八年级数学多边形及其内角和
部编版八年级数学上册《多边形及其内角和》教案及教学反思
部编版八年级数学上册《多边形及其内角和》教案及教学反思一、教学目标1. 知识目标1.了解多边形的概念和性质；2.掌握求解多边形内角和的方法；3.掌握多边形的分类。
2. 能力目标1.能够通过给定的多边形求解其内角和；2.能够应用所学知识解答相关数学题目。
3. 情感目标1.培养学生对于数学知识的兴趣和探究欲望；2.提高学生解决实际问题的能力。
二、教学重难点1.求解多边形内角和；2.掌握多边形的分类。
三、教学方法1.演讲法；2.示范法；3.案例法；4.互动式教学。
四、教学内容安排第一课时：引入与概念教学目标1.介绍多边形的概念；2.介绍多边形的性质；3.引导学生了解多边形的基本特征。
教学内容1.课前引入：介绍多边形在日常生活中的应用，例如：地图等；2.教师讲解多边形的概念和性质；3.教师演示多边形变化的过程。
教学方法1.演讲法；2.示范法；3.互动式教学。
第二课时：求解多边形内角和教学目标1.了解多边形内角和的概念；2.掌握求解多边形内角和的方法。
教学内容1.教师讲解求解多边形内角和的方法；2.通过案例演示求解多边形内角和。
教学方法1.演讲法；2.示范法；3.案例法。
第三课时：多边形的分类教学目标1.掌握多边形的分类；2.能够判断多边形的种类。
教学内容1.教师讲解多边形的分类；2.通过案例演示多边形的分类。
教学方法1.演讲法；2.示范法；3.案例法；4.互动式教学。
第四课时：教学反思教学目标1.自我评价本次教学；2.总结本次教学中的不足与优点。
教学内容1.学生自我评价本次教学；2.教师掌握学生的评价，并进行总结和反思。
教学方法1.互动式教学；2.思维导图法。
五、教学评价1. 对于学生的评价1.通过本次教学，学生掌握了多边形的概念、性质、分类等知识；2.学生参与度高，积极表现。
2. 对于教师的评价1.教师讲解内容清晰易懂；2.教师在教学中注重互动和案例分析。
六、教学反思本次教学中，教师注重课前问题引导，举例子讲解等教学方法，使学生更好地理解和掌握多边形的知识。
八年级上册数学多边形及其内角和
八年级上册数学多边形及其内角和示例文章篇一：《趣谈八年级上册数学之多边形及其内角和》嘿，你知道多边形吗？我跟你说呀，多边形就像一群神秘又有趣的小伙伴，在数学这个大乐园里等着我们去探索呢。
我第一次接触多边形的时候，就觉得它们像各种各样的拼图块。
三角形就是最简单的那种，只有三条边，就像一个小小的金字塔的底面，稳稳当当的。
那时候老师在黑板上画了一个三角形，然后告诉我们三角形的内角和是180度。
我当时就想，怎么会这么神奇呢？这就像是一个固定的魔法数字一样。
后来，我们开始学习四边形。
四边形可就比三角形复杂一点啦。
你看，四边形有四条边，就像一个有四个边的小框框。
我和同桌就拿着尺子在本子上画各种各样的四边形，有长方形、正方形，还有那些歪歪扭扭的普通四边形。
我们还争论呢，我同桌说长方形是最特殊的四边形，因为它的四个角都是直角。
我就不服气啦，我说正方形才特殊呢，它不但四个角是直角，四条边还都相等。
这时候前面的同学转过头来说：“你们别争啦，它们都很特殊，都是四边形家族里的明星成员。
”哈哈，想想还真是呢。
那四边形的内角和是多少呢？老师告诉我们是360度。
我就想啊，三角形内角和是180度，四边形内角和是360度，这四边形的内角和好像是三角形内角和的两倍呢。
这是为啥呢？再后来呀，我们开始探索更多边的多边形。
五边形就像一个五角星少了一个角的样子，有五条边呢。
那五边形的内角和又是多少呢？我当时就觉得脑袋有点晕晕的，这可不好算呀。
可是数学就是这么神奇，老师给我们讲了一个办法。
我们可以把五边形分成三角形来计算内角和。
我就照着老师说的做，从五边形的一个顶点出发，向其他顶点连线，哇，一下子就分成了三个三角形。
我一下子就明白了，一个三角形内角和是180度，三个三角形内角和不就是180×3 = 540度嘛。
这就像是把一个大难题拆成了几个小问题，一下子就简单多了。
那六边形呢？六边形就像一个蜂窝的小格子一样，有六条边。
我用同样的方法，从一个顶点出发向其他顶点连线，能分成四个三角形，那内角和就是180×4 = 720度。
八年级上册数学11.3.2多边形内角和
提示： 1.六边形的每一个外角和相邻的 内角有什么关系？ 2.六边形的6个外角加上与它们相 邻的内角，所得总和是多少？ 3.上述总和与六边形的内角和、 外角和有什么关系？
E 5
4
D3
F
C
6
2
A1 B
1.六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？ 任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总 和是多少？ 每一个外角加上与它相邻的内角等于180°，所以 六个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6.
解：（1）四边形的内角和为360°，
则x°+x°+140°+90°=360°，解得x=65.
（2）四边形的内角和为360°，
则∠1+75°+120°+80°=360°，解得∠1=85°，
因为∠1+x°=180°，所以x=95.
例4 一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
内角的大小，并计算出四个内角的和是多少？ 经过测量发现四边形的四个内角和为360°.
试用三角形内角和定理来证明任意一个四边形的内 角和为360°.利用对角线将四边形分成三角形来求 解.
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，求四边形 ABCD的内角和.
解：∵对角线AC将四边形分为△ACD和△ACB，
(2)小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一 个内角，得到的内角之和是1 380°，则这个多边形的 边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？ 解：设多加的这个内角度数为α，则(n－2)·180°＝ 1 380°－α.∵1 380°＝7×180°＋120°，多边形的 内角和应是180°的倍数，∴n＝9，α＝120°. 答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角 度数是120°.
