江苏省盐城市第一中学2008届高三第五次调研考试

江苏省盐城市第一中学2008届高三第五次调研考试

数学(文科)试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分，把正确答案写在题中的横线上） 1．已知直线的斜率是－1，则它的倾斜角是 ▲ .

2．已知集合22{|1},{(,)|1}A y y x B x y x y ==+=+=,则A B 中元素的个数是▲ . 3．若复数

3(12a i

i i

++是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值是▲ . 4．已知向量(1,2),(,4),a b x ==

若a ∥b ，则x= ▲ .

5．抛物线的焦点是曲线3(1)0x y +-=的对称中心，顶点为坐标原点，则此抛物线的方程是 ▲ . 6．利用简单随机抽样的方法，从n 个个体（n>13）中逐个抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率是

36

1，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率是 ▲ .

7．函数32()31f x ax x x =+-+在区间(,)-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是▲.

8．若椭圆

2

2

18

9

x

y

k +

=+的离心率是

12

，则k 的值是 ▲ .

9．在算式30－△=4×□中的△、□分别填入一个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对（△，□）应为 ▲ .

10．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度： cm ）， 则此几何体的表面积是 ▲ cm.

11．已知n S 是等差数列{}()n a n N *

∈的前n 项和，且

675S S S >>，有下列四个命题：⑴0d <；⑵110S >；

⑶120S <；⑷130S >.其中正确命题的序号是 ▲. 12．若函数|1|

1

()

2x y m -=+的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 ▲.

13．在△ABC 中，若45sin ,cos 5

13

A B ==

，则cos C = ▲ .

14．设m,n 是异面直线，则⑴一定存在平面α，使//m n αα?且；⑵一定存在平面α，使m n αα?⊥且；⑶一定存在平面γ，使m,n 到γ的距离相等；⑷一定存在无数对平面α和β，使,,m n αβαβ??⊥且；上述4个命题中正确命题的序号是 ▲. 二、解答题

第10题

15．(本题满分14分)

如图，矩形A B C D 的两条对角线相交于点(20)M ，，A B 边所在直线的方程为360x y --=, 点

(11)T -，在A D 边所在直线上．

（1）求A D 边所在直线的方程； （2）求矩形A B C D 外接圆的方程；

16．(本题满分15分) 已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤?≤ ，设AB 和AC

的夹角为θ．

(1)求θ的取值范围； (2)

求函数2π

()2sin 24f θθθ??

=+- ???

的最大值与最小值．

17．(本题满分15分) 建筑业中,建筑成本费用由城市土地使用权取得费和材料工程费二部分组成。某市今年的土地使用权取得费为2000元/2m ；材料工程费在建造第一层时为400元/2

m ；以后每增加一层费用增加40元/2

m ；求楼高设计为多少层时，才能使平均每平方米建筑面积的成本费最省.

18．(本题满分15分) 已知函数2

()1f x ax bx =-+. （1）若()0f x >的解集是(3,4)-，求实数a,b 的值；

x

（2）若a 为整数，b=a+2，且函数()f x 在(2,1)--上恰有一个零点，求a 的值.

19．(本题满分15分) 设椭圆C ：

)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直

的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且8A P =PQ 5

.

(1)求椭圆C 的离心率；

(2)若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：

30x +

+=相切，求椭圆C 的方程.

20．（本题满分16分）幂函数y = x 的图象上的点 P n (t n 2,t n )（n = 1,2,……）与 x 轴正半轴上的点 Q n 及原点 O 构成一系列正△P n Q n －1Q n （Q 0与O 重合），记 a n = | Q n Q n －1 | （1）求 a 1的值；

（2）求数列 {a n } 的通项公式 a n ;

（3）设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，若对于任意的实数 λ∈[0,1]，总存在自然数 k ，当 n ≥k 时，3S n －3n + 2≥(1－λ) (3a n －1) 恒成立，求 k 的最小值.

江苏省盐城市第一中学2008数学(文科)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分，把正确答案写在题中的横线上）

1．已知直线的斜率是－1，则它的倾斜角是

34

π ▲ .

2．已知集合22{|1},{(,)|1}A y y x B x y x y ==+=+=,则A B 中元素的个数是▲ 0 . 3．若复数

3(12a i

i i

++是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值是▲ －6 .

