3、函数逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。
函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。
而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。
本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。
一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。
它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。
插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。
常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。
牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。
它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。
通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。
最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。
最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。
最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。
数值分析Ch3函数逼近与曲线拟合
正交，这就需要引进范数与赋范线性空间，内积
3．1 函数逼近的基本概念
• 定义 设集合 S 是数域 P 上的线性空间，元 素 x1 , x2 , , xn S ，若存在不全为零的数 1 , 2 , , n P ，使得 1 x1 2 x2 n xn 0 则称 x1 , x2 , , xn 线性相关，否则，若仅对
数 值 分 析
Computational Method
Chapter 3 函数逼近
第三章 函数逼近与曲线拟合 设函数 y f x 的离散数据（有误差）为
x y
，
x0 y0
x1 y1
x2 y2
xn yn
希望找到简单函数 Px 整体上有 是某度量， 0 是指定精度。
f x Px
1 x1
2 x2 x 2 , 1 1 1 , 1 x , x , 3 2 2 3 x3 3 1 1 2 , 2 1 , 1
xn , 1 xn , 2 xn , n1 1 2 n1 n xn 1 , 1 2 , 2 n1 , n1 k 1 xk , i i ( k 1,2,, n) 简写为: k x xk i 1 i , i
，
x
2
。
（连续） f x Ca, b
b
常见范数：
f x 1 f x dx • 1范数： a ，
• 2-范数：
f x 2
2 f x dx a b
1 2
f x max f x • 范数： ， a ,b
数值分析第三章
称为1 − 范数 , 称为 2 − 范数 .
(
b 2 ∫a f ( x )dx
)，
1 2
三、内积与内积空间
R n中向量x及y定义内积 : ( x, y ) = x1 y1 + L + x n y n .
定义3 上的线性空间， 定义3 设X是数域 K ( R或C)上的线性空间，对 ∀u, v ∈ X， 中一个数与之对应， 并满足条件： 有K中一个数与之对应，记 为( u, v )，并满足条件： (1) ( u,v ) = (v , u), ∀u,v ∈ X ; (2) (αu,v ) = α ( u,v ), α ∈ R; (3) ( u + v , w ) = ( u,w ) + (v,w ), ∀u,v,w ∈ X ; (4) ( u, u) ≥ 0, 当且仅当 u = 0时， , u) = 0. (u 则称( u, v )为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间 称 的共轭， 为内积空间. (v , u)为( u,v )的共轭，当 K = R时 (v , u) = ( u,v ).
2)
j =1
∑ α ju j = 0 ⇔ ( ∑ α ju j , ∑ α ju j ) = 0
j =1 n j =1
n
n
n
⇔ ( ∑ α j u j , uk ) = 0, k = 1,L, n.
j =1
∴ G非奇异 ⇒ u1 , u2 ,L, un线性无关 (反证法 )；反之亦然 .
在内积空间X上可以由内积导出一种范数, 即对u ∈ X , 记 || u ||= (u , u )， Cauchy − Schwarz不等式得出. (1.10) 易证它满足范数定义的正定性和齐次性, 而三角不等式由
实验二函数逼近与曲线拟合
《数值分析》课程设计实验报告实验二函数逼近与曲线拟合一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。
二、实验步骤先写出线性最小二乘法的M文件function c=lspoly(x,y,m)% x是数据点的横坐标组成的向量，y是纵坐标组成的向量% m是要构成的多项式的次数，c是多项式由高到低次的系数所组成的向量n=length(x);b=zeros(1:m+1);f=zeros(n,m+1);for k=1:m+1f(:,k)=x.^(k-1);enda=f'*f;b=f'*y';c=a\b;c=flipud(c);方法一：近似解析表达式为：y（t）=a1t+a2t2+a3t3第二步在命令窗口输入：lspoly([0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55],[0,1.27,2.16,2.86,3.44 ,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64],2)回车得到：ans =0.0000-0.00520.26340.0178即所求的拟合曲线为y=-0.0052t2+0.2634t+0.0178在编辑窗口输入如下命令：>>x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44, 3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64];>> t=0:0.1:55;>> z=-0.0052*t.^2+0.2634*t+0.0178;>> plot(x,y,'ro',t,z);grid命令执行得到如下图（图2-1）0102030405060拟合多项式与数据点的关系方法二：假设近似表达式为：y（t）=c0+c1t+c2t2第一步在命令窗口输入：>>lspoly([0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55],[0,1.27,2.16,2.86,3. 44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64],2)回车得到：ans =-0.00240.20370.2305即所求的拟合曲线为y=-0.0024t2+0.2037t+0.2305在编辑窗口输入如下命令：>>x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64];>> t=0:0.1:55;>> z=-0.0024*t.^2+0.2037*t+0.2305;>> plot(x,y,'ro',t,z);grid命令执行得到如下图（图2-2）拟合多项式与数据点的关系三、实验结论在利用数据的最小二乘法求拟合曲线时，选取合适的近似表达式很重要，应通过不断的试验找出较为合适的近似表达式，这样才能尽可能的提高拟合精度。
牛顿迭代法的函数逼近和拟合
牛顿迭代法的函数逼近和拟合在数学和计算机科学中，函数逼近（function approximation）和拟合（function fitting）是重要的问题之一，它们涉及到如何用已知数据或函数来找出与之近似的函数形式。
而牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以被广泛地应用在函数逼近和拟合中。
一、牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种求解方程的方法，其本质是一种迭代算法，可以通过给出一个函数在某点的值以及该点的导数，迭代地求出函数的零点或者极值点。
其基本公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x_n)$表示函数在点$x_n$处的函数值，$f'(x_n)$表示函数在点$x_n$处的导数，$x_{n+1}$是通过迭代算法得到的新的近似解。
在使用牛顿迭代法时，需要注意函数的光滑性和局部收敛性，如果函数不光滑或者在某些点处导数为零，那么迭代可能会导致发散或者收敛速度极慢。
二、牛顿迭代法在函数逼近中的应用在函数逼近中，如果我们已知一些数据点$(x_i, y_i)$，并且想要找到一个函数$f(x)$，可以用这些数据点来拟合函数，那么可以使用牛顿迭代法来实现。
