专题二 微积分问题专题(解析解及级数展开求和)

解 由题意知，前 5 年的总产量为
Q( t )
5 0
3 2 ( 70 t 1 0 t dt ) 10
clear syms t Q Q=int(70+10*t-3/10*t^2,t,0,5)
例 已知某产品的边际成本和边际收入分别为
C ( x ) x 2 4 x 6, R( x ) 105 2 x
– 格式2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘right’)
• 例: 求极限
• >> syms x a b; >> f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); >> L=limit(f,x,inf)
• 例:求极限
>> syms x; >> limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
>> m=1:10000000; s1=sum(1./((3*m-2).*(3*m+1)));%数值计算方法 >> format long; s1
例:求
>> syms m n; limit(symsum(1/m,m,1,n)log(n),n,inf)
>> vpa(ans, 70) % 显示 70 位有效数字
例：求
x sin x I1 dx 1 cos x 1 cos x
和
cos x x2 I2 2x ln 2 x
并画出 I1 x sin x dx 的积分曲线族
syms x C fx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I1=int(fx,x)+C ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2); plot(xx,subs(fx,xx),'k','LineWidth',2) hold on for c=0:6 y=inline(subs(I1,C,c)); plot(xx,y(xx),'LineStyle','--'); end legend('函数曲线','积分曲线族',8)
专题二
微积分专题
• 预备知识：符号运算 • 微积分问题的解析解 • 函数的级数展开与级数求和问题求解
两个数学分析的可视化界面:
图示化符号计算器 (funtool):可以定义函 数，然后看到函数图像. 泰勒级数逼近分析界面(taylortool):用于 观察函数f(x)在给定区间被N阶泰勒多项式 Tn(x)逼近的情况
且固定成本为 100。 其中 x 为销售量 .当销售量为多 少时有最大利润？最大利润是多少？
解 利润函数为
L( x) R( x ) C( x)
令 L( x) R( x) C ( x) 0
>> clear syms x dR dC dL dR=105-2*x;dC=x^2-4*x+6;dL=dR-dC x0=solve(dL)
>> x=10000,c=1200-2*x^(1/2)-1/2000*x x= 10000 c= 995 所以有总成本函数为
1 C( x) 2 x x 995 2000
例
已知某产品总产量的变化率为
3 2 ，求前 5 年 Q( t ) 70 10t t （单位：年） 10
的总产量。
符号常量
• 当数值常量作为sym( )的输入参量时， 就建立了一个符号对象——符号常量。 • 虽然看上去是一个数值量，但已经是一 个符号对象了。 >>c=sym(3/4); d=sym('3/4');
一. 微积分问题的解析解
1 极限问题的解析解
1.单变量函数的极限
– 格式1： L= limit( fun, x, x0)
3.2 定积分与无穷积分计算:
–格式： I=int(f,x,a,b)
–格式： I=int(f,x,a,inf)
• 例： f ( x) e
x2 / 2
>> syms x; I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5) ％无解
其中，
2 erf ( x)

