数值分析第六章思考题
《数值分析》第六章答案
习题61．求解初值问题y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y取步长2.0=h ，分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算，并与准确解xe x y 21+-=相比较。
解： 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+，其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.4599242) 用改进的Euler 公式进行计算，具体形式如下： 10=y)()(1i i i D i y x h y y ++=+ )()(11)(1D i i i C i y x h y y +++++= )(21)(1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i计算结果列表如下i i x i y )(1D i y + )(1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.0311473. 对初值问题1)0(=-='y y y)0(>x ，证明用梯形公式所求得的近似值为ii hh y ih y )22()(+-=≈ ),2,1,0( =i并证明当0→h 时，它收敛于准确解ix e y -=，其中ih x i =为固定点。
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式()(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？〔1〕〔2〕解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
〔1〕〔2〕4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1与n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计〔5.8〕。
线性插值时，用0.5与0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式〔5.8〕，令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048与cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式〔5.17〕得其中计算时用Newton后插公式〔 5.18)误差估计由公式〔5.19〕得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析课后参考答案06
第六章习题解答1、设函数01(),(),,()n x x x φφφ 在[,]a b 上带权()x ρ正交，试证明{}()nj j x φ=是线性无关组。
证明：设0()nj jj l x φ==∑，两端与01()(,,,)kx k n φ= 作内积，由()jx φ的正交性可知，200(),()((),())((),())()()n n b k j j j k j k k k k k a j j x l x l x x l x x l x x dx φφφφφφρφ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑⎰， 于是有001(,,,)k l k n == ，即{}()nj j x φ=是线性无关组。
2、试确定系数,a b 的值使22(()cos )ax b x dx π+-⎰达到最小。
解：定义02,[,]f g C π∈上的内积为20fgdx π⎰，取011(),()x x x ϕϕ==，()s x ax b =+，()cos f x x =，则法方程为0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中()2000112,dx ππϕϕ=⨯=⎰，()2201018,xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()3211024,x xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()2001,cos f xdx πϕ==⎰，()21012,cos f x xdx ππϕ==-⎰，于是方程组为22312812824a b πππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得1158506644.,.a b ==-。
3、已知函数11()(,)f x x =∈-，试用二类Chebyshev 多项式()n U x 构造此函数的二次最佳平方逼近元。
解：法一、取20121(),(),(),x x x x x ϕϕϕ===()()()00112222235,,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，()()()011202203,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，同时由二类Chebyshev 多项式的性质知 ()()()11101211028,,,,,f f f x ππϕϕϕ---======⎰⎰⎰于是可得法方程为0122203220003220835c c c ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得0121.0308,0,0.7363c c c ===-， 于是()f x 的二次最佳逼近元是2001122() 1.03080.7363x c c c x ϕϕϕϕ=++=-法一、二类Chebyshev 多项式2012()1,()2,()41U x U x x U x x ===-，取内积权函数()()x f x ρ==，于是11200114(,)(1)3f U fU dx x dx ρ--==-=⎰⎰，1121111(,)2(1)0f U fU dx x x dx ρ--==-=⎰⎰，112222114(,)(41)(1)15f U fU dx x x dx ρ--==--=-⎰⎰ 由()n U x 正交性及(,)2n n U U π=可得0000(,)8(,)3f U c U U π==，1111(,)0(,)f U c U U ==，2222(,)8(,)15f U c U U π==-， 于是()f x 的二次最佳逼近元为001122()x c U c U c U ϕ=++=21632515x ππ- 4、设012{(),(),()}L x L x L x 是定义于[0,)+∞上关于权函数()xx eρ-=的首项系数为1的正交多项式组，若已知01()1,()1L x L x x ==-，试求出二次多项式2()L x 。
李庆扬-数值分析第五版第6章习题答案(20130819)
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。 雅可比迭代的收敛条件是
( J ) ( D 1 ( L U )) 1
高斯赛德尔迭代法收敛条件是
(G ) (( D L) 1U ) 1
因此只需要求响应的谱半径即可。 本题仅解 a)，b）的解法类似。 解：
3.设线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a11 , a12 0 a21 x1 a22 x2 b2
证明解此方程的雅可比迭代法与高斯赛德尔迭代法同时收敛或发散， 并求两种方 法收敛速度之比。 解：
a A 11 a21
则
a12 a22
5. 何谓矩阵 A 严格对角占优？何谓 A 不可约？ P190， 如果 A 的元素满足
aij aij ，i=1,2,3….