具体的方法如下：1.首先定义一个函数$g(x)$，它满足$g(x_i)=y_i$；2.然后利用牛顿迭代公式，给出$f(x)$的递归式：$$f(x_{n+1})=f(x_n)+\frac{g(x_n)-f(x_n)}{g'(x_n)}$$其中，$g(x)$是一个在点$(x_i, y_i)$处值为$y_i$，在其他点处为零的光滑函数。
3.重复进行上述迭代，直到得到一个满足精度要求的近似解。
通过牛顿迭代法的函数逼近方法，我们可以得到在数据点上的逼近函数，这个函数可以用来进行插值和外推等操作，同时也可以作为一个简单的近似模型来使用。
三、牛顿迭代法在函数拟合中的应用除了函数逼近，牛顿迭代法还可以用于函数拟合，这里的函数拟合指的是通过一些给定的函数基，将一个在某些点处已知函数值的函数表示为基函数线性组合的形式。
实验指导书_函数逼近
实验指导书_函数逼近与曲线拟合曲线拟合：由一组实验数据},,2,1),,{(n i y x i i =，选择一个较简单的函数)(x f （如多项式），在一定准则下，最接近这组数据.函数逼近：已知一个较为复杂的连续函数],[),(b a x x y ∈，要求选择一个较简单的函数)(x f ，在一定准则下最接近)(x y .掌握内容：切比雪夫零点插值、最佳平方逼近、曲线拟合的最小二乘法的Matlab 实现一、切比雪夫零点插值1．算法原理设1[,],()+∈n n f C a b L x 是以,0,1,,22-+=+= k k b a a bx t k n 为插值节点的Lagrange 插值多项式，其中21cos,0,1,,2(1)π+==+ k k t k n n 是Chebyshev 多项式1()n T x +的零点，此时插值误差最小，误差（余项）估计公式为：1(1)21()()()()max ()2(1)!+++≤≤-=-≤+n n n n n a x bb a R x f x L x f x n2．实例例1（P64例4） 求()x f x e =在[0,1]上的四次Lagrange 插值多项式4()L x ,插值节点用5()T x 的零点，并估计误差401max ().x x e L x ≤≤-首先编写Lagrange 插值主程序,并保存为lagrange.mfunction[L ,C, l ,L1]= lagrange (X,Y)%输入的量:n+1个节点(xi,yi)的横坐标向量X ，纵坐标向量Y ；%输出的量:n 次拉格朗日插值多项式L 及其系数向量C ，基函数l 及其系数矩阵L1 m=length(X); L=ones(m,m); for k=1: m V=1; for i=1:m if k~=iV=conv(V ,poly(X(i)))/(X(k)-X(i)); end endL1(k,:)=V; l(k,:)=poly2sym (V); endC=Y*L1; L=Y*l; l=vpa(l,4); L=vpa(L,4);然后编写如下程序,并保存为lc_P64eg4.m%P64eg4求Lagrange- Chebyshev 多项式的程序lc_P64eg4.m %X 为插值节点%L 为Lagrange- Chebyshev 多项式的表达式%C 为按降幂排列的Lagrange- Chebyshev 多项式的系数 %R 为误差限 clear;format short g s=1;for k=0:4X(k+1)=(1+cos((2*k+1)*pi/10))/2; Y(k+1)=exp(X(k+1)); s=s*(k+1); end X,[L ,C, l ,L1]= lagrange(X,Y); L, C,R=2.71828/(s*2^9)x=linspace(X(1), X(5),50); y=polyval(C,x); y1=exp(x);plot(X,Y,'r*',x,y,'r-') figure,plot(X,Y,'r*',x,y1,'b-') figure,plot(X,Y,'r*',x,y,'r-',x,y1,'b-')在Matlab 窗口中运行程序lc_P64eg4.m >> lc_P64eg4 X =0.97553 0.79389 0.5 0.20611 0.024472 L =.9988*x+.1403*x^3+.6942e-1*x^4+.5098*x^2+1.000 C =0.069416 0.14028 0.50978 0.99876 1 R =4.4243e-005图1.()xf x e 在[0,1]上的四次Lagrange- Chebyshev 插值多项式例2 (P65例5)设211()f x x =+,在[-5,5]上利用11()T x 的零点作插值点,构造10次拉格朗日插值多项式 10()L x ,并与等距节点的10()L x 近似()f x 作比较. 首先编写如下程序,并保存为lc_P65eg5.m%P64eg4求Lagrange- Chebyshev 多项式的程序lc_P65eg5.m%X 为Chebyshev 零点%L 为Lagrange- Chebyshev 多项式的表达式%C 为按降幂排列的Lagrange- Chebyshev 多项式的系数 %L1为等距节点多项式的表达式%C1为按降幂排列的等距节点多项式的系数 clear;format short for k=0:10X(k+1)=(10*cos((2*k+1)*pi/22))/2; Y(k+1)=1/(1+X(k+1)^2); end X,[L ,C, l ,L1]= lagrange(X,Y); L,C,x=linspace(X(1), X(11),100); y=polyval(C,x); y1=1./(1+x.^2);X1=linspace(-5,5,11); Y1=1./(1+X1.^2);[L1 ,C1, l1 ,L11]= lagrange(X1,Y1); L1,C1,X2=-5:0.1:5;Y2=polyval(C1,X2);plot(X,Y ,'r*',x,y,'r-',x,y1,'b-',X1,Y1,'O',X2,Y2,'k-') gtext('切比雪夫插值点r*') gtext('切比雪夫插值曲线r-') gtext('被插函数曲线b-') gtext('等距节点插值点o')gtext('等距节点插值多项式k-')在Matlab 窗口中运行程序lc_P65eg5.m,得如下图形结果(这里,数值结果略,请自己运行观察)图2. 211()f x x=+在[-5,5]上的插值多项式 10()L x 与10()L x二、最佳平方多项式逼近1．求定义在区间[a ,b ]上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法(1)设已知函数()f x 的最佳平方逼近多项式为01()n n p x a a x a x =+++ ,由最佳平方逼近的定义有:010012(,,)(,,,,)n iF a a a i n a ∂==∂其中()20101(,,)()()b nn n aF a a a f x aa x a x dx =-+++⎰(2)求多项式()p x 系数的法方程:Ca D =,其中1211222111212()(),()(b bb bbn na aa a a bbb b b n n a aa aa b bb b b n n n n n a aa aa bbb bn n n n naaa a dx xdx x dx x dx f x dx xdx x dx x dx x dx xf x dx C D x dx x dxx dx x dx x f x dx x dx x dx x dx x dx x f x -+----+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)b a dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰2．求定义在区间[a ,b ]上的已知函数最佳平方逼近多项式的主程序function [coff,d]=ZJPF(func,n,a,b) %func:已知函数%n:最佳平方逼近多项式的最高次数 %a:逼近区间的左端点 %b:逼近区间的右端点%coff:按升幂排列的逼近多项式的系数 % d:法方程的右端项 C = zeros(n+1,n+1);var = findsym(sym(func)); func = func/var; for i=1:n+1C(1,i)=(power(b,i)-power(a,i))/i; %算法中的C 矩阵的第一行 func = func*var;d(i,1)=int(sym(func),var,a,b); %算法中的D 向量的第一行 endfor i=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1); f1 = power(b,n+i); f2 = power(a,n+i);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i); %形成C 矩阵 endcoff = C\d; %求解逼近多项式的系数3.例题(教材P68例6)设211()f x x =+,求[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.首先编写被逼近函数的M 文件,并保存为funcp68eg6.m function f=funcp68eg6() syms xf=sqrt(1+x^2);然后编写如下程序,并保存为p68_eg6.m %p68_eg6.m clear;[coff,d]=ZJPF(funcp68eg6,1,0,1); coff=vpa(coff)x = findsym(sym(funcp68eg6)); func=funcp68eg6*funcp68eg6;PFWC=vpa(int(sym(func),x,0,1)-coff'*d,4)运行结果>> p68_eg6 coff =[ .9343200492928959528618412015402] [ .4269470508068461683106156461091] PFWC = .12e-2三、曲线拟合的最小二乘法1. 