二次函数根与系数关系专题

例1、练1、已知a, b是方程

已知a, b是方程

2

X +3X+1

2

x +5x +2

二次函数根与系数关系

【知识归纳】

b c

1.一元二次方程ax2+bx+c= 0的两根与系数之间的关系为：x1+ x2= - —, x1x2=—.

a a

2.利用跟与系数的关系与方程的两根相关的问题转化为与系数相关的方程或不等式.

3.求出参数的值后，一定要检查其合理性，即是否满足al 0且？ 3 0.

4.构建二次项系数为1的一元二次方程的基本方法为：①以x1，x2为根的一元二次方程

为：x? -（X i + x2）x + X i X2 = 0 ；②如果a+ b = m，ab = n，那么以a, b为根的方程为

mx+ n = 0・

类型一、求对称式的值例1、已知&,X2是方程2x2- 3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）以-如2（2）为-比（3）x i2- x22（4）（x i-2）（X2- 2）

类型二、已知根求方程中的参数

例1、若方程x2_ 4x+c=0的一个根为2+73，求方程的另一根和c的值.

练1、已知关于x的方程x2_ 13x + k=0的两根a ,b满足条件a- 3b = 1,求k的值.

类型三、根系关系+根的定义

例1、已知a, b是方程X2+2x-5=0的两个实数根，a2+ ab+2a的值为_______________________

例2、已知X1, X2是方程X2+ 3x + 1 = 0的两根，求x13 + 8x2+20的值.

练1、已知a、b是一元二次方程x2-2X-1= 0的两个实根，求X13 + 2x22 + X2 - 3的值.

练2、已知X1, x2是方程x2+ X-3 = 0的两根，求X i3-4x22 + 19的值.

类型四、根系关系中的隐含条件

类型五、根系关系求参数

例仁已知关于X的方程x2 +(2k- 3)x+k2 - 3=0有两个实数根X1，X2 ,且X1+ x2=

X i X2

例1、已知为公2是一元二次方程4x2- (3m- 5)x- 6m2= 0的两个实数根，且X

1

X

=3，则

2

练1、设X i,X2是方程x2-2(k+1)+k2+ 2 = 0的两个不同的实根，(X i + 1)(x2 +1)= 8，求k值.

练2、已知关于x的方程x2 +2(m+2)x+m2- 5 = 0有两个实数根，并且这两个根的平方和

比这两个根的积大16,求m的值.

类型六、根系关系解决根的分布例1、已知x1,x2是方程ax2 +(a + 2)x+9a= 0的两根，且X1 <1

练1>若关于x的一元二次方程x2-(2k- 3)x+(2k- 4) = 0的一个根大于3，一个根小于3，

求k的取值范围

类型七、条件中含绝对值的处理

m= __________

1

练1、已知关于x的方程X - (k + 2)x + k? +1 = 0的两个实根X1, x2 (x1

求k的值.

类型八、利用根系关系构造新方程

[a 1

例1> 若ab 1 1，且有5a2+ 2001a + 9= 0及9b2+20113 + 5 = 0，贝卩一= ，a+ = _______

b b

1 5 1 1

练1、已知2m2-5m-1=0，~2 + -2 = 0 且m1n ,求一+ —的值.

n n m n

类型九、根系关系与判别式的结合求最值

例1、设X1, X2是方程2x2- 4mX+2m2+3m-2 = 0的两个实根，当m为何值时，x12 + x22有最小值，并求出这个最小值练1>若关于x的二次方程(m2-4)x2 + (2m-1)x + 1 = 0(m为实数)的两实根的倒数和为S, 求S的取值范围.

【知识总结】思想：转化思想，分了思想，方程思想，整体思想.

方法：1. 利用跟与系数的关系将于一元二次方程的根有关的问题转化为与系数相关的式子，结合二次项系数a 1 0和判别式? 3 0求值或求取值范围

2.由方程的两根X i, X2构建二次项系数为1的一元二次方程x2- (x1 + x2)x + x1x2= 0.

3.与根的符号相关的问题，一般先转化为X1+X2和X i X2的符号问题，列不等式求解•