解析几何(高考文科试题)

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高考试卷中解析几何试题归类(1985---2004)

解析几何（1985---2004）1、(1997文)已知直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是_______2、(2003江苏卷)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（） A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 3、(2004上海春季)已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .⑴ 求点B 的坐标；⑵若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；⑶对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.4、(2004北京春季理)已知点A （2，8），),(11y x B ，),(22y x C 在抛物线y px 22=上，∆ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）⑴写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；⑵求线段BC 中点M 的坐标；⑶求BC 所在直线的方程。

5、(2002全国春季)已知某椭圆的焦点是)0,4(1-F 、)0,4(2F ，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且10||||21=+B F B F ，椭圆上不同的两点),(11y x A 、),(22y x C 满足条件：||2A F 、||2B F 、||2C F 成等差数列．⑴求该椭圆方程；⑵求弦AC 中点的横坐标；⑶设弦AC 的垂直平分线的方程为m kx y +=，求m 的取值范围．6、(2001上海春季)已知椭圆C 的方程为1222=+y x ，点),(b a P 的坐标满足1222≤+b a 。

2022年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)

2022年高考数学试题分项版—解析几何（解析版）一、选择题1．(2022·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2in40°B．2co40°C.D.答案D解析由题意可得－＝tan130°，所以e＝＝＝＝＝.2．(2022·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1C.＋＝1答案B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或B.＋＝1D.＋＝1下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则inθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，co2θ＝＝，因为co2θ＝1－2in2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.3．(2022·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2p某(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2B．3C．4D．8答案D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.4．(2022·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.B.C．2D.答案A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将某2＋y2＝a2记为②式，①－②得某＝，则以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为某＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.5．(2022·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A.B.C.D.答案B解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(某0，y0)，某0>0，y0>0，则解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝某3某＝.6．(2022·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()A.B．4C．2D.答案D解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e＝＝2＝1＋.结合a>0，解得a＝.27．(2022·天津文，6)已知抛物线y＝4某的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C．2D.答案D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为某＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±某.将某＝－1代入y＝±某，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.8．(2022·浙江，2)渐近线方程为某±y＝0的双曲线的离心率是()A.C.答案C解析因为双曲线的渐近线方程为某±y＝0，所以无论双曲线的焦点在某轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.9．(2022·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y＝1C.＋＝1答案B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或2B．1D．2B.＋＝1D.＋＝1下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则inθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，co2θ＝＝，因为co2θ＝1－2in2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.10．(2022·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2p某(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2B．3C．4D．8答案D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.11．(2022·全国Ⅱ理，11)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.B.C．2D.答案A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将某2＋y2＝a2记为②式，①－②得某＝，则以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为某＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.12．(2022·全国Ⅲ理，10)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C 的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A.B.C．2D．3答案A解析不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰△POF的高h＝某＝，所以S△PFO＝某某＝.某2y2113．(2022·北京理，4)已知椭圆221(ab0)的离心率为，则() ab2A．a22b2B．3a24b2C．a2bD．3a4b【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件a2b2c2得答案．c21a2b21c1【解析】：由题意，，得2，则，a4a24a24a24b2a2，即3a24b2．故选：B．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．14．(2022·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:某2y21|某|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③【思路分析】将某换成某方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．【解析】：将某换成某方程不变，所以图形关于y轴对称，当某0时，代入得y21，y1，即曲线经过(0,1)，(0,1)；0，解得某(0，当某0时，方程变为y2某y某210，所以△某24(某21)…23]，3所以某只能取整数1，当某1时，y2y0，解得y0或y1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)，(1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．某2y2当某0时，由某y1某y得某y1某y，（当某y时取等），22222某2y22，某2y22，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在某轴上图形面积大于矩形面积122，某轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1211，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213，故③错误．2故选：C．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．15．(2022·天津理，5)已知抛物线y2＝4某的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C．2D.答案D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为某＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±某.将某＝－1代入y＝±某，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝二、填空题＝.1．(2022·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(某，y)，则得所以M的坐标为(3，)．2．(2022·北京文，11)设抛物线y2＝4某的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案(某－1)2＋y2＝4解析∵抛物线y2＝4某的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线某＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(某－1)2＋y2＝4.3．(2022·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2某－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2解析方法一设过点A(－2，－1)且与直线2某－y＋3＝0垂直的直线方程为l：某＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：某＋2y＋4＝0，令某＝0，得m＝－2，则r＝＝.方法二因为直线2某－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以某2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.4．(2022·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在某轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．答案解析依题意，设点P(m，n)(n＞0)，由题意知F(－2,0)，|OF|＝2，所以线段FP的中点M在圆某2＋y2＝4上，所以22＋＝4，又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，，所所以＋＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，当m＝－时，n＝以kPF＝＝.5．(2022·江苏，7)在平面直角坐标系某Oy中，若双曲线某2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________．答案y＝±某解析因为双曲线某2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±b某＝±某.6．(2022·江苏，10)在平面直角坐标系某Oy中，P是曲线y＝某＋(某>0)上的一个动点，则点P到直线某＋y＝0的距离的最小值是________．答案4解析设P，某>0，则点P到直线某＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2某＝，即某＝时取等号，故点P到直线某＋y＝0的距离的最小值是4.7．(2022·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝，·过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝0，则C的离心率为________．答案2→→解析因为F1B·F2B＝0，所以F1B⊥F2B，如图．＝，因为所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.8．(2022·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.＝，＝，设M(某，y)，则得，，所以M的坐标为(3，)．三、解答题1．(2022·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线某＋2＝0相切．(1)若A在直线某＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线某＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝某上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线某＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(某，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|某＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得某2＋y2＋4＝(某＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4某.因为曲线C：y2＝4某是以点P(1,0)为焦点，以直线某＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝某＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝某＋2－(某＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.2．(2022·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b 的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(某，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①某2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y＝222，故b＝4.22由②③及a＝b＋c得某＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．3．(2022·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．(1)证明设D，A(某1，y1)，则＝2y1.由于y′＝某，所以切线DA的斜率为某1，故＝某1，整理得2t某1－2y1＋1＝0.设B(某2，y2)，同理可得2t某2－2y2＋1＝0.所以直线AB的方程为2t某－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝t某＋.可得某2－2t某－1＝0，由于是某1＋某2＝2t，y1＋y2＝t(某1＋某2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则M.，而与向量(1，t)平行，⊥＝(t，t2－2)，由于所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.|＝2，当t＝0时，|所求圆的方程为某2＋2＝4；|＝，当t＝±1时，|所求圆的方程为某2＋2＝2.4．(2022·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝k某＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与某轴交于点M，直线AQ与某轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．(1)解由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设P(某1，y1)，Q(某2，y2)，则直线AP的方程为y＝某＋1.令y＝0，得点M的横坐标某M＝－..又y1＝k某1＋t，从而|OM|＝|某M|＝同理，|ON|＝.得(1＋2k2)某2＋4kt某＋2t2－2＝0，由则某1＋某2＝－，某1某2＝.所以|OM|·|ON|＝＝·＝＝2.又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．5．(2022·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在某轴上方的交点为P，圆C同时与某轴和直线l相切，圆心C在直线某＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(某＋c)．点P的坐标满足消去y并化简，得到7某2＋6c某－13c2＝0，解得某1＝c，某2＝－.代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.因为点P在某轴上方，所以P.由圆心C在直线某＝4上，可设C(4，t)．因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，故＝，解得t＝2.因为圆C与某轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.6.(2022·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2p某(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在某轴上，直线AC交某轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为某＝－1.(2)设A(某A，yA)，B(某B，yB)，C(某C，yC)，重心G(某G，yG)．令yA＝2t，t≠0，则某A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为某＝y2－y＋1，代入y2＝4某，得y－4＝0，故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B.又由于某G＝(某A＋某B＋某C)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在某轴上，故2t－＋yC＝0.即C，G.所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(某－t2)，得Q(t2－1,0)．由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而＝＝＝＝2－.令m＝t2－2，则m＞0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．7.(2022·江苏，17)如图，在平面直角坐标系某Oy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作某轴的垂线l，在某轴的上方，l与圆F2：(某－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，则c＝1.又因为DF1＝，AF2⊥某轴，所以DF2＝＝＝.因此2a＝DF1＋DF2＝4，所以a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)方法一由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.因为AF2⊥某轴，所以点A的横坐标为1.将某＝1代入圆F2方程(某－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在某轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2某＋2.5某2＋6某－11＝0，解得某＝1或某＝－.由得将某＝－代入y＝2某＋2，得y＝－.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(某－1)．得7某2－6某－13＝0，解得某＝－1或某＝.由又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以某＝－1.将某＝－1代入y ＝(某－1)，得y＝－.因此E.方法二由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥某轴，所以EF1⊥某轴．因为F1(－1,0)，由得y＝±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.因此E.8．(2022·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l 上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l 的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．解方法一(1)过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.因为PB⊥AB，所以co∠PBD＝in∠ABE＝＝＝.所以PB＝＝＝15.因此道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知AD＝＝10，从而co∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D 处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1Bin∠P1BD＝P1Bco∠E BA＝15某＝9；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝＝＝3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．方法二(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.因为AB为圆O的直径，AB＝10，所以圆O的方程为某2＋y2＝25.从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，直线PB的方程为y＝－某－.所以P(－13,9)，PB＝＝15.所以道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，所以线段AD：y＝－某＋6(－4≤某≤4)．在线段AD上取点M，因为OM＝<＝5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝＝15(a>4)，得a＝4＋3，所以Q(4＋3，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当P(－13,9)，Q(4＋3，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3－(－13)＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．9．(2022·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3某的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与某轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；＝3，求|AB|.(2)若解设直线l：y＝某＋t，A(某1，y1)，B(某2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝某1＋某2＋，由题设可得某1＋某2＝.由可得9某2＋12(t－1)某＋4t2＝0，令Δ>0，得t则某1＋某2＝－从而－.＝，得t＝－.所以l的方程为y＝某－.＝3可得y1＝－3y2，(2)由由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得某1＝3，某2＝，即A(3,3)，B，故|AB|＝.10．(2022·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(某，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥某轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．(1)解由题设得·＝－，化简得＋＝1(|某|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在某轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝k某(k>0)．由得某＝±.，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．记u＝于是直线QG的斜率为，方程为y＝(某－u)．得(2＋k2)某2－2uk2某＋k2u2－8＝0.①由设G(某G，yG)，则－u和某G是方程①的解，故某G＝，由此得yG＝.从而直线PG的斜率为因为kPQ·kPG＝－1.＝－，所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝＝.，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.因此，△PQG面积的最大值为.11．(2022·全国Ⅲ理，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．(1)证明设D，A(某1，y1)，则＝2y1.由y′＝某，所以切线DA的斜率为某1，故整理得2t某1－2y1＋1＝0.＝某1.设B(某2，y2)，同理可得2t某2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2t某－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝t某＋.可得某2－2t某－1＝0，Δ＝4t2＋4>0，由于是某1＋某2＝2t，某1某2＝－1，y1＋y2＝t(某1＋某2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝|某1－某2|＝·＝2(t2＋1)．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝，d2＝，因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).设M为线段AB的中点，则M.，而⊥＝(t，t2－2)，由于与坐标为(1，t)的向量平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.12．(2022·北京理，18)（14分）已知抛物线C:某22py经过点(2,1)．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)，解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）抛物线某24y的焦点为F(0,1)，设直线方程为yk某1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，可得AB为直径的圆方程，可令某0，B的坐标，解方程，即可得到所求定点．【解析】：（Ⅰ）抛物线C:某22py经过点(2,1)．可得42p，即p2，可得抛物线C的方程为某24y，准线方程为y1；（Ⅱ）证明：抛物线某24y的焦点为F(0,1)，设直线方程为yk某1，联立抛物线方程，可得某24k某40，设M(某1，y1)，N(某2，y2)，可得某1某24k，某1某24，直线OM的方程为y直线ON的方程为y可得A(y1某某，即y1某，某14y2某某，即y2某，某2444，1)，B(，1)，某1某2114k)22k，某1某24可得AB的中点的横坐标为2(即有AB为直径的圆心为(2k,1)，|AB|14416k216||221k2，半径为22某1某24可得圆的方程为(某2k)2(y1)24(1k2)，化为某24k某(y1)24，由某0，可得y1或3．则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)，(0,3)．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13．(2022·天津理，18)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与某轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(某P，yP)(某P≠0)，M(某M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝k某＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)某2＋20k某＝0，可得某P＝－代入y＝k某＋2得yP＝.所以直线OP的斜率为＝.，在y＝k某＋2中，令y＝0，得某M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.或－.所以直线PB的斜率为解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(某P，yP)(某P≠0)，M(某M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝k某＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)某2＋20k某＝0，可得某P＝－代入y＝k某＋2得yP＝.所以直线OP的斜率为＝.，在y＝k某＋2中，令y＝0，得某M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.或－.所以直线PB的斜率为。

