幂级数求和

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幂级数求和问题20150611

0 x 2
从而
n 1 1 n (n 1)( ) n 2 n＝0 2 n＝0 1 | 4. 2 x 1 1 2 (2 x )

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1011A 例6.
的和函数
n 并求 n1 的值. n 1 2

解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发散,
x

定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
(1) n1 2 n1 f ( x) x , 4 n 0 2 n 1

1 x 1
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常用已知和函数的幂级数
1 n (1) x ; 1 x n 0 1 2n (3) x ; 2 1 x n 0
x x 1 x n 1
n

n n 1 2 n 1

1 x ( ) (1 x) 2 1 x
4
n在分子上先积后导
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1011A 例6.
的和函数
n 并求 n1 的值. n 1 2
若幂级数在收敛域上连续．
的收敛半径
则其和函
若幂级数在收敛区间的左端点 x R 收敛, 则其和函
x R n 0
在收敛区间的左端点 x R 右连续,
n x R
lim S ( x ) an ( R )
lim S ( x ) an R n
n 0

若幂级数在收敛区间的右端点 x R 收敛, 在收敛区间的右端点 x R 左连续, 说明：这一性质在求某些特殊的数项级数之和时，非则其和函常有用。

幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结

常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。

中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。

这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。

而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。

同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。

到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。

中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。

而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。

它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。

幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。

但很多人往往对这一内容感到困难。

产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。

事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。

一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈!为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。

2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑称为在点0x 处的幂级数。

求幂级数的和函数

幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。

求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。

以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。

二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。

积分总是从收敛中心到x积分。

解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。

三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。

解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。

四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。

一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。

因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。

需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。

求级数的和的方法总结

求级数的和的方法总结求解级数的和是数学中常见的问题之一、在数学中，级数是由一系列项组成的无穷序列，而求解级数的和就是对这些项进行求和运算得到的结果。

级数求和方法的总结如下：一、等差级数求和：等差级数是指级数中每一项与前一项之差都是相等的级数，求等差级数的和的方法包括以下几种：1. 公式法：等差级数和的公式为Sn = (n/2)(a1+an)，其中n为级数的项数，a1为第一项，an为第n项。

通过代入这些值即可求得。

2. 差分法：将等差级数分解为两个等差数列之和，然后分别求和。

例如，Sn = (n/2)(a1+an) = (n/2)(a1+(a1+d(n-1))) = (2a1+d(n-1))(n/2) = (2a1+2d(n-1))(n/4) = 2(a1+d(n-1))(n/4)。

二、等比级数求和：等比级数是指级数中每一项与前一项之比都是相等的级数，求等比级数的和的方法包括以下几种：1. 公式法：等比级数和的公式为Sn = (a1 - an*r)/(1-r)，其中n为级数的项数，a1为第一项，an为第n项，r为公比。

通过代入这些值即可求得。

2. 求和法：当公比r在-1到1之间时，等比级数和的求和公式可以通过不断地相加前n项来逼近真实值。

即Sn = a1/(1-r) - an*r/(1-r)。

三、收敛级数求和：收敛级数是指级数在求和过程中会逐渐趋于一个有限的值的级数。

常用的收敛级数求和方法主要有以下几种:1. 逐项求和法：如果级数每一项能够逐项求和，那么可以通过逐项求和来求得级数的和。

例如，级数Sum(1/n^2) = 1/1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ...，可以通过逐项求和将级数的每一项相加来得到和。

2. 极限求和法：如果级数满足级数的通项能够构造成一个已知数列，那么可以通过求出这个数列的极限来得到级数的和。

例如，级数Sum(1/n) = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...，通过求出数列1/n的极限为0，可以得知级数的和为无穷大。

求幂级数的和函数

求幂级数的和函数求幂级数的和函数幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。

当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。

ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。

iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；21132、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。

