小学奥数：几何计数(三).专项练习
小学奥数：几何计数(三).专项练习及答案解析
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．E DC B A数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练(中难度)
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练（中难度）例题1：在一个正方形的边长为5cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？解析：首先我们知道正方形边长为5cm，正方形砖头的边长可以为1cm、2cm、3cm、4cm或5cm。
由于两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，所以我们可以分别计算每种颜色砖头的铺法数量，然后相乘得到总的铺法数量。
对于红色砖头的铺法数量，我们可以考虑从左上角开始铺设。
当砖头的边长为1cm时，只有一种铺法。
当砖头的边长为2cm时，有两种铺法，水平或垂直放置。
当砖头的边长为3cm时，有三种铺法，水平放置、垂直放置或者斜放。
同理，当砖头的边长为4cm时，有四种铺法，水平放置、垂直放置、斜放或者两个合并一起放置。
当砖头的边长为5cm时，只有一种铺法，即整个正方形都用红色砖头铺满。
因此，红色砖头的铺法数量为1 + 2 + 3 + 4 + 1 = 11种。
同理，蓝色砖头的铺法数量也为11种。
总的铺法数量为11 * 11 = 121种。
专项练习应用题：1. 在一个正方形的边长为6cm的区域内，用红、蓝、黄三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？2. 在一个正方形的边长为8cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？3. 在一个正方形的边长为10cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？4. 在一个正方形的边长为7cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，但可以有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？5. 在一个正方形的边长为9cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，但可以有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？6. 有一条长度为10cm的线段，若将其分成三段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？7. 有一条长度为12cm的线段，若将其分成四段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？8. 有一条长度为15cm的线段，若将其分成五段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？9. 有一条长度为8cm的线段，若将其分成两段长度为整数的线段，且这两段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？10. 有一条长度为11cm的线段，若将其分成三段长度为整数的线段，且这三段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？11. 有一条长度为14cm的线段，若将其分成四段长度为整数的线段，且这四段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？12. 在一个正方形的边长为4cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？13. 在一个正方形的边长为6cm的区域内，用红、蓝、黄三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？14. 在一个正方形的边长为9cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？15.在一个正方形的边长为5cm的区域内，用红、蓝、黄、绿四种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求四种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？例题2：题目：在一个正方形格子图中，每个格子都填上了数字0或1，使得每行每列的数字和都为偶数。
小学奥数教程之-几何计数(三)教师版 (162) 全国通用(含答案)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
小学奥数 几何计数(三) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
小学奥数习题版三年级几何图形计数学生版
图形计数知识要点(n m++-数线段【例1】请数出下图中线段的总条数。
【例2】数一数，下图中共有多少条线段？【例3】请问下图有多少条线段？【例4】数一数下图一共有多少条线段？【例5】数一数下图中共有多少条线段？数长方形【例6】 数一数：下图中有几个长方形（包括正方形）？【例7】 图171--中有多少个长方形（包括正方形）？【例8】 图中有多少个长方形（包括正方形）？【例9】 图中有多少个长方形（包括正方形）？【例10】 下图中有多少个长方形？FJI HGBC D E A图1-7-2图1-7-3图1-7-1【例11】下图中有多少个长方形？数正方形【例12】数一数：下图中有几个正方形？【例13】下图中共有多少个正方形？【例14】如图182--所示，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成44⨯的正方形钉阵，现在有足够的橡皮筋，请问能在这个正方形钉阵上套出多少个正方形？【例15】如图182--所示为44⨯的正方形网格由16个11⨯的小正方形构成，网格的格点都是小正方形的顶点。
那么，以网格的格点为顶点的正方形一共有个_______。
数三角形【例16】数一数下图中共有多少个三角形？【例17】数一数下图中共有多少个三角形？【例18】数一数下图一共有多少个三角形？【例19】（第十四届华罗庚少年数学邀请赛决赛试题A（小学组））如下图所示，在边长为1的小正方形组成的44方格图中，共有25个格点.在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有________个.【例20】数一数下图一共有多少个三角形？【例21】数一数下图中的三角形个数是多少？【例22】数一数下面图形中各有多少个三角形？a 【例23】下图中共有几个三角形？图1-5-2一课一练【练习1】数一数下图一共有多少条线段？【练习2】数一数下图一共有多少条线段？【练习3】下图中有多少个长方形？【练习4】下图中，大大小小的长方形共有多少个？【练习5】下图中有多少个正方形？【练习6】下面图中有多少个正方形？【练习7】数一数下面图形中有多少个三角形？【练习8】数一数下图共有多少个三角形？补充题库【补充1】数一数，图154--中共有多少个锐角?你能用两种方法解答这个问题么？图1-5-4【补充2】下图中共有几个三角形？【补充3】数一数下图中梯形有_________个。
小学数学《几何计数》练习题(含答案)
