第四章 指数函数与对数函数 尖子生培优卷 -高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 尖子生培优卷
一、单选题。

本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．已知函数2
170
()ln e e
x x f x x x -⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，，，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1][3,)-∞-⋃+∞ C ．[1,3]- D ．(,3]-∞
2．已知函数1
()e 24e
x x f x x =--+，其中e 是自然对数的底数，若2(6)()8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．(3,2)- C ．(,3)-∞-
D ．()(),32,-∞-+∞
3．设函数22
log (1),13
()(4),3x x f x x x ⎧-<≤=⎨->⎩
，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()341211
4x x x x ++的取值范围是（ ） A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．(0,1)
C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
4．()22,0
1ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩
，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则
下列结论中正确的为（ ） ①()0,1m ∈；
①()
12
2e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数；
①函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①
5．若不等式()()()221212log 1log 3,,13
x x
a x x ++-≥-∈-∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）
A ．[0,)+∞
B ．[1,)+∞
C ．(,0]-∞
D ．(,1]-∞.
6．已知a R ∈，设函数()222,1,ln 1,1,
x ax a x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩若关于x 的方程()1
4f x x a =-+恰有两个互异的实数解，
则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(],0-∞
B
．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
C ．(
],0⎫
-∞⋃+∞⎪⎪⎝⎭
D
．5,4⎛⎡⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎣
⎭⎝⎭ 7．已知函数()3log ,03
15,32x x f x x x ⎧<≤⎪
=⎨->⎪⎩，若a ，b ，
c ，
d 互不相等，且()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是（ ） A ．196,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．4011,3⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．4012,3⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
D ．()12,14
8．已知函数22,01
()1,0x
x x f x x x
⎧≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪⎩，若函数()()g x f x t =-有三个不同的零点()123123,,x x x x x x <<，则
123
111
x x x -
++的取值范围是（ ） A ．()3,+∞
B ．
2,
C
．)
⎡+∞⎣
D
．()
+∞
二、多选题。

本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．已知函数()(1),()()()x f x a a g x f x f x =>=--，若12x x ≠，则（ ） A ．()()()1212f x f x f x x =+
B ．()()()1212f x f x f x x +=
C ．()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +>+
D ．()()121222g x g x x x g ++⎛⎫> ⎪⎝⎭
10．已知函数()(1)x f x a a =>，()()()g x f x f x =--，若12x x ≠，则（ ） A ．()()()1212f x f x f x x =+ B ．()()()1212f x f x f x x +=
C ．()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +>+
D ．()()
121222
g x g x x x g ++⎛⎫
⎪
⎝⎭
11．已知互不相等的三个实数a ，b ，c 都大于1，且满足lg lg lg lg a a
a c c b
⋅=⋅，则a ，b ，c 的大小关系可能是（ ） A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．a c b <<
D ．b a c <<
12．已知函数2
1,()()(2),x e x m
f x m R x x m ⎧-≥=∈⎨-+<⎩
，则（ ） A ．对任意的m R ∈，函数()f x 都有零点.
B ．当3m ≤-时，对12x x ∀≠，都有()()()()12120x x f x f x --<成立.
C ．当0m =时，方程[]()0f f x =有4个不同的实数根.
D ．当0m =时，方程()()0f x f x +-=有2个不同的实数根.
三、填空题。

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知关于x 的方程2222
212x a x a x x a ++-=-+-+有解，则实数a 的取值范围是___________．
14．已知函数()()2
13log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x ，21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪
⎝
⎭，都满足不等式()()2121
0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是________.
15
．设函数()f x m =a ､()b a b <，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，则实数m 的取值范围是___________.
16．已知函数()24
222x a
x x f x x x -⎧+≥⎪
=⎨⎪<⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x f x =，
则实数a 的取值范围是______．
四、解答题。

本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式15y at =-（0a >，a 为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）
满足关系式21,
45,1 4.t y t t ⎧<<⎪
=⎨-≤≤⎪
⎩
现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收
与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
（1）若1a =，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a 的取值范围．
18．设非空实数集X 中存在最大元素M 和最小元素m ，记()X M m ∆=-. （1）已知{}1,1X =-，{}0,Y b =，且()()X Y ∆=∆，求实数b .