高考数学分类练习 H单元解析几何(文科)含答案1

数学H 单元解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率．(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.(i)求λ的值；(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程．19．解：(1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c . 又因为B (0，b )，F (－c ，0)，所以直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc＝2.(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．(i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3.因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21.又因为λ＝|PM ||MQ |，且x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78.(ii)由(i)知|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝157|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝759，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP |＝0＋5c 32＋2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝553，得c ＝1，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.12．H1、H4 若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．12．x ＋2y －5＝0 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离H3 圆的方程20．H3，H4，H9 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．16．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 16．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)对于圆C 的方程，令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.7．H3 已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.437．B 由已知可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2，所以△ABC 是等边三角形，所以其外接圆圆心即三角形的重心，坐标为1＋0＋23，0＋3＋33，即1，233，圆心到原点的距离为12＋2332＝213.2．H3 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝22．D 根据题意知圆的半径r ＝（1－0）2＋（1－0）2＝2，所以以(1，1)为圆心且过原点的圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系8．H4 直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或128．D 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离d ＝|3＋4－b |32＋42＝1，即|b －7|＝5，解得b ＝12或b ＝2，选D. 20．H3，H4，H9 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．16．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 16．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)对于圆C 的方程，令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.13．H4 若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________．13．2 圆心为原点，原点(0，0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|0－0＋5|32＋（－4）2＝1，又△OAB 中点O 到AB 边的距离d ＝r sin 30°＝r2＝1，所以r ＝2.13．H4、F3 过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________．13.32 如图所示，|PA |＝|PB |＝3，|OP |＝2，|OA |＝1，且PA ⊥OA ，∴∠APO ＝π6，即∠APB ＝π3，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos ∠APB ＝3×3×cos π3＝32.10．H4，H8 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)10．D 不妨设直线l ：x ＝ty ＋m ，代入抛物线方程有y 2－4ty －4m ＝0，则Δ＝16t 2＋16m ＞0.又中点M (2t 2＋m ，2t )，圆心C (5，0)，k MC k l ＝－1，所以m ＝3－2t 2，当t ＝0时，对于0<r <5，满足条件的直线有2条，当t ≠0时，代入Δ＝16t 2＋16m ，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得r ＝|5－m |1＋t2＝2＋2t21＋t2＝21＋t 2.由0＜t 2＜3，可得r ∈(2，4)．5．H4、H6 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝15．D 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，所以a 2＋b 2＝4①.其渐近线方程为y ＝±b ax ，且渐近线与圆相切，所以|2b |a 2＋b2＝3②.联立①②，解得b ＝3，a＝1，所以所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.14．H4，E5 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．14．15 方法一：当x ，y 满足x 2＋y 2≤1时，2x ＋y －4<0，6－x －3y >0，设z ＝|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |，则z ＝－2x －y ＋4＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10，即3x ＋4y ＋z －10＝0.由题意可知，|z －10|5≤1，即|z －10|≤5，所以5≤z ≤15，故所求最大值为15.方法二：坐标原点到直线2x ＋y －4＝0和6－x －3y ＝0的距离分别是45，610，均大于1，在x ，y 满足x 2＋y 2≤1的条件下，2x ＋y －4≤0，6－x －3y ≥0恒成立．故在x 2＋y 2≤1下，|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－(2x ＋y －4)＋(6－x －3y )＝－3x －4y ＋10，令m ＝－3x －4y ，则y ＝－34x －m 4，m 的几何意义是直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距的－4倍，若m 最大，则需要直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距最小．故只有当直线m ＝－3x －4y 与单位圆x 2＋y 2＝1相切于第三象限时，m 取得最大值．此时可求得切点坐标为－35，－45，故m max ＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－3x －4y ＋10的最大值为15.12．H1、H4 若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．12．x ＋2y －5＝0 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.10．H4 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．10．(x －1)2＋y 2＝2 由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.H5 椭圆及其几何性质20．H5 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .20．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，所以b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .8．H5 已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．98．B 由题意得，m 2＝25－42＝9，因为m >0，所以m ＝3，故选B.22．H5、H8、H9、H10 一种画椭圆的工具如图15所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图16所示的平面直角坐标系．(1)求椭圆C 的方程．(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图15图1622．解：(1)由题知|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立；同理|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立．所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 24＝1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠±12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4. ①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离d ＝|m |1＋k2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m21－4k 2. ②将①代入②得，S △OPQ ＝2m 21－4k 2＝84k 2＋14k 2－1. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2.因为0≤k 2<14，所以0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号，所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.5．H5、H7 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．125．B 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2，即椭圆的半焦距c ＝2.又离心率e ＝c a ＝2a ＝12，所以a ＝4，于是b 2＝12，则椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.A ，B 是C的准线x ＝－2与E 的两个交点，把x ＝－2代入椭圆方程得y ＝±3，所以|AB |＝6.20．H5、H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．20．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．20．H5，H8 已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．20．解：(1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63. (2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)．令x ＝3，得M (3，2－y 1)．所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行．证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)．令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0.所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2.直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2.因为k BM －1＝k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2）（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3]（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2）＝0，所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE . 综上可知，直线BM 与直线DE 平行．11．H5 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A ．0，32 B ．0，34 C.32，1 D.34，1 11．A 因为直线l 过原点，不妨设A 在第一象限，左焦点为F ′，由对称性可知四边形AF ′BF 为平行四边形，所以|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ＝4，所以a ＝2，点M (0，b )到直线l 的距离d ＝|0－4b |5≥45且b <a ，所以1≤b <2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b2a ＝4－b 22∈0，32. 20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 21．H5、H8 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(i)求|OQ ||OP |的值；(ii)求△ABQ 面积的最大值．21．解：(1)由题意知3a 2＋14b 2＝1，又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(i)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 2＝1，且（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2，所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知，0<t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值23，由(i)知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.20．H5、H8 如图16，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.图1620．解：(1)由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知得Δ>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.20．F3，H5，H8 如图13，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程．(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．图1320．解：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0，1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率．(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.(i)求λ的值；(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程．19．解：(1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c . 又因为B (0，b )，F (－c ，0)，所以直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc＝2.(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．(i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3.因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21.又因为λ＝|PM ||MQ |，且x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78.(ii)由(i)知|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝157|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝759，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP |＝0＋5c 32＋2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝553，得c ＝1，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.7．H5 如图13，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是( )图13A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7．C 射线AP 以AB 为旋转轴，∠PAB ＝30°为定值，旋转一周，构成斜放的圆锥，故可知，点P 的轨迹为椭圆．15．H5 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．15.22设FQ 的中点为A ，椭圆的左焦点为F ′，连接QF ′.因为点F 和Q 关于直线y ＝b c x 对称，所以点A 在直线y ＝b cx 上，且OA ⊥QF ，又OA ∥QF ′，所以F ′Q ⊥QF .在直角三角形OAF 中，tan ∠AOF ＝b c ，又a 2＝b 2＋c 2，故sin ∠AOF ＝b a ，cos ∠AOF ＝c a ，则|OA |＝c 2a，|AF |＝cb a ，|QF ′|＝2c 2a ，|QF |＝2cb a ，所以2a ＝|QF ′|＋|QF |＝2c 2a ＋2cb a，即a 2＝c 2＋cb ，又a 2＝c 2＋b 2，所以c ＝b ，故e ＝ca ＝22. 21．H5、H8 如图15，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．图1521．解：(1)由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图所示，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ22＝4c 2，两边除以4a 2，得4（1＋λ＋1＋λ2）2＋（λ＋1＋λ2－1）2（1＋λ＋1＋λ2）2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋（t －2）2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12.由34≤λ<43，得3≤t <4，即14<1t ≤13. 进而12<e 2≤59，即22<e ≤53.18．H5、H10 如图14，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．图1418．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k2，C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意，从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1，此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.H6 双曲线及其几何性质6．H6 下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝16．A A 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ；C中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .故选A. 9．H6 将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 29．D e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋ma ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选D.16．H6 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66) ，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．16．12 6 由已知得a ＝1，c ＝3，则F (3，0)，|AF |＝15.设F 1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有|PF |－|PF 1|＝2，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF 1|＋2≥|AF 1|＋2＝17，即点P 是线段AF 1与双曲线的交点时，|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF 1|＋2最小，即△APF 周长最小，此时，sin ∠OAF ＝15，cos ∠PAF ＝1－2sin 2∠OAF ＝2325，即有sin ∠PAF ＝4625.由余弦定理得|PF |2＝|PA |2＋|AF |2－2|PA ||AF |cos ∠PAF ，即(17－|PA |)2＝|PA |2＋152－2|PA |×15×2325，解得|PA |＝10，于是S △APF ＝12|PA |·|AF |·sin ∠PAF ＝12×10×15×4625＝12 6.15．H6 已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．15.x 24－y 2＝1 根据双曲线的渐近线方程y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，将点(4，3)的坐标代入得λ＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.12．H6 已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________．12. 3 因为(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝22，又因为b >0，所以b ＝ 3.6．H6 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.536．D 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，故b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53，选D.15．H6 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．15．2＋ 3 过右焦点且与渐近线平行的一条直线不妨设为y ＝ba(x －c )，∵该直线与双曲线交点的横坐标为2a ，∴有（2a ）2a 2－y2b2＝1，解得y ＝－3b (y ＝3b 舍去)，∴－3b ＝b a(2a －c )，整理得c ＝(2＋3)a ，即双曲线的离心率e ＝2＋ 3.7．H6，H8 过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.4 33B ．2 3C ．6D ．4 3 7．D 由题意得，a ＝1，b ＝3，故c ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝2代入渐近线方程，得y ＝2 3或y ＝－2 3，故|AB |＝4 3.5．H4、H6 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 5．D 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，所以a 2＋b 2＝4①.其渐近线方程为y ＝±b ax ，且渐近线与圆相切，所以|2b |a 2＋b 2＝3②.联立①②，解得b ＝3，a＝1，所以所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.9．H6 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 29．C 由题设，得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，F (c ，0)．将x ＝c 代入双曲线方程，解得y＝±b 2a .不妨设Bc ，b 2a ，Cc ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得b a＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.12．H6、H10 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．12.22不妨设点P (x 0，x 20－1)(x 0≥1)，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝||x 0－x 20－1＋12.令u (x )＝x －x 2－1＝1x ＋x 2－1，则u (x )是单调递减函数，且u (x )>0.当x →＋∞时，u (x )→0，所以d >22，故c max ＝22.H7 抛物线及其几何性质5．H5、H7 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．125．B 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2，即椭圆的半焦距c ＝2.又离心率e ＝c a ＝2a ＝12，所以a ＝4，于是b 2＝12，则椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.A ，B 是C的准线x ＝－2与E 的两个交点，把x ＝－2代入椭圆方程得y ＝±3，所以|AB |＝6.19．H7、H10 已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．图1419．解：方法一：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，所以2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A (2，2 2)．由A (2，2 2)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B 12，－ 2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝ 2 2－02－（－1）＝2 23，k GB ＝－2－012－（－1）＝－2 23，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．方法二：(1)同方法一．(2)证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A (2，2 2)，由A (2，2 2)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B 12，－ 2.又G (－1，0)，故直线GA 的方程为2 2x －3y ＋2 2＝0，从而r ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 217.又直线GB 的方程为2 2x ＋3y ＋2 2＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 3．H7 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)3．B 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，由已知得－p 2＝－1，所以p2＝1，故其焦点坐标为(1，0)．19．H7，H10 如图15，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．图1519．解：(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由直线PA 与抛物线相切,得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知，点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t 21＋t2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0. 点B 到直线PA 的距离d ＝t 21＋t2.设△PAB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |·d ＝t32.H8 直线与圆锥曲线（AB 课时作业）。