小学数学《几何计数》练习题（含答案）1、数一数图中三角形的个数.解答：这样的图形只能分类数,可以采用类似数正方形的方法,从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有四层,它们的总数为:W=1+2+3+4=10(个).①上②尖朝下的三角形共有三层,它们的总数为:W=1+2+3=6(个).①下Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有三层,它们的总数为:W=1+2+3=6(个)②上②尖朝下的三角形只有一个,记为W②下=1(个).Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有二层,它们的总数为:W=1+2=3(个).③上②尖朝下的三角形零个,记为W③下=0(个).Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形,只有一个,记为W④上=1(个).所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27(个).2、下图共有( )个三角形.解答：Ⅰ.尖朝上的三角形有五种:(1)W①上=8+7+6+5+4=30(2)W②上=7+6+5+4=22(3)W③上=6+5+4=15(4)W④上=5+4=9(5)W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个)Ⅱ.尖朝下的三角形有四种:(1) W①下=3+4+5+6+7=25(2)W②下=2+3+4+5=14(3)W③下=1+2+3=6(4)W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)∴80+46=126个.3、下图一共有( )个三角形.解答：Ⅰ.与ABE ∆相同的三角形共有5个;Ⅱ.与ABP ∆相同的三角形共有10个;Ⅲ.与ABF ∆相同的三角形共有5个;Ⅳ.与AFP ∆相同的三角形共有5个;Ⅴ.与ACD ∆相同的三角形共有5个;Ⅵ.与AGD ∆相同的三角形共有5个.所以图中共有三角形为5+10+5+5+5+5+5=35(个).4、图ABC ∆中,cm BC 4=,BC 边被分成四等分, BC 边上的高cm AH 2=,则图中所有三角形面积的和为多少?(以AH 为边的三角形不计算在内.解答：底边为1cm 的三角形面积和为:)(442212cm =⨯÷⨯;底边为2cm 的三角形面积和为:)(632222cm =⨯÷⨯;底边为3cm 的三角形面积和为:)(622232cm =⨯÷⨯;底边为4cm 的三角形面积和为:)(412242cm =⨯÷⨯;图中所有三角形面积和为:)(2046642cm =+++.5、下图共有( )个平行四边形.解答：÷315⨯⨯⨯⨯(个)÷7(==216)215)26(56、如右图,数一数图中一共有多少个三角形?解答：这是个对称图形,我们可按如下三步顺序来数:第一步:大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形:AEOH、EBFO、OFCG、HOGD,每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步:每两个小矩形组合成的图形共有四个,如:ABFH、EBCG、HFCD、AEGD,每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步:每三个小矩形占据的部分图形共有四个:如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC,每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.Ⅰ.在小矩形AEOH中:①由一个三角形构成的8个.②由两个三角形构成的三角形有5个.③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内17个三角形.Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中,如矩形AEGD,共有5个三角形.Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中,如△ABC,共有2个三角形.所以整个图形共有三角形个数是:(8+5+5+5+2)×4=25×4=100(个).7、下图共有几个长方形?解答：①除去四周凸出部分,中间大长方形内共有长方形:(7×6÷2)×(4×3÷2)=126(个);②左、右凸出部分共有长方形:(3×2÷2)×(7+6)+(5×4÷2)×(5+4)=39+90=129(个);③上、下凸出部分共有长方形:1×(8+7)=15(个).④图中共有长方形:126+129+15=270(个).8、下图共有多少个长方形?解答：①在大长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);②在小长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);③在①与②中重复的长方形有:1+2=3(个);④两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)×(2+2)+1×(2+2)=16(个).⑤图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).9、数一数下图中有多少个正方形？[分析]正方形的计算方法比较简单，因为正方形每边都是一样长，所以，如果用边长来分类就会很方便。
小学数学《几何计数》练习题(含答案)
小学数学《几何计数》练习题（含答案）内容概述几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.数线段【例1】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？【例2】有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。
请你想一想，有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段？【例3】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中共有线段多少条？【例4】（小数报数学竞赛初赛）数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？【例5】如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【例6】如右图，数数有多少个三角形？【例7】数一数，右图中共有多少个三角形?【例8】数一数，右图中共有多少个三角形?【例9】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中三角形共多少个？【例10】数一数，各图中长方形的个数?【例11】带*的长方形有多少个？【例12】右图中有多少个长方形？【例13】右图中各小格都是正方形，图中共有多少个正方形？【例14】数一数，下例各图中有多少个正方形？习题七1．有一把尺子，因磨损只能看清“0”“2”“5”“8”“9”，你能用这把尺子准确画出多少条不同长度的线段？2．数一数，右图中有多少个角?3．数数右图中有多少条线段？4．如右图，数数有多少个三角形？5．数一数下图中有多少个正方形？6．如下图，数一数下列图中长方形的个数？带小花的长方形有多少个？*7．数一数，右图中共有多少个正方形?数线段【例15】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？分析：我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：法1：以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．法2：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。
