(完整word版)近三年高考全卷理科立体几何真题

新课标卷近三年高考题

1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=o ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o ．

（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 【解析】 ⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥

∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥

∵=DF EF F I ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC

⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒ ∵AB EF ∥

AB ⊄平面EFDC EF ⊂平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ⊂平面ABCD ∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥

∴四边形EFDC 为等腰梯形

以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =

()

()000020E B a ，，，， ()302202a C A a a ⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

，，，，

()020EB a =u u u r ，，，322a BC a ⎛⎫

=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，()200AB a =-u u u r ，， 设面BEC 法向量为()m x y z =u r

，，.

00m EB m BC ⎧⋅=⎪

⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即1111203

202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-⋅=⎪⎩ 111301x y z ===-，

(

)

301m =

-u r

，，

设面ABC 法向量为()222n x y z =r

，，

=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r .即2222320220a x ay az ax ⎧-+

=⎪⎨⎪=⎩ 222034x y z ===，， ()

034n =r

，，

设二面角E BC A --的大小为θ.

219

cos 31316m n m n

θ⋅==

=-+⋅+⋅u r r

u r r ∴二面角E BC A --的余弦值为219

-

2、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，

5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5

4

AE CF ==

，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆位置，10OD '=．

（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．

【解析】⑴证明：∵54

AE CF ==，∴

AE CF

AD CD

=， ∴EF AC ∥．

∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥． ∵6AC =，∴3AO =；

又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，

∴1AE

OH OD AO

=

⋅=，∴3DH D H '==， ∴2

2

2

'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．

()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，

()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur ，，，()060AC =uuu r

，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r

，

由11

00n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r 得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，

∴()1345n =-u r

，，．

同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r

，，，

∴1212

9575

cos 5210n n n n θ⋅+==

⋅u r u u r

u r u u r ， ∴295

sin θ

3、（2016年全国III 高考）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC P ，

3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，

2AM MD =，N 为PC 的中点．

（I ）证明MN P 平面PAB ；

（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦

值

.

设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PM ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-022

5042z y x z x ，可取

)1,2,0(=，

于是255

8|

||||,cos |==>

4、【2015高考新课标2，理19】

如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在

11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；

（Ⅱ）

45

15

． 【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．

D

D 1

C 1

A 1

E F

A B

C

B 1