第六章-排队系统建模与仿真(New)

合计
出现的次数ft 38 25 17 9 6 5 0 100
三、排队系统的分析
解：（1）计算 平均到达速度：
nfn 2.1人 / 小时
100
平均手术时间： 平均服务速度：
Ts
tft 100
0.37小时 / 人
1 1 2.5人 / 小时
Ts 0.4
（2）取λ=2.1，μ=2.5，通过统计检验方法的检验，可以认 为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数 为2.5的负指数分布。
t + t 时刻
到达
离去
顾客数
A
n
不发生
不发生
n
B
n＋1
不发生
发生
n
C
n－1
发生
不发生
n
D
n
发生
发生
n
（A） Pn(t)·(1－ t) ·(1－
t）
（B） Pn+1(t ) ·(1－ t) · t
（C） Pn－ 1(t ) · t ·(1－
t）
（D） Pn(t ) · t · t
以上各式省略了 t的无穷小项。
三、排队系统的分析
（3）服务设备利用率
2.1 0.84 2.5
因为ρ=0.84<1，表明动态实体到达系统的速度比系 统的服务速度慢。所以，到达系统的每一个动态实体都 可以得到服务。
另外，说明服务机构（手术室）有84%的时间繁忙 （被利用），有16%的时间空闲。
三、排队系统的分析
（4）系统的指标计算
k 0,1
二、到达时间间隔和服务时间分布
3 爱尔朗分布
设v1,v2,…,vk是k个相互独立的随机变量，服从相同参数kλ的负 指数分布，那么T=v1+v2+…+vk的概率密度为：
f
(t
)
(k
)k
ekt (k 1)!t
k
1
称T服从k阶爱尔朗分布。其数学期望和方差为：
E(T ) 1
var[T
]
)
2
]
,
x
排队规则
1
1
2
2
… …
… … …
c
多队-多服务台（并列）排队系统
c
单队-多服务台（并列）排队系统
1
2
C
多服务台（串列）排队系统
1
1
2
2
c
c
多服务台（组合式）排队系统
排队规则
排队规则
系统处于“忙”时，动态实体进入队列的三种处理方法：
损失制 等待制
先到先服务（FIFO、FCFS） 后到先服务（LIFO） 随机服务（GIRO） 优先权服务（PR）
d［ P0(t) ］/ d t = - P0(t) + P1 (t) • 在稳定情况下， d［ Pn (t) ］/ d t = 0。有：
P1 P0
P2
1
P0
P1
1
P0
P0
2
P0
P3
1
P1
P2
Biblioteka Baidu
1
P0
2
P0
3
P0
LL
n
Pn
由：
P0
Pn
n10
P0
2.1小时
第五章 排队系统建模与仿真
一、排队系统的基本概念 二、到达时间间隔和服务时间分布 三、排队系统的分析 四、排队系统的仿真
四、排队系统的仿真
单通道排队系统中的事件： 动态实体到达系统 动态实体离开系统
系统状态： 动态实体数，即顾客数 服务员“忙”、“闲”状况。
四、排队系统的仿真
顾客到达时间间隔（Ai）
（3）服务机构。单服务台，各动态实体的服务时间是相 互独立的，服从相同的指数分布。
(4) 到达间隔时间和 服务时间是相互独立
三、排队系统的分析
2 单服务台M/M/1模型(M/M/1/∞/ ∞)
1、分析标准的 M/M/1模型时，首先要求 出系统在任意时刻t的状态n(系统中有n 个顾客）的概率 Pn (t) ，它决定了系统运 行的特征。
系统的运行指标(p154)：
3 在系统中的平均顾客数（系统的期望值）
Ls 1
4 在队列中等待的平均顾客数（队列长度期望值）
Lq
•
2 , ( )
0 1
三、排队系统的分析
5 在系统中顾客逗留时间的期望值Ws
Ws
1
6 在队列中顾客等待时间的期望值
Wq
•
1
( )
三、排队系统的分析
2.排队长 （系统中等待服务平均顾客 数） ———L q
∞
Lq =∑ (n－1)Pn
n=1
=Ls－ρ
= ρ2/(1-ρ)
• 2 , 0 1 ( )
• 3. 逗留时间
关于顾客在系统中的逗留时间Ws服从为(μ-λ) 的负指数分布。
这样就求到顾客在系统中的平均逗留时间：
Ws
1
系统中平均逗留时间为： w L 2 （1 小时）
2
每个顾客在队列中花费的平均时间为：
wQ
w
1
1
1 3
2（小时） 3
三、排队系统的分析