六年级下册奥数专题练习-几何图形的计数-全国通用
几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。
将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。
第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。
所以是小三角形个数多。
例2 直线m上有4个点，直线n上有5个点。
以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。
直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。
以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。
同理，m上4个点可以组成6条线段。
以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。
所以，一共可以组成70个三角形。
【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。
在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。
①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。
所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。
例2 图5.48中共有______个三角形。
（《现代小学数学》）邀请赛试题）讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。
所以，一共有15个三角形。
例3 图5.49中共有______个正方形。
四年级奥数-几何计数
【例1补充】(★★★) 下图中可以数出多少个三角形？
【例2】 (★★★) 如图，木板上钉着20个钉子，形成4行5列的正方形钉阵。那么橡皮筋 如图 木板上钉着20个钉子 形成4行5列的正方形钉阵 那么橡皮筋 一共能套出 个正方形。
【例3】 (★★★) 如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1的正方阵。用一根橡皮筋 将3枚不共线的钉子连接起来就形成一个三角形。其中面积为1的三角 形有多少个？
【例2补充】(★★★★) 下图的点可以连成多少个正方形？
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【例4】 (★★) 在4×6的方格表中可以数出多少个长方形？多少个正方形？
【例5】 (★★) 在5×6的方格表中可以数出多少个如图所示的“ T ”字形？(“T”字 形可旋转)
【例6】 (★★★) 下图中包含★的长方形共有多少个？ ★
【例7】 (★★★★) 在下图中只包含一个★的长方形有多 少个？ ★ ★
2
小学奥数系列训练题-几何计数｜通用版
2015年小学奥数计数专题——几何计数1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?8．图中共有多少个三角形?9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?11．在图中，共有多少个不同的三角形?12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?16．数一数下列图形中各有多少条线段.17．数出下图中总共有多少个角.18．数一数下图中总共有多少个角？19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？20．如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？21．如右图中，共有多少个角？22．在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少? 37421812523．由20个边长为1的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。
四年级数学下册综合算式专项练习题几何体的计数练习
四年级数学下册综合算式专项练习题几何体的计数练习四年级数学下册综合算式专项练习题——几何体的计数练习几何体是我们生活中常见的物体，如立方体、圆柱体、圆锥体等。
在这个专项练习中，我们将针对几何体进行计数的练习。
通过解决一系列实际问题，来加深对几何体的理解和计数技巧。
第一题：计数立方体1. 你身边有多少个立方体？请逐个数出来并写下来。
2. 使用相同大小的小立方体拼成一个大立方体，计算一下你需要多少个小立方体。
提示：大立方体一边的个数平方等于小立方体的总个数。
第二题：计数圆柱体1. 你发现了很多个相同大小的圆柱体，请逐个数出来并写下来。
2. 选取其中一个圆柱体，测量一下它的底面半径和高度，并计算出它的体积。
3. 使用相同大小的小圆柱体填满一个大圆柱体，计算一下你需要多少个小圆柱体。
提示：大圆柱体的体积等于小圆柱体的体积乘以个数。
第三题：计数圆锥体1. 你看到了很多个相同大小的圆锥体，请逐个数出来并写下来。
2. 选取其中一个圆锥体，测量一下它的底面半径和高度，并计算出它的体积。
3. 使用相同大小的小圆锥体填满一个大圆锥体，计算一下你需要多少个小圆锥体。
提示：大圆锥体的体积等于小圆锥体的体积乘以个数。
第四题：几何体的组合计数1. 你身边有多少个几何体？请逐个数出来并写下来。
2. 计算一下你有多少个立方体、圆柱体和圆锥体。
3. 使用不同种类的几何体组合成一个整体，计算一下需要多少个小几何体。
提示：先计算每种几何体的个数，再根据题目所给的组合要求计算总数。
通过这些练习题，相信你对几何体的计数有了更深入的了解，并能够熟练地运用计数方法解决实际问题。
继续努力，数学会变得更加有趣！。
奥数几何计数题库及答案
奥数几何计数题库及答案1. 题目一：一个圆的半径为5厘米，求圆内接正六边形的边长。
答案：圆内接正六边形的边长等于圆的半径。
因此，边长为5厘米。
2. 题目二：一个正方体的棱长为10厘米，求其外接球的半径。
答案：正方体的体对角线等于外接球的直径。
体对角线的长度为\(\sqrt{3} \times 10\) 厘米，所以外接球的半径为\(\frac{\sqrt{3} \times 10}{2}\) 厘米。
3. 题目三：一个圆柱的底面半径为3厘米，高为10厘米，求其侧面积。
答案：圆柱的侧面积等于底面周长乘以高，公式为 \(2\pi r\times h\)。
代入数值得 \(2\pi \times 3 \times 10 = 60\pi\) 平方厘米。
4. 题目四：一个正四面体的棱长为a厘米，求其表面积。
答案：正四面体的表面积由四个等边三角形组成，每个三角形的面积为 \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)。
因此，总表面积为 \(4 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}a^2\) 平方厘米。
5. 题目五：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c厘米，求其对角线的长度。
答案：长方体的对角线长度可以通过勾股定理求得，公式为\(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) 厘米。