j 1 j i
n
称 A 为严格对角占优。 P190 设 A (aij )nn (n 2) ，如果存在置换矩阵 P 使得
A PT AP 11 0
x ( k 1) x ( k )
10 4 时迭代终止。
2 1 5 （a）由系数矩阵 1 4 2 为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯 2 3 10
赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。[精确解为 x1 4, x 2 3, x3 2 ] （b）使用雅可比迭代法：
2．给出迭代法 x ( k 1) Bx (k ) f 收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度。 迭代矩阵收敛的条件是谱半径 ( B0 ) 1 。其误差估计为
1 k
(k) Bk (0)
R ( B) ln B k 迭代法的平均收敛速度为 k
数值分析--扩充思考题
数值分析--扩充思考题第一章级数计算一、假定f(x)在[a,b]内的导函数有界并且可积。
记证明,且其收敛阶为1.二、假定f(x)在[a,b]上二阶可微，且在[a,b]上可积。
记，证明，且其收敛阶为2.三、设,>0，称数列{},{}为Borchardt数列，证明(i)(ii)四、取=1,=3,利用题3求的近似值。
五、假定,>0,称为算术调和平均数列。
(i) 证明(ii) 取=2,=1,求它的近似值。
六、假定>>0,又证明七、证明Aitken外推数列可写成假设数列=，则可写成八、假定=c+，记{},{}的Aitken外推数列{},{}.证明=c+.例如，若由产生e的三个近似数=2.971,=2.737, =2.723,记=0.091,=0.037,=0.023,对,,作外推。
九、若,证明由定义的新数列比更快地收敛到a.十、当0<N<2时，数列=(1-N)+1收敛于1/N.(1)当N=和=1时，计算,,,,并作相应的Aitken数列。
(2)证明比更快地收敛到1/N.第二章求根问题一、建立求=3正根的迭代格式=3/，取初值=1.7，得=3/1.7,=3,=3/1.7...等等。
试用Aitken方法作加速，并用几何观点说明原迭代格式不收敛而用Aitken加速后提高精度的原因。
二、寻找解方程x=tgx的收敛迭代格式。
三、定义(Steffenson格式)。
设迭代数列收敛于a,且，证明它的收敛阶为2。
四、证明方程只有唯一一个实根。
五、试将方程的实根隔离。
六、Leonardo于1225年研究了方程求得它的一个解x=1.368808,当时无人知道他用什么方法求解。
试设计一个迭代格式，将这个解求出来。
七、指出迭代格式收敛于的,正根(a>0,>0)的条件，说明若收敛，则它的收敛阶至少是3. 八、设f(x)=0有根a且,证明离散牛顿法，其中的收敛阶是2.九、设a是f(x)的根，，著名数学家Cauchy定义迭代如下：若已知根的第k次近似，由二次方程的最接近于的一个根作为第k+1次近似，记为。
数值分析 第六章 习题
第六章 习 题1. 计算下列矩阵的1A ，2A ，A ∞三种范数。
（1）1101A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，（2）312020116A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 2. 用Jacobi 方法和Gauss-Seidel 迭代求解方程组1231231238322041133631236x x x x x x x x x −+=⎧⎪+−=⎨⎪++=⎩ 要求取(0)(0,0,0)T x =计算到(5)x ，并分别与精确解(3,2,1)T x =比较。
3. 用Gauss-Seidel 迭代求解1231231235163621122x x x x x x x x x −−=⎧⎪++=⎨⎪−+=−⎩ 以(0)(1,1,1)T x =−为初值，当(1)()310k k x x +−∞−<时，迭代终止。
4. 已知方程组121122,2,x x b tx x b +=⎧⎨+=⎩ （1）写出解方程组的Jacobi 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件。
（2）写出解方程组的Gauss-Seidel 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件.5. 设有系数矩阵122111221A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ， 211111112B −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，证明：（1）对于系数矩阵A ，Jacobi 迭代收敛，而Gauss-Seidel 迭代不收敛.（2）对于矩阵B ，.6. 讨论方程组112233302021212x b x b x b −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性；如果都收敛，比较哪种方法收敛更快.7. 对下列方程组进行调整，使之对Gauss-Seidel 迭代收敛，并取初始向量(0)(0,0,0)T x =，求解1213123879897x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−−=⎩ 试将Jacobi 迭代前后的老值与新值加权平均，设计出一种基于Jacobi 迭代的松弛迭代格式.8.分别取松弛因子 1.03ω=，1ω=， 1.1ω=，用SOR 方法解下列方程组1212323414443x x x x x x x −=⎧⎪−+−=⎨⎪−+=−⎩要求()(1)610k k xx −−∞−≤时，迭代终止.。
数值分析课后习题答案
7、计算的近似值，取。
利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：计算各项的条件数由计算知，第一种算法误差最小。
解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。
