高三复习二项式定理知识点题型方法归纳

高三复习二项式定理知识点题型方法归纳

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绵阳市开元中学高2014级高三复

习

《二项式定理》 知识点、

题型与方法归纳

制卷：王

小凤 学生姓名：___________ 一．知识梳理

1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n

＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n

b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式． 其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的

C r n a

n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1

＝C r n a

n －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .

(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .

(4)二项式的系数从C 0n ，C 1

n ，一

直到C n －1n ，C n n .

3．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即

r n r n n C C -=

(2)增减性与最大值：二项式系数C k n

，当k ＜n ＋1

2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n n

C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1

122n n n

n

C C

-+=取得最

大值．

(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2

n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ；

C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3

n ＋C 5n ＋…＝2

n －1

. 一个防范

运用二项式定理一定要牢记通项T r

＋1＝C r n a

n －r b r ，注意(a ＋b )n

与(b ＋

a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b

有关，可正可负． 一个定理

二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用

(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．

(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质

(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例

【题型一】求()n x y +展开特定项 例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )

解：由条件得C 5n 35＝C 6n 36

，∴

n ！5！（n －5）！

＝

n ！6！（n －6）！

×

3，

∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.

例2：(2014·大纲)⎝ ⎛⎭⎪⎫x

y

－y x 8的展

开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答)

解：⎝ ⎛⎭⎪⎫x

y

－y x 8展开式的通项

公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x r ＝()33842

2

8

1r r r

r C x y ---，

令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时3

2r

－4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70.

【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项

例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74

B ．121

C ．－74

D ．－

121

解析 展开式中含x 3项的系数

为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 3

7(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.

【题型三】求()()m n a b x y +⋅+展开特定项

例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已

知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )

A.－4

B.－3

C.－2

D.－1

解：(1＋ax )(1＋x )5的展开式

中x 2项为C 25x 2＋ax ·

C 1

5x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.

∵x 2

的系数为5， ∴10＋5a

＝5，a ＝－1.故选D.

例2：(2014·浙江卷)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )

A ．45

B ．60

C ．

120

D ．210

解析 在(1＋x )6

的展开式中，

x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展

开式中，y n 的系数为C n 4，故

f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝

C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例3：已知数列{}n a 是等差数列，且6710a a +=，则在

1212()()

()x a x a x a ---的展开式

中，11x 的系数为_______.

解：

11x 的系数为

121267()6()60

a a a a a -++

+=-+=-。

【题型四】求()n x y z ++展开特定项

例1：求⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋1x ＋25

(x >0)的

展开式经整理后的常数项.

解法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25

在x ＞0

时可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2

＋1x 10

，

因而T r ＋1＝C r 10⎝ ⎛⎭

⎪⎫1210－r ()x 10－2r

，则r ＝5时为常数项，即C 510·⎝ ⎛⎭

⎪⎫125＝6322. 解法二：所给的式子为三项式，采用两个计数原理求解. 分三类：①5个式子均取2，

则C 5

5()25＝42；

②取一个x 2，一个1

x ，三个

2，则C 15⎝ ⎛⎭

⎪⎫12C 1

4()23＝202；

③取两个x 2，两个1

x ，一个

2，则C 25⎝ ⎛⎭

⎪⎫122C 232＝1522. 所以，常数项为42＋202＋1522＝6322.

点拨：三项式的展开式问题，通常可用解法一化为二项式问题，或用解法二化为计数问题.