2023-2024学年八年级上数学：多边形及其内角和(精讲教师版)
2023-2024学年八年级上数学：第十一章三角形
11.3
多边形及其内角和
一、多边形及其相关概念
1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫
做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边
形……，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边
形．
2．相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②多边形
的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．③连接多边形
不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
二、多边形的对角线
1．定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，
叫做多边形的对角线．
第1页（共12页）。
人教版八年级数学课件-多边形及其内角和
作 第2、3、4、5、6題.
業
已知一個多邊形除了一個內
角外，其餘各內角的和是
2750°，求這個多邊形的
邊數.
1
1
問題3：你能類比三角形的組成要
素，說一說下麵圖形各部分的名稱
是什麼？
頂點
邊
內角 外角 對角線
1
連接多邊形不相鄰的兩個頂點 的線段叫做多邊形的對角線.
練習：畫出五邊形ABCDE的所有對角線. A E
B
C
D
1
問題4：我們現在研究的是如圖1所
示的多邊形，是凸多邊形； 如圖2所示 的多邊形，是凹多邊形，但不在現在研 究的範圍中.比較這兩種多邊形的區別是 什麼？
從一個頂點出發所有 的對角線（條）
0 1 2 3…
n－3
從一個頂點出發分成 三角形（個）
1234
…
n－2
對角線總數（條）
0
2
5
9
… n(n 3) 21
練習測試
1、 課本81頁練習第1、2題. 2、（1）一個多邊形自一個頂點出發的 對角線把它分成6個三角形，則它是＿＿邊 形.
（2）下列圖形哪些是凸多邊形，哪些 不是？
6
2
A1B
內角有什麼關係？
（3）六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內角，所得
總和是多少？
（4）上述總和與六邊形的內角和、外角和有什麼關
係？ 1
例3 三角形、六邊形的外角和都是360°，那
麼n邊形的外角和（n是不小於3的任意整數）
還是360°嗎？若是，證明你的結論；若不是， 請說明你的理由．
n 180 (n 2) 180 2 180 360
1
3．達標測評
人教版同步教参数学八年级-三角形：多边形及其内角和
三角形第3节 多边形及其内角和【知识梳理】一、多边形的概念（1）在同一平面内，由不在同一直线上的n （n ≥3的整数）条线段首尾顺次相接而成的图形叫做n 边形。
注意：（1）有几条边就是几边形；三角形、四边形是最简单的多边形。
（2）多边形相邻两边组成的角是它的内角，一个n 边形有n 个内角；（3）多边形的边和它邻边延长线组成的角是它的外角，一个n 边形有n 个外角，同一个顶点的内角和外角是互为邻补角。
（4）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线，n 边形有(3)2n n 条对角线，从同一个顶点出发的对角线有(n －3)条。
（5）各个角相等，各条边都相等的多边形是正多边形。
（6）下面两图中，图（1）任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线同一侧，这样的图形我们称为凸多边形，而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD 所在直线，整个n 边形不都在这条直线的同一侧。
我们称这样的多边形为凹多边形，今后我们课本提到的多边形，如果不加特别说明，一般指的是凸多边形。
二、多边形的内角和n 边形的内角和等于（n －2）·180°。
二、多边形的外角和 多边形的外角和等于360°注意：多边形的外角和与它的边数无关。
A BCDABC D【诊断自测】1、平面内，由________叫做多边形。
组成多边形的线段叫做____。
如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做_____。
多边形_____叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的_____组成的角叫做多边形的外角。
连接多边形_______的线段叫做多边形的对角线。
2、画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在______,那么这个多边形称作凸多边形。
3、各个角______,各条边_____的_____叫做正多边形。
4、n变形的内角和等于____.这是因为，从n变形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将此n边形分为_____个三角形。
八年级数学上册教案多边形的内角和
2 方法二：矩形的性质 3 方法三：梯形的性质
矩形的对角线相等且平分
梯形两组对角线短边之和
平行四边形的对角线互相
相等，同时两组内角之和源自平分也相等。五边形内角和的计算方法
方法一：
将五边形剖分成三角形和四边形
方法二：
将五边形剖分成三个三角形
六边形内角和的计算方法
1
2
3
方法一：三角形之和
由此可得六边形的内角和等 于720度。
多边形的内角和
多边形是几何学中一种基本的图形，在这个演示中我们将着重介绍如何计 算一个多边形内角和。
三角形内角和的计算方法
方法一：角度之和
三角形的内角和等于180度。
方法二：底角性质
在直角三角形中，直角边上的内角等于90度，另外 两个内角之和等于90度。
四边形内角和的计算方法
1 方法一：平行四边
通过合适的分割方法可以更容易地计算多边形的内角和。
一个五边形内角和的计算示例
步骤一：
将五边形分割成3个三角形
步骤二：
计算每个三角形的内角和（180 度）
步骤三：
将每个三角形的内角和相加，即 可得到五边形的内角和。（3 × 180度 = 540度）
多边形的内角和：总结
1 内角和与边数的关系
多边形的内角和随着边数的增加而增加。
2 内角和与分割方式的关系
方法二：分割成三角形
把六边形分成4个三角形， 计算每个三角形的内角和，
再相加即可。
方法三：剖分成一对 对的三角形
在六边形中添加一条连线， 将六边形剖分成4个三角形 ，从而求得六边形的总内角
和。
n边形内角和的通用公式
公式：
(n-2) × 180
人教版 八年级数学 多边形及其内角和讲义 (含解析)
第2讲多边形及其内角和知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。
知识梳理讲解用时：20分钟凸多边形、凹多边形1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、凸多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。
3、凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。
目前我们研究的都是凸多边形1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
从同一个顶点引出对角线的条数：0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数：0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和：180° 360° 540° 720° (n-2)·180°课堂精讲精练【例题1】设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°.解：多边形边数为，则内角和为，四边形内角和，多边形外角和为， 五边形外角和， 因此． 故正确答案为：．讲解用时：2分钟解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习1.1】下列图形中，多边形有（ ）总结：1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
多边形的内角和
例1：求八边形的内角和的度数。
解：
∵ n=8 ∴（n－2）×180°＝（8－2）×180°
＝1080°
答：八边形的内角和为1080°。
例2：一个正多边形的一个内角为150°， 你知道它是几边形吗？ 解：设 这个多边形为n边形，根据题意得： （n－2）×180＝1５0n
n＝12
答：这个多边形是12边形。
n边形的外角和是多少度呢?