6. 题目六：一个圆锥的底面半径为r厘米，高为h厘米，求其体积。
答案：圆锥的体积公式为 \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) 立方厘米。
7. 题目七：一个球的直径为d厘米，求其表面积。
答案：球的表面积公式为 \(4\pi r^2\)，其中r为半径，即\(\frac{d}{2}\) 厘米。
代入得 \(4\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi d^2\) 平方厘米。
8. 题目八：一个圆环的内圆半径为r1厘米，外圆半径为r2厘米，求其面积。
答案：圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，公式为 \(\pir2^2 - \pi r1^2\) 平方厘米。
小学奥数7-8-3 几何计数(三).专项练习及答案解析
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．教学目标知识要点7-8-3.几何计数（三）E DB A数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
小学五年级数学思维专题训练—几何计数(含答案解析)
小学五年级数学思维专题训练—几何计数1．如右图所示，把一个正方体切去8个小角，那么这个新的立方体图形有____条棱。
2．下图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的长方形有_____个。
3．如下图所示，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等）。
把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有_____种。
4．下图是由16个小正方形组成的大正方形，则在这个图中，共有_____个由小正方形组成的长方形（包括正方形）中包含“ ”。
5．下图中有_____个三角形。
6．如下图所示，两条线上有6个点。
试求出以6个点中任意3点为顶点构成的三角形一共有几个。
7.将4个小正方体拼在一起（正方体与正方体拼接的两个面要完全重合），共有_____种不同的拼法。
（旋转后相同算同一种拼法）8.如下图所示，在正方形的7个点中取4个格点作为顶点的四边形中，正方形有______个，取其中3个格点组成的等腰三角形有_______个。
9．下图是由9个点组成的，那么以图中4个点为顶点的正方形有_____个，以图中3个点为顶点的三角形有______个。
10．一块木板上有13枚钉子（如左下图）。
用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）。
请回答：可以构成多少个正方形？11．下图是半个正方形，它被分成了若干个小的等腰直角三角形，图中，正方形有_____个，三角形有_____个。
12．下图中三角形的个数是______。
13．下图中共有______个三角形。
14．如下图中共有______个正方形。
15．数一数下图中共有_____个三角形。
16．以下图36个方格点钟的4个点为顶点的正方形的个数为______。
17．在下图由10个点排成的长方形中，每边上相邻亮点的距离都是1厘米。
如果用其中的点连成三角形，那么面积是2平方厘米的三角形的个数是______。
【教育资料】小学奥数系列训练题几何计数_通用版学习专用
2019年小学奥数计数专题——几何计数1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×2019的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个? 8．图中共有多少个三角形?9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个? 10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 11．在图中，共有多少个不同的三角形?12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?16．数一数下列图形中各有多少条线段.17．数出下图中总共有多少个角.18．数一数下图中总共有多少个角？19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？20．如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？21．如右图中，共有多少个角？22．在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?23．由20个边长为1的小正方形拼成一个45长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有个，它们的面积总和是。
小学数学《几何计数》练习题(含答案)
小学数学《几何计数》练习题（含答案）内容概述几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.数线段【例1】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？【例2】有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。
请你想一想，有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段？【例3】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中共有线段多少条？【例4】（小数报数学竞赛初赛）数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？【例5】如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【例6】如右图，数数有多少个三角形？【例7】数一数，右图中共有多少个三角形?【例8】数一数，右图中共有多少个三角形?【例9】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中三角形共多少个？【例10】数一数，各图中长方形的个数?【例11】带*的长方形有多少个？【例12】右图中有多少个长方形？【例13】右图中各小格都是正方形，图中共有多少个正方形？【例14】数一数，下例各图中有多少个正方形？习题七1．有一把尺子，因磨损只能看清“0”“2”“5”“8”“9”，你能用这把尺子准确画出多少条不同长度的线段？2．数一数，右图中有多少个角?3．数数右图中有多少条线段？4．如右图，数数有多少个三角形？5．数一数下图中有多少个正方形？6．如下图，数一数下列图中长方形的个数？带小花的长方形有多少个？*7．数一数，右图中共有多少个正方形?数线段【例15】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？分析：我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：法1：以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．法2：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练(高难度)
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练（高难度）例题1：某小学六年级有10名男生和8名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？解析：首先确定男生和女生的位置，男生和女生的位置可以互换，所以先计算男生和女生的排列方式。