多项式拟合及其MATLAB 程序面对一组数据,,,2,1),,(n i y x i i = 用线性最小二乘法作曲线拟合时，如果选取一组函数02(),(),,()m x x x ϕϕϕ 为)(,,,,12n m x x x m < ，则拟合曲线为多项式11++++=m m m a x a x a y .一般m = 2,3, 不宜过高.对于指数曲线，拟合前需作变量代换，化为系数参数的线性函数.2. 用MATLAB 作线性最小二乘拟合的多项式拟合用MATLAB 作线性最小二乘拟合的多项式拟合有现成程序. 调用格式为: a=polyfit(x,y,m)其中输入参数 x ,y 为要拟合的数据,是长度自定义的数组,m 为拟合多项式的次数,输出参数a 为拟合多项式:11++++=m m m a x a x a y的系数向量a ),,,(11+=m m a a a .(注意:按降幂排列)3. 多项式在x 处的值y 的计算: y=polyval(a,x)例 给出一组数据点),(i i y x 列入下表中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，.解（1）首先根据给出的数据点),(i i y x ，用下列MATLAB 程序画出散点图. 在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.12 19.88]; plot(x,y,'r*'), legend('数据点(xi,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'),title('例7.4.1的数据点(xi,yi)的散点图')运行后屏幕显示数据的散点图，见图3.（2）因为数据的散点图3的变化趋势与二次多项式很接近，所以选取一组函数2,,1x x ，令3221)(a x a x a x f ++=,其中k a 是待定系数)3,2,1(=k .（3）用作线性最小二乘拟合的多项式拟合的MATLAB 程序求待定系数k a)3,2,1(=k .输入程序>> a=polyfit(x,y,2)运行后输出按拟合多项式的系数a =2.8302 -7.3721 9.1382故拟合多项式为2138.91372.72830.2)(2+-=x x x f .（4）编写下面的MATLAB 程序估计其误差，并做出拟合曲线和数据的图形.输入程序>> xi=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.12 19.88]; n=length(xi); f=2.8302.*xi.^2-7.3721.*xi+9.1382 x=-2.9:0.001:3.6;F=2.8302.*x.^2-7.3721.*x+8.79; fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Er=sqrt((sum(fy2)/n)), plot(xi,y,'r*', x,F,'b-'),legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)') xlabel('x'), ylabel('y'), 运行后屏幕显示数据),(i i y x 与拟合函数f 的均方根误差E 2及其数据点(x i ,y i )和拟合曲线y =f (x )的图形，见图4.图3图4。
曲线拟合
曲线拟合实验报告数值分析课程设计报告学生姓名学生学号所在班级指导教师一、课程设计名称函数逼近与曲线拟合二、课程设计目的及要求实验目的：⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。
⑵学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。
实验要求：⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数（x i ,y i ）和拟合函数的图形；⑵用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB 的内部函数plot 作出其图形，并与（1）结果进行比较。
三、课程设计中的算法描述用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲线精确的经过这些点，而是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。
思路分析：从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点）（i i y x ,误差i i i y x p r -=)(的大小，常用的方法有三种：一是误差i i i y x p r -=)(绝对值的最大值i mi r ≤≤0max ，即误差向量的无穷范数；二是误差绝对值的和∑=mi i r 0，即误差向量的1范数；三是误差平方和∑=mi i r 02的算术平方根，即类似于误差向量的2范数。
前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2范数的平方，此次采用第三种误差分析方案。
算法的具体推导过程： 1.设拟合多项式为：y =a 0+a 1x +a 2x 1+⋯+a k x k2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和：R 2=∑[y i −(a 0+a 1x +⋯+a k x i k )]2ni=13.为了求得到符合条件的a 的值，对等式右边求a i 偏导数，因而我们得到了：−2∑[y −(a 0+a 1x +⋯+a k x i k )]ni=1x =0−2∑[y −(a 0+a 1x +⋯+a k x i k )]ni=1=0⋯⋯−2∑[y −(a 0+a 1x +⋯+a k x i k )]x k ni=1=04.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式a 0n +a 1∑x i +⋯+a k ∑x i k ni=1ni=1a 0∑x i +a 1∑x i 2+⋯+∑x i k+1ni=1ni=1ni=1a 0∑x i k +a 1∑x i k+1+⋯+a k ∑x i 2k ni=1ni=1ni=15.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====n i i n i n i i k n i k i ni k ini k i n i k i ni in i ini k ini iy y y a a x xx x xxx x 11i 110121111112111a n M MΛM O MM ΛΛ 6. 将这个范德蒙得矩阵化简后得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k n n k k y y y a a a x x x x x x M M ΛMOM M ΛΛ21102211111 7.因为Y A X =*,那么X Y A /=,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。
小波分析之函数逼近与曲线拟合
∞
=
max
f (x)
a≤ x≤b
绝对值与
n上范数的扩充关系 R
• 数a的绝对值(a离开原点0的距离)：∣a∣ • 数a与b的差异(距离)： ∣a-b∣ • 向量A=( 1, a2,…,an)的范数(A离开0向量 A=(a , 的范数 A=( 的距离) ： n • x = ∑ x i
1 i = 1
x x
距离空间定义
• 设X是非空集合，对于X中的任意两元素x与y ，按某一法则都对应唯一的实数ρ(x, y)，并满足 以下三条公理： • 1.非负性：ρ(x, y) ≥0,ρ(x, y) =0当且仅当x=y; • 2.对称性：ρ(x, y) =ρ(y, x)； • 3.三角不等式；对任意的x, y, z ρ(x, y) ≤ρ(x, z) + ρ(z, y), 则称ρ(x, y)为x与y间的距离（或度量），并称X是 以ρ为距离的距离空间(或度量空间),记为(X, ρ)．
2
2
2
即
内积空间的性质
定理 设 X 为内积空间，{u1 , u2 ,⋯ , un } ⊆ X , 格拉姆(Gram)矩阵
(u1 , u1 ) (u2 , u1 ) ⋯ (u n , u1 ) (u1 , u2 ) (u2 , u2 ) ⋯ (u n , u2 ) G= ⋮ ⋮ ⋮ (u , u ) (u , u ) ⋯ (u , u ) 2 n n n 1 n
内积空间
设X 是定义在实(或复)数域K上的线性空 间，若对于X中 任意一对有序元素x,y, 恒对应 数域K的值(x, y)，且满足: • (x, x) ≥0，且(x, x)=0的充要条件是x=0; • (ax, y) = a(x, y); • (x+y, z) = (x, z) + (x, z). 则称X为内积空间，(x, y)称为x, y的内积. 正交: 正交 若(x, y)=0,称x与y正交.