2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)

2024年高考真题分类专项（解析几何）一、单选题1．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A B ．2C ．3D ．2．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．65．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4 B ．3C ．2D6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（） A ．1B ．2C ．4D．二、多选题7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ = C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题9．（2024年上海夏季高考数学真题）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．10．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．11．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．12．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．13．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．四、解答题14．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．15．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ． (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．16．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．18．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．。

解析几何文科带详细答案

北京一摸解析几何文科1本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()0,1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）12,A A 为椭圆C 的左、右顶点，直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于12,A A 的动点，直线12,A P A P 分别交直线l 于,E F 两点.证明：DE DF ⋅恒为定值.2.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.3．（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a 1，短轴长为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若线段AB 求直线AB 的方程．4.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线5:2l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心的圆上，求k 的值．5（本小题满分13分）已知椭圆:C 2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，离心率为2，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求DE AP的取值范围.6.（本小题共14分）已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的长轴长为24，点P （2，1）在椭圆上，平行于OP （O 为坐标原点）的直线l 交椭圆于B A ,两点，l 在y 轴上的截距为m . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）设直线PB PA ,的斜率分别为1k ，2k ，那么1k +2k 是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由.7（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接MA ，MB 并延长交直线x =4于P ，Q 两点，设y P ，y Q 分别为点P ，Q 的纵坐标，且121111P Qy y y y +=+．求△ABM 的面积．8．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率35=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为12.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点M 、N 在椭圆上，点)1,1(E 为MN 的中点，求出直线MN 所在的方程；（Ⅲ）设直线)0(>=t t y 与椭圆交于不同的两点A 、B ，求OAB ∆的面积的最大值.9. （本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A ，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若223||=MN ，求直线MN 的方程． 10．（本小题满分14分）已知曲线Γ上任意一点P 到两个定点()1F 和)2F 的距离之和为4．（I ）求曲线Γ的方程；（II ）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程．答案1（共13分）（Ⅰ）解：由题意可知，1b =，c a = 解得2a =. …………4分所以椭圆的方程为2214x y +=. …………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,1(2,0)A -，2(2,0)A .设00(,)P x y ，依题意022x -<<，于是直线1A P 的方程为00(2)2y y x x =++，令x =，则002)2y y x =+.即002)2y DE x =+. …………7分又直线2A P 的方程为00(2)2y y x x =--，令x =02)2y y x =-，即002)2y DF x =-. …………9分所以2200220000442)2)2244y y y y DE DF x x x x ⋅=⋅==+--- ，………11分又00(,)P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=,即220044y x =-，代入上式，得202414x DE DF x -⋅==-,所以||||DE DF ⋅为定值1. …………13分 2（本小题满分14分）解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a =………………………3分则椭圆的方程为2213x y +=. ………………………4分 (II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==. 设(1,)3A，(1,3B -，则122233222k k +=+=为定值. ………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分 122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 3．（本小题满分14分）解：解：（Ⅰ）由题意，2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1a c ==．即：椭圆方程为.12322=+y x ------------4分（Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，AB =，此时AOB S ∆= -----------6分当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：)1(+=x k y ，代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-= ．设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ -----------8分所以221)23k AB k+=+ ， ------------11分由22AB k k =⇒=⇒= ------------13分所以直线0AB l y -=或0AB l y +=． ---------14分 4.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，则c = ………………1分由3c e a ==，得a = 从而2224b ac =-=． ………………4分所以，椭圆C 的方程为141222=+y x ． ………………5分（Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． ………………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513k x x k +=+． …………9分设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =+，255226D D y kx k-=-=+． ……………10分由点A ，B 都在以点(0,3)为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， ………………11分即22532611526k k k k ++⋅=--+，解得 229k =，符合题意． ………………13分所以k = ………………14分 5（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =.又c a =，所以c = 所以 222431b a c =-=-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………3分（Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =. 所以||1||2DE AP =. ………………………………………5分当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分由 22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41k x k +=+所以 20282.41k x k =+-………………………………………8分所以||AP ==即 2||41AP k =+.类似可求||DE =所以2||||DE AP==………………………………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||DE t t t AP t t-+-==> 令2415()(2)t g t t t -=>，则22415'()0t g t t +=>. 所以 ()g t 是一个增函数.所以2||41544151||22DE t AP t -⨯-=>=. 综上，||||DE AP 的取值范围是1[,)2. ………………………………………13分6．（本小题共14分）解：（I ）由已知可知22=a …………………………………1分设椭圆方程为18222=+b y x ，将点)1,2(P 代入解得22=b …………………………3分 ∴椭圆方程为12822=+y x………………………4分（II ）∵直线l 平行于OP ，且在y 轴上的截距为m ,又21=op k m x y l +=∴21的方程为：（0≠m ） …………………………………6分由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ① ………………………………7分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，222)4(24)0m m ∴∆=-->（解得 22m -<<，且m ≠0.所以m 的取值范围是()()2,00,2 -. …………………………………9分（III ）1k +02=k设()()2211,,,y x B y x A ，由①得42,222121-=-=+m x x m x x .…………………10分∵12121211,22y y k k x x --==--∴12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x= 22122424440(2)(2)m m m m x x --+-+=--120k k ∴+= ……………………………………………14分7．解：（Ⅰ）依题意2a =，2c a =，所以c = ……………………2分因为222a b c =+，所以b = ……………………3分椭圆方程为22142x y +=． ……………………5分（Ⅱ）因为直线l 的斜率为1，可设l ：y x m =+， ……………………6分则2224x y y x m⎧+=⎨=+⎩，消y 得 2234240x mx m ++-=， ……………………7分 0∆>，得26m <．因为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 1243mx x +=-，212243m x x -=． ……………………8分设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162P y y x =+；同理2262Q y y x =+．…………………9分因为121111P Qy y y y +=+，所以12121222666666x x y y y y +++=+，即121244066x x y y --+=． ……………………10分所以 1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以 1221(4)()(4)()0x x m x x m -++-+=，1212122()4()80x x m x x x x m ++-+-=，224442()4()80333m m m m m -⋅+----=，所以8803m--=，所以1(m =-∈． ……………………12分所以 1243x x +=，1223x x =-．设△ABM 的面积为S ，直线l 与x 轴交点记为N ，所以1212133||||||222S MN y y x x =⋅⋅-=⋅-==14分所以 △ABM8．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）解：由35==a c e ，得2295c a =. 再由222b ac -=，解得b a 32=.……………………………………… 2分由题意可知122221=⨯⨯b a ，即6=ab . ∴92=a ，42=b ．∴所求椭圆的方程为14922=+y x ． ……………………………………… 4分（Ⅱ）依题意，设MN 所在直线方程为)1(1-=-x k y ，即)1(--=k kx y联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=149)1(22y x k kx y ， …………………………………………5分消去y 整理得036)1(9)1(18)49(22=--+--+k x k k x k .……………6分设),(11y x M ，),(22y x N ，则49)1(18221+-=+k k k x x . ………………7分∵)1,1(E 为MN 的中点，∴149)1(92=+-k k k .解得94-=k . ………………8分 ∴ 直线MN 的方程为 01394=-+y x . ………………………………9分（Ⅲ）依题意，⎪⎩⎪⎨⎧=+=14922y x t y ，得2423t x -±=．…………………………10分 ∴ 243||t AB -=． ……………………………………………………11分 ∴OAB ∆的面积222)4(234321t t t t S -=⨯-⨯= 32)4(2322=+-⨯≤t t ． ………………………………13分当且仅当224t t -=，即2=t 时，等号成立.∴OAB ∆的面积的最大值为3． ………………………………14分 9解：（Ⅰ）由题意有11422=+b a ，22==a c e ，222c b a =-，解得6=a ，3=b 3=c ，所以椭圆方程为13622=+y x ……6分（Ⅱ）由直线MN 过点B 且与椭圆有两交点，可设直线MN 方程为)3(-=x k y ，代入椭圆方程整理得061812)12(2222=-+-+k x k x k ……8分2=24240k ∆->，得21k <设M （x 1,y 1），N （x 2,y 2），则12122221+=+k k x x ，126182221+-=k k x x 2212221221))(1()()(||x x k y y x x MN -+=-+-=223]4))[(1(212212=-++=x x x x k 解得22±=k ，所求直线方程为)3(22-±=x y ……14分 19．（本小题满分14分）解：（I ）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，………………………………1分其中2a =，c =1b ==．………………………………………2分所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．………………………………………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．………………………………………5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， ∵0OC OD ⋅=，∴12120x x y y +=．……………………………………………7分 ∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ① …………………………9分由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．…………………………………………………11分则1221614k x x k +=+，1221214x x k⋅=+，代入①，得()222121612401414k k k k k +⋅-⋅+=++．即24k =，解得，2k =或2k =-．………………………………………………13分所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．………………………………14分。