答:都是360°.因为多边形的外角与它相邻 的内角是邻补角，所以n边形的外角和加内角 和等于n· 180°，内角和为(n－2)· 180°,因此， 外角和为：n· 180°－(n－2)· 180°= 360°.
结论:多边形的外角和都等于 360°.
例3：一个多边形的内角和等 于它的 外角和的3倍，它 是几边形？
解：因为多边形的外角和等于360°， 所以根据题意，可知道这个多边形的 边数是：360÷60=6 .
答:这个多边形是六边形.
2.下图是三个完全相同的正多边形 拼成的无缝隙不重叠的图形的一部 分，这种多边形是几边形？为什么？
解：设：这个正多边形的一个内 角 为 x° ， 则 由 题 图 得 ： 3x=360°. x=120°.再根据多边 形 的 内 角 和 公 式 得 ： n×120°=(n－2)×180°. 解得 n=6 . 答:这种多边形是六边形
人教版数学教材八年级上
7.3多边形及其内角和(二)
济阳初中
回顾思考：
1.多边形定义：一般地，由n条不在同一直 线上的线段首尾顺次连结组成的平面图 形称为n边形，又称为多边形． 2.特殊的多边形：如果多边形各边都相等， 各个角也都相等，那么这样的多边形就 叫做正多边形. 3. n边形从一个顶点出发，能引出n-3条对 角线 4. n边形从一个顶点出发，能引出n-3条对 角线可把n边形分成了n-2个三角形？
[初二数学 第3讲 多边形及其内角和]讲义教师版
![[初二数学 第3讲 多边形及其内角和]讲义教师版](https://img.taocdn.com/s3/m/5403baada2161479171128f9.png)
多边形及其内角和1.掌握多边形的相关概念；2.掌握多边形对角线的计算公式及其推导过程；3.熟练应用多边形的内角和、外角和进行相关计算；4.会利用多边形的特点处理镶嵌问题.1.多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算；2.多边形的镶嵌问题.多边形及其相关概念1、多边形的相关概念（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.（5）多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.2、多边形的分类多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧；①每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．3、多边形的对角线（1）定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（2）多边形条数的计算：n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：()32n n-（n≥3，且n为整数）.例1.如图，下列图形是多边形的有（填序号）．【答案】①①【解析】解：下列图形是多边形的有①①，故答案为：①①．练习1.如图所示的图形中，属于多边形的有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．故选A．熟悉多边形的概念，边为直线段，而不是曲线.例2.下列图中不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选A．练习1.如图，下列图形不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：选项A、B、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选C．明确多边形的定义及判定方法，初中阶段常说的多边形一般指凸多边形.例3.下列图形中，是正多边形的是（）A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形【答案】C【解析】解：正方形四个角相等，四条边都相等，故选：C．练习1.下列说法正确的有（）（1）由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形；（2）各边都相等的多边形是正多边形；（3）各角都相等的多边形一定是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】解：（1）在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，故此选项错误；（2）各边都相等的多边形是正多边形，错误，例如菱形；（3）各角都相等的多边形一定是正多边形，错误，例如矩形．故选：A．明确正多边形的定义：边、角都相等的多边形才是正多边形，只有边相等或者只有角相等一个条件并不能判断，这一点需要特别注意，并且要能够举出反例来说明.初三学到圆的时候还会学到正多边形，那部分知识主要是针对多边形进行计算.例4.下列图形中具有稳定性有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（2）、（4）、（5）三个．故选B．练习1.要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：如图需至少添加2条对角线．故选：B．练习2.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6B．5C．8D．7【答案】B【解析】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2=5个三角形．故选：B．三角形具有稳定性，若想要多边形也具有稳定性，只需将多边形变成三角形即可，根据这一原理即可进行划分.例5.若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【答案】D【解析】解：设这个多边形有n条边，由题意得：n﹣3=7，解得：n=10，故选：D．练习1.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】解：设多边形有n条边，则n﹣3=6，解得n=9．故选：D．练习2.将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（）A．6B．8C．12D．14【答案】D【解析】解：①六边形ABCDEF有6个顶点，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，①只能通过同一个顶点作三条对角线（如图1），这种分法有6种，也从一个顶点作两条对角线（如图2），这种分法有2种，如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，故各种不同的剖分方法有14种．故选D．首先明确多边形对角线的精确定义，根据多边形对角线的定义逐点计算多边形对角线的条数，理解多边形对角线总条数公式的推导过程，体会推导思想.例6.一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（）A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7【答案】D【解析】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选：D．练习1.四边形剪掉一个角后，变为（）边形．A．3B．4C．5D．3或4或5【答案】D【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形减掉一个角后，剩下的图形可能为五边形，可能为四边形，可能为三角形，故选D．练习2.将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．3个或4个或5个【答案】D【解析】解：正方形桌面砍下一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，如下图所示：因而还剩下3个或4个或5个角．故选D．多边形截角问题主要考查学生的图形想象力和分类讨论思想.明确截角的不同情况对多边形边数的影响.多边形的内角和、外角和及其应用1、多边形内角和定理：()2180n -⋅（n≥3且n 为整数）注：此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n ﹣3）条对角线，将n 边形分割为（n ﹣2）个三角形，这（n ﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和． 2、多边形的外角和等于360°（1）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．（2）借助多边形的内角和公式及邻补角的概念共同推导出以下结论：外角和()1802180360n n =︒--⋅︒=︒例1.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）A ．6B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】解：设多边形为n 边形，由题意，得（n ﹣2）•180°=150n ，解得n=12，故选：B ． 练习1.内角为108°的正多边形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：外角是：180°﹣108°=72（度），360÷72=5， 则这个多边形是正五边形，故选B ．练习2.