函数逼近与曲线拟合
函数逼近与曲线拟合3.１函数逼近的基本概念3.1.1 函数逼近与函数空间在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题．上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种．本章讨论的函数逼近，是指“对函数类Ａ中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类Ｂ中求函数，使与的误差在某种度量意义下最小”．函数类Ａ通常是区间上的连续函数，记作，称为连续函数空间，而函数类Ｂ通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等．函数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识．数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间．例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上的一个线性空间，用表示，称为多项式空间．所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域上的线性空间，记作．类似地，记为具有p阶的连续导数的函数空间．定义１设集合Ｓ是数域Ｐ上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得， (3.1.1)则称线性相关．否则，若等式(3.1.1)只对成立，则称线性无关．若线性空间Ｓ是由n个线性无关元素生成的，即对都有则称为空间Ｓ的一组基，记为，并称空间Ｓ为n维空间，系数称为x在基下的坐标，记作，如果Ｓ中有无限个线性无关元素，…，则称Ｓ为无限维线性空间．下面考察次数不超过n次的多项式集合，其元素表示为， (3.1.2）它由个系数唯一确定．线性无关，它是的一组基，故，且是的坐标向量，是维的．对连续函数，它不能用有限个线性无关的函数表示，故是无限维的，但它的任一元素均可用有限维的逼近，使误差（为任给的小正数），这就是著名的Weierstrass定理．定理１（Weierstrass）设，则对任何，总存在一个代数多项式，使在上一致成立．这个定理已在“数学分析”中证明过．这里需要说明的是在许多证明方法中，伯恩斯坦１９１２年给出的证明是一种构造性证明．他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式， (3.1.3)其中，其中，并证明了在上一致成立；若在上阶导数连续，则．这不但证明了定理１，而且由(3.1.3)给出了的一个逼近多项式．它与拉格朗日插值多项式很相似，对，当＝１时也有关系式． (3.1.4)这只要在恒等式中令就可得到．但这里当时还有，于是是有界的，因而只要对任意成立，则有界，故是稳定的．至于拉格朗日多项式，由于无界，因而不能保证高阶插值的稳定性与收敛性．相比之下，多项式有良好的逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条插值效果差得多，实际中很少被使用．更一般地，可用一组在上线性无关的函数集合来逼近，元素，表示为． (3.1.5) 函数逼近问题就是对任何，在子空间中找一个元素，使在某种意义下最小．3.1.2 范数与赋范线性空间为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是空间中向量长度概念的直接推广．定义2.1.2 设为线性空间，，若存在唯一实数，满足条件：（1）正定性：，（2）当且仅当时，（3）；（4）齐次性：，（5）；（6）三角不（7）等式：，（8）．则称为线性空间上的范数，与一起称为赋范线性空间，记为．例如，在上的向量，三种常用范数为类似地对连续函数空间，若可定义三种常用范数如下：可以验证这样定义的范数均满足定义3.1.2中的三个条件．3.1.3 内积与内积空间在线性代数中，中两个向量及的内积定义为．若将它推广到一般的线性空间，则有下面的定义．定义3.1.3设是数域上的线性空间，对，有中一个数与之对应，记为，它满足以下条件：（１）；（２）；（３）；（４），当且仅当时，．则称为上与的内积．定义了内积的线性空间称为内积空间．定义中（１）的右端称为的共轭，当为实数域时．如果＝０，则称与正交，这是向量相互垂直的概念的推广．关于内积空间性质有以下重要定理．定理3.1.2设为一个内积空间，对，有(3.1.6) 称为Cauchy-Schwarz不等式．［证明］当时(3.1.6)式显然成立．现设，则，且对任何数有．取，代入上式右端，得，即得时．定理证毕定理3.1.2设为一个内积空间，，矩阵（3.1.7）称为Gram矩阵，则Ｇ非奇异的充分必要条件是线性无关．［证明］Ｇ非奇异等价于，其充分必要条件是齐次方程组(3.1.8) 只有零解．而(3.1.9) 从以上的等价关系可知，等价于从(3.1.8)推出．而后者等价于从(3.1.9)推出，即线性无关．定理证毕在内积空间上可以由内积导出一种范数，即对于，记(3.1.10) 容易验证它满足范数定义的三条性质，其中三角不等式(3.1.11)可由定理3.1.2直接得出，即两端开方即得(3.1.11）．例１与的内积．设，，，则其内积定义为(3.1.12)由此导出的向量２－范数为．若给定实数，称为权系数，则在上可定义加权内积为(3.1.13)相应的范数为．不难验证(3.1.13)给出的满足内积定义的４条性质，当时，(3.1.13)就是(3.1.12)．如果，带权内积定义为(3.1.14) 这里仍为正实数序列，为的共轭．在上也可以类似定义带权内积，为此先给出权函数的定义．定义３.1.4 设是有限或无限区间，在上的非负函数满足条件：（１）存在且为有限值；（２）对上的非负连续函数，如果，则．则称为上的一个权函数．例２上的内积．设，是上给定的权函数，则可定义内积． (3.1.15)容易验证它满足内积定义的４条性质，由此内积导出的范数为． (3.1.16)称(3.1.15)和(3.1.16)为带权的内积和范数．特别常用的是的情形，即若是中的线性无关函数族，记，它的Gram矩阵为(3.1.17)根据定理3.1.3可知线性无关的充分必要条件是．3.2 正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有着重要的应用．3.2.1 正交函数族与正交多项式定义3.2.1 若，为上的权函数且满足， (3.2.1)则称与在上带权正交．若函数族满足关系(3.2.2)则称是上带权的正交函数族；若，则称之为标准正交函数族．例如，三角函数族就是在区间上的正交函数族．因为对有，而对，当时有定义3.2.2 设是上首项系数的次多项式，为上权函数，如果多项式序列满足关系式(3.2.2)，则称多项式序列为在上带权正交，称为上带权的次正交多项式．只要给定区间及权函数，均可由一族线性无关的幂函数，利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列；，(3.2.3) 这样得到的正交多项式序列有以下性质：（１）是具有最高次项系数为１的次多项式．（２）任何次多项式均可表示为的线性组合．（３）当时，，且与任一次数小于的多项式正交．（４）成立递推关系．其中这里．（５）设是在上带权的正交多项式序列，则的个根都是在区间内的单重实根．3.2.2 勒让德多项式当区间为［－１，１］，权函数时，由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示．这是勒让德于１７８５年引进的，１８１４年罗德利克(Rodrigul)给出了简单的表达式由于是２次的多项式，求阶导数后得，于是得首项系数为，显然最高项系数为１的勒让德多项式为．(3.2.6) 勒让德多项式有下述几个性质：性质１正交性(3.2.7) ［证明］令，则．设是在区间[-1,1]上的阶连续可微的函数，由分部积分知下面分两种情况讨论：（１）若是次数小于的多项式，则，故得（２）若，则，于是由于，故，于是(3.2.7)得证．性质２奇偶性（3.2.8）［证明］由于是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故为偶数时为偶函数，为奇数时为奇函数，于是(3.2.8)成立．