河北省石家庄市新华区八年级上学期末数学试卷解析版

河北省石家庄市新华区八年级（上）期末数学试卷
一、精心选择（本大题共12个小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把正确选项的标号用2B铅缩涂黑）
1．式子有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1
2．在下列图形中，中心对称图形是（）
A．B．C．D．
3．若分式的值为0，则x的值是（）
A．3或﹣3B．﹣3C．0D．3
4．小亮用天平称得一个鸡蛋的质量为50.47g，用四舍五入法将50.47精确到0.1的近似值为（）A．50B．50.0C．50.4D．50.5
5．已知a、b、c为三角形的边长，则图2中甲、乙、丙三个三角形和图1中的△ABC全等的是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙
6．估计的值在（）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线，当∠ACE＝35°时，∠BAD的度数是（）
A．55°B．40°C．35°D．20°
8．下列等式正确的是（）
A．B．C．D．
9．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（）
A．小于60°B．等于60°
C．大于60°D．大于或等于60°
10．＝（）
A．B．C．D．
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（）
A．130°B．95°C．90°D．85°
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BF平分∠ABC，交CD于点E，交AC于点F．若AB＝10，BC＝6，则CE的长为（）
A．3B．4C．5D．6
二、准确填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.请你把答案写在横线上）
13．8的立方根是．
14．如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有条．
15．计算：＝．
16．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为．
17．若关于x的分式方程有增根，则m的值为．
18．如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，AC＝BC，DC＝EC，△ACB的顶点A在△DCE
的斜边DE上，若AD＝，AE＝，则BC＝．
三、挑战技能（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）
19．（6分）计算：
20．（6分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：△OBC是等腰三角形．
21．（6分）顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图，在4×4的方格纸中，△ABC是格点三角形．
（1）在图1中，以点C为对你中心，作出一个与△ABC成中心对称的格点三角形DEC，共在题后横线上直接写出AB与DE的位置关系：；
（2）在图2中，以AC所在的直线为对称轴，作出一个与△ABC成和对称的格点三角形AFC，并在后横线上直接写出△BCF是什么形状的特殊三角形：．
22．（6分）当x﹣y＝2时，求的值．
第二部分实践与应用
23．（8分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，来折抵地，去本三尺，问折者高几何？“译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝1丈，BC＝3尺，求AC的长为多少尺？（说明：1丈＝10尺）
24．（8分）观察下列各式：
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第4个算式为：；
（2）求的值；
（3）诸直接写出的结果．
25．（9分）已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE＝；
（1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由；
（2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：
①请在图3中画出图形；
②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量
关系，不需证明．
26．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD、CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）①画图：在AC边上找一点H，使得BH+EH最小（要求：写出作图过程并画出图形，不用说明作图依据）；
②当BC＝2时，求出BH+EH的最小值．
河北省石家庄市新华区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选择（本大题共12个小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把正确选项的标号用2B铅缩涂黑）
1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
【解答】解：根据题意，得x﹣1≥0，
解得，x≥1．
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项错误；
B．不是中心对称图形，故此选项错误；
C．不是中心对称图形，故此选项错误；
D．是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：依题意得：x2﹣9＝0且x≠0，
解得x＝±3．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的值等于0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．【分析】根据四舍五入法可以解答本题．
【解答】解：50.47≈50.5（精确到0.1），
故选：D．
【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义．5．【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．【解答】解：如图：
在△ABC和△MNK中，，
∴△ABC≌△NKM（SAS）；
在△ABC和△HIG中，，
∴△ABC≌△GHI（AAS）．
∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是：乙和丙．
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是注意掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
6．【分析】直接得出的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
7．【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CE是∠ACB的平分线，∠ACE＝35°，
∴∠ACB＝2∠ACE＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB＝70°是解题的关键．
8．【分析】根据二次根式的性质1和性质2逐一判断即可得．
【解答】解：A．＝2，此选项错误；
B．（）2＝2，此选项正确；
C．﹣＝﹣2，此选项错误；
D．（﹣）2＝2，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质1与性质2．9．【分析】根据反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论．
【解答】解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，
假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角小于60°．
故选：A．
【点评】本题考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
10．【分析】根据二次根式的性质4化简可得．
【解答】解：＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则．11．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BDA的度数，计算出结果．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠BDA＝50°，
∴∠DAC＝∠BDA＝25°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质的知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CBF+∠CFB＝90°，∠FBD+∠BED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠CBF+∠CFB＝90°，∠FBD+∠BED＝90°，
∵BF平分∠CBA，
∴∠CBF＝∠FBD，