一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】解：（n ﹣2）•180°＜1999°，n ＜+2=+2①n 为正整数，①n 的最大值是13．故答案为C ．练习3.把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了720°，则x的值为（）A．4B．6C．5D．3【答案】A【解析】解：多边形的边数增加1，它的内角和增加180度，720°÷180°=4，①x=4，故选A．明确多边形内角和的计算公式，体会多边形内角和与边数之间的关系.例2.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6【答案】C【解析】解：①多边形外角和=360°，①这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选C．练习1.正五边形的每个外角等于（）A．36°B．60°C．72° D．108°【答案】C【解析】解：360°÷5=72°．故正五边形的每个外角等于72°．故选：C．练习2.一个多边形的每个外角都相等且都小于45°，则这个多边形的边数最少是（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】解：设多边形的边数为n，①多边形的外角和是360°，且多边形的每一个外角都相等，①根据题意得，＜45，①45n＞360，n＞，n＞8，由于n是整数，①n的最小值为9，故选：C．明确多边形的外角和，理解多边形的外角和与边数之间的关系.例3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．练习1.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【答案】A【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故选A．熟练掌握多边形的内、外角和公式，能够通过边的数量将两公式进行灵活转化.例4.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角度数为（）A．120°B．130°C．135°D．150°【答案】B【解析】解：设这个内角度数为x°，边数为n，则（n﹣2）×180﹣x=2570，180•n=2930+x，①n=，①n为正整数，0°＜x＜180°，①n=17，①这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2570°=130°．故选B．练习1.看图回答问题：（1）内角和为2016°，佳佳为什么说不可能？（2）音音求的是几边形的内角和？【答案】解：（1）①n边形的内角和是（n﹣2）•180°，①内角和一定是180度的倍数，①2016÷180=11余36，①内角和为2016°不可能；（2）设漏加的内角为x，依题意有（n﹣2）•180=2016+x，①x=180n﹣2376，①90＜x＜180，①90＜180n﹣2376＜180，解得13.7＜n＜14.2，因而多边形的边数是14，故音音求的是十四边形的内角和．【解析】（1）根据n边形的内角和一定是180度的倍数，进行判断即可；（2）设漏加的内角为x，得出方程（n﹣2）•180=2016+x，求得x=180n﹣2376，再根据90＜x＜180，得到90＜180n﹣2376＜180，最后求得n的范围即可．练习2.一个多边形的内角和除去一个内角后为1720°，试问这个多边形是几边形？它的对角线有多少条？【答案】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1720°，解得n=11…100，①除去了一个内角，①边数是11+1=12，故这个多边形的边数为12，它的对角线的条数==54．答：这个多边形是十二边形，共有54条对角线．【解析】据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用1720°÷180°所得商的整数部分加1就是（n﹣2）的值；n边形的对角线公式为．在计算多边形内角和时少加一个内角问题，是多边形的角度计算中比较难的一个问题，需要注意的是少算一个角，不能直接把边数减1，而要根据凸多边形的内角的取值范围进行讨论，所以此类题型的条件比较隐晦，需要考虑到在没有特殊说明的情况下，初中阶段所说的多边形就是指的凸多边形，其内角的取值范围是0°~180°.此类例题选讲.多边形的边、角、对角线综合计算1、多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.2、多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.3、凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.例1.一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条【答案】B【解析】解：①一个凸多边形的每一个内角都等于150°，①此多边形的每一个外角是180°﹣150°=30°，①任意多边形的外角和是：360°，①此多边形边数是：360°÷30°=12，①这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2=12×（12﹣3）÷2=54．故选B．练习1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7B．10C．35D．70【答案】C【解析】解：①一个正n边形的每个内角为144°，①144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．故选C．多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.例2.（选讲）如图所示，分别在三角形、四边形、五边形广场各角修建半径为R的扇形草坪．（1）图1中草坪的面积为．（2）图2中草坪的面积为．（3）图3中草坪的面积为．（4）如果多边形边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为．【答案】，πR2，，【解析】解：（1）三个角的和是：180°，则面积是：=；（2）四个内角的和是：360°，则面积是：=πR2；（3）五个内角的和是：540°，则面积是：=；（4）多边形边数为n，则内角和是：（n﹣2）•180°，则面积是：=．故答案是：，πR2，，．练习1.如图所示，分别在三角形．四边形的广场各角向内或向外修建半径为R的扇形草坪（阴影部分）．求：（1）图a中草坪的面积．（2）图b中草坪的面积．（3）图c中草坪的面积．【答案】解：（1）因为半径为1的圆面积为πR2，故该草坪形成的内角和度数为180°，所以a草坪的面积为πR2；（2）因为半径为1的圆面积为πR2，故b草坪的面积为4πR2﹣πR2=3πR2；（3）因为四边形外角和为360°，因此c草坪的面积为πR2．【解析】①因为半径为R的圆面积为π．图1的草坪形成的内角和度数为180°，为一个半圆，所以草坪的面积为πR2．①图b中草坪的面积为4个圆的面积减去1个圆的面积；①图c 中草坪的面积是1个圆的面积．多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.例3.如图，求证：①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．【答案】解：如图所示，①A+①B=①1，①C+①D=①2，①E+①2=①3，①F+①G=①4，①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=①1+①3+①4，①三角形的内角和等于180°，①①1+①3+①4=180°，①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把这六个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于180°解答．练习1.如图，以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成①AEF、①BGH、①CMN、①DPQ，求①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q的度数．【答案】解：由三角形外角的性质可得：①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，①四边形的外角和为360°，①①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，①①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q=360°．【解析】首先根据外角的性质可得：①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，根据四边形的外角和为360°，所以①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，即可解答．练习2.（1）如图①，你知道①BOC=①B+①C+①A的奥秘吗？请你用学过的知识予以证明；（2）如图①﹣1，则①A+①B+①C+①D+①E=°；如图①﹣2，则①A+①B+①C+①D+①E=°；如图①﹣3，则①A+①B+①C+①D+①E=°；（3）如图①，下图是一个六角星，其中①BOD=70°，则①A+①B+①C+①D+①E+①F=°．