因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。
9、通过分析浮点数集合F=〔10，3，-2，2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。
10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
解：此算法是数值稳定的。
第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。
〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明：〔2〕A是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。
A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。
证A-1也是单位上〔下〕三角阵。
证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E，那么〔其中 j＞i时，〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得，b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k＞j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。
R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。
A=解：A=～～～故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。
数值计算方法思考题
数值计算方法思考题数值计算方法思考题第一章预篇1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。
4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。
解对数据的微小变化高度敏感是病态的。
高精度运算可以改善问题的病态性。
用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。
用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。
两个相近数相减必然会使有效数字损失。
计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。
7．考虑二次代数方程的求解问题ax2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的bb24acx.2a与之等价地有x?对于2c?b?b?4ac2.a = 1,b = -100 000 000 ,c = 1应当如何选择算法？8．指数函数有著名的级数展开x2x3e?1?x2!3!x 如果对x 9．考虑数列xi, i = 1,…, n, 它的统计平均值定义为x?1n?xi xi?1 它的标准差2?1n2(xi?x)? n?1i?1??1 数学上它等价于1n222xinx n1i11 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第二章非线性方程求根1．判断如下命题是否正确：(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton法的收敛阶高于割线法；(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton法； (d)Newton法总是比割线法更节省计算时间；(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；(f) Newton法是有可能不收敛；(g) 考虑简单迭代法xk+1 = g(xk)，其中x* = g(x*)。
第六章习题答案数值分析
第六章习题解答2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分21ln xdx ⎰的近似值，并估计两种方法计算值的最大误差限。
解：①由梯形公式：21ln 2()[()()][ln1ln 2]0.3466222b a T f f a f b --=+=+=≈ 最大误差限3''2()111()()0.0833********T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式：13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262b a b a S f f a f f b -+=++=++≈ 最大误差限5(4)4()66()()0.0021288028802880S b a R f f ηη-=-=≤≈，其中，(1,2)η∈。
4、推导中点求积公式3''()()()()()()224baa b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰证明：构造一次函数P （x ），使'',()()2222a b a b a b a b P f P f ++++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，易求得'()()()()222a b a b a bP x f x f +++=-+ 且'()()()()222bbaa a ba b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰0()()()22ba ab a bf dx b a f ++=+=-⎰，令()b a P x dx Z =⎰现分析截断误差：令'()()()()()()-()222a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=-- 由'''()()()2a b r x f x f +=-易知2a b x +=为()r x 的二重零点，所以可令2()()()2a