需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定5261出错。

扩展资料幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。

例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。

关于数项级数求和的几种特殊方法

关于数项级数求和的几种特殊方法数项级数是指由一系列数相加所得的无穷级数。

求解数项级数的和是数学中的一个基本问题，涉及到许多特殊的求和方法。

以下将介绍几种常见的数项级数求和方法。

1.等差数列求和法：如果数项级数的通项形式是等差数列(an = a0 + nd)，其中a0为首项，d为公差，n为项数，则可以用等差数列的求和公式来求和。

求和公式为Sn = (n/2)(a0 + an)。

2. 几何级数求和法：如果数项级数的通项形式是几何级数(an =ar^n)，其中a为首项，r为公比，n为项数，则可以用几何级数的求和公式来求和。

当，r，<1时，求和公式为Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)；当，r，>1时，数项级数的和为无穷，即Sn = ∞。

3. 收敛数项级数的逐项求和法：如果数项级数的每一项都是收敛的，即lim(n→∞) an = 0，则可以使用逐项求和法来求和。

逐项求和法是将级数中的每一项逐项相加，得到一个新的数列，然后求这个数列的极限，得到数项级数的和。

4. 绝对收敛数项级数的重排法：如果数项级数的每一项都是绝对收敛的，即级数Σ，an，是收敛的，则可以使用重排法来改变数项级数的次序，从而得到新的数项级数的和。

重排法的基本思想是将原数项级数中的正项和负项分别移到前面，并保持它们的相对位置不变，然后将分别得到的两个数项级数分别求和，再将两个数项级数的和相加。

应注意的是，只有在级数绝对收敛的情况下，可以使用重排法。

5. 幂级数求和法：如果数项级数的通项形式是幂级数(an = cnx^n)，其中c为常数，x为自变量，n为项数，则可以使用幂级数的求和公式来求和。

幂级数的求和公式是一个特殊的函数，称为幂函数。

通过幂函数的特性，可以将幂级数转化为一个已知的函数，并求出幂级数的和。

6.泰勒级数求和法：如果数项级数的通项形式是一个函数的泰勒级数展开，即级数的每一项都是函数在其中一点的导数值除以相应阶乘的结果，则可以使用泰勒级数的求和公式来求和。

求级数的和的方法总结

求级数的和的方法总结一、引言级数是高等数学中的一个重要概念，它是由无穷多个数相加而成的。

求级数的和是解决许多问题的基础，因此研究求级数和的方法具有重要意义。

二、常见方法1. 等差数列求和公式当级数为等差数列时，可以使用等差数列求和公式进行求和。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等差数列前n项和Sn=n(a1+an)/2。

例如：求1+3+5+...+99的和。

解：首项a1=1，公差d=2，末项an=99。

所以Sn=n(a1+an)/2=50(1+99)/2=2500。

2. 等比数列求和公式当级数为等比数列时，可以使用等比数列求和公式进行求和。

等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

等比数列前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

例如：求3+6+12+...+1536的和。

解：首项a1=3，公比q=2，末项an=1536。

由于1536/3=512，所以共有10个数字。

所以Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=3(1-2^10)/(1-2)=3069。

3. 幂级数求和当级数为幂级数时，可以使用幂级数求和公式进行求和。

幂级数的通项公式为an=cnx^n，其中cn为系数。

幂级数前n项和Sn=∑(n-1)k=0 cnx^k。

例如：求1+x+x^2+...+x^n的和。

解：Sn=∑(n-1)k=0 x^k=(1-x^n)/(1-x)。

4. 夹逼准则当级数无法使用上述方法进行求和时，可以使用夹逼准则进行估算。

夹逼准则即将待求的级数与已知的两个级数之间进行比较，从而确定待求级数的大小。

例如：求∑(n=1)^∞ 1/n 的和。

解：由于 1/(n+1)< 1/n < 1/n-1，所以有：∑(n=2)^∞ 1/n < ∑(n=2)^∞ 1/(n-1) = ∑(n=1)^∞ 1/n - 1 <∑(n=2)^∞ 1/(n+1)即：ln(n+1) < ∑(n=2)^∞ ⅟_n < ln(n)+C其中C为常量。

幂级数的和函数6个基本公式

幂级数的和函数6个基本公式幂级数是一种非常重要的数学工具，它在微积分、数论和物理等领域都有广泛的应用。

在求和函数方面，幂级数可以提供一系列的基本公式。

以下是六个基本的幂级数求和函数公式。

1.幂级数的等比级数求和公式幂级数的等比级数求和公式是幂级数中最简单、最基本的求和公式。