matlab学习资料10

第10章多项式

10.1 根

找出多项式的根，即多项式为零的值，可能是许多学科共同的问题，。MATLAB求解这个问题，并提供其它的多项式操作工具。在MATLAB里，多项式由一个行向量表示，它的系数是按降序排列。例如，输入多项式x4－12x3＋0x2＋25x＋116

» p=[1 -12 0 25 116]

p =

1 -1

2 0 25 116

注意，必须包括具有零系数的项。除非特别地辨认，MATLAB无法知道哪一项为零。给出这种形式，用函数roots找出一个多项式的根。

» r=roots(p)

r =

11.7473

2.7028

-1.2251 + 1.4672i

-1.2251 - 1.4672i

因为在MATLAB中，无论是一个多项式，还是它的根，都是向量，MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。给出一个多项式的根，也可以构造相应的多项式。在MATLAB中，命令poly执行这个任务。

» pp=poly(r)

pp =

1.0e+002 *

Columns 1 through 4

0.0100 -0.1200 0.0000 0.2500

Column 5

1.1600 + 0.0000i

» pp=real(pp) %throw away spurious imaginary part

pp =

1.0000 -1

2.0000 0.0000 25.0000 116.0000

因为MATLAB无隙地处理复数，当用根重组多项式时，如果一些根有虚部，由于截断误差，则poly的结果有一些小的虚部，这是很普通的。消除虚假的虚部，如上所示，只要使用函数real抽取实部。

10.2 乘法

函数conv支持多项式乘法(执行两个数组的卷积)。考虑两个多项式a(x)=x3＋2x2＋3x ＋4和b(x)= x3＋4x2＋9x＋16的乘积：

» a=[1 2 3 4] ; b=[1 4 9 16];

» c=conv(a , b)

c =

1 6 20 50 75 84 64

结果是c(x)=x6＋6x5＋20x4＋50x3＋75x2＋84x＋64。两个以上的多项式的乘法需要重复使用conv。

10.3 加法

对多项式加法，MATLAB不提供一个直接的函数。如果两个多项式向量大小相同，标准的数组加法有效。把多项式a(x)与上面给出的b(x)相加。

» d=a+b

d =

2 6 12 20

结果是d(x)= 2x3＋6x2＋12x＋20。当两个多项式阶次不同，低阶的多项式必须用首零填补，使其与高阶多项式有同样的阶次。考虑上面多项式c和d相加：

» e=c+[0 0 0 d]

e =

1 6 20 5

2 81 96 84

结果是e(x)= x6＋6x5＋20x4＋52x3＋81x2＋96x＋84。要求首零而不是尾零，是因为相关的系数象x幂次一样，必须整齐。

如果需要，可用一个文件编辑器创建一个函数M文件来执行一般的多项式加法。精通MATLAB工具箱包含下列实现：

function p=mmpadd(a,b)

% MMPADD Polynomial addition.

% MMPADD(A,B) adds the polynomial A and B

% Copyright (c) 1996 by Prentice Hall,Inc.

if nargin<2

error(' Not enough input arguments ')

end

a=a(:).' ; % make sure inputs are polynomial row vectors

b=b(:).' ;

na=length(a) ; % find lengths of a and b

nb=length(b) ;

p=[zeros(1,nb-na) a]+[zeros(1,na-nb) b] ; % add zeros as necessary

现在，为了阐述mmpadd的使用，再考虑前一页的例子。

» f=mmpadd(c,d)

f =

1 6 20 5

2 81 96 84

它与上面的e相同。当然，mmpadd也用于减法。

»g=mmpadd(c , -d)

g =

1 6 20 48 69 7

2 44

结果是g(x)= x6＋6x5＋20x4＋48x3＋69x2＋72x＋44。

10.4 除法

在一些特殊情况，一个多项式需要除以另一个多项式。在MATLAB中，这由函数deconv 完成。用上面的多项式b和c

» [q , r]=deconv(c , b)

q =

1 2 3 4

r =

0 0 0 0 0 0 0

这个结果是b被c除，给出商多项式q和余数r，在现在情况下r是零，因为b和q的乘积恰好是c。

10.5 导数

由于一个多项式的导数表示简单，MATLAB为多项式求导提供了函数polyder。

» g

g =

1 6 20 48 69 7

2 44

» h=polyder(g)

h =

6 30 80 144 138 72

10.6 估值

根据多项式系数的行向量，可对多项式进行加，减，乘，除和求导，也应该能对它们进行估值。在MATLAB中，这由函数polyval来完成。

» x=linspace(-1, 3) ; % choose 100 data points between -1and 3.

» p=[1 4 -7 -10] ; % uses polynomial p(x) = x3＋4x2－7x－10

» v=polyval(p , x) ;

计算x值上的p(x)，把结果存在v里。然后用函数plot绘出结果。

» plot(x , v),title(' x^3+4x^2-7x-10 '), xlabel(' x ')

图10.1 多项式估值