（2）设[],2X a a =+，{}2
,Y y y x x X ==∈，是否存在实数a ，使得()1Y ∆=？若存在，求出所有满足条
件的实数a ，若不存在说明理由.
（3）设0a >，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
在区间[],1t t +上值域记为Y ，若对任意1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，函数都满足
()1Y ∆≤，求a 的取值范围.
19．对于定义在D 上的函数()f x ，若对任意a A ∈，不等式()()f x f x a +≤对一切x D ∈恒成立，则称函数()f x 是“A 控制函数”．
（1）当{}1A =-，判断()2f x x =-、()61g x x =+是否是“A 控制函数"；
（2）当()1,2A =，()22log f x x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，[),x m ∈+∞，若函数()f x 是“A 控制函数”，求正数m 的取值范围；
（3）当{}2,A t =-，{}13,5t ∈，，D 为整数集，若函数()f x 是“A 控制函数”且均为常值函数，求所有符合条件的t 的值．
20．已知函数221
()x x f x x
-+=．
（1）在1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
内，求()f x 函数的值域；
（2）不等式(2)20x x f k -⋅≥在[1,1]x ∈-时恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）若方程2
(|21|)(
3)0|21|
x
x
f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
21．已知二次函数()y f x =满足对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=-+；(0)3f =-；()y f x =的图象与x 轴的两个交点之间的距离为4. （1）求()y f x =的解析式；
（2）记()()5g x f x kx =++，[1,2]x ∈- （i ）若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；
（ii ）记()g x 的最小值为()h k ，若方程()
2
4h t λ-=有两个不等的根，求λ的取值范围.
22．如果函数()f x 满足在集合*N 上的值域仍是集合*N ，则把函数()f x 称为H 函数．例如：()f x x =就是H 函数．
（1）下列函数：①2y
x ，①21y x =-，①y =中，哪些是H 函数（只需写出判断结果）？
（2）判断函数()[ln ]1g x x =+是否为H 函数，并证明你的结论．
（3）证明：对于任意实数a ，b ，函数()x
f x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．
（注：“[]x ”表示不超过x 的最大整数）
参考答案
1．C
【解析】当70x -≤≤时，()1f x x =+的值域为[]0,6 当2e x e -≤≤时，()f x lnx =的值域为[]2,1-
所以2
170
()ln e e x x f x x x -⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩
，，的值域记为[]2,6A =- 若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，即2()g a A ∈，即224a a -∈[]2,6-, 解得a 的取值范围为[1,3]- 故答案为：C 2．B
【解析】令()()14e 2e x x g x f x x =-=
--，()()11e 2e 2e e x x
x x
g x x x g x ----=-+=-+=-，所以()g x 为奇函数，不等式2(6)()8f a f a -+>，等价于()2
(6)4()4f a f a -->--，即2(6)()g a g a ->-，因为()g x 为奇函
数，所以2(6)()g a g a ->-，因为1
,,2x x e x e
--均为减函数，根据单调性的性质可知，()g x 为减函数，则26a a -<-，解得：32a -<<
故选：B 3．A
【解析】由分段函数知：12x <
≤时()(,0]f x ∈-∞且递减；23x <≤时()[0,1]f x ∈且递增；
34x <<时，()(0,1)f x ∈且递减；4x ≥时，()[0,)f x ∈+∞且递增；
①()f x 的图象如下：()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，
由图知：01a <<时()f x a =有四个实数根，且123412345x x x x <<<<<<<<，又348x x +=，
由对数函数的性质：121212(1)(1)()11x x x x x x --=-++=，可得
21
111x x =-， ①令()341112211111
2214x x x x x t x x x ++=+=-+=，且1322
x <<， 由1()21g x x x =-+在3(,2)2上单增，可知31
()21(2)2g x g x
<-+<，
所以
10932
t << 故选：A 4．D
【解析】解：函数()2
2,0
1ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩
的图像如图：
()()()()f f b f d a c f m ====，
即直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪
=⎨+>⎪⎩
图像有4个交点，故()0,1m ∈，①正确；
()()()()f f b f d a c f m ====， 不妨设a b c d <<<，
则必有2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+， ln ln 2d c ∴+=-，则2
e c d
-=，且11e d <<
2e c d d d -∴++=，由对勾函数的性质可得函数2
e y x x
-=+在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，
()2
122e ,e 1e d
c d d ---∴+=∈++，
()1222,1a b c d e e --∴+++∈--，①正确；
函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，如图
当1m =时，函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 当0m =时，研究y x =与1ln y x =+是否相切即可， 1
y x
'=
，令1y '=，则1x =，则切点为()1,1，此时切线方程为11y x -=-，即y x =， 所以y x =与1ln y x =+图像相切，此时函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 因为()0,1m ∈，故函数()y f x =与y x m =+的图像恒有3个交点， 即函数()y f x x m =--恰有三个零点，①正确. 故选：D. 5．D
【解析】题设不等式化为1
2212(1)3log log 33x x x a -++-≥，即112(1)333x x x a -++-≥，
123x x a +≥⋅，1233x
x
a ⎛⎫⎛⎫
≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
易知1233x
x
y ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是减函数，1x <时，12133y <+=，
所以由不等式1233x x
a ⎛⎫⎛⎫
≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上恒成立得1a ≤.
