五年级应用题工程问题1教师版

基本工程问题

知识要点

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一、工程问题：

定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”

工作效率：单位时间内完成的工作量（1÷工作时间）

三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率；

二、解题的思考方法：

解答工程问题时一定要认真审题，弄明白是完成全部工程，还是该工程的部分（即它的几分之几）？有几个人或单位参加工作？他们完成这项工程各自需要多少时间？推

得各自的工效是几分之一？他们是同时开始、同时结束工作的，还是有先有后的？具体

要求什么等等。

因为工程问题的条件可用多种形式提出，有的不以“工程”命题，有的与其他类型的题目结合，这样，工程问题的题目就复杂起来。但复杂是可以向简单转化的，通过一

定的手段，使其变为若干个基本题，解题的基本思路与方法是不变的。因此，只要抓住

工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，细心分析，就能找到解题的途径、步骤和

方法。

三、利用常用常用的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一

般情况下，工程问题求的是时间．

简单工程（工作效率一定）

1.一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？

【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的1

28

，乙每天完成总量的

1

21

，两人合

作每天能完成总量的111

282112

+=，所以两人合作的话，需要

1

112

12

÷=天能够完成．

2.一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？

【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的1

30

，甲、乙合作每天完成总量的

1

12

，

乙单独做每天能完成总量的

111

123020

-=，所以乙单独做

1

120

20

÷=天能完成．

3.（第五届走美杯初赛）甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30分钟打了A材料的1

4

，乙40分钟

打了B材料的2

7

。A、B两份材料中，（填A或B）内容多。

【解析】因为两人速度一样，那么同样的时间内打的字数是一样的，统一两人的时间，甲120分钟可以打

完A材料，乙120分钟可以打B材料的6

7

，所以B材料内容多

4.甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在

甲、乙两人共同生产了

2

2

5

小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问

乙一共加工零件多少个?

【解析】乙单独加工，每小时加工111

81224

-=甲调出后，剩下工作乙需做

21184

(12)

58245

-⨯÷=时所以

乙每小时加工零件

84

42025

5

÷=(个)，则

2

2

5

小时加工

2

25260

5

⨯=(个)，所以乙一共加工零件

420+60＝480(个)．

5.4名工人加工455个零件。开始的4天中有一名工人因事请假1天，结果共加工195个零件。如果以

后无人清假，那么还要天可以完成任务。

【解析】每人每天加工零件195÷(4×4-1)=13(个)，剩下的零件还需加工

(455-195)÷(13×4)=5(天)。

6.一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完

成，问甲做了几天？

【解析】根据题意可知，甲的工作效率为

1

12

，乙的工作效率为

1

9

，采用鸡兔同笼问题的假设法，可知甲

做了

111 (101)()4 9912

⨯-÷-=天．

7. 一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15

天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 【解析】 方法一：甲的工作效率为

120，甲队8天的工作量为12

8205

⨯=，所以乙队15天的工作量为23155-

=，乙的工作效率为31

15525

÷=

，所以乙队单独完成这项工作需要25天 方法二：此题可以用代换法解，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率为甲的4

5

，乙独做的时间为4

20255

÷

=（天）

。

8. 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在

甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 【解析】 先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙

要多做48-28=20（天），由此得出乙的工作效率是甲的3

4

，甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做4

21283

⨯=天因此，乙还要做28+28= 56 （天）

，乙还需要做56天.

9. 一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成，那么

如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？ 【解析】 如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出： 甲+乙120=

， 乙+丙115

=， 乙130=

因此不难得到丙的工作效率为111153030-=，因此三个人的工作效率之和为111

203012+=，也就是说，三个人合作需要12天可以完成。

本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效．但是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了．

10. 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问

甲一人独做需要多少天完成？ 【解析】 设这件工作的工作量是1。甲乙两人合作每天完成

136，甲丙两人合作每天完成1

60

，乙丙两人合作每天完成

145，甲、乙、丙三人合作每天完成11161

()236456018030

++÷==减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成111304590-=

，甲独做需要1

19090

÷=天 答：甲一人独做需要90天完成.

11. 一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可

以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成? 【解析】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是1

8

、

16、1

12

.对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．即1+

1－1=1，甲、丁合作的工作效率为1

．所以，甲、丁两人合