性质３递推关系(3.2.9) ［证明］考虑＋１次多项式，它可表示为两边乘以，并从－１到１积分，得．当时，的次数小于－１，上式左端积分为０，故得．当时．为奇函数，左端积分仍为０，故．于是．其中，代入上式整理可得(3.2.9)．例１由利用性质３可得性质４在区间[-1,1]内有个不同的实零点．3.2.3 切比雪夫多项式当权函数，区间为[-1,1]时，由序列正交化得到的多项式就称为切比雪夫(Chebyshev)多项式，它可表示为(3.2.10)若令，则．切比雪夫多项式有很多重要性质：性质１递推关系(3.2.11) 这只要由三角不等式．令即得．由(3.2.11)就可推出由递推关系(3.2.11)还可得到的最高次项系数是．性质６切比雪夫多项式在区间［－１，１］上带权正交，且(3.2.12) 事实上，令，则，于是性质７只含的偶次幂，只含有的奇次幂．这性质由递推关系直接得到．性质８在区间［－１，１］上的个零点此外，实际计算中时常要求用的线性组合，其公式为． (3.2.13) 例如：结果如下：3.2.4 其他常用的正交多项式一般说，如果区间及权函数不同，则得到的正交多项式也不同．除上述两种最重要的正交多项式外，下面再给出三种较常用的正交多项式．第二类切比雪夫多项式在区间［－１，１］上带权的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为． (3.2.14)令，可得即是［－１，１］上带权的正交多项式族．还可得到递推关系式．拉盖尔多项式在区间上带权的正交多项式称为拉盖尔（Laguerre）多项式，其表达式为. (3.2.15)其正交性为和递推关系．３. 埃尔米特多项式在区间上带权的正交多项式称为埃尔米特多项式．其表达式为， (3.2.16)其正交性为递推关系为．3.3 最佳一致逼近多项式3.3.1 基本概念及其理论本节讨论，在中求多项式，使其误差．这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题．为了说明这一概念，先给出以下定义．定义3.3.1 设，，称． (3.3.1) 为与在上的偏差．显然，的全体组成一个集合，记为｛｝，它有下界０．若记集合的下确界为(3.3.2)则称之为在上的最小偏差．定义3.3.2 假定，若存在，使得， (3.3.3)则称是在上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式．注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理．定理４若，则总存在，使．为了研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点的定义．定义3.3.3设，，若在上有，就称是的偏差点．若，称为“正”偏差点．若，称为“负”偏差点．由于函数在上连续，因此，至少存在一个点，使，也就是说的偏差点总是存在的．下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理．定理3.3.2是的最佳逼近多项式的充分必要条件是在上至少有个轮流为“正”、“负”的偏差点，即有个点，使． (3.3.4) 这样的点组称为切比雪夫交错点组．［证明］只证充分性．假定在上有个点使(3.3.4)成立，要证明是在上的最佳逼近多项式．用反证法，若存在，使．由于在点上的符号与一致，故也在个点上轮流取“＋”、“－”号．由连续性质，它在内有个零点，但因是不超过次的多项式，它的零点不超过．这矛盾说明假设不对，故就是所求最佳逼近多项式．充分性得证，必要性证明略，可参看［５］．定理５说明用逼近的误差曲线是均匀分布的．由这定理还可得以下重要推论．推论１若，则在中存在唯一的最佳逼近多项式．证明略．利用定理５可直接得到切比雪夫多项式的一个重要性质，即定理3.3.3 在区间［－１，１］上所有最高次项系数为１的次多项式中与零的偏差最小，其偏差为．［证明］由于，且点是的切比雪夫交错点组，由定理５可知，区间［－１，１］上在中最佳逼近多项式为，即是与零的偏差最小的多项式．定理证毕例３求在［－１，１］上的最佳２次逼近多项式．解由题意，所求最佳逼近多项式应满足由定理3.3.3可知，当时，多项式与零偏差最小，故就是在［－１，１］上的最佳２次逼近多项式．3.3.2 最佳一次逼近多项式定理3.3.2给出了最佳逼近多项式的特性，但要求出却相当困难．下面讨论的情形．假定，且在内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式．根据定理3.3.2可知至少有３个点，使由于在内不变号，故单调，在内只有一个零点，记为，于是，即．另外两个偏差点必是区间端点，即，且满足由此得到(3.3.5) 解出， (3.3.6) 代入(3.3.5)得． (3.3.7)这就得到了最佳一次逼近多项式，其几何意义如图３－３所示．直线与弦MN平行，且通过MQ的中点D，其方程为．图３－３一次最佳一致逼近多项式几何意义例4 求在上的最佳一次逼近多项式。
数值分析—第3章函数逼近与数据拟合法
称为广义多项式。
数值分析
三、函数的最佳平方逼近 对于给定的函数 f ( x) C[a, b] 如果存在 使
* ( x) Span 0 , 1 , , n } {
b
a
( x) f ( x) ( x) dx min
* 2
( x ) a
mn mn0 mn0
(2) 递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式： T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x (n 1, 2, ) Tn1 ( x ) 2 x Tn ( x ) Tn1 ( x ) Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
连续函数在[a, b]上线性无关的充分必要条件是它们 的Gramer行列式Gn 0，其中
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) G n G n ( 0 , 1 , , n ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , n ) ( n , 0 ) ( n , 1 ) ( n , n )
(n 1, 2, )
(3) 奇偶性： 当n为偶数时，Pn (x)为偶函数； 当n为奇数时，Pn (x)为奇函数。 (4) Pn (x)的n个零点都是实的、相异的，且全
部在区间[-1, 1]内部。
数值分析
2．切比雪夫(Tchebyshev)多项式 称多项式
Tn ( x) cos(narc cos x)
Span{ 0 , 1 , , n }
并称 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是生成集合的一个基底。 设函数系{
0 ( x), 1 ( x), , n ( x) ，…}线性无关，
第三章函数逼近和曲线拟合
S=span{ x1,..., xn}
并称该空间为n维空间。1,2 ,...,n P
称为x在这组基下的坐标。 例：n次多项式
p(x) Hn , p(x)=a0 + a1x ... an xn Hn span{1, x, x2 ,..., xn}
4
11
4.5
12
4.6
强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi
1.4
13
5
1.3
14
5.2
1.8
15
6
2.5
16
6.3
2.8
17
6.5
2.5
18
7.1
3
19
8
2.7
20
8
4
21
8.9
3.5
22
9
4.2
23
9.5
3.5
24
10
强 度 yi
5.5 5
5.5
6.4 6
5.3 6.5
7 8.5
8 8.1 8.1
6
内积与内积空间 定义3：设X为数域K（R或C）上的线性空
间，满足条件：
u, v X , k (u, v) K, st.
(1) (u, v) (v, u)
(2) (u, v) (u, v), for K
(3) (u v, w) (u, w) (v, w), for w X