高中解析几何试题及答案

高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。

2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。

答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。

3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。

答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。

由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。

又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。

将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。

因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。

4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。

答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。

5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。

答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。

(完整)上海高考解析几何试题.doc

1近四年上海高考解析几何试题一．填空题 :1、双曲线9x2 16y 2 1的焦距是.2、直角坐标平面xoy 中，定点A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点P轨迹方程___。

3、若双曲线的渐近线方程为y 3x ，它的一个焦点是10 ,0 ，则双曲线的方程是__________。

4、将参数方程x 1 2 cos（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。

y 2sin5、已知圆C :( x 5) 2 y 2 r 2 ( r 0) 和直线 l : 3x y 5 0 .若圆 C 与直线 l 没有公共点，则 r 的取值范围是.6、已知直线l过点P( 2, 1) ，且与 x 轴、y轴的正半轴分别交于A、 B 两点， O 为坐标原点，则三角形 OAB 面积的最小值为.7、已知圆x2－ 4 x－ 4＋y2＝ 0 的圆心是点 P，则点 P 到直线x－y－ 1＝0 的距离是；8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－ 2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是；10、曲线y |x| 1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条是．2 ＝＋11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线 y 2 4x 上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点 P 的横坐标 x .12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 x 4 y2与直线 x m 有且只有一个公共点，则实数 m .13、若直线 l1： 2x my 1 0 与直线 l2： y 3x 1 平行，则 m ．14x2 y21的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是．、以双曲线4 516 、已知 P 是双曲线x2 y21 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y 0 .设a2 9F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点. 若 PF2 3 ，则 PF117 、已知A(1, 2), B(3, 4) ，直线 l1： x 0, l 2 : y 0 和 l3 : x 3y 1 0 . 设 P i是l i ( i 1, 2, 3) 上与A、B 两点距离平方和最小的点，则△PP12 P3的面积是二．选择题 :218、过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C．有无穷多条D ．不存在19、抛物线 y 24x 的焦点坐标为( )（A ） ( 0, 1) .（ B ） ( 1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) .（ D ） ( 2, 0 ) .20、若 k R ，则“ k3 ”是“方程x 2y 21 表示双曲线”的()k3 k 3（ A ）充分不必要条件 . （ B ）必要不充分条件 .（C ）充要条件 .（D ）既不充分也不必要条件 .21 、已知椭圆x 2y 2 1，长轴在 y 轴上 . 若焦距为 4 ，则 m 等于（）10 mm2（ A ） 4 .（ B ） 5 .（ C ） 7 .（ D ） 8 .三．解答题22 ( 本题满分 18 分) （ 1）求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ，且经过点 (2 , 2 ) 的椭圆的标准方程；（ 2）已知椭圆 C 的方程是x 2 y 2 1 ( a b 0 ) . 设斜率为 k的直线 l ，交椭圆 C 于 A Ba 2b 2、两点，AB 的中点为 M . 证明：当直线 l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（ 3）利用（ 2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心 .23、（本题满分 x 2y 2 14 分）如图，点 A 、 B 分别是椭圆1长3620轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方， PA PF ．（ 1）求点 P 的坐标；（ 2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值．3 24 ( 本题满分14 分 ) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为x 2 y 2100 1 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）25后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M 0, 64 为顶点的抛物线的实线7部分，降落点为D( 8, 0 ) .观测点 A( 4, 0 )、 B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系xO y中，直线l与抛物线y2＝2x 相交于、两点．A B（1）求证：“如果直线l过点 T（ 3， 0），那么OA OB＝ 3”是真命题；（2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．26、(14 分 ) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为 3，求该正四棱锥的体积” . 求出体积 16后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为16 ，求侧棱长”；3 3也可以是“若正四棱锥的体积为16，求所有侧面面积之和的最小值”. 3试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点 P( 2, 1) 到直线 3x 4y0 的距离有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.评分说明：(ⅰ ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列中，应只给 2 分，但第三阶段所列 4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. .”的一个6 分(ⅱ ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.427 ( 14 分 ) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆yx 2 y 2C :a 2b 21 (a b 0) 的左右两个焦点分别为 F 1、F 2 . 过右焦点 F 2 且与 x 轴垂直的直线l 与椭x圆 C 相交，其中一个交点为M 2, 1 .(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设椭圆 C 的一个顶点为B( 0, b ) ，直线 BF 2 交椭圆 C 于另一点 N ，求△ F 1 BN 的面积 .我们把由半椭圆 x2y 2 1 ( x ≥ 0) 与半椭圆 y2x 2 1 ( x ≤ 0) 合成28（本题满分 18 分） a 2 b 2 b 2c 2的曲线称作“果圆”，其中a 2b 2c 2 ， a0 ， b c 0．如图，点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相应椭圆的焦点， A 1 ， A 2 和 B 1 ， B 2 分别是“果圆”与 x ， y 轴的交点．y（1）若 △ F 0 F 1F 2 是边长为 1 的等边三角形，求B 2“果圆”的方程；.F2b（2）当 A 1 A 2B 1 B 2的取值范围；.时，求 aO.xA 1F 0A 2F 1B 15 29 在平面直角坐标系xOy 中，A、B分别为直线x y 2 与x、 y 轴的交点，C为AB 的中点 . 若抛物线y2 2 px ( p 0) 过点C ，求焦点 F 到直线AB 的距离.30 、已知z是实系数方程x22bx c0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z ( Re z, Im z ) .（ 1）若( b, c )在直线2x y 0 上，求证：P z在圆C1：(x 1)2 y2 1上；（ 2）给定圆 C ：( x m) 2 y2 r 2（m、r R ， r 0 ），则存在唯一的线段s 满足：①若P z 在圆C 上，则( b, c )在线段s 上；②若( b, c )是线段s 上一点（非端点），则P z在圆C上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；6近四年上海高考解析几何试题一．填空题 : 只要求直接填写结果，每题填对得4 分，否则一律得零分 .1、双曲线 9x 2 16y 21的焦距是. 562、直角坐标平面xoy 中，定点 A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点 P 轨迹方程 ___。

【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案)一．考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.二．考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.三．基础知识:椭圆及其标准方程椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.⑴范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. ⑵对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.说明⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆的参数方程是.5.椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6. 椭圆的切线方程椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线的简单几何性质双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式，.双曲线的内外部点在双曲线的内部.点在双曲线的外部.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.若渐近线方程为双曲线可设为.若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.双曲线的切线方程双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