b r x x x ϕ+=-，构造辅助函数2()()()()()2a b K t f t P t x t ϕ+=---，则易知： ()02a b K x K +⎛⎫== ⎪⎝⎭其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 ∴由罗尔定理，存在''''''()(,)()0()2()0()2f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即从而可知''2()()()()()22f a b r x f x P x x η+=-=- ∴截断误差[]''2()()()()()()()22b bb baaa af a b R f f x dx Z f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰⎰⎰ 2()2a b x +-Q 在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 ''''322''()()()()()()()(,)222224b b aa f ab f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰⎰综上所述3''()()()()()()224baa b b a f x dx Z R f b a f f ξ+-=+=-+⎰证毕6、计算积分1x e dx ⎰，若分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式，问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有效数字？解：①由复化梯形公式的误差限32''522()1()()101212122T b a b a e R f h f e n n η---=-≤=≤⨯可解得：212.85n ≥即至少剖分213等分。
数值分析-第六章小结
姓名班级学号第六章数值积分一、学习体会这一章主要解决的问题是定积分的数值方法——数值积分法，对于解决一些很难求解原函数或者根本就没有解析表达式的定积分，非常有用。
它直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度。
本章第一节首先定义了数值求积公式及其代数精度，之后介绍插值型的求积公式进而引出按照节点等距求解的Newton-Cotes求积公式。
对于该公式对应不同的N那么就产生了不同的求积公式，求积公式的数值稳定性无法得到保证，而且仅适用于少节点的情形，这样就产生了另一类求积公式，即复化求积法，它将区间划分为若干子区间，在每个子区间上运用Newton-Cotes求积公式，进而使得这种方法达到了很高的精确度。
但是计算节点过多又会产生计算量大，所以为了适用最少的节点达到预先的精度，这样就产生了区间主次划分的方法，这种方法的基本思想是让步长可变。
在N个节点的求积公式中，Gauss型求积公式具有最高的求积精度，由于正交多项式随区间和权函数的不同而不同，因而就可以构造出不同类型的求积公式。
我们在进行定积分求解时，要根据求解的条件和结果不同，选择不同的求积方法，进行以得出比较准确的求解结果，这对以后工程上的求解问题有很大帮助。
二、知识梳理)]三、思考题1、推导中点求积公式3''()()()()()()224baa b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰证明：构造一次函数P （x ），使'''',()(),()02222a b a b a b a b P f P f P x ++++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，易求得'()()()()222a b a b a b P x f x f +++=-+ 且'()()()()222bb aa ab a b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰0()()()22ba ab a bf dx b a f ++=+=-⎰，令()()b a P x dx I f =⎰现分析截断误差：令'()()()()()()()222a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=--+ 数值积分由'''()()()2a b r x f x f +=-易知2a bx +=为()r x 的二重零点， 所以可令2()()()2a b r x x x ϕ+=-， 构造辅助函数()()()()()2a bK t f t P t x t ϕ+=---，则易知： ()02a b K x K +⎛⎫== ⎪⎝⎭其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 由罗尔定理，存在''''''()(,)()0()2()0()2f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即从而可知''2()()()()()22f a b r x f x P x x η+=-=- 所以截断误差：[]''2()()()()()()()()22b bb baaa af a b R f f x dx I f f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰⎰⎰2()2a b x +-在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 ''''322''()()()()()()()(,)222224b b aa f ab f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰⎰综上所述3''()()()()()()()224baa b b a f x dx I f R f b a f f ξ+-=+=-+⎰证毕2、构造Gauss 型求积公式的解法有哪些？ 第一种：定义法（1）利用 5.5.1小节的知识求出在区间上的带权函数()x ρ的正交多项式()()()()012,,,...,n g x g x g x g x ；（2）令方程()0n g x =，解出求积节点12,,...,n x x x ； （3）利用定义求解求积系数12,,...,n A A A ； （4）得出求积公式第二种：利用求积公式的性质()1nbi ai A x dx ρ==∑⎰和其代数精度有2N-1次（1）令()()()()221012211,,,...,n n f x f x x f x x f x x --====，（2)利用求积公式的性质()1nbi ai A x dx ρ==∑⎰和其代数精度有2N-1次，构造2n个方程；(3)求解方程中的未知数i i A 和x ； (4)得出求积公式 四、测试题对积分dx x x f ⎰-12)1)((，求构造两点Gauss 求积公式，要求：（1）在[0,1]上构造带权21)(x x -=ρ的二次正交多项式； （2）用所构造的正交多项式导出求积公式。