例题。
到达病人数
到达的病人数n
出现的次数fn
0
10
1
28
2
29
3
16
4
10
5
6
大于等于6
1
合计
100
三、排队系统的分析
例题。
手术时间 完成手术时间t/h
0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1.0 1.0~1.2 大于1.2
2、因已知到达规律服从参数 的泊松过程， 服务时间服从参数为 的负指数分布，所以 在[t, t+△t)时间区间内分为： （1）有一个顾客到达的概率为 t (；t)
没有顾客到达的概率是 1 t (t) （2）当有顾客在接受服务时，1个顾客被
服务完了（离去）的概率t (t) ， 没有离去的概率就是1 t (t) （3）多于一个顾客的到达或离去的概率
4.等待时间：（顾客在系统中平均等待服务
时间） W q
W q=Ws－1/ = ρ /(μ-λ)
( )
以上计算可以看出，满足Little公式：
Ls Ws
Lq Wq
三、排队系统的分析
1 服务强度：
2 系统状态为n的概率：
P0 1
0 1
Pn (1 ) n, n 1
三、排队系统的分析
T0 T
（3）到达间隔时间的分布函数A（t）
et , t 0
A(t) 0, t 0
一、排队系统的基本概念
服务机构
（1）平均服务时间Ts
T Ts ns
（2）平均服务速度μ
1 ns
Ts T
（3）服务时间的分布函数B（t）
et , t 0
B(t) 0, t 0
二、到达时间间隔和服务时间分布
案例1：
某修理店只有一个修理工，要求提供服务的顾客到 达过程为Poisson流，平均4人/h; 修理时间服从负指 数分布，平均需要6min。
试求（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有3个顾 客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率； （4） 在店内的平均顾客数；（5）每位顾客在店内的平均 逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每 位顾客平均等待服务时间（8）顾客在店内等待时间 超过10min的概率
修理技工
医生（或手术 台） 交换台 仓库管理员 跑道
我方高射炮
一、排队系统的基本概念
1 排队系统的组成
1 排队系统的三个基本组成部分
到达模式 服务机构 排队规则
到达
动态实体
按规则接受服务
离开
排队
服务机构
一、排队系统的基本概念
到达模式
（1）平均到达间隔时间T0
T T0 n
（2）平均到达速度λ
1 n
在病房中病人数（期望值）： Ls
2.1 2.5 2.1
5.25人 / 小时
排队等待病人数（期望值）： Lq Ls 0.84 5.25 4.41人 / 小时
病人在病房中逗留的时间（期望值）：
Ws
1
1 2.5 2.1
2.5小时
病人在排队列中等待时间（期望值）：
Wq
0.84 2.5 2.1
21
由此可得：
Pn (t + t) = Pn(t) (1－ t－ 1(t) · t+ o ( t)
t）+ Pn+1 (t)
t +Pn－
［Pn (t+ t)－Pn (t)］/ t = Pn－1(t)+ Pn+1(t)－( + )Pn (t)+o ( t)/ t
令 t 趋于0，有下列微分差分方程：
d［ Pn (t) ］/ d t = Pn－1(t) + Pn+1 (t)－ ( + )Pn(t) • （当n=0时只有（A）和（B））
模型表达
排队模型的分类（Kendall记号）
X /Y /Z / A/ B/C
其中：X——表示顾客相继到达时间间隔的分布 Y——表示服务时间的分布 Z——表示服务台的个数 A——表示系统容量 B ——表示顾客源的数目 C——表示服务规则
模型表达（例）
• 在排队系统中一般约定：如果Kendall记号中略去 后3项时，即是指 X /Y / Z / / / FCFS
1 到达事件—统计特性
顾客到达间隔时间服从1-8分钟的均匀分布。
到达间隔时间（分钟） 1 2 3 4 5 6 7 8
概率 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125