全国高考数学试题汇编——解析几何

2022年全国高考数学试题汇编——解析几何(一)1．[2022年全国高考〔山东山西河南河北江西安徽〕·理科数学第7题,文科数学第7题]椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,那么||2PF =〔〕A ．23 B ．3C ．27 D ．42．[2022年全国高考〔山东山西河南河北江西安徽〕·理科数学第8题,文科数学第8题]设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q,假设过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,那么直线l 的斜率的取值范围是〔〕A ．[－21,21] B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]3．[2022年全国高考〔山东山西河南河北江西安徽〕·理科数学第14题,文科数学第15题]由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B,∠APB=60°,那么动点P 的轨迹方程为 .4．[2022年全国高考(四川云南吉林黑龙江)· 理科数学第4题,文科数学第4题]圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称,那么圆C 的方程为〔〕 A ．1)1(22=++y x B ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x5．[2022年全国高考(四川云南吉林黑龙江)· 文科数学第8题]点A 〔1,2〕、B 〔3,1〕,那么线段AB 的垂直平分线的方程是〔〕A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x6．[2022年全国高考(四川云南吉林黑龙江)· 理科数学第8题]在坐标平面内,与点A 〔1,2〕距离为1,且与点B 〔3,1〕距离为2的直线共有〔〕 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 7．[2022年全国高考(四川云南吉林黑龙江)· 理科数学第9题]平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O 〔0,0〕和A 〔1,－2〕在l 上的射影分别是O ′和A ′,那么λ=''A O e ,其中λ=〔〕A ．511 B ．511-C ．2D ．－28．[2022年全国高考(四川云南吉林黑龙江)· 理科数学第14题,文科数学第14题]设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x那么y x z 23+=的最大值是 .9．[2022年全国高考(四川云南吉林黑龙江)· 理科数学第15题,文科数学第15题]设中央在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数, 那么该椭圆的方程是 .10．[2022年全国高考〔陕西广西海南西藏内蒙古〕·理科数学第1题,文科数学第1题]设集合(){}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1,22,(){}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0,2,那么集合N M 中元素的个数为〔〕A ．1B ．2C ．3D ．411．[2022年全国高考〔陕西广西海南西藏内蒙古〕·理科数学第4题,文科数学第5题]圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为〔〕A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x12．[2022年全国高考〔陕西广西海南西藏内蒙古〕·理科数学第7题,文科数学第8题]设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为x y 21±=,那么该双曲线的离心率=e 〔〕A ．5B ． 5C ．25D ．45 13．[2022年全国高考〔陕西广西海南西藏内蒙古〕·文科数学第16题]设P 为圆122=+y x 上的动点,那么点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .14．[2022年全国高考〔陕西广西海南西藏内蒙古〕·理科数学第16题]设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点,那么点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .15．[2022年全国高考〔甘肃贵州宁夏青海新疆〕·理科数学第3题]过点〔－1,3〕且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为〔〕A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 16．[2022年全国高考〔甘肃贵州宁夏青海新疆〕·文科数学第7题]函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A,且点A 的横坐标为2,那么k = ( )A ．41-B ．41 C ．21-D ．21 17．[2022年全国高考〔甘肃贵州宁夏青海新疆〕·文科数学第8题]圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线0443=++y x 与圆C 相切,那么圆C 的方程为〔〕 A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x18．[2022年全国高考〔甘肃贵州宁夏青海新疆〕·理科数学第8题]椭圆的中央在原点,离心率21=e ,且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合, 那么此椭圆方程为〔A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 19．[2022年全国高考〔甘肃贵州宁夏青海新疆〕·理科数学第16题,文科数学第16题]设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 那么y x z +=2的最大值是 . 20．[〔山东山西河南河北江西安徽〕·理科数学第21题(12分),文科数学第22题(14分)]设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.〔I 〕求双曲线C 的离心率e 的取值范围：〔II 〕设直线l 与y 轴的交点为P,且.125PB PA =求a 的值.21．[ (四川云南吉林黑龙江)· 理科数学第21题(12分),文科数学第22题(14分)]给定抛物线C ：y 2=4x ,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.〔Ⅰ〕设l 的斜率为1,求OA 与OB 的夹角的大小；〔Ⅱ〕设AF FB λ=,假设λ∈[4,9],求l 在y 轴上截距的变化范围.22．[〔陕西广西海南西藏内蒙古〕·理科数学第21题(12分),文科数学第22题(14分)]设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0(),0,(2>c c F ,且椭圆上存在一点P ,使得直线1PF 与2PF 垂直. 〔1〕求实数m 的取值范围；〔2〕设L 是相应于焦点2F 的准线,直线2PF 与L 相交于点Q ,假设3222-=PF QF ,求直线2PF 的方程.23．[〔甘肃贵州宁夏青海新疆〕·理科数学第21题(12分),文科数学第22题(14分)]双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c ,直线l 过点〔a ,0〕和〔0,b 〕,且点〔1,0〕到直线l 的距离与点〔－1,0〕到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围.参考答案1．C 2．C 3． x 2 + y 2 = 4 4．C 5．B 6．B 7．D 8．5 9．1222=+y x10．B 11．D 12．C 13．1 14．5 15．A 16．A 17．D 18．A 19．220．[2022年全国高考〔山东山西河南河北江西安徽〕·理科数学第21题(12分),文科数学第22题(14分)]本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的根本思想和综合解题水平. 解：〔I 〕由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得〔1－a 2〕x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a aa e〔II 〕设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根,且1－a 2≠0,1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 21．[ (四川云南吉林黑龙江)· 理科数学第21题(12分),文科数学第22题(14分)]本小题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的根本方法、思想和综合解题水平.解：〔Ⅰ〕C 的焦点为F 〔1,0〕,直线l 的斜率为1,所以l 的方程为.1-=x y将1-=x y 代入方程x y 42=,并整理得 .0162=+-x x设),,(),,(2211y x B y x A 那么有 .1,62121==+x x x x.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x OB OA.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+⋅+=x x x x x x y x y x OB OA.41143||||),cos(-=⋅=OB OA OB OA所以OB OA 与夹角的大小为.41143arccos-π 〔Ⅱ〕由题设AF FB λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ 即⎩⎨⎧-=-==.1212),1(1y y x x λλ由②得21222y y λ=, ∵ ,4,4222121x y x y == ∴.122x x λ=③ 联立①、③解得λ=2x ,依题意有.0>λ∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F 〔1,0〕,得直线l 方程为 ),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或① ②当]9,4[∈λ时,l 在方程y 轴上的截距为,1212---λλλλ或由,121212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在[4,9]上是递减的, ∴,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ 直线l 在y 轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[⋃--22．[〔陕西广西海南西藏内蒙古〕·理科数学第21题(12分),文科数学第22题(14分)]本小题主要考查直线和椭圆的根本知识,以及综合分析和解题水平.解：〔Ⅰ〕由题设有.,0m c m => 设点P 的坐标为),,(00y x 由PF 1⊥PF 2,得,10000-=+⋅-cx y c x y 化简得 .2020m y x =+ ① 将①与112020=++y m x 联立,解得 .1,120220my m m x =-= 由.1,01,0220≥≥-=>m mm x m 得所以m 的取值范围是1≥m . 〔Ⅱ〕准线L 的方程为.1mm x +=设点Q 的坐标为),(11y x ,那么.11mm x +=.1||||00122x m mmm x c c x PF QF --+=--= ②将 mm x 120-=代入②,化简得 .111||||2222-+=--=m m m m PF QF由题设32||||22-=PF QF ,得 3212-=-+m m , 无解.将 mm x 120--=代入②,化简得 .111||||2222--=-+=m m m m PF QF由题设32||||22-=PF QF ,得 3212-=--m m .解得m=2. 从而2,22,2300=±=-=c y x , 得到PF 2的方程 ).2)(23(--±=x y23．[〔甘肃贵州宁夏青海新疆〕·理科数学第21题(12分),文科数学第22题(14分)] 本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的根本性质以及综合运算水平. 解：直线l 的方程为1=+bya x ,即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式,且1>a ,得到点〔1,0〕到直线l 的距离 221)1(ba ab d +-=,同理得到点〔－1,0〕到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式,得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是 .525≤≤e。

2020年高考试题：解析几何

A、 B、 C、 D、
本题解析：双曲线：渐近线：。
与联立得到：；与联立得到：。
，，的方程：。
到直线的距离：。。
焦距的最小值是。
训练八：2020年高考数学新课标Ⅱ卷文科第19题理科第19题：已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合。过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且。
：
。联立和圆得到：。
，，
的方程：
。
训练六：2020年高考数学新课标Ⅱ卷文科第8题理科第5题：若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）
A、 B、 C、 D、
本题解析：假设：圆的方程为：，圆心，半径。
圆与两个坐标轴相切整个圆只能在一个象限，圆过点整个圆在第一象限
，。
。
（Ⅱ）文科：。
椭圆的四个顶点，，，，，
，，，。
抛物线：的准线。
到准线的距离：；
到准线的距离：；
到准线的距离：；
到准线的距离：；
的四个顶点到的准线距离之和为
，
椭圆的方程为。抛物线的方程为。
（Ⅱ）理科：椭圆。
联立椭圆和抛物线得到：
十字相乘法计算。
（Ⅰ）求的离心率；
（Ⅱ）文科：若的四个顶点到的准线距离之和为，求和的标准方程。
理科：设是和的公共点，若，求和的标准方程。
本题解析：（Ⅰ）椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，
方程为。过且与轴垂直的直线：。
与联立得到：
，。
与联立得到：，
，，

云南省高考文科解答题：解析几何

云南省高考数学解答题(文科):解析几何一、考试内容和要求直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角与斜率.直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式.两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角.点到直线的距离.用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题.曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程.圆的标准方程和一般方程.圆的参数方程.考试要求：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域.(4)了解线性规划的意义，并会简单的应用.(5)了解解析几何的基本思想，了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。

理解圆的参数方程.圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.考试要求：(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的初步应用.二、201x年高考解析几何分析与预测：解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一.直线和圆锥曲线位置关系问题是解析几何问题大题的难点问题，通常学生在解决直线和圆锥曲线问题上，往往要做三步，一就是联立方程组，二就是求判别式，并且判别符号..第三，运用韦达定理，如果这三步做完了，就是解不等式，或者求函数的值域或定义域的问题了. 具体如下：(1)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、切线)的研究与讨论仍然是重中之重.由于导数的介入，抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”. (2)抛物线、椭圆与双曲线之间关系的研究与讨论也将有所体现.(3)与平面向量的关系将进一步密切，许多问题会“披着”向量的“外衣”. (4)函数、方程与不等式与《解析几何》问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”.(5)有几何背景的圆锥曲线问题一直是命题的热点.(6)数列与《解析几何》问题的携手是一种值得关注的动向.求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题.重点题型要熟练掌握，如：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥. （3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决;<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值（5）求曲线的方程问题<1>曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决； <2>曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）三. 2003年—2014年云南省高考圆锥曲线解答题汇总1、 (2003年本小题满分14分)设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y 上，l 是AB 的垂直平分线，3（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；（Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.2、（2004年本小题满分12分）给定抛物线C ：x y 42=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）设l 的斜率为1，求OA 与OB 的夹角的大小；（Ⅱ）设AF FB λ=，若]9,4[∈λ，求l 在y 轴上截距的变化范围.3、( 2005年本小题满分14分)P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆，y x 上1222=+F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线, MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF ，求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 4、（2006年本小题满分１２分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ,（I ）证明AB FM ⋅为定值；（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值.5、（2007年本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O为圆心的圆与直线4x -=相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使||PA ，||PO ，||PB 成等比数列，求PB PA ⋅的取值范围．6、（2008年本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值.7、（2009年本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1是，坐标原点O 到l 的距离为22（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。

