3、函数逼近和曲线拟合

根据定理3，0 ,, n线性无关 det(G ) 0.
§2
正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x ), g( x ) C [a , b], ( x )为[a , b]上的权函数, 且 ( f , g)
b a ( x ) f ( x ) g( x )dx
n ( xpn , pn ) /( pn , pn ), n ( pn , pn ) /( pn 1 , pn 1 )，n 1,2,,
为此, 下面介绍代数和分析中 的一些基本概念 .
空间，如：R n , Rn[ x ], C[a , b], C p [a , b].
定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素 1 ,, xn S , x 如果存在不全为零的数 1 ,, n P , 使得
1 x1 n xn 0，
证明：) G非奇异 以G为系数矩阵的齐次线性 1 方程组 ( j u j , uk ) ( u j , uk ) j 0, k 1,, n.
j 1 j 1 n n
只有零解。
2)
j 1
ju j 0 ( ju j , ju j ) 0
b k a x ( x )dx存在,
k 0,1,2,;
可以有限或 无限区间
b 对于[a , b]上的非负连续函数 ( x ), 若 a g ( x ) ( x )dx g
0,
则在[a , b]上g ( x ) 0； 就称 ( x )为[a , b]上的权函数.
例2 设f ( x ), g( x ) C [a , b], ( x )为[a , b]上的权函数, 则可 定义内积
i 1 n
1 2
1 i n n
称为1 范数,
|| x ||2 xi2 ， 称为2 范数. i 1 类似地，对C [a , b]上的f ( x )，可定义三种常用范数 ：
|| f || max | f ( x ) | ， 称为 范数， || f ||1
只要给定[a , b]上的权函数 ( x ), 由{1, x , x n ,}利用逐个 正交化手续立得正交正 交多项式序列:
p0 ( x ) 0, pn ( x ) x
n n 1 ( x n , j 0 ( p j ,
pj) pj)
p j , n 1,2,. (2.3)
2 内积 ( x , y ) i xi yi；范数 || x ||2 i xi i 1 i 1
n n
1/2
.
若x , y Cn，则定义加权内积 ( x , y ) i xi y i .
i 1
n
定义4 设 ( x )是区间[a , b]上的非负函数, 如果满足条件 (1) (2)
定理 1(维尔斯特拉斯) 如果f ( x ) C [a , b], 那么 0, 多项式p( x ), 使得 | f ( x ) p( x ) | , 对于一切a x b.
伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明： 伯恩斯坦多项式 k Bn ( f , x ) f Pk ( x ), (1.3) k 0 n n k 其中Pk ( x ) x (1 x )n k , 使得 k lim Bn ( f , x ) f ( x )，在[0,1]上一致成立；
n
( 若f ( x ) C [0,1]，则 lim Bnm ) ( f , x ) f ( m ) ( x ). n
n m
其他性质： n k Pk ( x ) 0; Pk ( x ) x (1 x )n k 1. k 0 k 0 k 若 f ( x ) , x [0,1]，则
例如，三角函数族 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,, 为[ , ]上的正交函数族,
(1,1) 2 , (cos kx, cos kx) (sin kx, sin kx) , 其他内积 0.
定义6 设pn ( x )是[a , b]上首项系数an 0的n次多项式, ( x ) 为[a , b]上的权函数, 若多项式序列 pn ( x )} , 满足正交性 { 0 (2.2)，则称{ pn ( x )} 为以 ( x )为权函数的 a , b]上的正交 [ 0 多项式序列. 称pn ( x )为以 ( x )为权函数的 a , b]上的n次正 [ 交多项式.
0，
(2.1)
则称f ( x )与g ( x )在[a , b]上带权ρ(x)正交 .
设在[a , b]给定函数族 0 ( x ),1 ( x ),, n ( x ),, 且满足
0, i k , ( i ( x ), k ( x )) ( i , k 0,1,2,) (2.2) Ak , i k , 则称函数族{ n ( x )}为[a , b]上带权ρ(x)的正交函 数族 . 特别地, 当Ak 1时, 则称该函数系为 标准正交函数族 .
则称 || || 为线性空间S上的范数，S与 || || 一起称为赋范 线性空间，记为X .
例如，对R n上的向量x ( x1 ,, xn )T ，有 三种常用范数： || x || max | xi | ， 称为 范数或最大范数，
|| x ||1 | xi ， |
定义2 设S是实数域上的线性空间 x S， ， 如果存在唯一 实数 || ||，满足条件 (1) || x || 0, 当且仅当x 0时, || x || 0; (2) (3) (正定性) ( 齐次性) ( 三角不等式)
x || x ||, R;
x y || x || || y ||, x , y S .
n n
n k Bn ( f , x ) f Pk ( x ) max f ( x ) Pk ( x ) , 0 x 1 k 0 n k 0 n
故Bn ( f , x )是稳定的.
而 lk ( x ) 无界, 故拉格朗日插值 n ( x )不保证稳定性和 L
为内积空间. (v , u)为(u,v )的共轭，当K R时 (v , u) (u,v ).
定理 2 设X为一个内积空间，对 u, v X , 有 | ( u, v ) |2 ( u, u)(v , v ). 称为Cauchy Schwarz不等式. (1.6)
定理3 设X为一个内积空间， 1 , u2 ,, un X , 矩阵 u ( un , u1 ) ( un , u2 ) ( un , un ) 称为Gram矩阵，则G非奇异的充要条件是 1 , u2 ,, un线性 u 无关. ( u1 , u1 ) ( u2 , u1 ) ( u , u ) ( u , u ) 1 2 2 2 G ( u , u ) ( u , u ) 1 n 2 n
( f , g ) a ( x ) f ( x ) g( x )dx . 1, ( f , g ) a f ( x) g ( x)dx.
b
b
容易验证内积定义中的 四个性质，并导出范数
|| f ( x ) ||2

