2018 上海市上海中学自招部分真题及答案

2018上海市上海中学自招部分真题1、因式分解：6x3-11x2+x+4=

【答案】(x-1)(3x-4)(2x+1)

【解析】试根法易得x=1时，上式值为0.

利用长除法可得

原式=(x-1)(6x2-5x-4)

=(x-1)(3x-4)(2x+1)

2、设a>b>0，a2+b2=4ab，则a+b=

a-b

【答案】3

【解析】令a+b=x，a-b=y则x>y>0

a2+b2=4ab

a2+b2-2ab=2ab

y2=1(x2-y2)

2

x2=3y2

x

a+b=3

=3即

y a-b

3、若x2+x-1=0，则x3+2x2+3=

【答案】4

【解析】降次法x2=1-x

所以原式=x(1-x)+2(1-x)+3

=x-x2+2-2x+3

=-x-(1-x)+5

=4

(,

34、已知1

(b -c )2

=(a -b )(c -a )，且a ≠0，则

b +

c =

4

a

【答案】2

【解析】1

(b -c )2=(a -b )(c -a )

4(c -b )

2=4(a -b )(c -a )

⎡⎣(c -a )+(a -b )⎤⎦2

=4(c -a )(a -b )⎡⎣(c -a )-(a -b )⎤⎦2

=0

所以c -a =a -b

b +

c =2a 即

b +c

=2

a

5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是【答案】

49

【解析】P =2

⨯2

=

4

3

3

9

6,、直线l ：y =-3x +与x 、y 轴交于点A 、B ，△AOB 关于直线AB 对称得到△ACB ，则点C 的坐标是【答案】33)

22

【解析】如右图所示易得

∠CAD =∠BAO =60︒

过C 作CD ⊥x 轴于点D 在△ACD 中AC =1易解得

AD =

1，CD =

32

2

3

C (,)

22

3即

7、一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，折痕的长是

【答案】45 4

【解析】如右图所示

易得AC

=

所以OC=15

2

=15

△C△OF∽ABC

所以OF

=

OC解得

OF=

45即

EF=

45 AB BC84

8、任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n），如果

n是奇2

数，则将它乘以3再加1（即3n+1），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对于正整数n（首项）按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n所有可能取值为

【答案】128/2/16/20/3/21

【解析】

92+122

12418 124

510

816

3264

2 16

3 20 21 128

9、正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、

DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积

【答案】2

【解析】将小六边形的相对顶点联结后易得：

小正六边形的面积是大正六边形面积的13

即面积为2

10、已知y 1=2x 2+(4-m )x +(4-m )与y =mx 在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为【答案】m <4

【解析】（1）当00，且x ≤0时，y 2≤0

∴x ≤0时y 1>0

∴y 1x =0>0

故4-m >0∴

m -4

<04

则∆<0解得-40恒成立综上所述，m <4

11、已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，(x -a )

2

(x -b )

2

(x -c )

2

化简：

+

+

=

(a -b )(a -c )(c -b )(a -b )(c -a )(c -b )

【答案】1

-(x -a )2

(b -c )-(x -b )2

(c -a )-(x -c )2

(a -b )

=

(a -b )(b -c )(c -a )

【解析】原式=

(a -b )(b -c )(c -a )(a -b )(b -c )(c -a )

=

1

2

12、已知实数a 、b 满足a 2+ab +b 2=1，t =ab -a 2-b 2，

-⎩1则t 的取值范围是【答案】-3≤t ≤-

13

【解析】由a 2+b 2≥2ab ，a 2+b 2≥-2ab

得

⎧1-ab ≥2ab 解得-1≤ab ≤

1⎨ab ≥-2ab 3

t =ab -(1-ab )=2ab -1

所以-3≤t ≤-

13

13、（1）求边长是1的正五边形的对角线长

（2）求sin18︒【答案】（1）

5+1（2）

5-12

2

【解析】（1）正五边形的一个内角大小为：

(5-2)⨯180︒÷5=108︒

所以△ABE 和△ACD 是黄金三角形在△ABE 中

AE =

BE 5-1其中AE =1解得BE =

2

5+1

2

（2）在△ACD 中过A 作AF 垂直CD 于点F

易得∠FAD =18︒1所以sin18︒=

FD =

2=

5-1AD

5+12

2