男生和女生分别有10!和8!种排列方式。
但是男生和女生之间是需要相邻的（间隔排列），所以男生和女生的位置可以看作是一个整体，即总共有(10!)(8!)种排列方式。
因此，共有(10!)(8!)种不同的排列方式。
专项练习应用题：1. 某小学六年级有12名男生和10名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？2. 某小学六年级有8名男生和6名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？3. 某小学六年级有15名男生和12名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？4. 某小学六年级有6名男生和8名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？5. 某小学六年级有10名男生和9名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？6. 某小学六年级有7名男生和7名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？7. 某小学六年级有14名男生和15名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？8. 某小学六年级有9名男生和10名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
小学奥数计数专题--几何计数(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数计数专题--几何计数（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【答案】630【解析】把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2＝6根火柴；从上向下数第三层用了3×3＝9根火柴；……从上向下数第20层用了3×20＝60根火柴．所以，总共要用火柴3×(1+2+3+…+20)＝630根．【题文】如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【答案】13975【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根，共需1996×4+1997×3＝13975根．【题文】图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?评卷人得分【答案】121【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图．平行四边形中棋孔数为9×9＝81，每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔共有81+10×4＝121个．或直接数出有121个．【题文】如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？【答案】216【解析】如图AB＝6，组成△AOB需要边长为1的正三角形共：1+3+5+7+9+11＝36个，而拼成边长为6的正六边形需要6个△AOB，因此总共需要边长为1的正三角形36×6＝216个．【题文】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【答案】100，10664【解析】确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，即可．于是横向线段有(1+2+3+4)＝10种选法，竖向线段也有(1+2+3+4)＝10种选法，则共有10×10＝100个长方形．这些长方形的面积和为：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)×(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)＝124×86＝10664(平方厘米)．【题文】如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?【答案】36【解析】我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等．其中只占有下面一行的有如下12种情况：于是共有12×3＝36个正、长方形包含“*” ．【题文】图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?【答案】130【解析】每个4×4正方形中有：边长为1的正方形4×4个；边长为2的正方形3×3个；边长为3的正方形2×2个，边长为4的正方形1×1个．总共有4×4+3×3+2×2+1×1＝30个正方形．现在5个4×4的正方形，它们重叠部分是4个2×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×5－5×4＝130．【题文】图中共有多少个三角形?【答案】22【解析】边长为1的正三角形，有16个．边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个．因此共有16+3+3＝22个．【题文】图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?【答案】6【解析】设小正三角形的边长为1，分三类计算计数包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个，边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+1＝6个．【题文】如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?【答案】20【解析】图中共有三角形(1+2+3+4)×4＝40个，梯形(1+2+3+4)×(1+2+4)＝60个，梯形比三角形多60－40＝20个．【题文】在图中，共有多少个不同的三角形?【答案】85【解析】下图中共有35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出5+5×2＝15个三角形，共计35×2+15＝85个三角形．【题文】如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?【答案】11【解析】按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1，面积为1的正方形有5个，如图a所示；面积为2的正方形有4个，如图b所示；面积为4的正方形有1个，如图c所示；还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；于是，一共可以构成5+4+1+1＝11个不同的正方形．【题文】如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?【答案】32【解析】我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：(1)等腰直角三角形，如下图a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个．(2)直角三角形，如图b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH ，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB 为斜边的各两个．