故选：D. 6．D
【解析】解：当1x >时，令1ln 14x x a +=-+，则1
ln 104x x a ++-=，
因为1
ln 4
y x x =+在(1,)+∞为增函数，
所以当该方程在1x >时无实数根时，1104a +-≥，解得5
4
a ≤，
①当54a >
时，1x >时，1
ln 14
x x a +=-+有一个解，
所以1x ≤时，2
1224
x ax a x a -+=-+有一个解，
即二次函数2
1(2)4y x a x a =+-+在1x ≤时有1个解，且设为0x ，则01x ≤，
而对称轴为121428
a x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-， 由于54a >
，所以19
188
x a =->>，即1x =在对称轴左侧，且二次函数开口向上， 所以当1x ≤时，函数2
1(2)4
y x a x a =+-+是递减的，
所以当1x =时，1512044a a a +-+=-≤，解得：54
a ≥， 又因为54a >，所以当1x ≤时有一个解，所以5
4
a >成立； ①当54a =
时，1
ln 14
x x a +=-+在1x >时无解， 而2
1224x ax a x a -+=-+在1x ≤时有两个解，所以54
a =时成立；
①当54a <
时，1
ln 14
x x a +=-+在1x >时无解， 当1x ≤时，2
1224
x ax a x a -+=-+，
所以方程2
1(2)04
x a x a +-+=要在1x ≤时有两个解，
所以2
144016a a a ∆=-+
->
，解得a >
a < 因为54a <
，所以a <， 设方程2
1(2)04x a x a +-+=的两个解分别为()1212,x x x x <，则121x x <≤，
所以当1x =时，11204a a +-+≥，所以54a ≤
，所以a <，
综上得：a <
54a ≥，
即实数a
的取值范围是5,4⎛⎡⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎭
. 故选：D. 7．C
【解析】由()f x 图象知：()f x 在0,1、()3,5上是减函数，在()1,3、()5,+∞上是增函数，且()10f =，
()31f =.
a，b，c，d互不相等，且()()()()
f a f b f c f d
===，
∴不妨设a b c d
<<<，则
1
1357
3
a b c d
<<<<<<<<，
由()()
f a f b
=，得
33
log log
a b
-=，
∴1
ab=，即
1
a
b
=，又()()
f c f d
=，得10
c d
+=，
∴
1
10
a b c d b
b
+++=++，令()110
g b b
b
=++()
13
b
<<，
由对勾函数的单调性可知：()
1
10
g b b
b
=++在()
1,3上单调递增，
①()40
12,
3
g b
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，
故选：C.
