那些年高考引领的潮流1

那些年高考引领的潮流1

max x ,y ,min x ,y by -扛把子2020/9/10

这两天做了一下以前的高考题，由于功力原因，先写自己熟悉的。做到一些关于最值的max (x ,y ),min (x ,y )函数，然后呢群里很多老师说这个太偏了。后来查了一下教材，其实来源与教材。我们今天就来探讨一下这种叙述，其实也叫新定义吧。

先看教材上面的原题：（选修4-5第10页第15题） 题目：已知a >0,b >0,且h =min a , b a 2+b 2,求证h ≤ 22

解：教材上面已经给了新定义，就是max x ,y = x ,x ≥y y ,y ≥x ;min x ,y = x ,x ≤y y ,y ≤x 所以我们在不熟悉的情况下，最实在的就是讨论，管他什么破不等式哟。现在开始讨论：

1:当a ≤ b a 2+b 2⇔a (a 2+b 2)≤b ⇔a 3+ab 2≤b ⇔ab 2-b +a 3≤0,看成是关于b 的二次不等式，解不等式： 1- 1-4a 42a ≤b ≤ 1+ 1-4a 42a 此时1-4a 4≥0⇒0

现在我们再来讨论另一种情况：

2:当a ≥ b a 2+b 2⇔a (a 2+b 2)≥b ⇔a 3+ab 2≥b ⇔ab 2-b +a 3≥0这是又要分为两类： (1):Δ=1-4a 4≤0⇒a ≥ 22⇒a ≥ b a 2+b 2

⇒h =min a , b a 2+b 2= b a 2+b 2≤ b 12+b 2= 2b 1+2b 2= 2 1b +2b ≤ 22 1b

⋅2b = 22成立，取等时a =b = 22 (2):Δ=1-4a 4≥0⇒0

. 教材上面的这个题再没有用那个什么性质直接强干就解决了。当然学生嘛在自然想法，不用第一步就看不懂的方法上面总想简单一点。那我们能不能简单呢，可以的，我们可以充分利用它取小的性质。下面看操作：

∵h =min a , b a 2+b 2⇒h ≤a 且h ≤ b a 2+b 2

这一步能理解吧，就是取小的那个，也

就是定义min x ,y =

x ,x ≤y y ,y ≤x 取小的那个，

那就一定最小，那我们利用不等式就可以操作： h ≤a h ≤ b a 2+b 2

,但是呢这种操作方法的困难就在于搞到这里以后用不等式性质怎么去搞。我们要求的是h 的最大值，那既然要求最大，又不分类，我们只有想办法把这连个不等式通过系数加减乘除四则运算凑成能求最值的不等式。但是呢还有一个困难就是你凑的过程的中要保证最后等号取的到，这是最难的（学不等式就是学等号的来源，那几个破不等式谁特么看不懂呀，直接上系数的都是装逼）。大部分人只能去调试（好在一般正常题目取等条件不是很苛刻）说了这么多继续做题：

h ≤a h ≤ b a 2+b 2

上下加一加看行不行，2h ≤a + b a 2+b 2这里的a ,b 是自由的没有现在，所以求不来最值。相加失败，我们相乘试一下h 2≤ ab a 2+b 2

,这个式子是齐次的可以消元求范围，可以h 2≤ ab a 2+b 2= 1 a b + b a ≤ 12 a b ⋅ b a = 12⇒h ≤ 22.成立，取等时a =b = 22

.所以这样搞虽然过程简洁，但是思维上的想法比讨论要麻烦，但是也在我们的接受范围之内，而且难度也不大。就在于凑能求最值的不等式验证等号。做复杂题事往往有奇效。

前面看了教材，我们再看看高考题：

题目：（2014年浙江理8）记max {x ,y }= x ,x ≥y y ,x

A .min {|a +b |,|a -b |}≤min {|a |,|b |}

B .min {|a +b |,|a -b |}≥min {|a |,|b |}

C .max {|a +b |2,|a -b |2}≤|a |2+|b |2

D .max {|a +b |2,|a -b |2}≥|a |2+|b |2 解：还是笨拙一点，讨论学生高考的时候不会就用最基本的：a ,b 换位置没有区别，我们就不妨设|a |≥|b |⇒min {|a |,|b |}=|b |所以A ,B 就是比较min {|a +b |,|a -b |}和|b |的大小，我们开始讨论： 1：当|a +b |≥|a -b |即a ⋅b ≥0时min {|a +b |,|a -b |}=|a -b |，现在只需比较|a -b |和|b |的大小，等价于比价|a |2+|b |2-2a ⋅b 和|b |2的大小，即|a |2-2a ⋅b 和0的大小。这是没有办法比的。第二种情况一样，所以A ,B 不能确定