累计概率 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000
三、排队系统的分析
案例2： 假设在一个单座、男女皆宜的美发店中，到达间隔时间和服
务时间都服从指数分布。 和 的值分别为每小时2个和每
小时3个，
1、求系统到达稳态后，系统服务强度 ？
2、没有人到达概率，及达到1个、2个、3个人的概率？
3、系统中平均顾客数？队列的平均长度？
三、排队系统的分析
案例： 解：
(t) 是可以忽略的。
在时刻t+△t，系统中有n个顾客（n>0) 存在下列四种情况
情况 在时刻t顾客数
(A)
n
在区间（t, t+△t)
到达 离去
××
(B)
n+1
×○
(C)
n-1
○×
(D)
n
○○
在时刻t顾客数
n n n n
• Pn(t）表示t时刻系统中恰有n人。
情况 t 时刻顾客数
在区间［t,t+ t）
第六章 排队系统建模与仿真
一、排队系统的基本概念 二、到达时间间隔和服务时间分布 三、排队系统的分析 四、排队系统的仿真
排队系统？
到达的顾客
要求服务内容 服务机构
1、不能运转的 修理
机器
2、病人
诊断或手术
3、电话呼唤 4、提货单 5、到达机场的
飞机 6、进入我方阵
地敌机
通话 提取存货 降落
我方高射炮进 行射击
混合制
队列的度量
队列的度量
（1）服务强度
1
T0
n
1 Ts
ns
（2）实际业务强度u‘
u' ' 1
（3）服务设备利用率
n
三、排队系统的分析
随机排队系统的运行指标： 在系统中动态实体数量的期望值Ls， 在系统队列中等待的动态实体数量（队列长度）的 期望值Lq。 在系统中动态实体逗留时间的期望值Ws， 在队列中动态实体等待时间（排队时间）的 期望值Wq。
P0
P0
L
n
P0
L
1
则：
P0
1
1
由上式，可得下式：
Pn 1
n0
令：
P0 1
Pn 1 n
n 1
1
三、基本计算
1.队长（系统中平均顾客数）Ls
∞
Ls = ∑ n Pn
n=0
∞
∞
= ∑ nρn － ∑nρn+1
n=0 n=0
= ρ/(1-ρ)= λ/(μ-λ) (ρ=λ/μ)
• M——负指数分布 • M/M/1表示相继到达时间为负指数分布，服务时 间为负指数分布，单服务设备的模型。
三、排队系统的分析
1 单服务台M/M/1模型(M/M/1/∞/ ∞/FCFS)
（1）到达模式。动态实体源是无限的，动态实体单个 到达，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布。
（2）排队规则。单对，且队列长度没有限制，先到先 服务。
1
k2
二、到达时间间隔和服务时间分布
f(t)
k
k 2
k 3
k 1
1/λ
t
例如：串列的k个服务台。每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分 布，那么以动态实体走完这k个服务台总共需要的服务时间就服从k阶爱尔 朗分布。
二、到达时间间隔和服务时间分布
4 正态分布
f (x)
1
2
exp[
1 2
(
x
1 定长分布
动态实体到达间隔的时间为常数
动态实体接受服务的时间为常数
二、到达时间间隔和服务时间分布
2 泊松分布
满足下列四个条件的到达分布称为泊松到达分布：
平稳性。 独立性。 普通性。 有限性
对于这种到达分布，在时间t内到达k个动态实体的概
率Vk(t)遵从泊松分布，即：
Vk (t)
et
(t)k
k!
服务员空闲否？
Y
开始服务
经过Si
服务完毕
N
排队等待
顾客离去
四、排队系统的仿真
仿真方法：手工仿真 仿真初始条件：系统中没有顾客，即：排队的队列中没有顾客等待，服务台 无服务对象。 仿真开始：以第一个顾客到达时刻为仿真的起始点。
四、排队系统的仿真
? 事件何时出现？
在仿真中，通过随机数来产生！
四、排队系统的仿真
随机数区间 001~125
126~250
251~375
2 3
P0
1
1
1
2 3
1 3
Pn (1 ) n , n 1
P1
(
1 3
)(
2 3
)
2 9
P2
(
1 3
)(
2 3
)
2
4 27
P3
(
1 3
)(
2 3
)3
8 81
三、排队系统的分析
系统中平均顾客数：
L 2 （2 人） 32
队列的平均长度为：
LQ
2 ( )
4（人） 3
三、排队系统的分析