向量的概念及基本运算PPT课件
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“高一数学必修2-向量课件”
向量的模和单位向量可以用于计 算距离和方向。
参数方程
参数方程是用参数来表示向量的方程。
向量方程的应用
平面的解析式
可以用向量方程来表示平面。
代数方程的转化
向量方程可以将代数方程转 化为几何问题。
其他应用
向量方程在物理、工程和计 算机图形学中有广泛应用。
向量的模、单位向量及其应用
向量模
向量的模等于向量的长度。
单位向量
单位向量是模为1的向量。
应用举例
高一数学必修2——向量 课件
本课件介绍高一数学必修2的向量部分内容，包括向量的定义及基本概念，表 示和运算，共线和共面的判定，数量积和夹角的性质，向量在平面内的投影 及应用，叉乘的运算规则和几何意义，以及向量空间的基本概念。
向量的表示和运算
向量表示
向量加法
向量可以用有向线段或坐标表示。 向量加法满足交换律和结合律。
应用举例
向量投影可以用来计算物体 在斜面上的重力分量。
向量叉乘及其运算规则
叉乘定义
叉乘是两个向量的积的向量。
叉乘运算规则
叉乘满足右手法则和分配律。
向量叉乘的几何意义以及应用
1
几何意义
叉乘的模等于由两个向量所确定的平行
应用举例
2
四边形的面积。
叉乘可以用来计算平行四边形的面积和
判定三个向量共面。
3
补充知识
可以通过叉乘来计算向量的混合积。
平面向量和向量组的线性运算
线性组合
线性组合是指多个向量与对应的系数相乘再求和的 过程。
向量组的线性相关和线性无关
线性相关和线性无关描述向量组中向量之间的关系。
向量空间的基本概念和性质
1 向量空间定义
参数方程
参数方程是用参数来表示向量的方程。
向量方程的应用
平面的解析式
可以用向量方程来表示平面。
代数方程的转化
向量方程可以将代数方程转 化为几何问题。
其他应用
向量方程在物理、工程和计 算机图形学中有广泛应用。
向量的模、单位向量及其应用
向量模
向量的模等于向量的长度。
单位向量
单位向量是模为1的向量。
应用举例
高一数学必修2——向量 课件
本课件介绍高一数学必修2的向量部分内容，包括向量的定义及基本概念，表 示和运算，共线和共面的判定，数量积和夹角的性质，向量在平面内的投影 及应用，叉乘的运算规则和几何意义，以及向量空间的基本概念。
向量的表示和运算
向量表示
向量加法
向量可以用有向线段或坐标表示。 向量加法满足交换律和结合律。
应用举例
向量投影可以用来计算物体 在斜面上的重力分量。
向量叉乘及其运算规则
叉乘定义
叉乘是两个向量的积的向量。
叉乘运算规则
叉乘满足右手法则和分配律。
向量叉乘的几何意义以及应用
1
几何意义
叉乘的模等于由两个向量所确定的平行
应用举例
2
四边形的面积。
叉乘可以用来计算平行四边形的面积和
判定三个向量共面。
3
补充知识
可以通过叉乘来计算向量的混合积。
平面向量和向量组的线性运算
线性组合
线性组合是指多个向量与对应的系数相乘再求和的 过程。
向量组的线性相关和线性无关
线性相关和线性无关描述向量组中向量之间的关系。
向量空间的基本概念和性质
1 向量空间定义
7.1向量的基本概念及其运算
ab
ab
[核心思想方法] 1、定义法 2、数形结合
3、化归与转化
[典型例题]
例1、计算 （1） 2(2a b) 7(3a b)
2 3(a 3b 3c) 5(2a 2b c)
解：（1）原式 4a 2b 21a 7b 25a 5b
（2）原式 3a 9b 9c 10a 10b 5c
证明： BD CD CB （3 e1-e2）-（-2e1-8e2）=5e1+5e2
=5（e1+e2）=5AB BD / / AB .