【答案】解：（1）如下图①，延长BO交AC于点D，①BOC=①BDC+①C，又①①BDC=①A+①B，①①BOC=①B+①C+①A．（2）如下图①，，根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．如下图③，，根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．如下图④，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，，根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，①①GFC+①FGC+①C=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．（3）如下图⑤，，①①BOD=70°，①①A+①C+①E=70°，①①B+①D+①F=70°，①①A+①B+①C+①D+①E+①F=70°+70°=140°．故答案为：180、180、180、140．【解析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=①BDC+①C，然后根据①BDC=①A+①B，判断出①BOC=①B+①C+①A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，再根据①GFC+①FGC+①C=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180°，据此解答即可．（3）根据①BOD=70°，可得①A+①C+①E=70°，①B+①D+①F=70°，据此求出①A+①B+①C+①D+①E+①F 的度数是多少即可．凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.多边形的镶嵌问题利用正多边形进行镶嵌问题的基本原理是同一个顶点处的角能够凑成360°，才能实现密铺.无论由多少种几何图形进行镶嵌，其本质思想都是不变的.例1.下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【解析】解：A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；D、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．故选B．练习1.在下列正多边形的地板瓷砖中，单独用其中一种能够铺满地面的是（）A．正方形B．正五边形C．正八边形D．正十边形【答案】A【解析】解：A、正方形每个内角是90°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正八边形每个内角为180°﹣360÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；D、正十边形每个内角为180°﹣360÷10=144°，不能整除360°，不能密铺；故选A．由同一种正多边形进行镶嵌，只需要保证该正多边形的内角的度数是360°的因数即可.例2.在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（）A．正八边形和正方形B．正五边形和正八边形C．正六边形和正三角形D．正三角形和正方形【答案】B【解析】解：A、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，由于90°+2×135°=360°，故能铺满；B、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60×4+120=360，故能铺满；D、正三角形、正方形内角分别为60°、90°，由于60×3+90×2=360，故能铺满．故选B．练习1.用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形【答案】C【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°．①3×60°+2×90°=360°，①正方形能匹配；B、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．①2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，①正六边形能匹配；C、正三角形的每个内角是60°，正八边形内角为135°，显然不能构成360°的周角，故不能匹配．D、正三角形的每个内角是60°，正十二边形的每个内角是180°﹣360°÷12=150°，①60°+2×150°=360°，①正十二边形能匹配；故选C．练习2.用正四边形和正八边形镶嵌成一个平面，则在某一个顶点处，正四边形和正八边形的个数分别为（）A．2个和1个B．1个和2个C．3个和1个D．1个和3个【答案】B【解析】解：正八边形内角为135°，（360﹣90）÷135=2，所以一个顶点周围应该有两个正八边形，一个正四角形．故选B．由多种正多边形进行镶嵌，问题相对来说比较复杂，需要进行讨论，保证同一个顶点处几个多边形的内角能够凑成360°.本次课的重点内容是对多边形的处理，包括多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算，对相关公式的充分理解及是学习本章内容的首要条件.。
初二多边形及其内角和的练习题
初二多边形及其内角和的练习题多边形是初中数学中的重要概念，它是指由三条或者更多条线段组成的图形。
而多边形的内角和是指该多边形内所有角的度数之和。
在初二数学学习中，学生需要掌握多边形及其内角和的相关概念和计算方法。
下面就是一些关于初二多边形及其内角和的练习题，供同学们参考和练习。
练习题一：1.一个四边形的两个内角分别为90°和75°，其余两个内角的度数之和是多少？2.一个五边形的两个内角分别为120°和130°，其余三个内角的度数之和是多少？3.一个七边形的一个内角为135°，其余六个内角的度数之和是多少？练习题二：1.一个六边形的每个内角的度数分别是110°、120°、135°、100°、90°，求其内角和。
2.一个八边形的每个内角的度数都相等，求每个内角度数以及内角和。
3.一个五边形的内角和与一个四边形的内角和之比是2:3，求该五边形的最大内角的度数。
练习题三：1.一个六边形的内角和是新课标中一次函数中函数关系图形翻转180°的内角和，求这个内角和。
2.一个n边形的内角和是(n-2)×180°，n是一个整数且大于3，当n=15时，这个多边形的内角和是多少？3.一个六边形的两个顶角的度数之差为30°，这两个顶角的度数分别是多少？练习题四：1.一个五边形的一个内角与一个六边形的一个内角是对顶角，这两个内角的度数之比是2:3，求这个五边形内所有角的度数之和。
2.一个五边形内角和与一个六边形内角和之比是1:4，这个五边形的最小内角为60°，求这个五边形内所有角的度数之和。
3.一个六边形的内角和是一个七边形的一半，这个六边形的最大内角为120°，求这个六边形的所有内角的度数之和。
以上是关于初二多边形及其内角和的一些练习题。
通过做题可以帮助同学们巩固对多边形及其内角和的理解，并提高解决相关问题的能力。
八年级数学上册第十一章11.3《多边形及其内角和》PPT课件
探究新知
素养考点 1 多边形的截角问题
例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边 数可能是多少？画出图形说明．
解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， 如图所示.
探究新知
归纳总结
一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能 增加了一条，也可能不变或减少了一条.
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
探究新知 想一想 下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
（四条边都相等）
（四个角都相等）
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不 符合各边都相等.
注意 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角 都相等，两个条件必须同时具备.
巩固练习
4.下列属于正多边形的特征的有( B )
解析：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条， 则将多边形分割为3个三角形． 所以该多边形的内角和是3×180°=540°．
课堂检测
基础巩固题
1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ B ）
A
B
C
D
2. 九边形的对角线有（ C ） A. 25条 C. 27条
B. 31条 D. 30条
课堂检测
基础巩固题
11.3 多边形及其内角和 11.3.1 多边形
导入新知
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围 成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？
导入新知
导入新知
中国某一村远景图
五角大楼
素养目标
3. 掌握多边形对角线的定义及公式，并能运 用公式解决相关问题. 2. 了解什么是凸多边形和正多边形.