全国高考文科数学试题解析几何

高考文科数学真题分类汇编：解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程６.[２01４·福建卷] 已知直线l 过圆x 2+（y －3)２=4的圆心,且与直线x ＋y +1＝０垂直,则l 的方程是( ）Ａ.x ＋y －２＝０ B.x -y =2=0 C.ｘ+y －３＝０ D.x －ｙ+3＝020．[201４·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P （２,2），圆Ｃ：ｘ２+ｙ2-8ｙ=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于Ａ，B 两点，线段ＡＢ的中点为M ,Ｏ为坐标原点.(1）求M 的轨迹方程；(2)当｜O Ｐ|＝｜OM ｜时,求ｌ的方程及△POM 的面积．２1．[20１４·重庆卷］如图1-5，设椭圆错误!+错误!＝1（a ＞ｂ>0)的左、右焦点分别为F 1，Ｆ2,点D 在椭圆上，DF 1⊥Ｆ1F 2,｜F 1F ２｜|DF 1|=２错误!,△DF １Ｆ2的面积为错误!. (1)求该椭圆的标准方程.(2)是否存在圆心在ｙ轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在,求出圆的方程；若不存在，请说明理由.图1-5Ｈ2 两直线的位置关系与点到直线的距离18.[2０14·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥ＯA ，规划建一座新桥ＢＣ，同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与ＢＣ相切的圆,且古桥两端Ｏ和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点Ｏ正北方向60 ｍ处,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸),t ａn ∠ＢＣO ＝43．(1）求新桥BC 的长.(2)当O Ｍ多长时,圆形保护区的面积最大?图1-62２.[20１４·全国卷] 已知抛物线C :y 2＝２p ｘ(p ＞0）的焦点为Ｆ，直线y =4与 y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF ｜＝＼f (５,４)｜PQ ｜.（1)求C 的方程；(２)过F 的直线l 与C 相交于A ,Ｂ两点，若ＡB 的垂直平分线ｌ′与C 相交于M ，Ｎ两点，且Ａ，M ,B ，Ｎ四点在同一圆上，求l 的方程．2１.［201４·重庆卷] 如图１-5，设椭圆＼f (x 2，a 2）+＼ｆ(y 2,ｂ2）=1（ａ＞b >0）的左、右焦点分别为F １,F ２,点D 在椭圆上，ＤF 1⊥F 1F 2，|F 1Ｆ2||D Ｆ1｜＝2错误!,△DF 1F 2的面积为错误!. (1)求该椭圆的标准方程.(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程;若不存在，请说明理由.图1-5H3 圆的方程17.[2014·湖北卷］已知圆O ：x 2＋y 2=1和点A （-２，０),若定点B (b ，０)(b ≠－2)和常数λ满足:对圆O 上任意一点M ,都有|MB |=λ|MA |，则(1)b =_＿_＿＿___；(2)λ＝＿_______．2０.[2０１4·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝４的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-5所示）.图1-5(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l :y =ｘ+＼r (3)交于Ａ，B 两点,若△P ＡB 的面积为2，求C 的标准方程.20．[２014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2),圆C ：x ２+ｙ2－8y ＝０,过点P 的动直线l 与圆Ｃ交于A ，B 两点，线段ＡB 的中点为M ，O 为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(２)当｜ＯＰ｜=|OM｜时,求ｌ的方程及△POM的面积．Ｈ4 直线与圆、圆与圆的位置关系5.[2014·浙江卷] 已知圆x2＋ｙ2＋2ｘ-２ｙ+a＝０截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A．-2 B.－4Ｃ．-６ D.-８６．[2０14·安徽卷]过点Ｐ(-错误!，-１)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线ｌ的倾斜角的取值范围是()A．错误! B.错误! C.错误!D．错误!7.［2０14·北京卷] 已知圆C：(x－３)2＋(ｙ－4)2＝1和两点Ａ(－m,0），Ｂ（ｍ，0)(m ＞0).若圆C上存在点P,使得∠ＡＰＢ＝90°，则m的最大值为()A．7 B．6C．５Ｄ．411．[201４·福建卷]已知圆Ｃ：(ｘ－ａ)2＋(y-b）2＝1，平面区域Ω：错误!若圆心C∈Ω,且圆C与ｘ轴相切,则a2+ｂ2的最大值为()A．5 B．２9 C.37D．4921．［2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点Ｆ(0，1)的距离比它到直线y=－3的距离小2.(1）求曲线Γ的方程.（2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C，过点A作圆Ｃ的切线,切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论．6．[2０1４·湖南卷］若圆Ｃ１:x2＋y2＝１与圆C２:x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切,则m＝（)A．２1 B．１9 C.9 D．－１１9．[２014·江苏卷］在平面直角坐标系ｘOy中，直线x+２ｙ-3=0被圆(x-2)2+(y＋１)2=4截得的弦长为___＿____．16.、[2014·全国卷］直线ｌ1和l 2是圆x 2＋y 2=2的两条切线.若ｌ1与l 2的交点为(１，3）,则ｌ1与l ２的夹角的正切值等于__＿＿＿___.1２.[201４·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1）,若在圆O :x 2+y ２＝1上存在点N ,使得∠ＯMN =4５°,则x 0的取值范围是（ )Ａ. [－1，1］ B. 错误! C. [－错误!,错误!] D. 错误!20.[2０1４·全国新课标卷Ⅰ］已知点Ｐ（２，2)，圆Ｃ:x 2＋y 2－8ｙ=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.(１)求M 的轨迹方程;(2)当|OP |=|O Ｍ|时,求l 的方程及△POM 的面积.14.[20１４·山东卷] 圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为２３,则圆Ｃ的标准方程为____＿___.14.[2０14·重庆卷］已知直线ｘ-y +a ＝0与圆心为C 的圆ｘ2＋ｙ2+2x -4y －4=0相交于Ａ,B 两点,且A Ｃ⊥ＢＣ,则实数a 的值为＿___＿_＿_.9.［2０１4·四川卷］设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my ＝0和过定点Ｂ的动直线ｍx -y －ｍ＋3=０交于点P (x ，ｙ)，则|ＰA |＋|PB |的取值范围是( )A ．［错误!,２错误! ] B.[错误!,2 错误! ] C.[错误!，４错误! ] D.［2错误!,4 5 ]21.[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆＼ｆ(ｘ２,a 2)＋错误!＝1(a >ｂ＞０)的左、右焦点分别为F １,F 2，点D 在椭圆上,D Ｆ１⊥F 1Ｆ２，｜F 1Ｆ２｜｜ＤF 1|=2错误!,△DF 1F ２的面积为错误!. （1)求该椭圆的标准方程．（2)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在，求出圆的方程;若不存在，请说明理由．图1-5H5 椭圆及其几何性质20.[2014·安徽卷] 设函数f (ｘ)=1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中ａ>０.(1)讨论f(x）在其定义域上的单调性；(２)当x∈[0，1]时,求f(ｘ)取得最大值和最小值时的x的值．19.[201４·北京卷] 已知椭圆C:x2＋2y２=4.(1)求椭圆Ｃ的离心率;（2)设O为原点,若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥ＯB,求线段AB长度的最小值.２0．[２０14·广东卷］已知椭圆C:＼f(x２,ａ２)+错误!＝1(ａ>ｂ＞０)的一个焦点为(错误!,0),离心率为错误!.(１)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(ｘ０，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆Ｃ的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2０．［２０14·湖南卷] 如图１-5所示，O为坐标原点,双曲线C1：错误!－错误!＝1（a1＞0,ｂ１>０)和椭圆C2：错误!＋错误!=１（ａ２＞b２＞0)均过点P错误!，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（1)求C１,C２的方程．(2)是否存在直线ｌ，使得l与C1交于A，Ｂ两点,与C2只有一个公共点，且|错误!＋错误! |＝|ＡＢ| ？证明你的结论.图１-517．[2０14·江苏卷] 如图1-５所示,在平面直角坐标系ｘOy中，Ｆ1,F2分别是椭圆ｘ2 a2＋错误!=１（ａ>b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为（０，ｂ)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点Ａ作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为错误!，且BF2＝错误!，求椭圆的方程;（2）若Ｆ１C⊥AB,求椭圆离心率e的值.图1-5１4.［２0１4·江西卷] 设椭圆Ｃ：错误!+错误!=1(a >b ＞0)的左右焦点分别为Ｆ1,F 2,过Ｆ2作x 轴的垂线与C 相交于A ,Ｂ两点，Ｆ1B 与ｙ轴相交于点D .若AD ⊥F 1Ｂ，则椭圆C 的离心率等于_＿_＿____．20.[2０1４·辽宁卷］圆x ２＋y ２=4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时,切点为P (如图１-5所示).图1-５(1）求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点Ｐ,且与直线l ：y ＝x +错误!交于A ,B 两点，若△P AB 的面积为２,求C 的标准方程．9.［2０14·全国卷］已知椭圆C ：错误!+错误!=1(a >ｂ>0)的左、右焦点为F 1,F 2,离心率为错误!，过F 2的直线l 交C 于Ａ，B 两点．若△AF 1Ｂ的周长为４错误!,则C 的方程为（ )A ．x 23+＼f (y 2,2）=１ B.x 2３＋ｙ２=1 C.错误!＋错误!=１ D.错误!＋错误!=1 ２0．［201４·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：错误!+错误!＝１(a >b ＞0)的左、右焦点，Ｍ是C 上一点且MF ２与x 轴垂直．直线ＭF 1与Ｃ的另一个交点为N ．(1)若直线ＭN 的斜率为３4,求C 的离心率; (2)若直线ＭN 在y 轴上的截距为2，且|M Ｎ|=5|F １N |，求a ，ｂ.21.［2014·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :＼f (x 2，a ２)＋错误!=１(a ＞ｂ>0）的离心率为错误!,直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为错误!．(1)求椭圆C 的方程．(２）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ,N 两点．(ｉ)设直线BD ，AM 的斜率分别为k １，k 2,证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； (ii ）求△O ＭN 面积的最大值．20．[２0１4·陕西卷］已知椭圆错误!+错误!＝１（a >b ＞０)经过点(0,错误!），离心率为１２,左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F ２（c ,0). (１)求椭圆的方程；(2）若直线l :y =-＼f (1，2)x +ｍ与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足错误!=错误!,求直线l 的方程.图1-520.[２01４·四川卷] 已知椭圆C :错误!＋错误!＝1（ａ>b >0）的左焦点为Ｆ(－2,０)，离心率为错误!.(1）求椭圆Ｃ的标准方程;(２)设O 为坐标原点，T 为直线x =－3上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P ,Q .当四边形OPT Ｑ是平行四边形时,求四边形ＯPTQ 的面积．18．[2014·天津卷］设椭圆错误!＋错误!=1（a >b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2,右顶点为A ,上顶点为Ｂ．已知|A Ｂ｜＝错误!|Ｆ１F ２|．（1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段P Ｂ为直径的圆经过点Ｆ1，经过点Ｆ2的直线l 与该圆相切于点M ,|ＭF 2｜＝22,求椭圆的方程．