1/ 2 b 2 a ( x ) f ( x )dx . || f ( x) || b f 2 ( x)dx 1/ 2. 2 a
性质： (1) pn ( x )的首项系数为 . 1 ( 2)Qn ( x ) H n均可表为p0 ( x ), p1 ( x ),, pn ( x )的线性组合. ( 3) 当k j时，p j , pk ) 0, 且pk ( x )与任一次数小于 的多 ( k 项式正交.
（ ）有递推关系 4 pn 1 ( x ) ( x n ) pn ( x ) n pn 1 ( x ), n 0,1,, (2.4) 其中 p0 ( x ) 1，p1 ( x ) 0，
a xb b a | f ( x ) | dx，
称为1 范数, 称为2 范数.
|| f ||2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a f 2 ( x )dx ，

b

1 2
三、内积与内积空间
R n中向量x及y定义内积: ( x , y ) x1 y1 , xn yn .
定义3 设X是数域K ( R或C)上的线性空间，对 u, v X， 有K中一个数与之对应，记 ( u, v )，并满足条件： 为 (1) ( u,v ) (v , u), u,v X ; (2) (u,v ) ( u,v ), R; (3) ( u v , w ) ( u,w ) (v,w ), u,v,w X ; (4) ( u, u) 0, 当且仅当u 0时， , u) 0. (u 则称( u, v )为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间 称



设0 ,, n C[a, b], 则Gram矩阵为
G G ( 0 ,, n ) ( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( , ) n 0 ( 0 ,1 ) (1 ,1 ) ( n ,1 ) ( 0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
第3章
§1
函数逼近与曲线拟合
函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
实际需要用简单函数逼 近已知复杂函数.
函数逼近问题 : 对于函数类A中给定的函数f ( x ), 要求在 另一类较简单的便于计 算的函数类B A中找一个函数 p( x ), 使p( x )与f ( x )的误差在某种度量意义 下达到最小.
例1 考察R n与Cn的内积和范数.
设x ( x1 ,, xn )T , y ( y1 ,, yn )T R n，则定义
2 内积 ( x , y ) xi yi；范数 || x ||2 xi i 1 i 1
n n
1/2
.
若给定i 0(i 1,, n)为权系数, 则定义
k 0 n
收敛性.
函数逼近问题: 对f ( x ) C[a , b], 求 * ( x ) span{ 0 ,
n }, 使得误差f ( x ) * ( x )在某种度量意义下最小 其中 . 0 ,, n C[a , b]线性无关.
二、范数与赋范线性空间
j 1 n j 1
n
n
n
( j u j , uk ) 0, k 1,, n.
j 1
G非奇异 u1 , u2 ,, un线性无关(反证法)；反之亦然 .
在内积空间X上可以由内积导出一种 范数, 即对u X , 记 || u || ( u, u)， (1.10) 易证它满足范数定义的 正定性和齐次性, 而三角不等式由 Cauchy Schwarz不等式立得.
立，则称x1 ,, xn线性无关.
（ .1 1 ）
则称x1 ,, xn线性相关. 否则, 若(1.1)只对1 n 0成
S span{ x1 ,, xn }.
H n span{1, x ,, x n }.
有限维空间 vs 无限维空间. Rn , C [a , b],