数值分析第六章学习小结
第六章学习小结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******一、本章学习体会1、在工程实际中经常会遇到一些原函数难于表出，或者原函数的表达式过于复杂，或者被积函数以离散的数值给出，这时本科时学的牛顿——莱布尼茨公式就无法计算了，本章是基于上述情况给出一个近似求解定积分的计算方法。
P x近似代替被积2、数值积分的基本思想是：用简单函数()函数，然后建立多项式的积分公式，这样就将积分求值问题转换为了被积函数数值的计算，避开了牛顿——莱布尼茨公式需要寻求原函数的困难。
3、数值积分是数值逼近的一个重要内容，也是插值函数的一个直接应用。
4、本章重点是牛顿—科特斯求积公式和高斯型求积公式。
二、知识构图：n x b <<≤为任何次数不高于m 的多项式时都成为等式(6.1)具有m 次代数精度,,m x 时都成为等式f(x)为1m x +利用前面的拉格朗日插值公式知识，出。
两个定理: 1、n+1节点的求积公式如果至少具有1,2,,n ，高斯点为切比雪夫多项式零点。
三、 思考题1、牛顿—科特斯求积和高斯求积节点分布有何不同？对同样数目的节点，两种求法哪种更精确？为什么？答：牛顿—科特斯求积时，将积分区间n 等分，求积节点是1n +个等距节点，高斯求积公式的节点称为高斯点，一般是不等距点。
对于同样数目的节点，高斯型求积公式是代数精度最高的求积公式，更精确些。
2、什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精度是多少？为何称它是具有最高代数精度的求积公式？答：对于n 个求积节点，若求积公式具有21n -次代数精度，则称其节点为高斯点，相应的求积公式为高斯型求积公式。
插值型求积公式的节点011n a x x x b -≤≤≤⋅⋅⋅<≤是高斯点的充分必要条件是这些节点为零点的多项式I T <与任何次数不超过n 的多项式()p x 带权()x ρ正交，即()()()0b n ap x x x dx ωρ=⎰高斯型求积公式的代数精度是21n -，n 个求积节点的求积公式的代数精度最高为21n -次。
数值分析第六章小结
第6章 数值积分--------学习小结一、 本章学习体会本章主要介绍了五种计算定积分的数值积分法，分别为：插值型求积公式、Newton-Cotes 求积公式、复化梯形公式与复化Simpson 公式、Gauss 型求积公式等。
本章的重点在于掌握求积公式及其运用，并要学会求代数精度。
而通过对求积公式进行比较，会发现其方法与以前所学习的解析方法有一定的不同，它并不需要求出定积分的原函数，而是去直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度要求，从而根据不同的题型做出不同的解答，这对于我们今后的专业研究过程也有一定的作用。
例如：高阶Newton-Cotes 公式会出现数值不稳定，而低阶Newton-Cotes 公式有时又不能满足精度要求，可将积分区间[a ，b]分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和，即运用复化求积法。
通过运用matlab 软件，可以加深自己对各种求积公式的理解。
根据求解要求，充分考虑已知条件，选择简便快捷的求积方法进行定积分求解，从而得出比较准确的结果。
通过查阅相关书籍，加深对课本知识的理解，从而提高自己的自学能力。
二、本章知识梳理1 求积公式及其代数精度：求积公式的一般形式：()0()()nbn k k ak f x dx f x λ=≈∑⎰截断误差或余项：)()(0k b ank k n x f dx x f R ⎰∑=-=λ 代数精度：对于上面所列的求积公式，当()f x 为任何次数不高于m 的多项式时都成为等式，而当()f x 为某个m+1次多项式时不能成为等式，则称它具有m 次代数精度。
2 插值型求积公式：()()()nbn kk ak f x dx f x λ=≈∑⎰其中()()(0,1,...,)bn kk al x dx k n λ==⎰截断误差：(1)0()[()](1)!n nbn j aj f R x x dx n ξ+==-+∏⎰定理：n+1个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
数值分析第六章
第六章作业3（1）,02223=--+x x x 解：二分法m 文件：function [c,err,k]=bisect(f,a,b,delta) ya=feval(f,a);yb=feval(f,b); if ya*yb>0error('f(a)*f(b)>0'); endflag=1;k=0; while flag==1k=k+1;c=(a+b)/2;yc=feval(f,c); if yc==0a=c;b=c; elseif yb*yc>0 b=c;yb=yc; elsea=c;ya=yc; endif abs(b-a)<=2*delta flag=0; end endc=(a+b)/2;err=abs(b-a)/2; return 主程序：f=inline('x^3+2*x^2-x-2'); a=0;b=3;delta=0.5e-2; [c,err,k]=bisect(f,a,b,delta) 输出结果：c = 0.9990；err = 0.0029；k =9试位法m 