数值分析第六章思考题

思考题

10.设m T 是m

2+1个节点的复化梯形值，试证：143m m m T T S +-=就是m+12+1个节点的复化Simpson 值。 解：由复化梯形公式：

11()[()()2()]2n b a k h f x dx f a f b f a bh -=≈+++∑⎰，其中b a h n -=。 由题中条件可知：节点为m 2+1时

11

21112(2)[()()2()]2[()()2()]2(2)m m m m n k k T b a h f a f b f a bh b a f a f b f a b -==++=-+++=-+++⋅∑∑

节点为m+12+1时：

11111121112(2)[()()2()]2[()()2()]2(2)m m m m n k k T b a h f a f b f a bh b a f a f b f a b ++++-==++=-+++=-+++⋅∑∑ m+12+1的复化Simpson 公式为： 21112111()[()()4()2()]3(2)i m m m b i a k k b a f x dx f a f b f x f x -+-==+-≈+++∑∑⎰ 12111111211

2121

411433

11312(2)2(2)[()()4()2()]3(2)[()()2()]2(2)[()()2()]2(2)m m m i m m m

m m m m m m i k k k k T T S b a b a b a f a f b f x f x b a f a f b f a b b a f a f b f a b +-++++-====++-==++-=+---+++-+++⋅-+++⋅∑∑∑∑

综上可证得：143

m m m T T S +-=就是m+12+1个节点的复化Simpson 值。 13.试叙述2n ≥的复化梯形公式和2m ≥的复化Simpson 公式都不是插值型求积公式的理由。

解：复化梯形求积公式为： 11()[()()2()]2n b a k h f x dx f a f b f a bh -=≈+++∑⎰，其中b a h n -= 取3n =，当()1,f x x =时等式成立，而当2()f x x =时等式不成立，所以3n =时，复化梯形求积公式具有一次代数精度。 21m +个节点的复化Simpson 公式为： 211211()[()()4()2()]3i m m b i a k k h f x dx f a f b f x f x --==≈+++∑∑⎰，其中b a h n -= 取2m =，当23,()1,,x f x x x =时等式成立，而当4()f x x =时等式不成立，所以2m =时，复化梯形求积公式具有3次代数精度。 由定理：1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。由于2n ≥的复化梯形公式和2m ≥的复化Simpson 公式都不满足该定理要求，所以不是插值型求积公式。