(3)钝角三角形，如图c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个．于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个．【题文】如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?【答案】200【解析】我们先任意选取三个点，那么第1个点有12个位置可以选择，第2个点有11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一个图形，如下图，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一个图形．所以有12×11×10÷6＝220种选法，但是如果这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共3×4；每列有1种情况，共1×4；2个边长为2的正方形的4条对角线，共4种情况．所以，可以套出220－3×4－1×4－4＝200个不同的三角形．【题文】如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE ，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?【答案】12【解析】如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从7个点中任取4个点，则第一个点有7个位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而不考虑先后，那么有4×3×2×1＝24种选法的实质是一样的，所有可能的组合数目应该是(7×6×5×4)÷24＝35．我们只要从中减去不能构成四边形的情形．对图19-16而言，任取4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正方形ACEG 的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何选取都不能构成四边形．正方形的4条边中有3条都存在这样的情况．而每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种可能．所取的顶点只有4个，因此不可能出现同时选择了2条有3点共线的边的情况．那么需要排除的情况有4×3＝12种．所以，满足题意的四边形个数有35－12＝23个．【题文】数一数下列图形中各有多少条线段.【答案】15【解析】要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB 、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B 、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.解：①2＋1＝3（条）.② 3＋2＋1＝6（条）.③ 4＋3＋2＋1＝10（条）.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6—1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）.【题文】数出下图中总共有多少个角.【答案】10【解析】在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.解：4＋3＋2＋1＝10（个）.小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.【题文】数一数下图中总共有多少个角？【答案】55【解析】因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.【题文】如下图中，各个图形内各有多少个三角形？【答案】（1）6（2）10【解析】可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.再数以AD为一条边的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.以AE为一条边的三角形共有：△AEF、△AEC二个三角形.最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：①3+2+1=6（个）② 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.【题文】如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【答案】60,30【解析】分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN 、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.解：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.【题文】如右图中，共有多少个角？【答案】13【解析】分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：∠1、∠2与∠3；∠2、∠3与∠4；∠3、∠4与∠1；∠4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）.解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）.小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.【题文】在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?【答案】100,12384【解析】①一共有(个)长方形；②所求的和是(平方厘米)。
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1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．E DC B A数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
教学目标 例题精讲知识要点7-8-3.几何计数（三）【考点】立体图形几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，初试，6题，走美杯，4年级，决赛，第8题【解析】 一共有：()3414950-++=（块）。
【答案】50块【例 2】 将32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有24个，则有1个面涂红的小正方体有 个。
【考点】立体图形几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第7题【解析】 5322=，所以这个长方体的尺寸只有1132⨯⨯，1216⨯⨯，148⨯⨯，228⨯⨯，244⨯⨯五种情况，其中只有尺寸为228⨯⨯的长方体的表面染色后，有24个正方体有2个面涂红，所以有1个面涂红的小正方体有0个。