H6 双曲线及其几何性质８．[２014·重庆卷] 设F 1,F 2分别为双曲线错误!-错误!＝1(a ＞0,b >0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得(|P Ｆ1|－|PF ２|)2=b 2－３ａｂ，则该双曲线的离心率为( )A.＼ｒ(２)B.＼r （1５） C ．４ D.＼ｒ(1７)10.[２014·北京卷] 设双曲线C 的两个焦点为（-错误!,0),（错误!，０)，一个顶点是（１,0)，则C 的方程为__＿_____．8.[２01４·广东卷] 若实数ｋ满足0<k <5,则曲线＼f (x ２,16)-错误!=1与曲线错误!-错误!＝1的( )A.实半轴长相等 B ．虚半轴长相等 C.离心率相等Ｄ.焦距相等８．[２０14·湖北卷] 设ａ，ｂ是关于t 的方程t 2cos θ＋t si ｎ θ＝０的两个不等实根，则过A (a ,a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线错误!-错误!=１的公共点的个数为（）A ．0B ．1 Ｃ．2 D.317．[2014·浙江卷] 设直线x -3y +m ＝0(m ≠0)与双曲线＼f （x ２,ａ2)-＼f (ｙ２,b 2)＝１(ａ>０，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B ．若点P (m ，０)满足｜P A |＝|P Ｂ｜，则该双曲线的离心率是＿＿_____＿.9.[２014·江西卷] 过双曲线Ｃ：错误!－错误!＝1的右顶点作ｘ轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为４的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为（ )A.ｘ24－＼f (ｙ2,１2)＝1 Ｂ.x 2７－错误!=１Ｃ.错误!-错误!＝１Ｄ.错误!－错误!＝111．[2014·全国卷] 双曲线C ：错误!-错误!＝1（a ＞0，b >0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3，则Ｃ的焦距等于( )A.２ B ．2 错误! C.4 D ．4 错误!4．［2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线＼f （x 2，ａ２)－错误!＝１(a >0）的离心率为２，则a =（ )Ａ.２ B.错误! C.错误! D.115．［2014·山东卷］已知双曲线x ２a 2－ｙ2b ２＝1（a ＞0,b >0）的焦距为2c ，右顶点为Ａ，抛物线ｘ2＝２py (p >０)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |=c ,则双曲线的渐近线方程为________.1１.[201４·四川卷] 双曲线 x 2４－y 2=１的离心率等于＿___＿___. 6.[2０1４·天津卷] 已知双曲线错误!－错误!=1(a ＞０,b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y =2ｘ＋１0,双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ）A.x 25－y ２20=1 B ．错误!-错误!=1 C.错误!－错误!=1 D.错误!－错误!=１H7 抛物线及其几何性质１0．[２014·四川卷] 已知F 为抛物线y 2＝ｘ的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于ｘ轴的两侧,错误!·错误!＝２(其中O 为坐标原点)，则△A ＢO 与△ＡF Ｏ面积之和的最小值是( )A.2B.3 Ｃ.错误! Ｄ.错误!3.[2014·安徽卷］抛物线y ＝14ｘ2的准线方程是（ ) A.ｙ＝－１ B.y ＝－２Ｃ.x ＝-1 D.x =-2１1．[２014·广东卷］曲线y =-5e x ＋3在点(0，-2)处的切线方程为＿_＿＿____．22.[2０14·湖北卷］在平面直角坐标系xO ｙ中,点M 到点F （1，0)的距离比它到ｙ轴的距离多１.记点M 的轨迹为Ｃ.(1)求轨迹Ｃ的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1),求直线l 与轨迹Ｃ恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.14．［2014·湖南卷］平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0）的距离和到直线x =－1的距离相等.若机器人接触不到过点P （-1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是____＿_＿_.20．［20１４·江西卷] 如图1-2所示,已知抛物线Ｃ:x 2＝4y ，过点Ｍ(0,２)任作一直线与C 相交于A ,B 两点，过点Ｂ作y 轴的平行线与直线AO 相交于点Ｄ(Ｏ为坐标原点)．(1)证明：动点Ｄ在定直线上.(２)作C 的任意一条切线ｌ（不含x 轴),与直线y ＝２相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2．证明：｜ＭN 2|2－｜MN １｜2为定值，并求此定值.图1-28．［2014·辽宁卷] 已知点Ａ(-2，３)在抛物线Ｃ:y ２=２px 的准线上,记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A.-错误!B.－1 Ｃ.-错误! D.-错误!22．[２014·全国卷］已知抛物线C ：ｙ2＝２px (p ＞0)的焦点为F ，直线ｙ＝4与 y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF |=错误!|P Ｑ|.(１)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ,N 两点,且A，Ｍ，Ｂ，N四点在同一圆上，求l的方程.10．[2014·新课标全国卷Ⅱ］设Ｆ为抛物线Ｃ:y2＝３x的焦点,过Ｆ且倾斜角为3０°的直线交Ｃ于A,B两点,则｜AＢ|＝()A.错误!B．6 C．12 Ｄ．7错误!10.［20１4·全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线C:y2=x的焦点为F，A(ｘ0,ｙ0)是C上一点，|ＡF|=5４x0,则x0＝（)Ａ．1 B．2 C.4 D．815.[２0１4·山东卷］已知双曲线x2ａ2－错误!=1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A,抛物线x2=2ｐy(ｐ>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为２ｃ，且|FＡ|＝c，则双曲线的渐近线方程为__＿___＿_.11．[２014·陕西卷]抛物线y2＝4x的准线方程为＿_______．22.[2０14·浙江卷] 已知△ABP的三个顶点都在抛物线Ｃ:x2＝4ｙ上,F为抛物线C的焦点,点M为AＢ的中点,错误!＝３FM．图1-6(1)若|PF|＝3,求点M的坐标；(2)求△ＡＢP面积的最大值．H8 直线与圆锥曲线（AB课时作业）20．[2014·安徽卷] 设函数f(x)=１＋(1＋a)ｘ-x2－x3，其中a>０．(1)讨论ｆ（ｘ)在其定义域上的单调性;(２）当x∈[0,1]时,求f（x)取得最大值和最小值时的ｘ的值．19.［2014·北京卷] 已知椭圆Ｃ:x2+2y２＝4.(1）求椭圆C的离心率；(2）设O为原点,若点A在直线y＝2上，点B在椭圆Ｃ上,且ＯA⊥OB,求线段AB长度的最小值.22.[201４·浙江卷] 已知△ABＰ的三个顶点都在抛物线Ｃ:x2＝4y上，F为抛物线Ｃ的焦点,点M 为ＡＢ的中点,ＰF ，→=3ＦＭ．图1-６（1)若|PF ｜＝３，求点Ｍ的坐标；(2）求△A ＢP 面积的最大值．20.[20１4·广东卷] 已知椭圆C :＼ｆ(x 2,a 2)+错误!＝1（a >ｂ>０)的一个焦点为(错误!,0)，离心率为错误!．(1)求椭圆C 的标准方程；(２)若动点Ｐ（x 0，y 0)为椭圆Ｃ外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点Ｐ的轨迹方程．8.[20１4·湖北卷] 设a ,b 是关于t 的方程ｔ2co ｓ θ＋ｔs ｉn θ＝0的两个不等实根，则过Ａ(a ,ａ2）,B （b ,b 2)两点的直线与双曲线x 2co ｓ2θ-ｙ2sin 2θ=1的公共点的个数为（ ) A.0 B.1 C ．2 D ．３2２.[20１4·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy 中,点Ｍ到点F (1，0)的距离比它到ｙ轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .（1)求轨迹Ｃ的方程;(２)设斜率为ｋ的直线l 过定点P (-2，1),求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时ｋ的相应取值范围．14．［201４·湖南卷] 平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，０)的距离和到直线x =-1的距离相等.若机器人接触不到过点P (-１,０)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是＿_＿_____．17．[2014·江苏卷] 如图１-5所示，在平面直角坐标系xO ｙ中，F 1,F 2分别是椭圆＼f (x ２,a 2)+＼ｆ(y ２，b 2）＝１（a ＞b ＞0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为(０，b ）,连接BF 2并延长交椭圆于点Ａ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连接F 1Ｃ．(1）若点C 的坐标为错误!，且BF ２＝错误!，求椭圆的方程;(２)若F １C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.图１-５15．［2014·辽宁卷］已知椭圆Ｃ：＼ｆ(x２,9)＋错误!＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于Ｃ的焦点的对称点分别为Ａ，B，线段MN的中点在C上,则|AN|＋|BN|＝__＿_＿___．2０.[2014·辽宁卷］圆x2＋y2=4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时,切点为Ｐ(如图1-5所示）．图1-5(１)求点P的坐标;（2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+＼r(3)交于Ａ,B两点,若△P AＢ的面积为２,求C的标准方程．22.[2014·全国卷] 已知抛物线C：ｙ2=2ｐx(ｐ＞０)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Ｑ，且|QF|=54｜PQ｜．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A，Ｂ两点,若ＡB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点，且A，M,Ｂ，Ｎ四点在同一圆上，求l的方程.20.［201４·新课标全国卷Ⅱ] 设Ｆ1,F2分别是椭圆C:ｘ2ａ2+＼ｆ(y2，ｂ2)＝1（a＞b＞0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与ｘ轴垂直．直线ＭF1与Ｃ的另一个交点为Ｎ.(1)若直线MＮ的斜率为＼f(3，4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MＮ|=5｜F1Ｎ|，求a,ｂ.２1.[２014·山东卷] 在平面直角坐标系xOｙ中,椭圆C:＼f(ｘ2,ａ２)＋y2b２=1(ａ>b＞0)的离心率为错误!,直线ｙ＝x被椭圆Ｃ截得的线段长为错误!．（１)求椭圆C的方程．(２）过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C 上,且AD⊥ＡＢ，直线ＢD与ｘ轴、y轴分别交于M,Ｎ两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，ｋ2，证明存在常数λ使得ｋ1＝λk２，并求出λ的值；(iｉ)求△ＯMN面积的最大值．20.[２0１4·陕西卷］已知椭圆x2a２+＼f（y2，b２）=1(a＞b>0)经过点(0,3），离心率为错误!,左、右焦点分别为F１(-c，0),F２(c,0)．(1)求椭圆的方程;(2）若直线l：y=－错误!x＋m与椭圆交于Ａ，B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足错误!＝错误!,求直线l的方程.图1-5２0．、[2014·四川卷] 已知椭圆C:错误!＋错误!＝1（a＞b>０)的左焦点为F(-2,０)，离心率为＼f(６,3).(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,Ｔ为直线x＝-3上一点，过Ｆ作TF的垂线交椭圆于Ｐ，Q.当四边形ＯPTQ是平行四边形时，求四边形OPTＱ的面积.18.[201４·天津卷] 设椭圆＼f(x2,a２）+＼f(y2,ｂ2)＝1(a>b＞0)的左、右焦点分别为F１,Ｆ２，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝＼r(３)2｜F１F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点Ｆ1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=22，求椭圆的方程.H9 曲线与方程12.[2０1４·福建卷] 在平面直角坐标系中,两点P１(x１，ｙ1），P2(ｘ２，ｙ２)间的“L-距离”定义为||Ｐ1P2||＝｜ｘ1－x2|＋|y1-y2|，则平面内与ｘ轴上两个不同的定点F1,Ｆ2的“L-距离”之和等于定值（大于｜|F1F２||)的点的轨迹可以是()A BＣ D图1-4。