B点为公共点， A、B、D三点共线。
点评：根据向量平行的充要条件证明三点共线。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直， 求a、b的夹角。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，
求a、b的夹角。
解：由题意得 （ (aa+-43bb）)((77aa--52bb）)=00
7a2 +16a
7a
2
30a
b
2
15b
=0
b
2
8b
=0
(1) (2)
由(1)
(2)得46a b
2
23b
0,
即b2 =2a
3）平行向量：
如果两个向量 a, b 的方向相同或相反， 则把这一对向量叫做平行向量。 记作 a / /b. 平行向量也叫共线向量。 规定零向量平行于任意向量。
4）共面向量： 如果把几个向量的始点移到某个平面，它们的终点也都在这个平面内，
把这些向量叫做共面向量。
如果两个向量 a, b 不共线，则向量 c与向量 a, b 共面的充要条件是：
空间向量及其运算课件 课件
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
向量的加法课件(公开课获奖课件)
要点二
性质
数乘满足交换律和结合律，即k*(a+b)=k*a+k*b， (k+l)*a=k*a+l*a。
数乘的几何意义
表示伸缩
数乘可以表示向量在坐标轴上的伸缩，当k>0时，表示 向量在原方向上放大；当k<0时，表示向量在原方向上 缩小。
表示旋转
通过数乘可以将向量绕原点旋转一定的角度，旋转角度 与k的绝对值成正比。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的方向和大小同样可以 通过向量加法得到。
速度与加速度的研究
速度的合成
当物体在多个方向上运动时，其速度可以看 作是各个方向上速度的向量和，即速度的合 成。
加速度的研究
加速度的大小表示速度变化的快慢，方向表 示速度变化的方向，可以通过向量加法来研 究加速度的方向和大小。
交换律是指向量加法的结果不依赖于向量的顺序，即向量加法满足可交换性。
详细描述
交换律是向量加法的基本性质之一，它表明向量加法不具有方向性。无论向量是按什么顺序相加，其 结果都是相同的。例如，向量$vec{A} + vec{B}$和向量$vec{B} + vec{A}$是相等的。
结合律
总结词
结合律是指向量加法的结果不依赖于括 号的位置，即向量加法满足可结合性。
题目2
已知点$O(0,0)$，点$A(3,5)$，点$B( - 2, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{OA} + overset{longrightarrow}{OB}$。
综合练习题
• 总结词：综合运用向量加法的知识解决复杂问题
• 题目1：已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C(5,6)$，点$D(7,8)$，求证：四边形ABCD是平行四边形。 • 题目2：已知$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (3, - 1)$，
《向量代数》课件
详细描述
向量的向量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。其几何意义是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$所围成的平行四边形的面积。
总结词：向量的混合积是三个向量之间的混合乘积，其结果是一个标量。
VS
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。
详细描述
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。设有一组向量$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$经过线性变换得到一组新的向量$mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_n$，这个变换可以用一个矩阵表示，即$[mathbf{w}] = [mathbf{v}]A$，其中$A$是一个矩阵。
向量的模是描述向量大小的量，掌握向量的模的计算方法是学习向量代数的重要内容。
总结词
向量的模是指从原点到该向量的有向线段的长度。在二维空间中，向量的模可以用勾股定理计算；在三维空间中，向量的模则可以用勾股定理的推广计算。向量的模具有一些基本性质，如非负性、齐次性、三角不等式等。
详细描述
总结词
向量的加法与数乘是向量代数中的基本运算，掌握这些运算法则是理解向量代数的重要基础。
《向量代数》ppt课件
Contents
目录
向量代数概述向量的数量积与向量积向量的线性变换向量的空间几何意义向量代数在实际问题中的应用
向量代数概述
总结词
向量的定义与表示是学习向量代数的基础，需要掌握向量的基本概念和表示方法。
详细描述
向量的向量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。其几何意义是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$所围成的平行四边形的面积。
总结词：向量的混合积是三个向量之间的混合乘积，其结果是一个标量。
VS
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。
详细描述
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。设有一组向量$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$经过线性变换得到一组新的向量$mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_n$，这个变换可以用一个矩阵表示，即$[mathbf{w}] = [mathbf{v}]A$，其中$A$是一个矩阵。
向量的模是描述向量大小的量，掌握向量的模的计算方法是学习向量代数的重要内容。
总结词
向量的模是指从原点到该向量的有向线段的长度。在二维空间中，向量的模可以用勾股定理计算；在三维空间中，向量的模则可以用勾股定理的推广计算。向量的模具有一些基本性质，如非负性、齐次性、三角不等式等。
详细描述
总结词
向量的加法与数乘是向量代数中的基本运算，掌握这些运算法则是理解向量代数的重要基础。
《向量代数》ppt课件
Contents
目录
向量代数概述向量的数量积与向量积向量的线性变换向量的空间几何意义向量代数在实际问题中的应用
向量代数概述
总结词
向量的定义与表示是学习向量代数的基础，需要掌握向量的基本概念和表示方法。
详细描述
6.2平面向量的运算课件共40张PPT
故选 B.
