt.plt X Y
75 50 25
0 -25 -50 -75
-2
Y(M) 0
2
0 2 4 6 10 8 X(M) 12 14
D) 16 Feb 2003 Velocity Vectors
4.5
4 velocity.plt
3.5
3
2.5
2
1.5
Z
Z
(3D) 16 Feb 2003 IJK-Ordered DZ ata
ijkcyl.plt X Y
Z
-0.4 -0.2 Y0 0.2 0.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 -0.4 -0.2 0 X 0.2 0.4
Z
jetflow.plXt Y
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0 Y0.1 0.2
-0.6 -0.4 -0.2 0 X 0.2 0.4 0.6
轴流叶轮计算与实验叶片表面极限流线
计算流体力学
轴流叶轮计算与实验性能比较
计算流体力学
轴流叶轮计算与实验流场结构比较
计算流体力学
第二章 流体力学数值计算数学模型及定解条件
☆本章所涉及的基本方程有两类： ●流体力学基本方程，基本出发点：质量守恒、动量守恒和能
计算流体力学CFD（非常好）
气体动力学1.理想气体运动的基本方程组理想气体：无粘性、无导热性雷诺数：度量粘性效应的相对大小的量纲一的数R e=ρVLμ=惯性力粘性力●要确定理想气体的流场，一般需要知道六个参数：速度V的三个分量，压力p，密度ρ和温度T。
因此理想气体动力学要建立六个独立的基本方程，连同初边值条件，以构成定解问题。
●基本方程所依据的是三个方面的物理定律，即运动学方面的质量守恒定律，动力学方面的牛顿定律和热力学方面的第一、第二定律以及气体热状态方程。
●建立基本方程时首先面临着这么一个问题：怎样选取流体物质形态的模型作为研究对象。
有两种流体模型可供选择。
一种是随体观点的模型，它认定某个有确定质量的流体团，称为封闭系统，其特点是：(1) 系统的体积τ(t)和界面积σ(t)随流体运动而随时变化；(2) 在系统的界面上，只有能量交换，没有质量交换。
一种是当地观点的模型，它在流体空间认定一个固定的控制面所包围的区域，称为开口系统，其特点是：(1) 系统的体积τ和界面积σ是固定不变的；(2) 在系统的界面上，既有能量交换，也有质量交换。
对于上述两种流体模型，即封闭系统和开口系统，还有两种数学表达形式。
一种是选取有限质量（体积）的系统，写成积分形式的基本方程。
另一种是选取微元质量（体积）的系统，写成微分形式的基本方程。
微分形式的方程适用于连续流程，便于探讨流场各处的参数分布规律。
积分形式的方程便于从总体上研究问题，而且可以用来求解系统中有间断面存在的情况。
综上所述，理想气体运动的基本方程组的要点可归为：六个方程、三个方面、两种观点、两种形式。
1.1 连续性方程质量守恒方程（当地观点、微分形式）微元体的质量平衡式：微元体内质量的增加率=进入微元体的质量净流率微元体内质量的增加率：ððt (ρδxδyδz)=ðρðtδxδyδz进入微元体的质量流率的净变化率：通过微元体每一个表面的质量流率等于密度、速度分量和面积的乘积。
中科院计算流体力学最新讲义CFD2020第5讲差分方法3
•特点： 沿特征线
， u不变
•特征线未相交— —总变差不变
•特征线相交—— 总变差减小
•结论： 单个双曲型方程，总变差不增 •（Total Variation Diminishing： TVD）
•j= 1
•j=N 单调函数
•振荡函数
by Li Xinliang
•2 概念： 单调格式、保单调格式与TVD格式 •j=
•二阶迎风
•二阶中心
by Li Xinliang
•新格式 ：
•根据Harten定理，可知 •时，可满足TVD性质
•(2) 精度条件
•显然
格式为2 阶中心
•可验证： 格式为2阶迎风
•二者组合仍为二阶
•二阶精度区
•TVD区
•二阶精度TVD区（ 二者交集）
by Li Xinliang
•限制器（limiter)
•2阶中心 的修正量
•2阶迎风 的修正量
•精度高，但有些情况下预 测结果“不靠谱”
•作为“标杆”检 验高阶修正量是 否可用
•趋势相反时，不可用； •相差超过2倍时，不可用
by Li Xinliang
•2 以 L-W格式为基础改造的格式
•历史上，TVD格式是在Roe、L-W、B-M （或其组合）基础上改进 •80年代初、这些格式是主流
•很难计算对粘性敏感的问题
解
•改进措施：
•
A: 局部施加人工粘性
•
B: 高阶人工粘性
•分离流—— 对粘性敏感
•Von Neumann
•MacCormack
•转捩——对粘性敏
by Li Xinliang
•4) 数值振荡的定量描述—— 总变差
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松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法
从左至右扫描
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法
当所有网格点处的
n1 i, j
in,
j
都小于一个预定的值时，迭代
收敛。
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
运用逐次松弛法可加 快收敛的过程。
差分方程： 差分方程的精确解是上述修正方程的精确解（不含误差）
数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程（偏微分方程）： 差分方程：
偏微分方程（修正方程）：
数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程（修正方程）：
修正方程等号右端的项是截断误差，如果截断误差的主项 是偶数阶导数，数值解将主要表现出耗散行为；如果主项 是奇数阶导数，数值解将主要表现出色散行为。
等号右端有五个未知量，不能得到三对角方程组，不能采 用托马斯算法（追赶法）求解。
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法特别适合于求解椭圆型偏微分方程， 常被用来求解无粘亚声速的低速流动。