探究新知 思考 比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要 强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，
2022八年级数学上册 第十一章 三角形11.3 多边形及其内角和 2多边形的内角和习题课件 新人教
考查角度二 多边形内角和与平行线的综合 16.如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD. (1)若∠1＝48°，求∠2的度数； (2)求证：AB∥DE.
D.65°
5.如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＋∠BAC＝ ___7_2_°___.
6.求下列图形中x的值.
(1)
(2)
解：(1)根据图形可知：x＝360－150－90－70＝50. (2)根据图形可知：x＋x＋30＋60＋x＋x－10＝540，解得x＝115.
知识点二 多边形的外角和
12.多边形的每一个内角都等于150°，则从这个多边形的一个顶点出发的 对角线有( C )
A.7条
B.8条
C.9条
D.10条
13.如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和
为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( B )
A.13
B.14
C.15
D.16
14.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其 摆放方式如图所示，则∠AOB等于___1_0_8___°.
考查角度一 利用n边形内角和公式解决问题 15.已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°. (1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法 对吗？若对，请求出边数n；若不对，请说明理由. (2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法 确定x的值.
∠1＋∠2＝180°＋∠A
八年级数学多边形及其内角和(含解析答案)
多边形和内角和练习题温故而知新：1.多边形多边形的内角和：n边形内角和等于＿（n-2)·180°＿＿多边形的外角和：任意多边形外角和等于＿＿360°＿多边形的对角线：凸n边形共有＿1(3)2n n-＿条对角线.2.平面镶嵌定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌）问题.说明：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面图案,正五边形不能镶嵌平面图案.多边形的对角线例 1 今年暑假，佳一学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生,那么该班师生之间每周至少要通几次电话?为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通话次数s之间的关系用下列模型表示，如图。
解析：师生53人看作是53边形的53个顶点，n边形的对角线条数公式为：1(3)2n n-。
答案：解：将七（1）班师生53人看作是53边形的53个顶点,由多边形对角线条数公式1(3)2n n-得1⨯⨯-=53(533)13252所以1325+53=1378次。
答：该班每周师生之间至少要通1378次电话小结：(1)建立数学模型是解决实际问题的基本方法;（2）n边形的对角线的条数公式是1(3)n n-2多边形的内角和与外角和例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的1/3，求这个多边形的边数。
解析：多边形的外角和为360°，根据多边形的内角和及外角和列方程。
答案：解:设这个多边形的边数为n，根据题意,得1n-⨯=(2)1803603解得 n=8答：这个多边形的边数是8.小结：利用方程求解是解决此类问题的一般方法.例3 如图,小陈从O点出发,前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A。
人教版八年级数学上册《第十一章第3单元多边形及其内角和》教案设计
人教版八年级数学上册《第十一章第3课时多边形及其内角和》教案设计11．3.1多边形1．掌握多边形的定义及其有关概念，理解正多边形及其相关概念．(重点)2．正确区分凹多边形和凸多边形．(重点)3．理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线．(难点)一、情境导入利用多媒体展示生活、建筑方面等的图片(包含一个或多个明显的多边形)．问题：请学生观察图片，在图中能找出哪些多边形？长方形、正方形、平行四边形等都是四边形，还有边数很多的图形，它们在日常生活、工农业生产中都有应用，引出本节课课题：多边形．二、合作探究探究点一：多边形的概念【类型一】多边形及其概念下列图形不是凸多边形的是( )解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D的图形不是凸多边形．故选D.方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．【类型二】 确定多边形的边数若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( ) A ．14或15或16 B ．15或16 C ．14或16 D ．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A.方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．探究点二：多边形的对角线【类型一】 确定多边形的对角线的条数从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n 边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n 边形共有________条对角线．解析：根据n 边形从一个顶点出发可引出(n －3)条对角线．从n 个顶点出发引出n (n －3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n 边形的一个顶点出发有(n －3)条对角线，从而推导出n 边形共有n （n －3）2条对角线．方法总结：(1)多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)多边形有n 条边，对角线的条数为n （n －3）2.【类型二】 根据对角线条数确定多边形的边数从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：设这个多边形是n 边形．依题意，得n －3＝5，解得n ＝8.故这个多边形的边数是8.故选C.【类型三】 根据分成三角形的个数，确定多边形的边数连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形解析：设原多边形是n 边形，则n －2＝6，解得n ＝8.故选D.方法总结：从n 边形的一个顶点出发可引出(n －3)条对角线，这(n －3)条对角线把n 边形分成(n －2)个三角形．探究点三：正多边形的有关概念下列图形中，是正多边形的是( ) A ．等腰三角形 B ．长方形 C ．正方形D ．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C.方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．三、板书设计多边形1．定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形．2．相关概念：顶点、边、内角、对角线．3．多边形的对角线：n 边形从一个顶点出发的对角线条数为(n －3)条；n 边形共有对角线n （n －3）2条(n ≥3)．4．正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称为正多边形．本节课采取的是合作探究的教学方式，在小组活动中，每个学生都能发挥自己的作用，都有表达和倾听的机会，每个人的价值作用都能显现出来．在这个过程中，学生得到了锻炼，明白了和他人怎样合作，取长补短．在教学设计时要从学生的角度出发，设计出合理的，具有可操作性的探究步骤，充分估计探究中的不确定因素和障碍点，并在教学过程中加强组织引导和巡视力度．11.3.1 多边形教学过程（师生活动）复习：1.什么是三角形？怎样表示？2.什么是三角形的边，角以及外角？图片观赏：你能从图中找出几个由一些线段围成的图形吗？学生回答，相互补充，教师点明本节课题．这些线段围成的图形有何特性？如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．）明确概念：1.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角2.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．3．多边形的对角线连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．让学生画出五边形的所有对角线．4．凸多边形与凹多边形在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形．5．正多边形由正方形的特征出发，得出正多边形的概念．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．课本P21练习1．2．课堂小结1、今天本节课学习的主要内容（概念）。
