第六章-排队系统建模与仿真(New)

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三、排队系统的分析
解：（1）计算 平均到达速度：
nfn 2.1人 / 小时
100
平均手术时间： 平均服务速度：
Ts
tft 100
0.37小时 / 人
1 1 2.5人 / 小时
Ts 0.4
（2）取λ=2.1，μ=2.5，通过统计检验方法的检验，可以认 为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数 为2.5的负指数分布。
服务员空闲否？
Y
开始服务
经过Si
服务完毕
N
排队等待
顾客离去
四、排队系统的仿真
仿真方法：手工仿真 仿真初始条件：系统中没有顾客，即：排队的队列中没有顾客等待，服务台 无服务对象。 仿真开始：以第一个顾客到达时刻为仿真的起始点。
四、排队系统的仿真
? 事件何时出现？
在仿真中，通过随机数来产生！
四、排队系统的仿真
• M——负指数分布 • M/M/1表示相继到达时间为负指数分布，服务时 间为负指数分布，单服务设备的模型。
三、排队系统的分析
1 单服务台M/M/1模型(M/M/1/∞/ ∞/FCFS)
（1）到达模式。动态实体源是无限的，动态实体单个 到达，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布。
（2）排队规则。单对，且队列长度没有限制，先到先 服务。
混合制
队列的度量
队列的度量
（1）服务强度
1
T0
n
1 Ts
ns
（2）实际业务强度u‘
u' ' 1
（3）服务设备利用率
n
三、排队系统的分析
随机排队系统的运行指标： 在系统中动态实体数量的期望值Ls， 在系统队列中等待的动态实体数量（队列长度）的 期望值Lq。 在系统中动态实体逗留时间的期望值Ws， 在队列中动态实体等待时间（排队时间）的 期望值Wq。
三、排队系统的分析
（3）服务设备利用率
2.1 0.84 2.5
因为ρ=0.84<1，表明动态实体到达系统的速度比系 统的服务速度慢。所以，到达系统的每一个动态实体都 可以得到服务。
另外，说明服务机构（手术室）有84%的时间繁忙 （被利用），有16%的时间空闲。
三、排队系统的分析
（4）系统的指标计算
)
2
]
,
x
排队规则
1
1
2
2
… …
… … …
c
多队-多服务台（并列）排队系统
c
单队-多服务台（并列）排队系统
1
2
C
多服务台（串列）排队系统
1
1
2
2
c
c
多服务台（组合式）排队系统
排队规则
排队规则
系统处于“忙”时，动态实体进入队列的三种处理方法：
损失制 等待制
先到先服务（FIFO、FCFS） 后到先服务（LIFO） 随机服务（GIRO） 优先权服务（PR）
1 到达事件—统计特性
顾客到达间隔时间服从1-8分钟的均匀分布。
到达间隔时间（分钟） 1 2 3 4 5 6 7 8
概率 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125
累计概率 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000
系统的运行指标(p154)：
3 在系统中的平均顾客数（系统的期望值）
Ls 1
4 在队列中等待的平均顾客数（队列长度期望值）
Lq
•
2 , ( )
0 1
三、排队系统的分析
5 在系统中顾客逗留时间的期望值Ws
Ws
1
6 在队列中顾客等待时间的期望值
Wq
•
1
( )
三、排队系统的分析
T0 T
（3）到达间隔时间的分布函数A（t）
et , t 0
A(t) 0, t 0
一、排队系统的基本概念
服务机构
（1）平均服务时间Ts
T Ts ns
（2）平均服务速度μ
1 ns
Ts T
（3）服务时间的分布函数B（t）
et , t 0
B(t) 0, t 0
二、到达时间间隔和服务时间分布
2 3
P0
1
1
1
2 3
1 3
Pn (1 ) n , n 1
P1
(
1 3
)(
2 3
)
2 9
P2
(
1 3
)(
2 3
)
2
4 27
P3
(
1 3
)(
2 3
)3
8 81
三、排队系统的分析
系统中平均顾客数：
L 2 （2 人） 32