(4) (u, u) 0, u 0 iff (u, u) 0
存在唯一实数 g ，满足条件：
(1) x 0; x 0 iff x 0
(2) x x , R
(3) x y x y , x, y R
数值分析第3讲
n
n
n
( j u j , uk ) 0, k 1,, n.
j 1
G非奇异 u1 , u2 ,, un线性无关(反证法)；反之亦然 .
在内积空间X上可以由内积导出一种 范数, 即对u X , 记 || u || ( u, u)， (1.10) 易证它满足范数定义的 正定性和齐次性, 而三角不等式由 Cauchy Schwarz不等式立得.
设0 ,, n C[a, b], 则Gram矩阵为
G G ( 0 ,, n ) ( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( , ) n 0 ( 0 ,1 ) (1 ,1 ) ( n ,1 ) ( 0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
2 内积 ( x , y ) i xi yi；范数 || x ||2 i xi i 1 i 1
n n
1/2
.
若x , y Cn，则定义加权内积 ( x , y ) i xi y i .
i 1
n
定义4 设 ( x )是区间[a , b]上的非负函数, 如果满足条件 (1) (2)
则称 || || 为线性空间S上的范数，S与 || || 一起称为赋范 线性空间，记为X .
例如，对R n上的向量x ( x1 ,, xn )T ，有 三种常用范数： || x || max | xi | ， 称为 范数或最大范数，
|| x ||1 | xi ， |
例如，三角函数族 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,, 为[ , ]上的正交函数族,
第3章 函数逼近与曲线拟合
例如、 三角函数系：1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…是 区间［-π，π］上的正交函数系，因为
s in k xs in jxdx 0,
jxdx 0,
( j k)
( j k)
cos k xcos
s in k xcos
a
(1)
则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权正交. 若函数族
0 ( x), 1 ( x), , n ( x),
b
满足关系
j k; 0, ( j , k ) ( x) j ( x)k ( x)dx a Ak 0, j k ;
(2)
则称 k ( x) 是[a, b]上带权 ρ(x)正交函数族 ；
如果范数 取为 2，即 f ( x) P ( x)
2 2
min f ( x) P( x)
PH n PH n
2 2
b min a [ f ( x) P( x)]2 dx ,
则称P ( x)为f ( x)在[a, b]上的最佳平方逼近多项式 。 若f ( x)是 [a, b]上的一个列表函数，在a x0 x1 xm b 上给出f ( xi )(i 0,1,, m), 要求P 使 f P 2 min f P 2 min
PH n
则称P ( x)是f ( x)在[a, b]上的最佳逼近多项式 。 若取 ，即 f ( x) P ( x) min f ( x) P( x)
PH n
min max f ( x) P( x) ,
PH n a x b
Matlab中的曲线拟合与函数逼近
Matlab中的曲线拟合与函数逼近Matlab是一种功能强大的数学工具，广泛应用于科学计算、工程分析和数据处理等领域。
在Matlab中，曲线拟合和函数逼近是常见的数学问题，它们可以帮助我们从一组离散数据中找到合适的函数形式，从而更好地理解数据的规律和趋势。
本文将介绍Matlab中的曲线拟合和函数逼近的常见方法和技巧，并通过实例来说明其应用。
一、简单线性回归拟合简单线性回归是最基本的曲线拟合方法之一，在Matlab中使用polyfit函数可以实现。
假设我们有一组离散的数据点，分别表示自变量x和因变量y的取值，我们可以通过简单线性回归来寻找一条直线，使得该直线与这些数据点的拟合误差最小。
```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.1, 3.9, 6.2, 8.2, 9.8];coefficients = polyfit(x, y, 1);```在上述代码中，x和y分别是自变量和因变量的数据点。
polyfit函数的第三个参数表示我们希望拟合的曲线的阶数，这里是1表示直线拟合。
函数返回的coefficients是拟合曲线的系数，其中第一个元素表示直线的斜率，第二个元素表示直线的截距。
我们可以利用polyval函数来计算拟合直线上的点的函数值，从而与原始数据进行比较。
```matlaby_fit = polyval(coefficients, x);```通过绘制拟合直线和原始数据，我们可以直观地看到拟合效果。
```matlabplot(x, y, 'o', x, y_fit, '-')legend('原始数据', '拟合直线')```二、多项式拟合除了简单线性回归，Matlab还提供了多项式拟合的方法，可以通过增加拟合曲线的阶数来逼近更复杂的数据。
```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.1, 3.9, 6.2, 8.2, 9.8];coefficients = polyfit(x, y, 2);```在上述代码中，polyfit函数的第三个参数是2，表示进行二次多项式拟合。
函数逼近与曲线拟合(演示)精编
第三章 函数逼近与曲线拟合1 函数的逼近与基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()kk k f x a x∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。
当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。
这个误差分布是不均匀的。
当0x =时，(0)0ne=，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()nf x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。
插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。
更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。
如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。
由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。
如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
1.2范数与逼近实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近图1一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。
最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用nH 表示，称为多项式空间。
数值分析李庆版
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
只要给定[a,b]上的权函数( x), 由{1, x, xn,}利用逐个
例2 设f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数,则可
定义内积
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx. 1,( f , g) ab f (x)g(x)dx.