∴∠CFB＝∠BED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵BF平分∠CBA，∠BCF＝∠BGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠A＝∠A，∠FGA＝∠ACB＝90°，
∴△AFG∽△ABC，
∴＝，
∵BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，
∴AC＝8，
∴＝，
∵FC＝FG，
∴＝，
解得：FC＝3，
即CE的长为3．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF＝∠CFE．
二、准确填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.请你把答案写在横线上）
13．【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
14．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：五角星的对称轴共有5条，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
15．【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝5﹣1
＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF＝CM，进而可得答案．
【解答】解：过C作CF⊥AO，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM＝CF，
∵OC＝5，OM＝4，
∴CM＝3，
∴CF＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．17．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，
得x﹣3m＝2m（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，
解得x＝3，
当x＝3时，m＝1
故m的值是1，
故答案为：1
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18．【分析】由等腰三角形的性质可得AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠CED
＝45°，可证△ADC≌△BEC，可得AD＝BE＝，∠D＝∠BEC＝45°，由勾股定理可求AB＝
2，即可求BC的长．
【解答】证明：如图，连接BE，
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形
∴AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠CED＝45°
∴∠DCA＝∠BCE，且AC＝BC，DC＝EC，
∴△ADC≌△BEC（SAS）
∴AD＝BE＝，∠D＝∠BEC＝45°，
∴∠AEB＝90°
∴AB＝＝2
∵AB＝BC
∴BC＝2
故答案为：2
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、挑战技能（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）
19．【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后取绝对值后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣+﹣1
＝﹣3+﹣1
＝﹣﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．【分析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DBC，可得∠ACB＝∠DBC，可证△OBC是等腰三角形．【解答】证明：∵AC＝DB，BC＝BC
∴Rt△ABC≌Rt△DBC（HL）
∴∠ACB＝∠DBC
∴OB＝OC
∴△OBC是等腰三角形
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
21．【分析】（1）根据中心对称的性质画出图形即可判断．
（2）根据轴对称的性质画出图形即可判断．
【解答】解：（1）△DEC即为所求．AB∥DE，AB＝DE．
故答案为AB∥DE，AB＝DE．
（2）△ACF即为所求．
△BCF是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【点评】本题考查旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．【分析】首先对分式进行化简，然后将x﹣y＝2时代入即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
x﹣y＝2时．
．
【点评】本题考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题的关键．
第二部分实践与应用
23．【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：1丈＝10尺，
设AC＝x，
∵AC+AB＝10，
∴AB＝10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55，
即AC＝4.55尺．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
24．【分析】根据题目的规律进行计算即可．不难发现由根号形式转化为积的形式．因此
（1）可以猜想到接下来的第4个算式为：，
（2）题中可以根据题目进行每一项的转化．从而计算出结果；
（3）第（2）题进一步扩展到n项即可．详见解答过程．
【解答】解：
（1）依题意：接下来的第4个算式为：
故答案为
（2）原式＝
＝
＝
＝
（3）
原式＝
＝
＝
＝
【点评】此题考查的是二次根式的化简，要观察到的转化．此类题即可解决25．【分析】先利用勾股定理求出OD，再利用角平分线定理得出DE＝CD，即可得出结论；
（1）先判断出∠DCQ＝∠ECP，进而判断出△CQD≌△CPE，得出DQ＝PE，即可得出结论；
（2）①依题意即可补全图形；
②同（1）的方法即可得出结论．
【解答】解：∵CD⊥OA，
∴∠ODC＝90°，
在Rt△ODC中，CD＝3，OC＝5，
∴OD＝＝4，
∵点C是∠AOB的平分线上的点，
∴DE＝CD＝3，
同理，OE＝4，
∴OD+OE＝4+4＝8，
故答案为8；
（1）上述结论成立，理由：如图2，过点C作CQ⊥OA于Q，CP⊥OB于P，
∴∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴∠AOB+∠POQ＝180°，
由旋转知，∠AOB+∠DOE＝180°，
∴∠POQ＝∠DOE，
∴∠DCQ＝∠ECP，
∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，
∴CQ＝CP，
∵∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴△CQD≌△CPE（ASA），
∴DQ＝PE，
∵OD＝OQ﹣DQ，OE＝OP+PE，
∴OD+OE＝OQ﹣DQ+OP+PE＝OQ+OP＝8；
（2）①补全图形如图3，
②上述结论不成立，OE﹣OD＝8，
理由：过点C作CQ⊥OA于Q，CP⊥OB于P，
∴∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴∠AOB+∠POQ＝180°，
由旋转知，∠AOB+∠DOE＝180°，
∴∠POQ＝∠DOE，
∴∠DCQ＝∠ECP，
∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，
∴CQ＝CP，
∵∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴△CQD≌△CPE（ASA），
∴DQ＝PE，
∵OD＝DQ﹣OQ，OE＝OP+PE，
∴OE﹣OD＝OP+PE﹣（DQ﹣OQ）＝OP+PE﹣DQ+OQ＝OP+OQ＝8．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键
26．【分析】（1）证明△ABC≌△ABD（SAS），可得AC＝AD．
（2）①作点B关于直线AC的对称点B′，连接EB′交AC于H，点H即为所求．
②连接AB′，证明△ABB′是等边三角形即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°
∵AE＝EB，
∴BC＝BE，
∵△BED是等边三角形，
∴BE＝BD，∠ABD＝60°，
∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD＝60°，BC＝BD，
∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴AC＝AD．
（2）①作点B关于直线AC的对称点B′，连接EB′交AC于H，点H即为所求．
②连接AB′，
∵AC⊥BB′，CB＝CB′，
∴AB＝AB′，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AE＝EB，
∴B′E⊥AB，
在Rt△BEB′中，∵BB′＝4，∠EBB′＝60°，
∴EB′＝BB′•sin60°＝2，
∴EH+HB的最小值＝EH+HB′＝EB′＝2
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。