x
0
e dt
t 2
>> clear syms x dR dC dL dR=105-2*x;dC=x^2-4*x+6;dL=dR-dC x0=solve(dL)
由问题的实际意义解得驻点 x0 11 , 即销售量为 11 时利润最大. 最大利润为 L L( x )dx 0
11
在 MATLAB 窗口中输入 >> L=int(dL,x,0,11) L= 2299/3 所以最大利润为 766.3.
是误差函数
>> I2=int(exp(-x^2/2),x,0,inf)
例 求椭球 的体积 >>syms a b c z; f=pi*a*b*(c^2-z^2)/c^2; V=int(f, z, -c, c)
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
二. 函数的级数展开与 级数求和问题求解
2 函数导数的解析解
2.1函数的导数和高阶导数
– 格式： y=diff(fun,x) %求导数(默认为1阶) y= diff(fun,x,n) %求n阶导数
• 例：
一阶导数： >> syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); >> f1=diff(f); pretty(f1)
原函数及一阶导数图： >> x1=0:.01:5; >> y=subs(f, x, x1); >> y1=subs(f1, x, x1); >> plot(x1,y,x1,y1,‘:’) • 原函数4阶导数 >> f4=diff(f,x,4); pretty(f4)
本是 1200 元，求总成本函数 .
解 由题意知要求总成本函数为
C ( x ) x (
1 2
1 dx ) 2000
>> syms x y >> int(x^ (-1/2)+1/2000,x) ans = 2*x^ (1/2)+1/2000*x 即
1 C( x) 2 x x C ，将 x 10000 代入得 2000
• 2.1 Taylor 幂级数展开
• 2.2 Fourier 级数展开 • 2.3 级数求和的计算
2.1 单变量函数的 Taylor幂级Fra bibliotek展开例:
>> syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); >> y1=taylor(f,x,9);
2.2 Fourier 级数展开
function [A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b) if nargin==3, a=-pi; b=pi; end L=(b-a)/2; if a+b, f=subs(f,x,x+L+a); end％变量区域互换 A=int(f,x,-L,L)/L; B=[]; F=A/2; for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; A=[A, an]; B=[B,bn]; F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L); end if a+b, F=subs(F,x,x-L-a); end ％换回变量区域
符号变量
• 符号变量是内容可变的符号对象。 • 符号变量通常是指一个或几个特定的字 符，不是指符号表达式，甚至可以将一 个符号表达式赋值给一个符号变量。 • 符号变量有时也称自由变量，它的命名 规则和数值变量的命名规则相同。 • 相关指令为： sym( ) 和 syms( ) >>a=sym('a')
• 例:证明
>> syms a x; f=int(x^3*cos(a*x)^2,x) f1=x^4/8+(x^3/(4*a)-3*x/(8*a^3))*sin(2*a*x)+... (3*x^2/(8*a^2)-3/(16*a^4))*cos(2*a*x); >> simple(f-f1) % 求两个结果的差
lim
x
3 积分问题的解析解
3.1 不定积分的推导：
–格式： F=int(fun,x)
例： • 用diff() 函数求其一阶导数，再积分，检验是否可 以得出一致的结果。 >> syms x; y=sin(x)/(x^2+4*x+3); y1=diff(y); >> y0=int(y1); • 对原函数求4 阶导数，再对结果进行4次积分 >> y4=diff(y,4); >> y0=int(int(int(int(y4))));
例:
>> syms x; f=x*(x-pi)*(x-2*pi); [A,B,F]=fseries(f,x,6,0,2*pi)
2.3 级数求和的计算
在MATLAB中，用于级数求和的命令的应用格式为： symsum(comiterm,v,a,b) 其中： comiterm为级数的通项表达式， v是通项中的求和变量， a和b分别为求和变量的起点和终点。如果a，b缺省， 则v从0变到v-1，如果v也缺省，则系统对comiterm 中的默认变量求和。
2.多变量函数的极限：
–格式： L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或 L1=limit(limit(f,y,y0), x,x0)
如果x0 或y0不是确定的值，而是另一个 变量的函数，如x->g(y)，则上述的极限求 取顺序不能交换。
• 例：求出二元函数极限值
>> syms x y a; >> f=exp(-1/(y^2+x^2)) … *sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2); >> L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf)
练习题 1 求以下极限
lim
x 0
1 1 x e x cos x
2
lim
x 0
1 e1/ x x e1/ x
lim
x 0
a b ( ) 2
x x
3 x
lim
x
3x 2 5 2 sin( ) 5x 3 x
1 1 x
kx
lim
x0
1 1 ( 2 ) x x t an x
例：求级数
2n 1 I1 n 2 n 1

1 I2 n 1 n(2n 1)

sin x I3 2 n 1 n

，
n x I 4 (1)1 n n 1

案例 某产品边际成本函数
C ( x ) x
1 2
1 ，且知 10000 件产品的总成 2000
例:计算
>> format long; sum(2.^[0:63]) %数值计算
>> sum(sym(2).^[0:200]) % >> syms k; symsum(2^k,0,200)
例:试求解无穷级数的和
>> syms n; s=symsum(1/((3*n-2)*(3*n+1)),n,1,inf) %采用符号运算工具箱