容易验证内积定义中的四个性质，并导出范数
||
f ( x) ||2
有限维空间 vs 无限维空间.
Rn, C[a,b],
定理 1(维尔斯特拉斯) 如果f ( x) C[a,b], 那么 0,
多项式p( x),使得
| f ( x) p( x) | , 对于一切a x b.
伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式
Bn (
j1
j1
只有零解。
k 1,,n.
n
n
n
2) juj 0 ( juj , juj ) 0
j1
j1
j1
n
( ju j ,uk ) 0, k 1,,n.
j1
G非奇异 u1, u2,, un线性无关(反证法)；反之亦然.
在内积空间X上可以由内积导出一种范数,即对u X ,记
1
|| f ||2 ab f 2( x)dx 2， 称为2 范数.
三、内积与内积空间
Rn中向量x及y定义内积 : ( x, y) x1 y1 , xn yn. 定义3 设X是数域K(R或C)上的线性空间，对u,v X， 有K中一个数与之对应，记为( u, v )，并满足条件：
数值分析第三章函数逼近与 曲线拟合习题答案
6。对，定义 问它们是否构成内积。 解： 令（C为常数，且） 则 而 这与当且仅当时，矛盾 不能构成上的内积。 若，则 ,则 若，则 ,且 即当且仅当时，. 故可以构成上的内积。 7。令，试证是在上带权的正交多项式，并求。 解： 若，则 令，则，且，故 又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且 是在上带权的正交多项式。 又 8。对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式 解： 若，则区间上内积为 定义，则 其中 9。试证明由教材式给出的第二类切比雪夫多项式族是上带权的正交多 项式。 证明： 若 令，可得 当时， 当时， 又，故 得证。 10。证明切比雪夫多项式满足微分方程 证明：
若 且，则 则法方程组为 解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 17。求函数在指定区间上对于的最佳逼近多项式： 解： 若 且，则有 则法方程组为 从而解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 若 且，则有 则法方程组为 从而解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 若 且，则有 则法方程组为 从而解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 若 且则有 则法方程组为 从而解得 故关于最佳平方逼近多项式为 18。，在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。 解： 按勒让德多项式展开 则 从而的三次最佳平方逼近多项式为 19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
切比雪夫多项式为 从而有 得证。 11。假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式？ 解： 在闭区间上连续 存在，使 取 则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。 由切比雪夫定理知 P为的零次最佳一致逼近多项式。 12。选取常数，使达到极小，又问这个解是否唯一？ 解： 令 则在上为奇函数 又的最高次项系数为1，且为3次多项式。 与0的偏差最小。 从而有 13。求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。 解： 于是得的最佳一次逼近多项式为 即 误差限为 14。求在上的最佳一次逼近多项式。 解： 于是得的最佳一次逼近多项式为 15。求在区间上的三次最佳一致逼近多项式。 解： 令，则 且 令，则 若为区间上的最佳三次逼近多项式应满足 当 时，多项式与零偏差最小，故 进而，的三次最佳一致逼近多项式为，则的三次最佳一致逼近多项式为 16。，在上求关于的最佳平方逼近多项式。 解：
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n ( xpn , pn ) /( pn , pn ), n ( pn , pn ) /( pn 1 , pn 1 )，n 1,2,,
a xb b a | f ( x ) | dx，
称为1 范数, 称为2 范数.
|| f ||2 a f 2 ( x )dx ，
b
1 2
三、内积与内积空间
R n中向量x及y定义内积: ( x , y ) x1 y1 , xn yn .
定义3 设X是数域K ( R或C)上的线性空间，对 u, v X， 有K中一个数与之对应，记 ( u, v )，并满足条件： 为 (1) ( u,v ) (v , u), u,v X ; (2) (u,v ) ( u,v ), R; (3) ( u v , w ) ( u,w ) (v,w ), u,v,w X ; (4) ( u, u) 0, 当且仅当u 0时， , u) 0. (u 则称( u, v )为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间 称
b k a x ( x )dx存在,
k 0,1,2,;
可以有限或 无限区间
b 对于[a , b]上的非负连续函数 ( x ), 若 a g ( x ) ( x )dx g
0,
则在[a , b]上g ( x ) 0； 就称 ( x )为[a , b]上的权函数.