人教版初中八年级数学上册11.3.2多边形及其内角和ppt课件
学习了本节课你有哪些 收获？
随堂练习
求下列图形中x的值：
140 0
x0
x0
(1)
120 0 80 0
75 0
x0
(3)
150 0 120 0
(2)
2x0
x0
D
E
x0
150 0
60 0
C
135 0
A
B
(4)
AB∥CD
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
人教版八年级数学上册专题03 多边形及其内角和(解析版)
专题03 多边形及其内角和一、多边形1．下列选项中不是凸多边形的是(D)A B C D2．下列命题正确的是(D)A．各角都相等的多边形为正多边形B．各边都相等的多边形为正多边形C．经过n边形的一个顶点可引(n－2)条对角线D．正方形是正多边形3．如图11－3－1，五边形ABCDE是一个__凸__五边形，∠E是它的一个__内角__，∠F AE是它的一个__外角__，AD是它的一条__对角线__．图11－3－14．过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点的对角线有__2__条，可以把五边形分成__3__个三角形；过n边形的一个顶点的对角线有多少条，可以把n边形分成多少个三角形？(用含n的代数式表示)【解析】运用不完全归纳法，从特例出发，进行归纳和小结(如答图所示)．第4题答图解： 如答图，从n 边形的一个顶点出发可以画(n －3) 条对角线，它们把n 边形分成(n －2) 个三角形． 5．若一个多边形从一个顶点可以引5条对角线，则它是( D ) A ．五边形 B ．六边形 C ．七边形D ．八边形【解析】 设它是n 边形，则从一个顶点可以引(n －3) 条对角线，∴n －3＝5，∴n ＝8.6．从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n 的值是( C ) A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 根据从一个n 边形的某个顶点出发，可以引(n －3) 条对角线，把n 边形分为(n －2) 个三角形，则n －2＝6，解得n ＝8.7．P n 表示n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是P n ＝n （n －1）24·(n 2－an ＋b )(其中a ，b 是常数，n ≥4)．(1)通过画图，可得四边形时，P 4＝__1__(填数字)；五边形时，P 5＝__5__(填数字)； (2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值． 解： (1)如答图，第7题答图当n ＝4时，P 4＝1；当n ＝5时，P 5＝5； (2)将上述数值代入公式，得⎩⎨⎧4×（4－1）24×（16－4a ＋b ）＝1，①5×（5－1）24×（25－5a ＋b ）＝5，②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.8．你会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加，每个队都要和其他各队比赛一场，最后根据积分排列名次．请问学校一共要安排多少场比赛？我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接，如图11－3－2所示．现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛．同学们，请用类似的方法来解决下面的问题：姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手．图11－3－2 第8题答图解：先画出6个点，A，B，C，D，E，F各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用一条线段连接起来，如答图所示．先看姣姣A和红红E，姣姣已握手5次，说明姣姣与另外5人都握了手，因此代表姣姣的A点与B，C，D，E，F这5点都有一条线段连接；红红握手1次，他只能是与姣姣握的手了，所以E点只能与A点之间有线段连接，与其他各点没有线段连接；然后看林林B，林林已握手4次，由于他不可能与红红握过手，所以只能是与剩下的四个人姣姣、可可、飞飞和娜娜握过手了，因此，点B与A，C，D，F四点之间有线段连接；再看飞飞D，飞飞已握手2次，而代表飞飞的D点已与A，B两点有线段连接了，所以D点与其他的点不再有线段连接；最后看可可C，可可与3人握了手，但不是与飞飞和红红握手，所以代表可可的点C只能与A，B，F三点有线段连接．现在观察图形，与代表娜娜的点F连接的线段有3条，即AF，BF和CF，这说明姣姣、林林和可可三人已与娜娜握了手．新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题二、多边形的内角和1．一个五边形的内角和为( A ) A ．540° B ．450° C ．360°D ．180°2．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是( C ) A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】 设多边形的边数是n ，据题意，得(n －2)×180°＝2×360°＋180°，解得n ＝7.七边形的对角线的条数是7×（7－3）2＝14.3．如图11－3－3，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为( C )图11－3－3 A ．120° B ．180° C ．240°D ．300°【解析】 ∠1＋∠2＝360°－(180°－60°)＝240°.4．如图11－3－4，小华从A 点出发，沿直线前进10 m 后左转24°，再沿直线前进10 m ，又向左转24°…照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走的路程是( B )图11－3－4A ．140 mB ．150 mC ．160 mD ．240 m【解析】 ∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴一共走的路程是15×10＝150(m)．5．若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边的边数是__8__．6．若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是__8__．7．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是__720°__．8．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是__8__．【解析】设边数为n，则(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.9．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形的内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是__540__°.【解析】由从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，可知将此多边形分成3个三角形，故其内角和为3×180°＝540°.10．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__180°或360°或540°__．【解析】如答图，一个正方形被截掉一个角后，可能得到如下的多边形：第10题答图∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.11．