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
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→
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即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
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[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
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(1)+;
→
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→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
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→
(2)++;
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解:(2)++=++
→
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=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
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解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
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[备用例 2] 化简:--.
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解:法一 --=-=.
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→
《向量的加减法》课件
《向量的加减法》PPT课 件
欢迎来到《向量的加减法》课件！在本课程中，我们将深入探讨向量的定义、 加法、减法、平移和线性组合等概念。
1. 概述
向量是一个常见且重要的数学概念，它既可以用于表示物理量，也可以用于 描述几何关系。本节将介绍向量的定义和基本性到一个新的向量。我们将讨论加法的几何意义、计算方法和运算规律。
3. 向量的减法
向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，从而得到一个新的向量。 我们将探讨减法的几何意义、计算方法和运算规律。
4. 向量的平移
向量的平移是指将一个向量从一个点移动到另一个点，从而得到一个平移后 的向量。我们将研究平移的定义、几何意义和计算方法。
5. 向量的线性组合
向量的线性组合是指用标量乘以向量再相加的运算。我们将介绍线性组合的 定义、概念、计算方法和应用。
6. 例题解析
通过解析一些实例题，我们将加深对向量加减法、平移和线性组合的理解， 并学会如何应用这些概念解决实际问题。
7. 总结
在本课程的总结中，我们将回顾重点概念、整理知识点，并提供学习建议，帮助你更好地掌握向量的加减法。
欢迎来到《向量的加减法》课件！在本课程中，我们将深入探讨向量的定义、 加法、减法、平移和线性组合等概念。
1. 概述
向量是一个常见且重要的数学概念，它既可以用于表示物理量，也可以用于 描述几何关系。本节将介绍向量的定义和基本性到一个新的向量。我们将讨论加法的几何意义、计算方法和运算规律。
3. 向量的减法
向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，从而得到一个新的向量。 我们将探讨减法的几何意义、计算方法和运算规律。
4. 向量的平移
向量的平移是指将一个向量从一个点移动到另一个点，从而得到一个平移后 的向量。我们将研究平移的定义、几何意义和计算方法。
5. 向量的线性组合
向量的线性组合是指用标量乘以向量再相加的运算。我们将介绍线性组合的 定义、概念、计算方法和应用。
6. 例题解析
通过解析一些实例题，我们将加深对向量加减法、平移和线性组合的理解， 并学会如何应用这些概念解决实际问题。
7. 总结
在本课程的总结中，我们将回顾重点概念、整理知识点，并提供学习建议，帮助你更好地掌握向量的加减法。
数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算共20张ppt
ab
c
一.空间向量的概念
相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量， 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过 平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不 共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空问向量都可以平移到同一个 平面内，成为同一平面内的两个向量。
一.空间向量的概念
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量， 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示， 有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B， 则a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
A
a B A
C
O
B
一.空间向量的概念
特殊向量
A 零向量：规定长度为0的向量叫零向量，
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
An A2
A3
A4
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终 点的向量．
二.空间向量的线性运算
在空间中，任意两个向量都可以平 移到同一个平面内，所以空间向量的 加法和减法运算与平面向量相同.
（2）空间向量的减法运算： AB OB OA
注：起点相同，差向量为减向量终点指向被减向量的终点
二.空间向量的线性运算
数乘运算
实数与向量a的积是一个向量，这种 运算叫向量的数乘 . 记作 a，它的长度和方向规定 如下： (1) a a ; (2)当 0时， a的方向与a的方向相同；
当 0时， a的方向与a的方向相反； 当 0时， a 0.
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
人教版必修二4.4.3空间向量及运算课件
矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直
B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 课
核 心
C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直
时 限
考
时
向
D．对任意位置，三对直线“AC 与 BD”，“AB 与 CD”，
基
础 AD，CD 的中点，计算：
知
识
点
方 法 技 能
课
核 心
图 7－6－4
时 限
考
时
向
①E→F·B→A；
检 测
②EG 的长．
菜单
【尝试解答】 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，则|a|＝|b|＝
基 础
|c|＝1，
知
识 点
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
方 法 技 能
E→F＝12B→D＝12c－12a，
法 技
能
1,1,2)．
①a－b 与 a 夹角的余弦值为
；
②若 ka＋b 与 a－2b 平行，则 k＝
；
核
③若 ka＋b 与 a＋3b 垂直，则 k＝
.