8．A
【解析】由题设，当0
x=时(0)0
f=，
当0
x>
时
2
()1
1
f x
x
x
==
+，当且仅当1
x=时等号成立，故()(0,1]
f x∈，且(0,1)上递增，(1,)
+∞上递减，
当0
x<时()
f x单调递增，且()(0,)
f x∈+∞，
综上可得，如下函数图象：
①要使()()
g x f x t
=-有三个不同的零点()
123123
,,
x x x x x x
<<，则01
t<<，
由图知：0
x<有
1
1
t
x
-=，当0
x>时令
2
2
1
x
t
x
=
+
，则220
tx x t
-+=，有23
2
x x
t
+=，
23
1
x x=，
①1231112
t x x x t -++=+且01t <<，而2y t t =+在01t <<上递减， ①123
111
(3,)x x x -
++∈+∞. 故选：A 9．AC
【解析】A 选项：()()()12121212x x x x
f x f x a a a f x x +===+成立，A 选项正确；
B 选项：()()1212x x f x f x a a +=+，()121212x x x x
f x x a a a =≠+，B 选项错误；
C 选项：由()(1)x f x a a =>，故()()()x x g x f x f x a a -=--=-在R 上单调递增，假设12x x >，则()()12g x g x >，故()()()()()()()()11221221112212x g x x g x x g x x g x x g x g x x g x g x +-+=---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()()()12120x x g x g x =-->⎡⎤⎣⎦，即()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +>+，C 选项正确；
D 选项：()()()1212112112122
21222x x x x
x x x x g x g x x x g a a a a a a ++---++⎛⎫-
=---+- ⎪⎝⎭
12121212221222x x x x x x x x a a a a a a ++---⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-----⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦121221121212
22222
21222x x x x x x x x x x x x a a a a a a +--+---⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-----⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
12121221
2222
122x x x x x x x x a a a a ++---⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，又12x x ≠
，由基本不等式可知1221
22220x x x x a a ----<-=，且当120x x +>时
12
122
2
0x x x x a a
++-
->，当120x x +<时
12122
2
0x x x x a
a
++-
-<，故当
120x x +>时，原式0<，即
()()12122
2g x g x x x
g ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，当120x x +<时，原式0>，即()()1212
22g x g x x x g ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
，故D 选项错误； 故选：AC. 10．AC
【解析】解：对选项A ：因为1212x x x x a a a +⋅=，所以()()()1212f x f x f x x =+，故选项A 正确； 对选项B ：因为1212x x x x a a a +≠，所以()()()1212f x f x f x x +≠，故选项B 错误； 对选项C ：由题意，因为1a >，所以()()()x x g x f x f x a a -=--=-在R 上单调递增， 不妨设12x x >，则()()12g x g x >，所以()()()()121122x x g x x x g x ->-，即
()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +>+，故选项C 正确；
对选项D ：因为()(1)x f x a a =>，且12x x ≠，所以由凹凸性有()()12121
22x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
， 又1()(1)x
f x a a ⎛⎫
-=> ⎪⎝⎭
，所以由凹凸性有
()()121
21
22x x f f x f x --⎛⎫>-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
，
所以有()()()()12
12112211
2222x x x x f f x f x f f x f x +--⎛⎫⎛⎫+-+-<++⎡⎤⎡⎤
⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭
， 即()()()()21212
2111
12222x x x x f f f x f x f x f x +--⎛⎫⎛⎫-<+--+-⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭
， 即()()121
2
2
2g x g x x x g ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
，故选项D 错误； 故选：AC. 11．AB
【解析】由已知，lg (lg lg )lg (lg lg )a a c c a b -=-， 即2lg 2lg lg lg lg 0a a c b c -⋅+⋅=．
则关于x 的方程22lg lg lg 0x x c c b -+⋅=有正实根， 所以24lg 4lg lg 4lg (lg lg )0c c b c c b ∆=-⋅=-≥． 因为,1,1b c b c ≠>>，则lg lg c b >，所以c b >． 设2()2lg lg lg f x x x c c b =-+⋅，
则二次函数()f x 的关于直线lg x c =对称，且(lg )0f a =， 2(lg )lg lg lg lg (lg lg )0f b b b c b b c =-⋅=-<．
