最新公开课《24.1.2垂径定理》课件课件ppt

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短的弦等于 2 5 c m .
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米,最短 弦长为2厘米,则OM的长是多少?
B
O
D
P E
C
A
A OM
2、如图,点P是半径为5cm的⊙O内一点, 且OP=3cm, 则过P点的弦中, (1)最长的弦= cm (2)最短的弦= cm (3)弦的长度为整数的共有( )
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
已知:如图,CD是⊙O的直径,
·O
AB为弦,且AE=BE.
求证:CD⊥AB,且⌒ AD=BD,

A
A⌒C =⌒BC
E D
B
证明:连接OA,OB,则
OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB ∴ A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC
垂径定理推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
D
A
B
E
O
A
DB
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
O E A 9 0 E A D 9 0 O D A 9 0
∴四边形ADOE为矩形, AE1AC, AD1AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
课堂讨论

根据已知条件进行推导: ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
Baidu Nhomakorabea
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
试一试
1.判断:
()(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
√( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
√( )(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
1.已知P为⊙O内一点,且OP=2cm, 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
• 归纳:

已知:直径,弦长,弦心距,
拱高四者知其二,即可根据勾股定
理求出另外的两个量。
赵州桥主桥拱的半径是多少?
问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?
公开课《24.1.2垂径定理》课 件
赵州桥主桥拱的半径是多少?
问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?
实践探究
∵ CD是直径, AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。
(2)“不是直径”这个条件能去掉吗?如 果不能,请举出反例。
C
A ·O B
D
练习
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆 心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.
解: O EA B
A
AE1AB184
22
在Rt △ AOE 中
E
B
·
O
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm
答:⊙O的半径为5cm.
2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形 ADOE是正方形.
证明: O E A C O D A B A B A C
(1)是轴对称图形.直径CD所在的 直线是它的对称轴
(2弧):线A⌒段C:=BA⌒EC=BE,A⌒D=B⌒D
A
C
·O
E B
D
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
C
(1)如何证明?
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
① ④ ⑤
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所
对的两条弧。
(2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分
弦所对的另一条弧。
(3)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
解决求赵州桥拱半径的问题
如图,用
A⌒B





,A
B

A⌒B所在圆的圆心为O,
半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D为垂足,OC
与A⌒ABB
相交于点D,根据前面的结论,D 的中点,CD 就是拱高.
是AB
的中点,C是
在图中 AB=37.4,CD=7.2,
AD 1A B13.7 41.8 7,
5 3 OO
A
4 PP B
D
3、如图,点A、B是⊙O上两点,AB=8, 点P是⊙O上的动点(P与A、B不重合), 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于
E,OF⊥B4P于F,EF= 。
O
AE
F
B
P
练习
已知⊙O的半径为5厘米,弦AB的长为8厘米, 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
把一个圆沿着它的任意一条直径对折, 重复几次,你发现了什么?由此你能得到 什么结论?
可以发现: 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是 它的对称轴.
活动二
如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E. (1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?
22
OD=OC-CD=R-7.2
在Rt△OAD中,由勾股定理,得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B

R2=18.72+(R-7.2)2 R
解得:R≈27.9(m)
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8
求这两条平行弦间的距离.
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?
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