课 时
心
限
考 向
【答案】 ①5147 ②－12 ③175
时 检 测
菜单
(2)(2015·安阳模拟)如图 7－6－4 所示，已知空间四边形
ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，
核
＝32b－12c.
课 时
心
限
考 向
∴H→G与 b、c 共面，即 E、F、G、H 四点共面．
时 检
《向量的加法与减法》课件
结果向量的方向由输入向量的相对位 置决定，结果向量的大小则由输入向 量的长度和夹角决定。
THANKS
感谢观看
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
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向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
空间解析几何与向量代数 ppt课件
z O M O N M O O A O BC C
O A xi,O B yj,O C zk
r x i y j z k (x,y,z)
k o i
j rMB y
A
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
x
N
xi ,y j,zk 称为 r 沿三向 个坐标量 轴方向的分向量.
ppt课件
14
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x0
坐标面 : xoy面 z0
z轴
x0 y0
yoz面 x0
zox面y0
ppt课件
13
Hale Waihona Puke 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j,k 分别 x ,y ,z轴 表上 示,的 设点 M 单
的坐标为 M(x,y,z),则
四、利用坐标作向量的线性运算 设 a (a x ,a y,a z)b , (b x,b y,b z), 为实数，则
a b ( a x b x ,a y b y ,a z b z)
a(ax,ay,az)
平行向量对应坐标成比例:
当 a 0 时 ,
ba
ba
bx by b z ax ay a z
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ ppt课件
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
11
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《人教版初中数学九年级课件-向量初步》
《人教版初中数学九年级 课件—向量初步》
在这个课件中，我们将学习有关向量的基本概念和表示方法，以及向量的数 量特征、加法、减法、数乘等运算规则。让我们一起来探索数学中有趣且实 用的向量知识吧！
向量的概念与表示
1 向量是什么？
了解向量的基本概念和特点。
2 向量的表示方法
学习如何用符号表示一个向量。
向量的数量特征
模长 探索向量模长的计算方法。
方向角 学习如何用方向角描述一个向量。
向量的运算规则
加法
通过示例学习如何进行向量 的加法运算。 探索加法运算的几何意义。
减法
通过实例了解向量的减法运 算。
解释减法运算在几何上的含 义。
数乘
学习向量与实数的乘法运算 规则。
讨论数乘对向量长度和方向 的影响。
平面向量的坐标表示
应用
了解向量数量积在几何和 实际问题中的应用。
向量的夹角和正交基
夹角
学习如何计算两个向量之间的夹角。
正交基
了解正交基的概念及其在向量空间中的重要性。
向量在实际问题中的应用
1
解决力学问题
学习如何应用向量解决力学问题。探索几何问题2应用向量解决几何问题。
3
计算问题
了解如何应用向量进行计算问题的求 解。
笛卡尔坐标系
介绍平面向量的笛卡尔坐标表示方法。
极坐标系
学习平面向量的极坐标表示法。
向量的性质及判定
1
垂直性判定
2
学习如何判断两个向量是否垂直。
3
共线性判定
探索如何判断两个向量是否共线。
投影
了解向量的投影以及应用场景。
向量的数量积
定义
介绍向量的数量积及其定 义。
在这个课件中，我们将学习有关向量的基本概念和表示方法，以及向量的数 量特征、加法、减法、数乘等运算规则。让我们一起来探索数学中有趣且实 用的向量知识吧！
向量的概念与表示
1 向量是什么？
了解向量的基本概念和特点。
2 向量的表示方法
学习如何用符号表示一个向量。
向量的数量特征
模长 探索向量模长的计算方法。
方向角 学习如何用方向角描述一个向量。
向量的运算规则
加法
通过示例学习如何进行向量 的加法运算。 探索加法运算的几何意义。
减法
通过实例了解向量的减法运 算。
解释减法运算在几何上的含 义。
数乘
学习向量与实数的乘法运算 规则。
讨论数乘对向量长度和方向 的影响。
平面向量的坐标表示
应用
了解向量数量积在几何和 实际问题中的应用。
向量的夹角和正交基
夹角
学习如何计算两个向量之间的夹角。
正交基
了解正交基的概念及其在向量空间中的重要性。
向量在实际问题中的应用
1
解决力学问题
学习如何应用向量解决力学问题。探索几何问题2应用向量解决几何问题。
3
计算问题
了解如何应用向量进行计算问题的求 解。
笛卡尔坐标系
介绍平面向量的笛卡尔坐标表示方法。
极坐标系
学习平面向量的极坐标表示法。
向量的性质及判定
1
垂直性判定
2
学习如何判断两个向量是否垂直。
3
共线性判定
探索如何判断两个向量是否共线。
投影
了解向量的投影以及应用场景。
向量的数量积
定义
介绍向量的数量积及其定 义。
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(2)零向量： 长度为0的向量，记作0 .