【答案】0【例 3】 如图是一个由27个棱长为1的白色小正方体木块粘成的棱长为3的正方体木块，现任意挖去其中的3个棱长为1的小正方体，然后将所有暴露在外的表面全部刷上蓝漆，那么余下的24个棱长为1的小正方体中恰好有3面涂蓝漆的最多能有____个.【考点】立体图形几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第12题【解析】 1）角块本身为3面暴露在外的小方块；2）挖去外侧面中部的小方块，能够增加4块三面暴露在外的小方块，加上角块，共形成8块3面涂漆的小方块，为最优方案3）因此挖去对称的2块外侧中部的小方块后，将产生16块3面暴露在外的小方块4）然后再挖去任意一个外侧面中部的小方块，将增加 3块3面暴露在外的小方块，但同时破坏原来的2块3面在外的小方块.5）所以最多有17块3面涂漆的小方块【答案】17模块二、几何计数的应用【例 4】 如图，每个小正方形的面积都是l 平方厘米。
则在此图中最多可以画出__________个面积是2平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。
【考点】几何计数的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】 每两行正方形可确定3个面积是2平方厘米的格点正方形,总共有:3×3=9(个)【答案】9【巩固】图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的矩形有个。
【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第8题【解析】4×4+3×5=31【答案】31个【巩固】下图是由25个面积等于1的小正方形组成的大正方形，图中面积是6的长方形有个。
【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题【解析】每两行正方形可确定3个面积是2平方厘米的格点正方形,总共有:34224⨯⨯=(个)【答案】24个【例 5】如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点。
在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有个。
【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第2题【解析】我们把一排连续三个正方形叫做三连正方形，三连正方形的个数乘上每个三连正方形中直角三角形的个数就得到所求的总数：4×2×2×4＝64 （个）【答案】64【例 6】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：①②底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)⑤⑥底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个)所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个) 1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．【例 7】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】解答【解析】1．显然应先求出阴影三角形的面积设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是½×2×3=32．思考图中怎样的三角形的面积等于3（1）一边长2，这边上的高是3的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）．这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）；（2）一边长3，这边上的高是2的三角形的面积等于3．这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线．这样的三角形有8×2=16（个）注意：不能与（1）中的三角形重复，所以这样的三角形共有32+16=48（个）．【答案】48个【巩固】图中每个小正方形的边长都是l厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形(顶点在图中交叉点上的三角形)____个。
【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第11题【解析】由三角形面积为3平方厘米,可知三角形的底×高为6，6=1×6=2×3，因为图形中长方形的长为3厘米，宽为2厘米。
当三角形的底=3厘米时，有4×2=8种情况，；当底=2厘米时，有1×2=2种情况。
所以，一共有8+2=10个。
【答案】10个【例 8】在一个圆周上有8个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作出 个等腰三角形．【考点】几何计数的应用 【难度】4星 【题型】解答【解析】 由于8个点正好把圆周八等分，所以以其中的任何3个点作为顶点都不能组成等边三角形．那么任意选取其中的一个点作为顶点，一个顶点上有三个不同的等腰三角形，圆周上有8个顶点，所以一共有3824⨯=个等腰三角形，而且这些等腰三角形互不相同(否则，假设其中有两个等腰三角形相同，这两个等腰三角形不可能是同一个顶点，只能是不同的顶点，这样这个等腰三角形必定是正三角形，与前面的分析不合)，所以可以作出24个等腰三角形．【答案】24个等腰三角形【例 9】 圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？【考点】几何计数的应用 【难度】4星 【题型】解答【解析】 圆周上4点构成一个四边形，四边形两条对角线相交可以产生一个交点．问题转化为“圆周上10个点可以组成多少个以他们为定点的四边形？”利用上一讲的知识，去掉重复的部分，可知有：()109874321210⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=个．所以交点有210个．【答案】210个【例 10】 圆周上有8个点，两点所连的线段叫“弦”，每两点连一条弦，各弦无公共端点，共可连四条弦，各弦互不相交的连法共有________种．【考点】几何计数与找规律 【难度】4星 【题型】解答【解析】 本题可以利用归纳的方法解决．若圆周上只有2个点，只有1种连法；若圆周上只有4个点，先选中1个点，它可以与相邻的两个点相连，它连好后其它两点只有1种连法，所以此时有122⨯=种连法；若圆周上只有6个点，先选中1个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以相对的1个点相连，若与相邻的点相连，剩下的4个点有2种连法；若与相对的点相连，剩下的4个点只有1种连法，所以此时有2215⨯+=种连法；若圆周上只有8个点，先选中一个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以与与它相隔2个点的另外两个点相连．若与相邻的点相连，剩下的6个点有5种连法；若与相隔两个点的点相连，剩下的6个点被分成两边，一边2个点，只有一种连法，一边4个点，有2种连法．所以此时共有522214⨯+⨯=种连法．【答案】14种连接法【例 11】 九个大小相等的小正方形拼成了右图．现从点A 走到点B ，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从点A 走到点B 共有________种不同的走法．【考点】几何计数的应用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级，初试，10题【解析】 路线相当于右图中从A 到B 的不同路线（不走重复路线），从A 到C 、D 到B 方法都唯一，从C 出发有3种方向，从D 出发也有3种方向（不一定是最短路线），根据乘法原理，共有3⨯3=9种不同走法。