4．已知向量(1,2),(,4),a b x ==

若a ∥b ，则x= ▲ 2 .

5．抛物线的焦点是曲线3(1)0x y +-=的对称中心，顶点为坐标原点，则此抛物线的方程是 ▲

2

4y x =- .

6．利用简单随机抽样的方法，从n 个个体（n>13）中逐个抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率是36

1，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率是

▲

1337

.

7．函数32()31f x ax x x =+-+在区间(,)-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是3a ≤-▲.

8．若椭圆

2

2

18

9

x

y

k +

=+的离心率是

12

，则k 的值是 ▲ 544

-

或 .

9．在算式30－△=4×□中的△、□分别填入一个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对（△，□）应为 ▲ （10，5） .

10．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度： cm ）， 则此几何体的表面积是 ▲

(8012+cm

2

.

11．已知n S 是等差数列{}()n a n N *

∈的前n 项和，且

675S S S >>，有下列四个命题：⑴0d <；⑵110S >；

⑶120S <；⑷130S >.其中正确命题的序号是 ▲ ⑴⑵. 12．若函数|1|

1

()

2x y m -=+的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 ▲10m -≤<.

第10题

13．在△ABC 中，若45sin ,cos 5

13

A B =

=

，则cos C = ▲

3365

.

14．设m,n 是异面直线，则⑴一定存在平面α，使//m n αα?且；⑵一定存在平面α，使m n αα?⊥且；⑶一定存在平面γ，使m,n 到γ的距离相等；⑷一定存在无数对平面α和β，使,,m n αβαβ??⊥且；上述4个命题中正确命题的序号是 ▲（1）（3）（4 ）. 二、解答题

15．(本题满分14分)

如图，矩形A B C D 的两条对角线相交于点(20)M ，，A B 边

所在

直线的方程为360x y --=, 点(11)T -，在A D 边所在直线上． （I ）求A D 边所在直线的方程； （II ）求矩形A B C D 外接圆的方程；

15. 解：（I ）因为A B 边所在直线的方程为360x y --=，且A D 与A B 垂直，

所以直线A D 的斜率为3-． 又因为点(11)T -，在直线A D 上，

所以A D 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=． 6分

（II ）由36032=0

x y x y --=??

++?，解得点A 的坐标为(02)-，，

因为矩形A B C D 两条对角线的交点为(20)M ，． 10分 所以M 为矩形A B C D 外接圆的圆心．

又AM =

=

从而矩形A B C D 外接圆的方程为22

(2)8x y -+=． 14分

16．(本题满分15分)

已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤?≤ ，设AB 和AC

的夹角为θ． (1)求θ的取值范围；

(2)

求函数2

π

()2sin 24f θθθ??

=+-

???

的最大值与最小值．

16．解：(1)设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，

则由1

sin 32

bc θ=，0cos 6bc θ≤≤， ………………5分

可得0cot 1θ≤≤，所以ππ,4

2θ??∈????

． ………………7分

(2)π

()1cos 222f θθθ??

??=-+-

??????

?

(1sin 2)2θθ

=+-

π

sin 2212sin 213θθθ?

?=-

+=-+ ??

?． (11)

分

因为ππ,4

2θ??∈????

，ππ2π2,3

6

3θ??-∈????

，所以()

π22sin 2133

θ≤-+≤． ………………14分

即当5π12

θ=

时，[]m ax ()3f θ=；当π4

θ=

时，[]m in ()2f θ=． ………………15分

17．(本题满分15分)

建筑业中,建筑成本费用由城市土地使用权取得费和材料工程费二部分组成。某市今年的土地使用权取得费为2000元/2m ；材料工程费在建造第一层时为400元/2m ；以后每增加一层费用增加40元/2m ；求楼高设计为多少层时，才能使平均每平方米建筑面积的成本费最省.

17．解：设楼高设计为n 层时，平均每平方米建筑面积的成本费为y 元.（n ∈N+） 2分

依题意得： y=

n

n ))]

1(40400()240400()40400(400[2000-?+++?+++++

=n

n n )]

1(321[404002000-++++++ =

n

n

n 2

203802000++

)19102(20)19100(20+?≥++=n n

=780

(当且仅当n=10时，等号成立) 13分

答：楼高设计为10层时，平均每平方米建筑面积的成本费最省. 15分 18．(本题满分15分) 已知函数2

()1f x ax bx =-+.