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得(n－2)×180°＝360°×4＋180°，解得n＝11，(n－2)×180°＝1 620°.答：这个多边形的边数是11，内角和是1 620°.12．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，请说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解：(1)∵把θ＝360°代入公式可解得n＝4，而把θ＝630°代入公式解得n不是正整数，∴甲的说法对，乙的说法不对，甲同学说的边数n 是4；(2)根据题意，得(n ＋x －2)×180°－(n －2)×180°＝360°，解得x ＝2.13．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为( D ) A ．7 B ．7或8 C ．8或9D ．7或8或9【解析】 设内角和为1 080°的多边形的边数是n ， 则(n －2)×180°＝1 080°，解得n ＝8. ∴原多边形的边数为7或8或9.14．边长相等的正五边形和正六边形如图11－3－5所示拼接在一起，则∠ABC ＝__24__°.图11－3－5【解析】 正六边形的一个内角＝16×(6－2)×180°＝120°.正五边形的一个内角＝15×(5－2)×180°＝108°.∴∠BAC ＝360°－(120°＋108°)＝132°. ∵两个正多边形的边长相等，即AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝12×(180°－132°)＝24°.15．如图11－3－6，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，如图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形AGA ′H ，那么∠GA ′H 的大小是__60°__．图11－3－6【解析】 由题图可知A ′H 与A ′G 重合，纸盒的六个侧面均为矩形，即当∠A ′HA ＝∠A ′GA ＝90°时才能满足这个条件．∵∠A′HA＋∠A′GA＋∠HAG＋∠GA′H＝360°，6∠HAG＝(6－2)×180°＝720°，∴∠HAG＝120°，∴∠GA′H＝60°.16．如图11－3－7，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．图11－3－7证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC＋∠ADC＝360°－180°＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF＋∠EBF＝90°，∵BE∥DF，∴∠EBF＝∠DFC，∴∠CDF＋∠DFC＝90°，∴△DCF为直角三角形．17．(1)阅读理解：如图11－3－8①是二环三角形，可得S＝∠A2A1A6＋∠A2＋…＋∠A6＝360°.图11－3－8①理由：连接A1A4，∵∠1＋∠2＋∠A1OA4＝180°，∠A5＋∠A6＋∠A5OA6＝180°，又∵∠A1OA4＝∠A5OA6，∴∠1＋∠2＝∠A5＋∠A6，∴∠A2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠4＋∠A3＝360°，∴∠A2＋∠3＋∠A5＋∠A6＋∠4＋∠A3＝360°，即S＝360°；(2)延伸探究：图11－3－8②图11－3－8③Ⅰ.如图②是二环四边形，可得S＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A8＝720°，请你加以证明；Ⅱ.如图③是二环五边形，可得S＝__1__080°__，聪明的你，请根据以上的规律直接写出二环n边形(n≥3的整数)中，S＝__(n－2)×360__°.(用含n的代数式表示最后的结果)解：(2)Ⅰ.如答图①所示，第17题答图则S＝∠A2A1A8＋∠A2＋…＋∠A8＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A4A5A6＋∠M＋∠1＋∠2＝(6－2)×180°＝720°；Ⅱ.如答图②，当是二环五边形时，S为(5＋5－2) 边形内角和，即S＝(5＋5－2－2)×180°＝1 080°.以此类推，当是二环n边形时，补全图形后，S相当于补全图形的内角和，该图形原有n条边，补全后增加了(n－2) 条边，为(n＋n－2) 边形，即S＝(n＋n－2－2)×180°＝(n－2)×360°.。
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问题1 我们知道，三角形的内角和是180°，三 角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360° 有多种方法．如图，你能说说怎样由外角与相邻内角
互补的关系得出这个结论吗？ E
B2 F
Ａ
1
3
D
C
探索四边形、五边形、六边形的外角和
由 ∠1 +∠BAE =180°，∠2 +∠CBF =180°，
∠3 +∠ACD =180°，
八年级 上册
11.3 多边形及其内角和 （第2课时）
课件说明
• 本节课内容主要是在学习了三角形的内角和、外角 和、多边形的内角和的基础上，进一步研究多边形 的外角和．
课件说明
• 学习目标： 探索并掌握多边形的外角和公式．
• 学习重点： 探索并掌握多边形的外角和公式．
探索四边形、五边形、六边形的外角和
探索n 边形的外角和
我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角 和等于360°．
如图，从多边形的一 个顶点A 出发，沿多边形 的各边走过各顶点，再回 到点A，然后转向出发的 方向．
A
探索n 边形的外角和
我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角 和等于360°．
在行程中转过的各个
角的和，就是多边形的外
练习1 一个多边形的内角和与外角和相等，它是 几边形？
四边形
课堂练习
练习2 是否存在一个多边形，它的每个内角都等 于相邻外角的 1 ？为什么？
5 解：不存在．
理由：如果存在这样的多边形，设它的一个外角
为x ，则对应的内角为180°-x ，
于是
1 5x
=180°-
x，解得
x =150°.
这个多边形的边数为：360°÷150°=2.4，而边数
由 ∠BAD +∠1 =180°， ∠ABC +∠2 =180°，
Ａ1 B
2
∠BCD +∠3 =180°，
∠ADC +∠4 =180°， D
C
得∠BAD + ∠1 + ∠ABC
4
3
+∠2 +∠BCD +∠3 +∠ADC +∠4 =180°×4．
由∠BAD +∠ABC +∠BCD +∠ADC =180°×2，得
∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =180°×4 - 180°×2 =360°．
探索四边形、五边形、六边形的外角和
问题3 五边形的外角和等于多少度？六边形呢？ 仿照上面的方法试一试．
类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边 形的外角和是360°，六边形的外角和是360°（解答 过程略）．
探索n 边形的外角和
得 ∠1 +∠2 +∠3 +∠BAE +∠CBF +∠ACD =540°．
由 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，得
∠BAE +∠CBF +∠ACD
E
= 540° - 180°
Ａ
= 360°．
1
B2 F
3
D
C
探索四边形、五边形、六边形的外角和
问题2 如图，你能仿照上面的方法求四边形的外
角和吗？
应是整数，因此不存在这样的多边形．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎样得到“多边形外角和等于360°”这
一结论的？
布置作业
教科书习题11.3第6题．
角和．由于走了一周，所
转过的各个角的和等于一
个周角，所以多边形外角
和等于360°．
A
巩固多边形外角和公式
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3 倍， 它是几边形？
解：设这个多边形为 n 边形， 根据题意，可列方程 （ n -2）×180°=3×360°． 解得 n =8．
答：它是八边形．
Hale Waihona Puke 堂练习问题4 你能仿照上面的方法求n 边形（n 是不小 于3 的任意整数）的外角和吗？
因为n 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角， 它们的和是180°，所以n 边形内角和加外角和等于 n ·180°，所以， n 边形的外角和为：
n ·180°-（n -2）·180°= 360°． 任意多边形的外角和等于360°．