(3)单位向量： 长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量： 方向相同或相反的非零向量.
(5)相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
2020/11/13
3
例题分析
例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由
(1)若 a与 同b 向， 且 a b , 则 a b ( ╳ )
2020/11/13
17
例题分析
例4.在△ABC中，点D是BC的中点，点N在
边AC上且AN＝2NC，AD与BN相交于点P，
若CAa，CBb，试用a 、b 表示C P .
A
N P
B
D
C
2020/11/13
18
2.分析：
A
O A O B O B O C
O B (O A O C ) 0
O BC A0
(3)两个非零向量垂直的充要条件
① a ⊥b ab0
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ⊥b x1x2 y1y2 0
2020/11/13
12
例题分析
例2.已知 a＝(1，2)， ＝b (－3，2)，
①当k为何值时，ka与b a垂3直b？ ②当k为何值时，ka与b a平3行b？
几何意义：
a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积
坐标表示：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
a b x1x2 y1y2
2020/11/13
9
3.平面向量之间的关系
（1）两个向量相等的两种形式
①abab且 a 与 b 方 向 相 同
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
又 A 与B B有D公共点B
∴A、B、D三点共
线 2020/11/13
14
例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:② 若向量 e1 e2与 e1 e2 共线
O
OB⊥ C A
B
C
同理可证：
OC⊥ A B O A ⊥ B C
2020/11/13
19
5.
D
C
N
M
A
（5题图） B
分析： A C A B A D a b
CN1AC1(ab)
4
4
M N M C C N
2020/11/13
1b1(ab) 1 (b a)
24
4
20
总结
**正确理解概念的基础上，掌握两个向量 的相等、平行、垂直的充要条件，并能熟 练运用向量的几何形式与代数形式进行运 算，
∴存在实数k 使 e 1 e 2 （ ke 1 -e 2 ）
根据向量相等的条件
k
1
k
2020/11/13
15
例3.已知向量 e1、e 2 分别是直角坐标系内与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量， ①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2;
求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
向量的基本 概念与运算
2020/11/13
1
平面向量复习
向量及相关概念
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
实数与向量的积
运算
共线向量定理 平行的充要条件
向量的数量积
垂直的充要条件
平面向量的基本定理
1.向量及相关概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
(1)向量的模： 向量的大小也就是向量的长度称 为向量的模.
① a 是 一 个 向 量 , 且aa
② 0时,a与a同向; 0 时 ,a 与 a 反 向 ;
0时, a 0
几何意义： 实质就是向量的伸长与缩短
坐标表示：若 a (x ,y ), 则 a (x, y)
24）两个非零向量的数量积
a b a b cos
2020/11/13
5
2.向量的基本运算
（1）向量的加法
几何运算： 三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
A
B
O
A
A B + B C A C O A O B O C
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
2020/11/13
**理解共线向量定理、平面向量的基本定 理，并能简单应用，解题时注意数与形的 结合.
2020/11/13
6
2.向量的基本运算
（2）向量的减法
几何运算： 三角形法则
B
B A O A O B
O
A
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
2020/11/13
7
2.向量的基本运算
( 3 ) 实 数 与 a 的 乘 积
则 abx1x2,且 y1y2
2020/11/13
10
3.平面向量之间的关系
(2)向量平行(共线)充要条件
① a ∥ b(b 0)
有且只有一个实数 使得 ab
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ∥b x1y2 x2y1 0
2020/11/13
11
3.平面向量之间的关系
平行时它们是同向还是反向?
2020/11/13
13
例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:
① B D B C C D 5(e1 e2) 5AB
AB∥B D
(2)对于任意向量 a b , 且 a 与 方b 向相同，
则a b (√)
(3)所有的单位向量都相等. ( ╳ )
2020/11/13
4
(4)零向量与任意向量都平行. ( √ )
(5)向量 A与B 是C D共线向量,则A、B、C、D
四点共线.
