《工程电磁场》 (2)

1)
0
R1 : B
B 2
μ0 Iρ 2πR12
e
0
I
R12
2
2) R1 R2 :
B
μ0 I 2πρ
e
3) R2 R3, 这时穿过半径为 的圆面积的电流为:
I I I 2 R22 I R32 2
R32 R22
R32 R22
B dl
2 Bd 0 I (R32 2 )
(2) H 的衔接条件
分界面上，作一矩形回路。 lH dl I
H1t H2t K
右手螺旋法则
分界面上 H 的衔接条件
(3) 折射定律
两种媒质均匀，分界面无自由电流K: tg1 1 tg2 2
课堂练习
已知不同媒质分界面为xoz平面，且y<0的区域为介质1，y>0
的H12区 2域4j 为0，2介k2则质分23，界0且，面分在上界分电面界流两面线侧处密媒的度质磁为的场：参强数度为为：H
应用：方便地求解具有某些对称性的磁场。
例题、课堂练习
例 求无限大截流导板产生的磁感应强度B
B dl L
B1L B2L 0 KL
B1 B2 B
无限大截流导板
B
μ0 K 2
ex
μ0 K 2
ex
同轴电缆截面
课堂练习： 求载流无限长同轴电缆产 生的磁感应强度。
载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
μ0 K0
2 μ0 K0
2
ex ex
y0 y0
3.2 安培环路定律
3.2.1 真空中的安培环路定律
长直导线的磁场为例
B
μ0 I 2πρ
e
（1）安培环路与磁力线重合
B dl
L
2π 0
μI0 ρdΦ 2πρ
μ0 I
（2）安培环路与磁力线不重合
B dl
L
B cosdl
解：采用圆柱坐标系，取电流Idz，则
B
μ0
4π
Idl eR L R2
μ0 4π
Idl R L R3
R2 2 z2
dl
R
(dzez
) (e
zez
)
ρdze
B B e
μ0 4π
L1 L2
(ρ 2
Iρ z2
)3
2 dze
0I 4
[
L1
2 L12
L2 2
L2 2
I 21 I 2 1
与静电场镜像法 (q 1 2 q, q 22 q) 类比，
1 2
1 2
这里
1
1 1
,
2
1 2
,原因何在？
作业：
有线电流I1、I2分别位于介质1和介质2中，求二者之间的相互 作用力。
I1
μ1
d1
μ2
d2
I2
3.6 电 感 (Inductance)
3.7.1 自感 (Self inductance)
eφ
0 ρa a ρ
M
B μ0
H
0 0 0
I 2
e
a a
作业：经典习题 3-3 (P143)
3.3 恒定磁场的基本方程、 分界面上的衔接条件
3.3.1 磁通连续性原理 3.3.2 磁力线 3.3.3 基本方程 3.3.4 分界面衔接条件
3.3.1 磁通连续性原理
磁通
推导：
线电流I’产生的磁场：
B
μ0
4π
I ' dl '
eR
l R2
—— 磁感应强度(T)
毕奥 —— 沙伐定律（Biot — Savart Law )
电流面密度、电流线密度产生的磁场 :
B
μ0
4π
V
J(r)
(r
r
r
3
r)
dV
B
μ0
4π
s
K(r) r
(r r
3
r)
dS
例 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。
H dl I （安培环路定律） l
B 0 （无源）
H J（有旋）
媒质的性能方程 B μH
恒定磁场是有旋无源场,电流是激发磁场的涡 旋源。
课堂练习
试判断 F 能否表示为一个恒定磁场？或者静电场？
(a) F1 axe y bye x ;
(b) F2
aρ e ρ
。
其中，a 0，且b 0。
I
Байду номын сангаас
L μ0
B
(
L μ0
磁场强度:
s( M) dS
M) dl I
H
B
M
I
LM dl
H dl
I1
2I
2
μ0
LH dl I
H 与I 成右螺旋关系 H J
实验证明，在各向同性的线性磁介质中 M χm H
B
μ0(H
M)
μ
0
H(
1
χm
)
μ0 μr H
μH
B μH
课堂练习、作业
A
μ 4π
s
KdS
R
物理意义：
1.