现在再看C ,D 也只讨论一种情况，另一种情况一模一样：当|a +b |2≥|a -b |2即a ⋅b ≥0⇒max {|a +b |2,|a -b |2}=|a +b |2=|a |2+|b |2+2a ⋅b ≥|a |2+|b |2.D 对。

从这里看人家高考题是很仁慈的哪怕讨论也没有坑你，还没有教材上的题目难，但是呢当年考试的时候结果不尽如人意。所以根源在于学生基本功没有到位，高考不会偏怪，考的是思维。基本可以做，然后对于种子选手想快一点那是可以的，就用上面性质：直接看C ,D .设m =max {|a +b |2,|a -b |2}⇒

m ≥|a +b |2m ≥|a -b |2⇒2m ≥|a +b |2+|a -b |2=2|a |2+2|b |2⇒m ≥|a |2+|b |2所以D 对。 再来看看2013年浙江文科第十题：

题目：（2013年浙江文10）设a ,b ∈R ,定义运算“∧”和“∨”如下：

a ∧

b = a ,a ≤b b ,a >b ； a ∨b = b ,a ≤b a ,a >b 若正数a ,b ,

c ,

d 满足ab ≥4,c +d ≤4,则（ ）

A .a ∧b ≥2,c ∧d ≤2

B .a ∧b ≥2,c ∨d ≤2

C .a ∨b ≥2,c ∧d ≤2

D .a ∨b ≥2,c ∨d ≥2

解：给的就是新定义：这个新定义就是上面的max x ,y = x ,x ≥y y ,y ≥x ;min x ,y =

x ,x ≤y y ,y ≤x ，所以我们设：a ∧b =min a ,b = a ,a ≤b b ,a >b ;a ∨b =max a ,b = b ,a ≤b a ,a >b ,现在开始做题根据给的条件，对于a ,b 的不等式，我们只能求最小，c ,d 的不等式只能求最

大，我们开始m 1=a ∨b =max a ,b = b ,a ≤b a ,a >b

⇒m 12≥ab ≥4⇒m 1≥2,m 2=c ∧d =min c ,d = c ,c ≤d d ,c >d ⇒2m 2≤c +d ≤4⇒m 2≤2选C 当然讨论也可以，

我就不写了。 前面都是小题，我们再看看大题：

题目：（浙江2016理18）已知a ≥3，函数F (x )=min {2|x -1|，x 2-2ax +4a -2}，其中min {p ，q }= p ,p ≤q ，q ,p >q .求解下列问题。

1:求使得等式F (x )=x 2-2ax +4a -2成立的x 的取值范围；

2:(1)求F (x )的最小值m (a )；

(2)求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a ).

解：题目非常常规，就是分类讨论。高考别人考的就是基本功。开始干活：

1:∵min {2|x -1|，x 2-2ax +4a -2},∴就是解不等式2|x -1|≥x 2-2ax +4a -2，现在分类：当x ≥1时即2(x -1)≥x 2-2ax +4a -2⇒(x -2)(x -2a )≤0⇒2≤x ≤2a

当x ≤1时即2(1-x )≥x 2-2ax +4a -2⇒x 2-2(a -1)x +4(a -1)≤0 对

称轴：x =a -1≥2⇒x 2-2(a -1)x +4(a -1)≥1-2a +2+4a -4=2a +3>0⇒x 的范围为2≤x ≤2a

2:(1)由第一问可得：F (x )= 2|x -1|，x <2或x >2a x 2-2ax +4a -2,2≤x ≤2a