队列的平均长度为：
LQ
2 ( )
4（人） 3
三、排队系统的分析
随机数区间 001~125
126~250
251~375
d［ P0(t) ］/ d t = - P0(t) + P1 (t) • 在稳定情况下， d［ Pn (t) ］/ d t = 0。有：
P1 P0
P2
1
P0
P1
1
P0
P0
2
P0
P3
1
P1
P2
1
P0
2
P0
3
P0
LL
n
Pn
由：
P0
Pn
n10
P0
(t) 是可以忽略的。
在时刻t+△t，系统中有n个顾客（n>0) 存在下列四种情况
情况 在时刻t顾客数
(A)
n
在区间（t, t+△t)
到达 离去
××
(B)
n+1
×○
(C)
n-1
○×
(D)
n
○○
在时刻t顾客数
n n n n
• Pn(t）表示t时刻系统中恰有n人。
情况 t 时刻顾客数
在区间［t,t+ t）
1
k2
二、到达时间间隔和服务时间分布
f(t)
k
k 2
k 3
k 1
1/λ
t
例如：串列的k个服务台。每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分 布，那么以动态实体走完这k个服务台总共需要的服务时间就服从k阶爱尔 朗分布。
二、到达时间间隔和服务时间分布
4 正态分布
f (x)
1
2
exp[
1 2
(
x
1 定长分布
动态实体到达间隔的时间为常数
动态实体接受服务的时间为常数
二、到达时间间隔和服务时间分布
2 泊松分布
满足下列四个条件的到达分布称为泊松到达分布：
平稳性。 独立性。 普通性。 有限性
对于这种到达分布，在时间t内到达k个动态实体的概
率Vk(t)遵从泊松分布，即：
Vk (t)
et
(t)k
k!
2.排队长 （系统中等待服务平均顾客 数） ———L q
∞
Lq =∑ (n－1)Pn
n=1
=Ls－ρ
= ρ2/(1-ρ)
• 2 , 0 1 ( )
• 3. 逗留时间
关于顾客在系统中的逗留时间Ws服从为(μ-λ) 的负指数分布。
这样就求到顾客在系统中的平均逗留时间：
Ws
1
案例1：
某修理店只有一个修理工，要求提供服务的顾客到 达过程为Poisson流，平均4人/h; 修理时间服从负指 数分布，平均需要6min。
试求（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有3个顾 客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率； （4） 在店内的平均顾客数；（5）每位顾客在店内的平均 逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每 位顾客平均等待服务时间（8）顾客在店内等待时间 超过10min的概率
三、排队系统的分析
案例2： 假设在一个单座、男女皆宜的美发店中，到达间隔时间和服
务时间都服从指数分布。 和 的值分别为每小时2个和每
小时3个，
1、求系统到达稳态后，系统服务强度 ？
2、没有人到达概率，及达到1个、2个、3个人的概率？
3、系统中平均顾客数？队列的平均长度？
三、排队系统的分析
案例： 解：
4.等待时间：（顾客在系统中平均等待服务
时间） W q
W q=Ws－1/ = ρ /(μ-λ)
( )
以上计算可以看出，满足Little公式：
Ls Ws
Lq Wq
三、排队系统的分析
1 服务强度：
2 系统状态为n的概率：
P0 1
0 1
Pn (1 ) n, n 1
三、排队系统的分析
2、因已知到达规律服从参数 的泊松过程， 服务时间服从参数为 的负指数分布，所以 在[t, t+△t)时间区间内分为： （1）有一个顾客到达的概率为 t (；t)
没有顾客到达的概率是 1 t (t) （2）当有顾客在接受服务时，1个顾客被
服务完了（离去）的概率t (t) ， 没有离去的概率就是1 t (t) （3）多于一个顾客的到达或离去的概率
k 0,1
二、到达时间间隔和服务时间分布
3 爱尔朗分布
设v1,v2,…,vk是k个相互独立的随机变量，服从相同参数kλ的负 指数分布，那么T=v1+v2+…+vk的概率密度为：
f
(t
)
(k
)k
ekt (k 1)!t
k
1
称T服从k阶爱尔朗分布。其数学期望和方差为：