平面解析几何测试题(文科)

平面解析几何测试题(文科)（临朐叶付国王世红）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）1a =“”是“直线x+y =0和直线0x ay -=互相垂直”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件（2）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且||||PB PA =，若直线PA 的方程为01=+-y x ，则直线PB 的方程是（）A ．05=-+y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．072=-+y x（3）直线1y x =-上的点到圆C ：224240x y x y ++-+=的最近距离为（）A. 1B.C.1 D. 1（4）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（）A ．B ．C ．-D ．-（5）若圆22680x y x y +--=的过点(3 5)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．（6）设椭圆1C 的焦点在x 轴上且长轴长为26，且离心率为513；曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ．222211312x y -=（7）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（）A ．14-B ．4-C ．4D ．14（8）.抛物线y x =2的准线方程是（）A.014=+xB.014=+yC.012=+xD.012=+y（9）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4（10）若点P 在抛物线24y x =上，则该点到点(21)Q -，的距离与到抛物线焦点距离之和取得最小值时的坐标为（）A.114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B.114⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.(12)，D.(12)-，（11）.我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球.嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆(地球半径忽略不计).若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ，远地点到地心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m 、2n （近地点是指卫星到地面的最近距离，远地点是最远距离），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（）A.变大B.变小C.不变D.以上都有可能（12）已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于（） A.4. B.5. C.7. D.8. 二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分，共16分．（13）已知实数0a >，直线l 过点22P -(,)，且垂直于向量(3,3)m =-，若直线l 与圆02222=-+-+a a ax y x 相交，则实数a 的取值范围是________________ .（14）已知12, F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于 A B 、两点若2212F A F B +=，则AB = .（15）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是．（16）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共6小题. 共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax . (I) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(Ⅱ) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.（18）（本小题满分12分）已知平面区域00240x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖．(Ⅰ)试求圆C 的方程；(Ⅱ)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,A B ，且满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.（19）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．求证：“若直线l 过点T （3，0），则→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题.（20）（本小题满分12分）已知直线)0(1012222>>=+=-+b a by a x y x 与椭圆相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一点，-=，且M 点在直线1: 2l y x =上. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆122=+y x 上，求椭圆的方程. （21）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，问：是否存在实数k ，使得向量OP OQ+与AB共线？给出判断并说明理由.（22）（本小题满分14分）如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且⋅=⋅（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（1）已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=，求12λλ+的值；（2）求MA MB的最小值．参考答案一、选择题：CADCB AABBD C D 二、填空题（13）82<<a ; （14）8; （15）28y x =; （16）3.三、解答题（17）解：将圆C 的方程012822=+-+y y x 配方得标准方程为4)4(22=-+y x ，则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2. (Ⅰ) 若直线l 与圆C 相切，则有21|24|2=++a a . 解得43-=a . ………………6分(Ⅱ) 解：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++=.221,2,1|24|22222AB DA AC DA CD a a CD 解得1,7--=a . ∴直线l 的方程是0147=+-y x 和02=+-y x . ………………12分（18）解:(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=. ………………6分 (Ⅱ)设直线l 的方程是:y x b =+.因为CA CB ⊥ ,所以圆心C 到直线l,=. 解得:1b =-………………………………11分所以直线l的方程是1y x =-±………………12分（19）解：设过点T(3,0)的直线l 交抛物线22y x =于点A 11(,)x y 、B 22(,)x y . （Ⅰ）当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为3x =,此时, 直线l 与抛物线相交于点A(3,6)（）.B(3,－6)，∴OB OA ⋅=3. …….............4分（Ⅱ）当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y x y k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-. …………………….….6分又 ∵ 22112211,x y x y ==， ∴2121212121()3⋅=+=+= OA OB x x y y y y y y ，………………………………….10分综上所述，命题“若直线l 过点T(3,0)，则OB OA ⋅=3” 是真命题. ………………….12分（20）解：（Ⅰ）由-=知M 是AB 的中点，设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A由02)(:.1,0122222222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+b a a x a x b a b y ax y x 得.22221212222122)(,2ba b x x y y b a a x x +=++-=++=+， ∴M 点的坐标为),(222222b a b b a a ++. …………………………4分又M 点在直线l 上， 02222222=+-+∴b a b b a a . 2222222)(22c a c a b a =∴-==∴， .22==∴a c e ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知c b =，不妨设椭圆的一个焦点坐标为(,0)F b ，设(,0)F b 关于直线l x y 21=上的对称点为),(00y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-+-=⋅--.5453:.0222,1210000000b y b x y b x b x y 解得. ………………10分由已知222200341,()()155x y b b +=∴+=.12=∴b ，∴所求的椭圆的方程为1222=+y x . ………………12分（21）解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① ……………………………………3分直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得k <或k >．即k的取值范围为⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞∞．………………6分（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③ …………………………………9分而(01)()A B AB =，，．所以OP OQ + 与AB共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．………………12分（22）解：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由..QP QF FP FQ =得：(10).(2)(1).(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．……4分（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫--⎪⎝⎭，联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，． ……………………………………………7分由1MA AF λ= ，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y m λ+=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222.y y m y y +=--242.4m m =---0=．……10分（2）解：212.M M MA MB y y y y =--221212(1)()M M m y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2214(2)4216m m ⎛=+++= ⎝≥．当且仅当221m m=，即1m =±时等号成立，所以MA MB ⋅ 最小值为16． ……14分。

高中解析几何试题及答案

高中解析几何试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若点P(2,3)在直线l上，则直线l的方程不可能是（）A. 2x-y+1=0B. x+2y-7=0C. 3x-2y+4=0D. 4x+3y-5=02. 已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=25，圆心C的坐标为（）A. (1,2)B. (-1,-2)C. (3,-2)D. (-3,2)3. 直线2x+y-3=0与x轴的交点坐标为（）A. (3/2, 0)B. (0, 3)C. (3, 0)D. (0, -3)4. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率k为（）A. 1B. -1C. 0D. 无法确定5. 已知点A(1,2)，B(4,6)，则线段AB的中点坐标为（）A. (2,4)B. (3,4)C. (2.5,4)D. (3,3)6. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x，则双曲线C的离心率为（）A. √(1+(b/a)^2)B. √(1-(b/a)^2)C. √(a^2+b^2)D. √(a^2-b^2)7. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若点P(1,2)在抛物线C上，则抛物线C的焦点坐标为（）A. (1,0)B. (0,1)C. (1,1)D. (0,2)8. 已知椭圆C的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，若椭圆C的离心率为e=√3/2，则椭圆C的长轴与短轴之比为（）A. 2:1B. 1:2C. √3:1D. 1:√39. 若直线l的方程为y=kx+b，且直线l过点(1,2)和(2,3)，则直线l的斜率k为（）A. 1/2B. 1C. 3/2D. 210. 已知直线l1: x+y-1=0与直线l2: 2x-y+3=0平行，则直线l1与l2之间的距离为（）A. √5B. 2√5C. √10D. 2√10二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知直线l的方程为3x-4y+5=0，若点P(2,-1)在直线l上，则直线l与x轴的交点坐标为________。

2024年高考数学试题分类汇编07：解析几何

解析几何一、单选题1．（2024·全国）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）2．（2024·全国）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 23．（2024·全国）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．254．（2024·北京）求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A ．23B ．2C ．32D 65．（2024·天津）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=二、多选题6．（2024·全国）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+7．（2024·全国）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题8．（2024·全国）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．9．（2024·北京）已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．10．（2024·北京）已知抛物线216y x =，则焦点坐标为．11．（2024·天津）22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．12．（2024·上海）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．四、解答题13．（2024·全国）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．14．（2024·全国）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.15．（2024·全国）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．16．（2024·北京）已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．17．（2024·天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△．(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．18．（2024·上海）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2,3b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．参考答案：1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 2．C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【解析】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.3．C【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C 4．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【解析】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=221323211++=+，故选：C.5．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得22m =则211222PF PF F F c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ==所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 6．ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a ⨯-=，解得2a =-，故A 正确.对于B 24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.7．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD8．32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x y a b -=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：329．12±【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【解析】联立3x =与2214x y -=，解得52y =，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-，联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12±.10．()4,0【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此即可得解.【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.11．45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），。

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解析几何
（2015~2019年高考文科试题）
【2019全国1】21.已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M 过点,A B 且与直线20x += 相切.
（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；
（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由.
【2019全国2】20. 已知12,F F 是椭圆C ：22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点.
（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；
（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF ∆的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.
【2019全国3】21.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12
y =-上的动点.过D 作C 的两条切线,切点分别是A ,B , （1）证明：直线AB 过定点;
（2）若以5
(0,)2
E 为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求该圆的方程.
【2018全国1】20．设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． ⑴当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；
⑵证明：ABM ABN =∠∠．
【2018全国2】20．设抛物线2
:4
C y x
=的焦点为F，过F且斜率为()0
k k>的直线l与C交于A，B两点，8
AB=．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【2018全国3】20.已知斜率为k的直线l与椭圆
22
1
43
x y
C+=
：交于A，B两点．线段AB的中点为
()()
10
M m m>
，．
⑴证明：
1
2
k<-；
⑵设F为C的右焦点，P为C上一点,且0
FP FA FB
++=．证明:2FP FA FB
=+．
【2017全国1】20.设A ，B 为曲线C ：y =2
4
x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4. （1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.
【2017全国2】20．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
【2017全国3】20．在直角坐标系xOy 中，曲线y =x 2+mx –2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.
【2016全国1】（20）在直角坐标系xOy 中，直线l : y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点
P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .
（1）求OH
ON ；
（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.
【2016全国2】(21) 已知A 是椭圆E ：22
143
x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.
(1)当AM AN =时，求AMN △的面积
(2) 当2AM AN =时，证明：2k <<.
【2016全国3】（20）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.
（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；
（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.
【2015全国1】20.已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22
231x y -+-=交于M ，N 两点. （I ）求k 的取值范围；
（II ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .
【2015全国2】20、已知椭圆C ：22221x y a b
+=（a >b >0）的离心率为2，点（2）在C 上. （1）求C 的方程.
（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.。

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