m
B dS
S
A dl
l
2. 每个电流元产生的磁矢位与此元电流具有相同的方向。
满足的方程：
B 0B A
H
J
B
J
μ
A ( A) 2 A μJ
库仑规范 A 0
B μH
2 A μJ ( Poisson )
当
J
0时
B ( A) 0
定义： A B
A 0
A：磁矢位 (wb/m)
(Magnetic vector potential)
库仑规范
计算：
B
( 4
l
Idl ) R
A
A
μ 4π
Idl
l R
线电流磁矢位：
A
μ 4π
l
Idl R
体电流、面电流磁矢位：
μ
JdV
A 4π V R
F
μ0
Idl
(I' dl '
eR
)
4π l l'
R2
0 4 107( H / m )
电流之间相互作用力通过磁场传递。
3.1.2 磁感应强度B
回路电流I 所受到的磁场力：
F
Idl
μ0
I ' dl '
eR
Idl B
l
4π l' R 2
l
dF dF
dIdqlvBB
洛仑兹力
解：
(a)
F1
F1 x x
F1 y y
0
0
0
F1可以表示为恒定磁场。
(b)
F2
1 ρ
ρ (ρρ 2 ρ )
1
(
a )
2a
0
F2不可能表示恒定磁场。
3.3.4 分界面上的衔接条件
(1) B 的衔接条件
媒质分界面上，作一小扁圆柱。 sB dS 0
分界面上 B 的衔接条件
B1n B2n
2A 0
( Laplace )
在直角坐标系下, 2 A μJ 可以展开为
2 Ax Jx ; 2 Ay J y ; 2 Az Jz
3.5 镜像法
（Image Method in Static Magnetic Field）
两种不同磁介质的镜像
推导方法与静电场类似，有：
I 2 1 I 2 1
K
K0ez
, 求其所产生的B 。
要点：在电流片上dx的一条无限长线电流的B为
dB1
μ0 Idl eρ 2π ρ
μ0 2π
K 0 dx ρ
sin
ex
根据对称性 , 整个面电流所产生的B为：
无限大电流片B 的分布
B Bxex
μ0 K0 sin α
2π(x2
y2
1
)2
dxex
B A
B ( A) 0
SB dS 0
B 0
磁场通过任意闭合面的磁通量为零，称之为
磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律
(Gauss’s Law for the Magnetic field )。
物理意义：
磁通连续性原理
迄今为止，自然界尚未发现“磁荷”的存在。
3.3.2 磁力线
例 有一磁导率为 µ，半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有 无限长的线电流I，圆柱外是空气（µ0 ），如图所示。试求圆
柱内外的 B，H 与 M 的分布。
解：磁场为轴对称场,且具有轴对称性
应用安培环路定律：
H dl l
2πρH φ
I
H
I 2πρ eφ
0 ρ
B
μI 2πρ
eφ
μ0 I 2πρ
3 恒定磁场
3.1 磁感应强度 3.2 安培环路定律 3.3 基本方程 , 分界面上的衔接条件 3.4 磁矢量位 3.5 镜像法 3.6 电感 3.7 磁场能量与力 3.8 恒定磁场的FEM 3.9 磁路 3.10 三种场的类比
3.1 磁感应强度
3.1.1 安培力定律 ——实验定律
真空中，回路电流I’ 对回路电流I 的作用力 F：
定义：回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。
L
I
仅与回路的几何尺寸、媒质参数有关。
内磁链 Ψi
L Li L0 i 0 I
内自感Li: 导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路 电流比值。
外自感Lo: 导体外部闭合的磁链与回路电流的比值。
自感计算的 一般 步骤：
设 I H B Φ ψ L( Li , L0 )
l
0
R32 R22
4) R3 :
B0
B
μI 2πρ
R32 R32
ρ2 R2
e
3.2.2 媒质的磁化（Magnetization）
(1) 磁偶极子
磁偶极矩
m IdS
(2) 媒质的磁化
磁偶极子
n
无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，
mi
0
i 1
转矩在为外Ti磁 场m i作 B用 ，下旋，转磁方偶向极使子磁发偶生极旋矩转方，i向n1 m与i 外0