文件function [c,err,k]=shiweufa(f,a,b,delta) ya=feval(f,a);yb=feval(f,b); if ya*yb>0error('f(a)*f(b)>0'); endflag=1;k=0; while flag==1k=k+1;c=b-yb*(b-a)/(yb-ya);yc=feval(f,c);if yc==0a=c;b=c; elseif ya*yc<0b=c;yb=yc; elsea=c;ya=yc; endif abs(yc)<=delta flag=0; end endc=b-yb*(b-a)/(yb-ya);err=abs(yc); return试位法主程序：f=inline('x^3+2*x^2-x-2'); a=0;b=3;delta=0.5e-2;[c,err,k]=shiweufa(f,a,b,delta) 输出结果：c =0.9995；err =0.0045；k =234.用迭代方法求解下列方程在给定0x 附近的根，要求误差不超过10-4. （3）.3,05ln 202==--x x x 解：迭代法m 文件function [c,err,k]=iteration(f,x0,delta) ya=feval(f,x0); k=1;while abs(ya-x0)>1.0e-4 x0=ya;ya=feval(f,ya); k=k+1; end c=ya;err=abs(ya-x0); 主程序：f=inline('sqrt(2*logx+5)'); x0=3;delta=1.0e-4;[c,err,k]=iteration(f,x0,delta)输出结果：c =3.4495；err =5.6447e-005；k = 810.分别用（1）牛顿法，取;20-=x （2）弦截法，取;1.2,210-=-=x x （3）抛物线法，取,2.2,1.2,2210-=-=-=x x x 求方程0433=+-x x 在20-=x 附近的根，并比较各算法的数值表现。
数值分析第六章课后习题答案
第六章课后习题解答(1)()()123(1)()213(1)()()312(01.21125551154213351010(1,1,1),17( 4.0000186,2.99999k k k k k k k k k Tx x x x x x x x x x x+++ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-(17)解：(a )因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。
（b )雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(0)(8)15,2.0000012)21125551154213351010(1,1,1),8( 4.0000186,2.9999915,2.0000012)Tk k k k k k k k k TTx x x x x x x x x x++++++-ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-高斯塞德尔法的迭代格式为x 取迭代到次达到精度要求1212:00.40.4.0.400.80.40.80||(0.8)(0.80.32)()1.09282031,00.40.4()00.160.6400.0320.672DL U I BD L U l l l l--骣--÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--÷ç桫-=-+-=>-æ--çççç=-=-ççççèlJJJS解(a )雅可比法的迭代矩阵B（）BB故雅可比迭代法不收敛高斯塞德尔法迭代矩阵131()||||0.81022101220||022023002SJBDL U I BD L Ul l¥--ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷ø?<骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷桫-=骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=-=-ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç桫llSJJ SB故高斯-塞德尔迭代法收敛。
数值分析思考题
数值分析复习思考题（2006-12-28）这几天的答疑时间中，解答了部分同学的问题，更多是作为教师的深入思考。
而共同探讨问题是非常重要的。
由于时间有限，这个文档中提出问题的深度可能不够，有些问题还没给出解答，希望研究生同学一起来思考，提出更多的问题。
我会在以后的时间中形成新的文档。
第一章 思考题1．在科学计算中，一般认为误差的来源有几种？列举在数值分析课中主要讨论误差。
数值计算中一个基本的手段是近似，所以就有了各种误差。
误差来源有四种：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。
一般分为两类，第一类是固有误差（包括模型误差和观测误差），第二类是计算误差（包括截断误差和舍入误差）。
计算方法课中主要讨论计算误差。
这是因为在用计算机解决数学问题时，常常用“有限代替无穷，用近似代替准确”。
例如，解决连续性问题时通常要将其转化为离散问题求解，这将引起截断（方法）误差；由于机器数的位数有限，计算机表示数据时一般带有舍入误差。
下面不全面列举出本课程内容涉及的误差线性方程组直接求解方法——舍入误差多项式插值方法——插值误差数据拟合方法——残差数值积分方法——求积误差微分方程数值解方法——局部截断误差………………………………………………2．有效数字的概念是如何抽象而来的，请简单给予叙述。
有效数字位数与计算近似值x的误差这两个概念是通过末位数半个单位相联系的。
由于计算机的机器数只能表示有限位浮点数，对于很多数据只能近似表示，近似采用“四舍五入”的原则进行。
有效数字概念正是根据日常生活中的“四舍五入”原则抽象而来的。
若近似值x的绝对误差限是某一位上半个单位，该位到x的第一位非零数字一共有n位，则称这一近似数具有n位有效数字。