若lg x a =是()f x 的一个较小零点，则lg lg lg a b c <<，即a b c <<； 若lg x a =是()f x 的一个较大零点，则lg lg lg b c a <<，即b c a <<. 故选：AB ． 12．AC
【解析】当10x e -=时，0x =；当()2
20x -+=时，2x =-；
所以当0m >时，函数()f x 只有1个零点，当20m -<≤时，函数()f x 只有2个零点，
2m ≤-时，函数()f x 只有1个零点，故A 正确；
当3m ≤-时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数()f x 为单调递增函数，故B 错； 当0m =时，令()t f x =，由()0f t =得0t =或2t =-，作出函数()f x 的图象
如图所示，当()2t f x ==-时，方程[]()0f f x =有两个解；()0t f x ==方程[]()0f f x =有两个解； 所以方程[]()0f f x =有4个不同的实数根，故C 正确；
当0m =时，方程()()0f x f x +-=，则()()f x f x =--，如图所示，有1个不同的交点， 则故D 错误． 故选：AC
13．1a ≥或1a ≤-
【解析】解：由题知，2222
212x a x a x x a ++-=-+-+有解
①当2x a <-时，即2222212x a a x x x a --=-+-+-+ 化简得22421x x a -=-有解 即()()2
222214a a a ->--⨯-
整理得：42210a a ++<无解
①当22a x a -≤≤时，即2222212x a a x x a x +=-+--++ 化简得2210x x -+=解得1x = 即221a a -≤≤ 解得：1a ≥或者1a ≤-
①当2x a >时，即2222212x a a x x a x +=-+-++- 化简得：2221a x =+有解 即()2
2221a a >+
化简得：()2
210a -<无解
综上，实数a 的取值范围为：1a ≥或1a ≤- 故答案为：1a ≥或1a ≤-. 14．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】由不等式
()()21210f x f x x x ->-可知，()213()log f x x ax a =--在1,2x ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭上单调递增，
又因为13log y u =在1,2x ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭上单调递减，
则2u x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，且0>u 在1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭上恒成立，
所以2
12211022a
a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪----≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得1
12a -≤≤． 故答案为：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
15．13
(,34
]--
【解析】由题设，()f x 为增函数且定义域为[3,)-+∞，要使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，
①()()3f a m a f b m b b a ⎧==⎪⎪=⎨⎪>≥-⎪⎩
，易知：a m b m -=-，
①y x m =-
与y =3x ≥-上有两个交点，即22(21)30x m x m -++-=在[3,)-+∞上有两个根且
0x m -≥恒成立即3m ≤-，
①对于22()(21)3g x x m x m =-++-，有()
()()222(21)430
21{32
363210
m m m g m m ∆=+-->+>--≥+++≥，可得134m >-，
①综上，13
34
m -
<≤-. 故答案为：13
(,34
]-- 16．04a ≤<
【解析】解：设函数()24,2x g x x x +=≥的值域为A ，函数()2,2x a
h x x -=<的值域为B ，
因为对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x f x =， 则A B ⊆，且B 中若有元素与A 中元素对应，则只有一个.
当[)12,x ∈+∞时，()244
x g x x x x
+==+，
因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，
所以[)4,A =+∞， 当()2,2x ∈-∞时，()2
,2x a
h x x -=<
①当2a ≥时，()2
,2a x
h x x -=<，此时()22,a B -=+∞，
224a -∴<，解得24a ≤<，
①当2a <时，()2,2,2a x x a x a
h x a x --⎧<=⎨≤<⎩
，
此时()h x 在(),a -∞上是减函数，取值范围是()1,+∞，
()h x 在[),2a 上是增函数，取值范围是)21,2a
-⎡⎣，
224a -∴≤，解得02a ≤<，
综合得04a ≤<. 故答案为：04a ≤< 17．
（1）当2t =时血液中药物的浓度最高，最大值为6 （2）504
a <≤ 18． （1）2
b =±. （2）存在，1a =-. （3）23
a ≥. 19．
（1）()f x 是，()g x 不是 （2）[1,)+∞ （3）1,3,5 20． （1）10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
（2）0k ≤ （3）0k >
解：2211
()=2x x f x x x x
-+=+-，
由对勾函数的单调性可知，在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，()f x 单调递减，在(]1,2x ∈上，()f x 单调递增．()f x 最小值为0，()f x 最大值为
1
2
，则函数的值域为10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
（2）
解：设2x
t =，不等式(2)20x x
f k -⋅≥可化为：221
0t t k t t
-+-⋅≥
问题等价于2210t t k t t
-+-⋅≥在1[,2]2t ∈时恒成立；即：211()21k t t ≤-⋅+＝2
1(1)t -在1[,2]2t ∈时恒成立，
而此时11[,2]2
t ∈，则2
1(1)t -的最小值为0，所以0k ≤.
