(新课改省份专用)202x版高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和讲义(含解析

第二节 等差数列及其前n 项和

突破点一 等差数列的基本运算

[基本知识]

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *

，d 为常数)．

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2

，其中A 叫做a ，b 的等

差中项．

2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋

n n －1

2

d ＝n a 1＋a n 2

.

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )

(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *

，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )

(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、填空题

1．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________． 答案：3

2．在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为________． 答案：14

3．已知{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4a 5，a 2＝－8，则该数列的公差是________． 答案：4

4．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，S 100＝10 000，则S n ＝________. 答案：n 2

[典例感悟]

1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5

＝( )

A ．－12

B ．－10

C ．10

D ．12

解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1

＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.

2．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .

解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，

∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d

a 1＋2d ＝8，∴⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＝2，d ＝－3

或⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＝－4，d ＝3.

∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝

n －4＋3n －7

2

＝

n 3n －11

2

.

[方法技巧]

解决等差数列基本量计算问题的思路

(1)在等差数列{a n }中，a 1与d 是最基本的两个量，一般可设出a 1和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可．

(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 和前n 项和公式S n ＝

n a 1＋a n

2

＝na 1＋

n n －1

2

d ，在两个公式中共涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，

已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．

[针对训练]

1．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫

a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( )

A ．10

B ．30

C ．40

D ．20

解析：选B 法一：设数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n n 是公差为d 的等差数列，

a9 9－

a3

3

＝

12

9

－

2

3

＝

2

3

，∴d＝

1

9

，

a15

15

＝

a3

3

＋12d＝2.故a15＝30.

∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝

法二：由于数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－2

3＝2，故a 15＝30.

2．(2018·信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．( )

A.5

3 B ．32 C.43

D ．54

解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，

a 5，设公差为d ，由题意知

a 1

＋a 2

＝a 3

＋a 4

＋a 5

＝5

2，即⎩⎪⎨⎪⎧

2a 1

＋d ＝5

2，3a 1

＋9d ＝5

2

，解得

⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1＝4

3

，

d ＝－16，

故甲得4

3

钱，故选C.

3．(2018·菏泽二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *

，满足a 1＋a 2＝10，S 5

＝40.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，

S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，

所以⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＝4，d ＝2，

所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2.

(2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，

b n ＝|

c n |＝|11－2n |＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，

设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n . 当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2

＋10n .

当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2

－