二维抛物线方程数值解法(ADI隐式交替法)方法

ADI隐式交替法三种解法及误差分析（一般的教材上只说第一种）

理论部分参看孙志忠：偏微分方程数值解法

注意：

1.最好不要直接看程序，中间很多公式很烦人的（一定要小心），我写了两天，终于写对了。

2.中间：例如r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))形式写成分形式：r*u(i-1,m1,k)+r*u(i+1,m1,k)后面会出错，我也不是很清楚为什么，可能由于舍入误差，或者大数吃掉小数的影响。

3.下面有三个程序

4.具体理论看书，先仔细看书（孙志忠：偏微分方程数值解法）或者网上搜一些理论。

Matlab程序：

1.function [u u0 p e x y t]=ADI1(h1,h2,m1,m2,n)

%ADI解二维抛物线型偏微分方程(P-R交替隐式，截断)

%此程序用的是追赶法解线性方程组

%h1为空间步长，h2为时间步长

%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数

%p为精确解，u为数值解,e为误差

%定义u0(i,j,k)=u(i,j,k+1/2),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数

x=(0:m1)*h1+0;%定义x0,y0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%

y=(0:m2)*h1+0;

t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;

for k=1:n+1

for i=1:m2+1

for j=1:m1+1

f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));

end

end

end

for i=1:m2+1

for j=1:m1+1

u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));

end

end

for k=1:n+1

for i=1:m2+1

u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))]; u0(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t0(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t0(k))] ;

end

end

for k=1:n+1

for j=1:m1+1

u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))]; u0([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t0(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t0(k))];

end

end

r=h2/(h1*h1);r1=2*(1-r);r2=2*(1+r);

for k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% for i=2:m2

a=-r*ones(1,m1-1);

c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;

b=r2*ones(1,m1-1);

d(1)=r*u0(i,1,k)+r*(u(i-1,2,k)+u(i+1,2,k))+r1*u(i,2,k)+...

h2*f(i,2,k);

for l=2:m1-2

d(l)=r*(u(i-1,l+1,k)+u(i+1,l+1,k))+r1*u(i,l+1,k)+...

h2*f(i,l+1,k);

%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性

end

d(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))...

+r1*u(i,m1,k)+h2*f(i,m1,k);

for l=1:m1-2 %开始解线性方程组消元过程

a(l+1)=-a(l+1)/b(l);

b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);

d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);

end

u0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1); %回代过程%

for l=m1-2:-1:1

u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);

end

end

for j=2:m1

a=-r*ones(1,m2-1);

c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;

b=r2*ones(1,m2-1);

d(1)=r*u(1,j,k+1)+r*(u0(2,j-1,k)+u0(2,j+1,k))+r1*u0(2,j,k)+...

h2*f(2,j,k);

for l=2:m2-2

d(l)=r*(u0(l+1,j-1,k)+u0(l+1,j+1,k))+r1*u0(l+1,j,k)+... h2*f(l+1,j,k);

%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性

end

d(m2-1)=r*u(m2+1,j,k+1)+r*(u0(m2,j-1,k)+u0(m2,j+1,k))...

+r1*u0(m2,j,k)+h2*f(m2,j,k);

for l=1:m2-2 %开始解线性方程组消元过程

a(l+1)=-a(l+1)/b(l);

b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);

d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);

end

u(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代过程%

for l=m2-2:-1:1

u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);

end

end

end

for k=1:n+1

for i=1:m2+1

for j=1:m1+1

p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k)); %p为精确解

e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k)); %e为误差end

end

end

2.function [u p e x y t]=ADI2(h1,h2,m1,m2,n)

%ADI解二维抛物线型偏微分方程(D'Yakonov交替方向隐格式)

%此程序用的是追赶法解线性方程组

%h1为空间步长，h2为时间步长

%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数

%p为精确解，u为数值解,e为误差

%定义u0(i,j,k)=u'(i,j,k)(引入的过渡层),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数x=(0:m1)*h1+0;

y=(0:m2)*h1+0;

t=(0:n)*h2+0;t0=(0:n)*h2+1/2*h2;%定义t0是为了f(x,y,t)~=0的情况% for k=1:n+1

for i=1:m2+1

for j=1:m1+1

f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));

%编程时-t0(k)写成了+t0(k),导致错误;

end

end

end

%初始条件