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
考虑无粘不可压流体的二维无旋流动，控 制方程为Laplace方程：
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法 上标n和n+1表示迭代次数
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
差分方程：
等号右边将对t的偏导数转化为对x的偏导数得：
数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程（偏微分方程）： 差分方程：
偏微分方程（修正方程）：
数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程（偏微分方程）： 差分方程：
差分方程的精确解是上述一维波动方程的数值解（含误差）
数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程（修正方程）：
MacCormack方法
预估步
校正步
MacCormack方法
预估步：空间导数用向前差分计算。
MacCormack方法
预估步：空间导数用向前差分计算。
预估值：
MacCormack方法
校正步：空间导数用向后差分计算。
MacCormack方法
MacCormack方法
在MacCormack方法中，预估步用向前差分， 校正步用向后差分；也可以预估步用向后差分， 校正步用向前差分。或者在时间推进解法的相 继两个时间步中轮流使用这两种办法。
从左至右扫描 从下至上扫描
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
运用逐次松弛法可加 快收敛的过程。
是松弛因子，如果>1，叫做逐次超松弛法； 如果<1，叫做逐次低松弛法。
松弛法及其在低速无粘流动中的应用
运用逐次松弛法可加 快收敛的过程。
选取合适的值，可以减少迭代次数，从而减少计算 时间。在某些问题中，迭代次数可减少到原来的1/30
第13章 计算流体力学CFD(5)
6.1 Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff方法 是一种显式有限差 分方法，适合于推 进求解。
二维时间推进网格
Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff方法 在时间和空间上都 具有二阶精度。
二维时间推进网格
6.3 粘性流动、守恒形式和空间推进
6.3.1 粘性流动
粘性流动
粘性流动的控制方程是N-S方程。
对定常流动，N-S方程的数学性质更多地表现为 椭圆型的，不能采用Lax-Wendroff方法和 MacCormack方法求解。
对非定常流动，可以采用Lax-Wendroff方法或 MacCormack方法求解N-S方程。
6.5 数值耗散、色散及人工粘性
数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程： 差分方程： 截断误差：
数值耗散、色散及人工粘性
差分方程：
泰勒级数展开：
数值耗散、色散及人工粘性
差分方程：
将泰勒级数展开代入差分方程得：
数值耗散、色散及人工粘性
差分方程：
将泰勒级数展开代入差分方程得：
数值耗散、色散及人工粘性
6.3.2 守恒形式
守恒形式
非定常守恒形式欧拉方程（二维）：
可以采用Lax-Wendroff方法或 MacCormack方法求解U的分 量在各时间步的值。
u .3.3 空间推进
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
对于亚声速流动，上述 方程是椭圆型的，所有 空间推进方法都不适用， MacCormack方法也不 适用。
[
]
Lax-Wendroff方法
[
]
Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff显式推进求解 ：
6.2 MacCormack方法
MacCormack方法
MacCormack方法是一种显式有限差分 方法，适合于推进求解。
MacCormack方法在时间和空间上都 具有二阶精度。
MacCormack方法比Lax-Wendroff方 法应用起来更简单。
Lax-Wendroff方法
非定常二维无粘流（欧拉方程非守恒形式）：
Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff显式推进求解 (沿时间方向进行泰勒级 数展开)：
Lax-Wendroff方法
空间导数采用中心差分：
Lax-Wendroff方法
求对时间t的二阶导数： ( )
Lax-Wendroff方法
数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程（修正方程）：
等号右端的偶数阶导数项起数值耗散的作用，奇数阶导数 项起数值色散的作用。
数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程（修正方程）：
数值耗散的作用很象物理粘性，二阶导数项前的系数被称 为人工粘性。
数值耗散、色散及人工粘性
数值耗散的影响会将波抹平
数值耗散、色散及人工粘性
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
对于超声速流动，上述方 程是双曲型的，空间推进 方法适用，MacCormack 方法也适用。
空间推进
定常守恒型二维欧拉方程：
MacCormack方法：
空间推进
预测步：（向前差分） 预估值：
空间推进
预估值：
空间推进
校正步：（向后差分）
6.4 松弛法及其在低速无粘流动中的应用
色散导致波的不同相位在传播中产生畸变， 表现为波前和波后出现振荡。
数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程（修正方程）：
尽管人工粘性降低了解的精度，但通常有助于提高解的稳 定性。
6.6 交替方向隐式(ADI)方法
交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程： 采用Crank-Nicolson方法（隐式）：