（1）若()0f x >的解集是(3,4)-，求实数a,b 的值；

（2）若a 为整数，b=a+2，且函数()f x 在(2,1)--上恰有一个零点，求a 的值. 18．解：（1）若不等式2

10ax bx -+>的解集是(3,4)-，

则方程2

10ax bx -+=的两根是123,4x x =-=， ……………… 4分

所以

1212112,

1b x x x x a

a ==-=+=，

所以11

,1212

a b =-

=-

. ……………… 7分

（2）因为b=a+2，

所以2()(2)1,f x ax a x =-++22(2)440a a a =+-=+> 恒成立， 所以2()1f x ax bx =-+必有两个零点 ， ……………… 11分 又因为函数()f x 在(2,1)--上恰有一个零点，

所以(2)(1)0f f --<即(65)(23)0a a ++<， ……………… 13分 解得 35,26

a -<<-

又,

1a Z a ∈∴=- ……………… 15分

19．(本题满分15分) 设椭圆C ：

)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C

与x 轴正半轴于点P 、Q ，且8A P =PQ 5

.

⑴求椭圆C 的离心率；

⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：

30x +

+=相切，求椭圆C 的方程.

解⑴设Q （x 0，0），由F （-c ，0）

A （0，b ）知),(),,(0b x AQ b c FA -== c

b

x b

cx AQ FA 2

02

0,0,=

=-∴⊥

设PQ AP y x P 5

8),,(11=由，

得2

1185,1313

b

x y b c

=

=

…2分

因为点P 在椭圆上，所以

1)

135

()

138(

22

22

2

=+

b

b a

c

b

…………4分

整理得2b 2=3ac ，即2(a 2－c 2)=3ac ，22320e e +-=,故椭圆的离心率e=

2

1………6分

⑵由⑴知2

2

323,2

b

b a

c a c

==

得

，………………………………7分

11,2

2

c c a a

==由得……………………………………………………9分

于是F （－2

1a ，0） Q )0,2

3

(a ，

△AQF 的外接圆圆心为（2

1

a ，0），半径r=

2

1|FQ|=a ……………………11分

所以a a =+2

|32

1|，解得a=2，∴

c=1，b=3，所求椭圆方程为13

4

2

2

=+

y

x

(15)

20、答案：(1) 由 P 1(t 12

,t 1)（t > 0），… 1分,得 k OP 1 = 1t 1 = tan π3 =

3 ? t 1 =

33

∴ P 1(13,3

3

) …………2分

a 1 = | Q 1Q 0 | = | OP 1 | = 2

3

…………5分

(2) 设 P n (t n 2,t n )，得直线 P n Q n －1的方程为：y －t n = 3 (x －t n 2)

可得 Q n －1(t n 2

－

t n

3

,0)

直线 P n Q n 的方程为：y －t n = － 3 (x －t n 2)，可得 Q n (t n 2 + t n

3

,0) 所以也有 Q n －1(t n －12 +

t n －13 ,0)，得 t n 2－t n 3 = t n －12 + t n －13 ，由 t n > 0，得 t n －t n －1 = 1

3

∴ t n = t 1 + 13 (n －1) = 3

3 n …………8分

∴ Q n (13 n(n + 1),0),Q n －1(1

3 n(n －1),0)

∴ a n = | Q n Q n －1 | = 2

3

n …………10分

(3) 由已知对任意实数时 λ∈[0,1] 时 n 2－2n + 2≥(1－λ) (2n －1) 恒成立 ? 对任意实数 λ∈[0,1] 时，(2n －1)λ + n 2－4n + 3≥0 恒成立…………12分 则令 f (λ) = (2n －1)λ + n 2－4n + 3，则 f (λ) 是关于 λ 的一次函数. ? 对任意实数 λ∈[0,1] 时 ??

? f (0)≥0 f (1)≥0

? ??? n 2－4n + 3≥0 n 2－2n + 2≥0

…………14分

? n ≥3或n ≤1 又 ∵ n ∈N *

∴ k 的最小值为3…………16分