例2 设f ( x ), g( x ) C [a , b], ( x )为[a , b]上的权函数, 则可 定义内积
只要给定[a , b]上的权函数 ( x ), 由{1, x , x n ,}利用逐个 正交化手续立得正交正 交多项式序列:
p0 ( x ) 0, pn ( x ) x
n n 1 ( x n , j 0 ( p j ,
pj) pj)
p j , n 1,2,. (2.3)
i 1 n
1 2
1 i n n
称为1 范数,
|| x ||2 xi2 ， 称为2 范数. i 1 类似地，对C [a , b]上的f ( x )，可定义三种常用范数 ：
|| f || max | f ( x ) | ， 称为 范数， || f ||1
n n
n k Bn ( f , x ) f Pk ( x ) max f ( x ) Pk ( x ) , 0 x 1 k 0 n k 0 n
故Bn ( f , x )是稳定的.
而 lk ( x ) 无界, 故拉格朗日插值 n ( x )不保证稳定性和 L
为此, 下面介绍代数和分析中 的一些基本概念 .
空间，如：R n , Rn[ x ], C[a , b], C p [a , b].
定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素 1 ,, xn S , x 如果存在不全为零的数 1 ,, n P , 使得
1 x1 n xn 0，
k 0 n
收敛性.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数逼近问题: 对f ( x ) C[a , b], 求 * ( x ) span{ 0 ,
n }, 使得误差f ( x ) * ( x )在某种度量意义下最小 其中 . 0 ,, n C[a , b]线性无关.
二、范数与赋范线性空间
为内积空间. (v , u)为(u,v )的共轭，当K R时 (v , u) (u,v ).
定理 2 设X为一个内积空间，对 u, v X , 有 | ( u, v ) |2 ( u, u)(v , v ). 称为Cauchy Schwarz不等式. (1.6)
定理3 设X为一个内积空间， 1 , u2 ,, un X , 矩阵 u ( un , u1 ) ( un , u2 ) ( un , un ) 称为Gram矩阵，则G非奇异的充要条件是 1 , u2 ,, un线性 u 无关. ( u1 , u1 ) ( u2 , u1 ) ( u , u ) ( u , u ) 1 2 2 2 G ( u , u ) ( u , u ) 1 n 2 n
根据定理3，0 ,, n线性无关 det(G ) 0.
§2
正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x ), g( x ) C [a , b], ( x )为[a , b]上的权函数, 且 ( f , g)
b a ( x ) f ( x ) g( x )dx
2 内积 ( x , y ) i xi yi；范数 || x ||2 i xi i 1 i 1
n n
1/2
.
若x , y Cn，则定义加权内积 ( x , y ) i xi y i .
i 1
n
定义4 设 ( x )是区间[a , b]上的非负函数, 如果满足条件 (1) (2)
性质： (1) pn ( x )的首项系数为 . 1 ( 2)Qn ( x ) H n均可表为p0 ( x ), p1 ( x ),, pn ( x )的线性组合. ( 3) 当k j时，p j , pk ) 0, 且pk ( x )与任一次数小于 的多 ( k 项式正交.
（ ）有递推关系 4 pn 1 ( x ) ( x n ) pn ( x ) n pn 1 ( x ), n 0,1,, (2.4) 其中 p0 ( x ) 1，p1 ( x ) 0，
则称 || || 为线性空间S上的范数，S与 || || 一起称为赋范 线性空间，记为X .
例如，对R n上的向量x ( x1 ,, xn )T ，有 三种常用范数： || x || max | xi | ， 称为 范数或最大范数，
|| x ||1 | xi ， |
设0 ,, n C[a, b], 则Gram矩阵为
G G ( 0 ,, n ) ( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( , ) n 0 ( 0 ,1 ) (1 ,1 ) ( n ,1 ) ( 0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
j 1 n j 1
n
n
n
( j u j , uk ) 0, k 1,, n.
j 1
G非奇异 u1 , u2 ,, un线性无关(反证法)；反之亦然 .
在内积空间X上可以由内积导出一种 范数, 即对u X , 记 || u || ( u, u)， (1.10) 易证它满足范数定义的 正定性和齐次性, 而三角不等式由 Cauchy Schwarz不等式立得.
证明：) G非奇异 以G为系数矩阵的齐次线性 1 方程组 ( j u j , uk ) ( u j , uk ) j 0, k 1,, n.
j 1 j 1 n n
只有零解。
2)
j 1
ju j 0 ( ju j , ju j ) 0
第3章
§1
函数逼近与曲线拟合
函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
实际需要用简单函数逼 近已知复杂函数.
函数逼近问题 : 对于函数类A中给定的函数f ( x ), 要求在 另一类较简单的便于计 算的函数类B A中找一个函数 p( x ), 使p( x )与f ( x )的误差在某种度量意义 下达到最小.
n
( 若f ( x ) C [0,1]，则 lim Bnm ) ( f , x ) f ( m ) ( x ). n
n m
其他性质： n k Pk ( x ) 0; Pk ( x ) x (1 x )n k 1. k 0 k 0 k 若 f ( x ) , x [0,1]，则
0，
(2.1)
则称f ( x )与g ( x )在[a , b]上带权ρ(x)正交 .
设在[a , b]给定函数族 0 ( x ),1 ( x ),, n ( x ),, 且满足
0, i k , ( i ( x ), k ( x )) ( i , k 0,1,2,) (2.2) Ak , i k , 则称函数族{ n ( x )}为[a , b]上带权ρ(x)的正交函 数族 . 特别地, 当Ak 1时, 则称该函数系为 标准正交函数族 .
定理 1(维尔斯特拉斯) 如果f ( x ) C [a , b], 那么 0, 多项式p( x ), 使得 | f ( x ) p( x ) | , 对于一切a x b.
伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明： 伯恩斯坦多项式 k Bn ( f , x ) f Pk ( x ), (1.3) k 0 n n k 其中Pk ( x ) x (1 x )n k , 使得 k lim Bn ( f , x ) f ( x )，在[0,1]上一致成立；
例如，三角函数族 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,, 为[ , ]上的正交函数族,
(1,1) 2 , (cos kx, cos kx) (sin kx, sin kx) , 其他内积 0.
定义6 设pn ( x )是[a , b]上首项系数an 0的n次多项式, ( x ) 为[a , b]上的权函数, 若多项式序列 pn ( x )} , 满足正交性 { 0 (2.2)，则称{ pn ( x )} 为以 ( x )为权函数的 a , b]上的正交 [ 0 多项式序列. 称pn ( x )为以 ( x )为权函数的 a , b]上的n次正 [ 交多项式.
例1 考察R n与Cn的内积和范数.
设x ( x1 ,, xn )T , y ( y1 ,, yn )T R n，则定义