(╳)
(6)如果 a ∥，b b ，∥则c . a ∥ c ( ╳ )
提示:
AB(1,1)
BC(2,8)
CD(3,3)
2020/11/13
16
4.平面向量基本定理 平面向量的基本定理
如果 e 1 是, e同2 一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数1,使2, a1e12e2
不共线的向量 e 1 , e 2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
(3)单位向量： 长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量： 方向相同或相反的非零向量.
(5)相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
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例题分析
例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由
(1)若 a与 同b 向， 且 a b , 则 a b ( ╳ )
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例题分析
例4.在△ABC中，点D是BC的中点，点N在
边AC上且AN＝2NC，AD与BN相交于点P，
若CAa，CBb，试用a 、b 表示C P .
A
N P
B
D
C
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2.分析：
A
O A O B O B O C
O B (O A O C ) 0
O BC A0
(3)两个非零向量垂直的充要条件
① a ⊥b ab0
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ⊥b x1x2 y1y2 0
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例题分析
例2.已知 a＝(1，2)， ＝b (－3，2)，
①当k为何值时，ka与b a垂3直b？ ②当k为何值时，ka与b a平3行b？
几何意义：
a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积
坐标表示：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
a b x1x2 y1y2
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3.平面向量之间的关系
（1）两个向量相等的两种形式
①abab且 a 与 b 方 向 相 同
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
又 A 与B B有D公共点B
∴A、B、D三点共
线 2020/11/13
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例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:② 若向量 e1 e2与 e1 e2 共线
O
OB⊥ C A
B
C
同理可证：
OC⊥ A B O A ⊥ B C
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5.
D
C
N
M
A
（5题图） B
分析： A C A B A D a b
CN1AC1(ab)
4
4
M N M C C N
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1b1(ab) 1 (b a)
24
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总结
**正确理解概念的基础上，掌握两个向量 的相等、平行、垂直的充要条件，并能熟 练运用向量的几何形式与代数形式进行运 算，
∴存在实数k 使 e 1 e 2 （ ke 1 -e 2 ）
根据向量相等的条件
k
1
k
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例3.已知向量 e1、e 2 分别是直角坐标系内与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量， ①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2;
求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
向量的基本 概念与运算
2020/11/13
1
平面向量复习
向量及相关概念
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
实数与向量的积
运算
共线向量定理 平行的充要条件
向量的数量积
垂直的充要条件
平面向量的基本定理
1.向量及相关概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
(1)向量的模： 向量的大小也就是向量的长度称 为向量的模.
① a 是 一 个 向 量 , 且aa
② 0时,a与a同向; 0 时 ,a 与 a 反 向 ;
0时, a 0
几何意义： 实质就是向量的伸长与缩短
坐标表示：若 a (x ,y ), 则 a (x, y)
24）两个非零向量的数量积
a b a b cos
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2.向量的基本运算
（1）向量的加法
几何运算： 三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
A
B
O
A
A B + B C A C O A O B O C
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
2020/11/13
**理解共线向量定理、平面向量的基本定 理，并能简单应用，解题时注意数与形的 结合.
2020/11/13
6
2.向量的基本运算
（2）向量的减法
几何运算： 三角形法则
B
B A O A O B
O
A
代数运算：设 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
2020/11/13
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2.向量的基本运算
( 3 ) 实 数 与 a 的 乘 积
则 abx1x2,且 y1y2
2020/11/13
10
3.平面向量之间的关系
(2)向量平行(共线)充要条件
① a ∥ b(b 0)
有且只有一个实数 使得 ab
②若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
则 a ∥b x1y2 x2y1 0
2020/11/13
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3.平面向量之间的关系
平行时它们是同向还是反向?
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例3.已知向量 e1、e 2 不共线，
①若ABe1e2，BC2e18e2 ，CD3e13e2; 求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:
① B D B C C D 5(e1 e2) 5AB
AB∥B D
(2)对于任意向量 a b , 且 a 与 方b 向相同，
则a b (√)
(3)所有的单位向量都相等. ( ╳ )
2020/11/13
4
(4)零向量与任意向量都平行. ( √ )
(5)向量 A与B 是C D共线向量,则A、B、C、D
四点共线.
(╳)
(6)如果 a ∥，b b ，∥则c . a ∥ c ( ╳ )
提示:
AB(1,1)
BC(2,8)
CD(3,3)
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4.平面向量基本定理 平面向量的基本定理
如果 e 1 是, e同2 一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数1,使2, a1e12e2
不共线的向量 e 1 , e 2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底