而相对误差则与有效数位数基本一致。
3．什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例子说明在算法执行过程中，舍入误差对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的算法。
例如初始数有一点微小的误差，就会对一个算法的数据结果产生较大的影响，造成误差扩散，用计算公式I n = 1 – n I n-1构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一个公式I n-1= ( 1 – I n )/n则可以构造出一个数值稳定的算法。
数值分析第六章 课后习题 常州大学
2
数值分析作业三 1、试给出下述方程的有根区间或初试近似根： 解： （1） 3 x 3 2 x 2 0 令 f x 3 x 3 2 x 2 ，
f ' x 9 x 2 2 令f ' x 0, 得：x 则，f x 在 2 或x 3 2 ， 或 ， 3 2 3 2 单调递增。 3
2 0 ，所以f x 有且仅有一个零点。 且f 3 且有f 2 0 ，f 1 0 所以，原方程的根在 - 2， - 1区间内。
2、利用二分法求上述方程的根，要求误差不超过 10-2。 解：function [c,err,yc,k]=bisect(f,a,b,epsilon) yb=f(b);ya=f(a);max1=1+round((log(b-a)-log( epsilon))/log(2)); flag=1;k=0; while flag==1 end end c=(a+b)/2; err=abs(b-a); yc=f(c); k=max1; return k=1:max1; c=(a+b)/2; yc=f(c); if yc==0 a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=-2;b=-1; n=20;epsilon=1e-2; f=@(x)(3x^3-2*x+2); [c,err,yc,k]=bisect(f,a,b,epsilon) 输出结果： c= err = yc = k= -1.1211 0.0078 0.0150 8 end if b-a<epsilon break a=c; ya=yc;
x
3
2x
数值分析思考题答案
数值分析思考题答案数值分析课程思考题1．叙述拉格朗⽇插值法的设计思想。
Lagrange插值是把函数y=f(x)⽤代数多项式pn(x)代替，构造出⼀组n次差值基函数；将待求得n次多项式插值函数pn(x)改写成另⼀种表⽰⽅式，再利⽤插值条件确定其中的待定函数，从⽽求出插值多项式。
2．函数插值问题的提出以及插值法发展的脉络。
问题的提出：实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。
但是，通过观察或测量或试验只能得到在[a,b]区间上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值y=f(xi),(i=0,…,n)或者f(x)函数表达式是已知的，但却很复杂⽽不便于计算希望⽤⼀个简单的函数描述它。
发展脉络：在⼯程中⽤的多的是多项式插值和分段多项式插值。
在多项式插值中，⾸先谈到的是Lagrange插值，其成功地⽤构造插值基函数的⽅法解决了求n次多项式插值函数的问题，但是其⾼次插值基函数计算复杂，且次数增加后，插值多项式需要重新计算，所以在此基础上提出Newton插值，它是另⼀种构造插值多项式的⽅法，与Lagrange插值相⽐，具有承袭性和易于变动节点的特点。
如果对插值函数，不仅要求他在节点处与函数同值，还要求它与函数有相同的⼀阶，⼆阶甚⾄更⾼阶的导数值，这就提出了Hermite插值，它是利⽤未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的。
为了提⾼精度，加密节点时把节点分成若⼲段，分段⽤低次多项式近似函数，由此提出了分段多项式插值。
最后，由于许多⼯程中对插值函数的光滑性有较⾼的要求，就产⽣了样条插值。
3．描述数值积分算法发展和完善的脉络。
数值积分主要采⽤插值多项式来代替函数构造插值型求积公式。
通常采⽤Lagrange插值。
如果取等距节点，则得到Newton-Cotes公式，其中，当n=1时，得到梯形公式；当n=2时，得到Simpson公式；当n=4时，得到Cotes公式。
数值分析思考题6
数值分析思考题61、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么（1）直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程组的精确解的方法。
直接法又称为精确法。
（2）迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不得精确解。
迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较, 具有程序简单,存储量小的优点。
2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。
迭代公式收敛的充分必要条件是假设矩阵M的谱半径，可知的充分必要条件是。
迭代公式和,收敛。
严格对角占优线性方程组Ax=b（其中，）的Jacobi 迭代公式，收敛。
Gauss-Seidel迭代公式，收敛。
3、详述你所知道的非线性方程（组）的迭代法以及收敛性结果。
（1）不动点迭代法：不一定收敛，若存在常数L<1，使得,则收敛于x*。
（2）斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数在不动点x*的某邻域内具有二阶连续导数， 且，则二阶收敛，极限是x*。
（3）牛顿迭代法：收敛4、举例说明解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与何种因素有关解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有关，是单峰关系。
经实验，当谱半径是时，松弛因子是。