（3）
解：令|21|x m =-，作出函数21x
y =-的图象，如图，由图象知01m <<时，|21|x m =-有两解，m 1≥时，
|21|x m =-有一解．
方程2
(|21|)(
3)0|21|
x
x f k -+-=-有三个不同的实数解
⇔关于m 的方程2
()(
3)0f m k m
+-=有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于1； 2()(3)0f m k m +-=可化为：2212
(3)0m m k m m
-++-=
化简得：2(23)210m k m k -+++=，
若方程有一根为1，则0k =，此时方程为2210m m -+=，方程有两个相等实根1，不合题意，因此它的两根分别介于(0,1)和(1,)+∞，只要21(23)1210k k -+⋅++<， ①0k >．
21．（1）2()23f x x x =+-；（2）（i ）(,6][0,)-∞-⋃+∞；（ii ）2λ=或1λ<. 【解析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠由题意知：对称轴12b
x a
=-
=-， 2b a ∴=，又(0)3f =-，则3c =-，
2()23f x ax ax ∴=+-，
设()0f x =的两根为1x ，2x ，则122x x +=-，123x x a
-⋅=，
由已知：124x x -=，解得1a =
2()23f x x x ∴=+-.
（2）（i ）2()()5(2)2g x f x kx x k x =++=+++，其对称轴为2
2
k x +=- ()g x 为单调函数，
2
12k +∴-
≤-或222
k +-≥，解得0k ≥或6k ≤-. k ∴的取值范围是(,6][0,)-∞-⋃+∞.
（ii ）2()(2)2g x x k x =+++，[1,2]x ∈-，对称轴2
2
k x +=-. ①当2
12
k +-
≤-，即0k ≥时，()g x 在区间[1,2]-单调递增， nin ()()(1)1h k g x g k ∴==-=-.
①当2
22
k +-
≥，即6k ≤-时，()g x 在区间[1,2]-单调递减， min ()()(2)210h k g x g k ∴===+
①当2122k +-<-<，即60k -<<时，2
nin 244
()()24k k k h k g x g +--+⎛⎫==-=
⎪⎝⎭
， 2
210,6
44
(),6041,0
k k k k h k k k k +≤-⎧⎪--+⎪∴=-<<⎨⎪-≥⎪⎩
函数()2
()4t h t ϕλ=--零点即为方程()
24h t λ-=的根
令244t m -=≥-，即()h m λ=，作出()h m 的简图如图所示
①当1λ=时，()1h m =，4m =-或0m =，解得0t =或2t =±，有3个零点； ①当1λ<时，()h m λ=有唯一解10m >
，解得t =2个零点；
①当12λ<<时，()h m λ=有两个不同解2m ，3(4,2)(2,0)m ∈--⋃-
，解得t =
或t =4个零点；
①当2λ=时，()2h m =，2m =-
，解得t =，有2个零点；
①当2λ>时，()h m λ=无解，无零点 综上：当2λ=或1λ<时，有2个零点.
22．（1）只有y =是H 函数；（2）函数()[ln ]1g x x =+是H 函数；证明见解析 ；（3） 证明见解析．
【解析】（1）解：只有y =是H 函数 （2）解：函数()[ln ]1g x x =+是H 函数． 证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N ．
不妨设[ln ]1x k +=，*k ∈N ，由[ln ]1x k +=，可得1ln k x k -<，即111e e e k k k x --<，
因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立，所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -<，所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N ，满足[ln ]1x k +=， 所以函数()[ln ]1g x x =+是H 函数．
（3）证明：当0b 时，有2
(2)0f b a ⎡⎤=⋅⎣⎦， 所以函数()x
f x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．
当0b >时，①若0a ，有(1)[]0f b a =⋅，所以函数()x f x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数． ①若01a <，得x b a b a ⋅⋅，所以*x ∀∈N ，都有 ()[]x
f x b a b a ⎡⎤=⋅⋅⎣⎦， 所以函数()x
f x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．
①若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2
log (1)
a
m b a >⋅-，
所以一定存在正整数k ，使得12k k b a b a +⋅-⋅>，所以1n ∃，*
2n ∈N ，
使得1
12k k b a n n b a +⋅<<<⋅，所以12 ()(1)f k n n f k <<+．
又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅，所以()()f x f k ； 当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅，所以()(1)f x f k +，
所以*x ∀∈N ，都有{}
*
1()|n f x x ∉∈N ，
所以函数()x
f x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．
综上所述，对于任意实数a ，b ，函数()x f x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．。