傅里叶变换的意义

还有一种说法
1：（时域）周期信号的频谱是离散的；离散的时间信号即（时间）序列的频谱是周期的。2：傅里叶变换主要是针对连续时间信号，离散时间信号也可以应用；数字信号（离散时间信号）主要使用离散FT，因为便于数字运算。3：离散FT等效于FT在在频域采样，变换后在频域也是离散序列。这样更利于数字运算。4：有限长序列可以看成周期序列的一个周期，所以有限长序列与周期序列没有本质区别（实际上就是一样的）。这样不论在时域还是频域，都可以表示（有限长）。同时还可以FFT。
对于连续时间周期信号而言，其Fourier级数就是他的一个周
期的截取后的非周期信号的的傅立叶变换采样，连续时间信号采样后所得到的离散信号的DTFT可看成原来连续时间傅立叶变换在横轴做一下模拟——数字频率变换后进行周期延拓而成。离散傅里叶变换可以看成DTFT在主值区间（0到2*pi）的等间隔采样
时域上看不清，在频域上也许会简单，由于T与F的倒数关系，T上的采样会在F上无限，反之也是如此。
宏观与微观之间的关系吧。
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当然,在引入冲击函数后,傅立叶级数是可以统一于傅立叶变换的.
3.傅立叶级数(FS) 对应时域连续周期信号
傅立叶变换(FT) 对应时域连续非周期信号
离散傅立叶级数(DFS) 对应时域离散周期信号
离散时间傅立叶变换(DTFT) 对应时域离散非周期信号
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1.傅立叶分析的思想最早来自傅立叶对周期函数的研究,通过傅立叶级数
用傅里叶变换分析它（当然需要满足傅里叶变换存在的条件）。
对于时域上有限的连续信号，同样可以用傅里叶变换分析它，
但是用傅里叶级数的表示要简洁得多，傅里叶级数分解可以理解为信号在
频域上的采样。即时域傅里叶级数分解对应于频域采样。
对于频域上有限的连续信号，同样可以用傅里叶变换分析它，
4、快速傅里叶变换（FFT）的实质是“分而治之”，利用对称性、周期性和可约性将某些项合并，将DFT序列分解为短序列，降低运算次数，提高运算速度。
5、快速傅里叶变换的应用十分广泛，凡是可以利用傅里叶变换来进行分析、综合、变换的地方，都可以利用FFT算法及运用数字计算技术来加以实现。FFT在数字通信、语音分析、图像处理、匹配滤波等方面有广泛的应用。
１、变换是时间变量函数变成相应变换域的某种变量函数，这样使运算简单，处理方便。变换域变换有ＦＴ（以频域特性为主要研究对象）、ＬＴ与ＺＴ（注重研究极点及零点分析）、ＤＴＦＴ、ＤＦＴ、ＦＦＴ、ＤＴＷＴ等。
而与变换紧密相关的另一个就是卷积的概念.
2.傅立叶级数是以三角函数或指数函数为基对周期信号的无穷级数展开.
如果把周期函数的周期取作无穷大,对傅立叶级数取极限即得到傅立叶变换.
除了针对的信号不同,对于傅立叶级数,得到的是信号的频谱(来源于物理学中谱的概念),而傅立叶变换得到的是信号的频谱密度.
可以把周期函数展开成无穷级数的形式.
之后一百多年随着电力,电子,计算机技术的逐渐发展,傅立叶分析也得到越来越广泛的应用.
对于变换的思想我觉得根本来说是为了从不同的角度来认识：信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数
傅里叶变换就是对模拟信号进行数字化傅里叶处理，以便信号在处理后运算更方便。
从物理方面来讨论
傅立叶变换是一个密度函数的概念，是一个连续谱，包含了从零到无限高， 频的所有频率分量， 各频率分量的频率不成谐波 关系
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的要求。由于数字信号处理的其它运算都可以由DFT来实现，因此FFT算法是数字信号处理的重要基石。
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对傅立叶变换的理解
傅立叶变化是对信号的正交分解，e^jwt经过现行时不变系统后输出信号的形式不变，这无论在理论上还是实践上都有很大的意义。在数字信号出现后，DFT的快速形式FFT实现了计算机处理信号，提高了它的实用价值。
傅立叶级数是傅立叶变换的特殊形式，其所处理的信号是周期的。如果取出周期信号的一个周期作为时域有限信号，对它的变换进行可以得到级数形式。在郑君里的《信号与系统》讲得很透彻。
傅里叶变换（FT）是一种将信号从时域变换到频域的变换形式。它在声学、电信、电力系统、信号处理等领域有广泛的应用。我们希望能在计算机上实现信号的频谱分析或其它工作。计算机对信号的要求是：在时域和频域都应该是离散的，而且都应该是有限长的。而傅里叶变换（FT）仅能处理连续信号，DFT就是应这种需要而诞生的。它是傅里叶变换在离散域的表示形式。但是一般来说，DFT的运算量是非常大的。在1965年首次提出快速傅里叶变换算法FFT之前，其应用领域一直难以拓展，是FFT的提出使DFT的实现变得接近实时。DFT的应用领域也得以迅速拓展。除了一些速度要求非常高的场合之外，FFT算法基本上可以满足工业应用
２、傅立叶变换是非周期信号作为周期信号的傅立叶级数（FST）一种极限。
傅立叶级数—周期信号，傅立叶变换—非周期信号
３、非周期连续—— FT ——连续非周期
连续周期—— FST ——非周期离散
非周期离散——DTFT ——连续周期
离散周期——DFT ——周期离散
离散傅里叶变换（DFT）与序列傅里叶变换（DTFT）都跟Ｚ变换有关，DTFT是单位圆上的Ｚ变换，DFT是Ｚ变换在单位圆的均匀抽样。
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但是用时域采样样本内插的表示要简洁得多，这其实就是在频域上
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对于时域上无限，频域上无限的连续信号，也就是最一般信号，
TD-SCDMA
midamble码信道估计利用了时域圆周卷积等效于频域点乘特性，用到FFT
uppch检测匹配滤波，循环相关，用到FFT
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离散傅立叶变换(DFT) 更确切的说是把一个离散非周期信号(N点长的序列)周期延拓成周期信号后,取傅立叶级数的主值区间得到的,所以是一种近似的变换,但是这种方法却方便计算机计算,随后也就有了快速算法即快速傅立叶变换(FFT)
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从数学上看，离散傅立叶变换是一个特殊范德尔矩阵的变换，因为这种矩阵可以分解，才存在快速算法。
FT就是在另外一个DOMAIN来表示信号
确定F 空间的每一个点不仅要观察T 空间的一个点,而且要观察T 空间的所有的点以确定在该F 空间震动的强度(也就是频谱的数值)
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DFT/FFT是将线性卷积转为循环卷积的有用工具，将卷积关系转为乘积关系,是绝大多数快速信号处理的出发点,几乎长盛不衰
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离散傅立叶变换和序列的傅立叶变换是相同的，
连续傅立叶变换（FT)时域和频域都是连续的（周期信号的变换频域离散），离散时间傅立叶变换(DTFT)时域离散，频域连续且周期，离散傅里叶变换(DFT)是对铁矾土的抽样。
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在信号分析中，通过傅立叶换可以在频率中很容易的找出杂乱信号中各频率分量的幅度谱和相位谱。幅度谱可表示对应频率的能量，而相位谱可表示对应频率的相位特征。这在生理电信号分析，雷达信号中都有应用。
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从滤波关点看，复立叶变换相当于等宽带的Q值不等的滤波器组对信号进行滤波，采用常数Q的滤波器组则是小波分析
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