5、指出解非线性方程组的Newton 法的主要工作量所在。
分别用Newton 法和Broyden 秩1校正方法求解如下方程组在()1,1,1T点附近的根：2123212332312470,10110,1080.x x x x x x x x ⎧---=⎪+--=⎨⎪+-=⎩解非线性方程组的Newton 法的主要工作量在于求解。
牛顿解： ， ，Broyden 秩1校正方法： ， ，。
数学分析第六章习题答案
数学分析第六章习题答案数学分析第六章习题答案数学分析是一门重要的数学学科，它以函数、极限和连续性为基础，研究数学对象的性质和变化规律。
第六章是数学分析课程中的重要章节，主要涉及级数和函数项级数的理论与应用。
本文将为读者提供第六章习题的详细解答，希望对大家的学习有所帮助。
1. 习题1：证明级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 收敛。
解答：根据级数的判别法，我们可以使用比较判别法来证明该级数的收敛性。
比较判别法的核心思想是将给定级数与一个已知的收敛级数进行比较。
考虑级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 和级数∑(n=1 to ∞) (1/n(n+1))，显然，对于任意n，都有1/n^2 ≤ 1/n(n+1)。
由于级数∑(n=1 to ∞) (1/n(n+1)) 是一个已知的收敛级数（可以使用比较判别法证明），所以根据比较判别法，原级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 也是收敛的。
2. 习题2：证明函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n^2) 在区间(-1,1)上一致收敛。
解答：为证明函数项级数在区间(-1,1)上一致收敛，我们可以使用Weierstrass判别法。
该判别法要求级数的每一项函数都满足一致收敛的条件。
考虑函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n^2)，对于任意x∈(-1,1)，我们有|x^n/n^2| ≤ |x^n|，而级数∑(n=1 to ∞) (x^n) 是一个已知的收敛幂级数（当|x| < 1时），所以根据Weierstrass判别法，原函数项级数在区间(-1,1)上一致收敛。
3. 习题3：证明函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n) 在区间(-1,1)上不一致收敛。
解答：为证明函数项级数在区间(-1,1)上不一致收敛，我们可以使用Cauchy收敛准则。
该准则要求级数的部分和函数满足一致收敛的条件。
考虑函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n)，对于任意x∈(-1,1)，我们有|x^n/n| ≤ |x^n|，而级数∑(n=1 to ∞) (x^n) 是一个已知的发散幂级数（当|x| ≥ 1时），所以根据Cauchy收敛准则，原函数项级数在区间(-1,1)上不一致收敛。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思考题
10.设m T 是m
2+1个节点的复化梯形值，试证：143m m m T T S +-=就是m+12+1个节点的复化Simpson 值。
解：由复化梯形公式：
11()[()()2()]2n b a k h f x dx f a f b f a bh -=≈+++∑⎰，其中b a h n -=。
由题中条件可知：节点为m 2+1时
11
21112(2)[()()2()]2[()()2()]2(2)m m m m n k k T b a h f a f b f a bh b a f a f b f a b -==++=-+++=-+++⋅∑∑
节点为m+12+1时：
11111121112(2)[()()2()]2[()()2()]2(2)m m m m n k k T b a h f a f b f a bh b a f a f b f a b ++++-==++=-+++=-+++⋅∑∑ m+12+1的复化Simpson 公式为： 21112111()[()()4()2()]3(2)i m m m b i a k k b a f x dx f a f b f x f x -+-==+-≈+++∑∑⎰ 12111111211
2121
411433
11312(2)2(2)[()()4()2()]3(2)[()()2()]2(2)[()()2()]2(2)m m m i m m m
m m m m m m i k k k k T T S b a b a b a f a f b f x f x b a f a f b f a b b a f a f b f a b +-++++-====++-==++-=+---+++-+++⋅-+++⋅∑∑∑∑
综上可证得：143
m m m T T S +-=就是m+12+1个节点的复化Simpson 值。
13.试叙述2n ≥的复化梯形公式和2m ≥的复化Simpson 公式都不是插值型求积公式的理由。
解：复化梯形求积公式为： 11()[()()2()]2n b a k h f x dx f a f b f a bh -=≈+++∑⎰，其中b a h n -= 取3n =，当()1,f x x =时等式成立，而当2()f x x =时等式不成立，所以3n =时，复化梯形求积公式具有一次代数精度。
21m +个节点的复化Simpson 公式为： 211211()[()()4()2()]3i m m b i a k k h f x dx f a f b f x f x --==≈+++∑∑⎰，其中b a h n -= 取2m =，当23,()1,,x f x x x =时等式成立，而当4()f x x =时等式不成立，所以2m =时，复化梯形求积公式具有3次代数精度。
由定理：1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
由于2n ≥的复化梯形公式和2m ≥的复化Simpson 公式都不满足该定理要求，所以不是插值型求积公式。