]e
对于无限长直导线情况：
L1 , L2 :
B
μ0 I 2πρ
e
例 真空中有一载流为I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的磁感应强度。
解：元电流
dB
Idl 在其轴线 上P μ0 Idl er
4πr 2
点产生的 B
Idl er
dB
0 Idl 4 (R 2 x 2 )
圆形载流回路 圆形载流回路轴线上的磁场分布
L
2 0 I 0 2
d 0 I
3.2.1 真空中的安培环路定律
（3）安培环路不交链电流
B dl
B cosθdl 0 μ0 I ρdφ 0
L
L
0 2πρ
（4）安培环路与若干根电流交链
B dl L
0
Ik
该结论适用于其它任何带电体情况。 环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。
仿照静电场的 E 线，恒定磁场可以用 B 线描绘，B
线的微分方程 B dl 0
直角坐标系：
Bx By Bz dx dy dz
B 线的性质：
• B 线是闭合的曲线;
• B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )；
• 闭合的 B 线与交链的电流成右手螺旋关系； • B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。
(1) 有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化 电流共同作用在真空中产生的磁场。
(2) 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
(3) 磁化电流是等效电流，实际不存在。
3.2.3 一般形式的安培环路定律
B dl L
0I
0 (I Im ) 0I
μ0
sJ m dS
B
dl
磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。
媒质的磁化
磁化强度（Magnetization Intensity）表示磁化的程度：
n mi
M lim i1
ΔV 0 ΔV
磁化电流
媒质磁化后，引起的附加磁场可以等效成是磁化电流在真
空中产生的磁场：
体磁化电流
Jm M
面磁化电流
Km M en
结论:
A
Φ sB dS s( Α) dS l Α dl
外磁链 Ψo
磁链
定义：一个线圈或电流回路各匝导线所交链的磁通总量，
称为该线圈或该回路的磁通匝链数，简称磁链。
m
B dS
S
B dS
S1
B dS
S2
B dS
S3
3 3
i 1
B dS
Si
i 1
i
密绕N匝线圈： N
长直螺线管磁场的分布（B 线）
一载流导线 I 位于无限大铁板上方 的磁场分布（B 线）
一载流导线I位于无限大铁板内的 磁场分布（H 线）
两根异向长直流导线的磁场分布
两根相同方向长直流导线的磁场分布
两对上下放置传输线的磁场分布
两对平行放置传输线的磁场分布
3.3.3 基本方程
恒定磁场的基本方程:
B dS 0 （磁通连续原理） S
Φ m
B
4
dl
B dS (Wb)
s
Idl eR l R2
( 1 ) eR
R
R2 1
Idl ( )
4 l
R
1
0 1
( ) ( dl ) dl ( )
R R R
dl
ex
ey
ez 0
x y z
dx dy dz
B
( 4
l
Idl )
R
A
B A
B 的通量
非密绕N匝线圈： N
N 1 N
N i i1
例 试求图示长为l 的同轴电缆的自感 L。
解： 总自感: L Li1 Li2 L0
1)内导体的内自感 Li1 : (0 R1)
1
1
2
10i
6
0 j
，
2k
，
(a)
K
10i；(b)
K
10i
2 j；(c)
K
10i
4k；(d)
K
10k 。
z
Ht Hxi Hzk
H1z -H2z
H1x x
0 -H2x
H1x H2x Kz 10
y
H1z H2z Kx 0
K Kxi Kzk 10
3.4 磁矢量位
根据圆环磁场对 P 点的对称性:
dBx dBsin dBy 0
B Bxex
μ0I
4π(R2
x
2
)
sin
θ
dl
l
e
x
μ0 4π(R2
I
x
2
)
R R2
x2
2πRex
μ0 IR2 2(R2 x 2 )3/ 2
ex
课堂练习、作业
作业： 3-1-3(P96)
一无限大导体平面上有恒定面电流