上海市黄浦区2020年高考数学二模试卷(理科)含答案解析
上海市黄埔区第二次高考模拟数学试卷参考答案
上海市黄埔区第二次高考模拟数学试卷&参考答案（完卷时间：120分钟满分：150分）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．函数22y x x-的定义域是．2．若关于,x y的方程组10420ax yx ay+-=⎧⎨+-=⎩，有无数多组解，则实数a=_________．3．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为．4．已知复数134iz=+，2iz t=+(其中i为虚数单位)，且12z z⋅是实数，则实数t 等于．5．若函数3 (0),()1 (0)xx a xf xa x-+<⎧=⎨+≥⎩(a>0,且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是．6．设变量,x y满足约束条件212x yx yy+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，，，则目标函数2z x y=-+的最小值为．7. 已知圆22:(4)(3)4C x y-+-=和两点(, 0), (, 0)(0)A mB m m->，若圆C上至少存在一点P，使得90APB∠=︒，则m的取值范围是．8. 已知向量π(cos(), 1)3aα=+，(1,4)b=，如果a∥b，那么πcos(2)3α-的值为．9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．10．若将函数()f x =π|sin()|(0)8x ωω->的图像向左平移π12个单位后，所得 图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 ．11．三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是 ．12．对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列．设1(01)b m m =<<，对任意正整数n 都有111)1(01) (n n n n nb b b b b +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤，，若数列{}n b是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是 ．(只要求填写满足条件的一个m 值即可)二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．下列函数中，周期为π，且在ππ[]42，上为减函数的是（ ）A ．y = sin(2x +π)2B ．y = cos(2x +π)2C ．y = sin(x +π)2D ．y = cos(x +π)214．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 （ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=22 （第14题图）32C ．430x y ±=D ．340x y ±=16．如图所示，2π3BAC ∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于点,D E ， AD 1=，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP x AD y AE =+(,)x y ∈R ，则x y +的取值范围是 （ ）A ．[1,423]+B ．[423,423]-+C ．[1,23]+D ．[23,23]-+三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，AB AC ⊥，D E F ,,分别是111,,A B CC BC 的中点． （1）求证：AE DF ⊥；（2）求AE 与平面DEF 所成角的大小及点A 到平面DEF 的距离．18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．（第16题图）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos b C a A c B 成等差数列．（1）求角A 的大小；（2）若a =6b c +=，求AB AC +的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如果一条信息有n 1,)n n >∈N （种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p ，则称H =12()()()n f p f p f p ++（其中()f x =log ,a x x -(0,1)x ∈）为该条信息的信息熵．已知11()22f =．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A ）参加，若当1,2,k =,1n -时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设椭圆M :22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A 、中心为O ，若椭圆M 过点11(,)22P -，且AP PO ⊥．（1）求椭圆M 的方程；（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆M 于,D E 两点，且121k k =，求证：直线DE 恒过一个定点．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()0,()0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”． （1）试判断函数21()f x x =与122()f x x =是否是“L 函数”；（2）若函数()31(31)x x g x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 为“L 函数”，且(1)1f =，求证：对任意1(2,2)(*)N k k x k -∈∈，都有1()()f x f x->22x x-．xy参考答案与评分标准一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分）1. [0 2]，； 2. 2； 3.1-； 4.34； 5.2[ 1)3，； 6. 4-；7. [3 7]，；8. 78；9.37； 10.32；11.4(0,]3； 12. 52-（或312-，或31-）．二、选择题：（每题5分）13.A 14.D 15. C 16. B三、解答题：（共76分）17．解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、1AA 为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知(0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(1,1,0)A D E F--，故(2,0,1),(1,0,2)AE DF=-=--，…………………4分由2(1)1(2)0AE DF⋅=-⨯-+⨯-=，可知AE DF⊥，即AE DF⊥．…………………6分（2）设(,,1)n x y=是平面DEF的一个法向量，又(1,0,2)(1,1,1)DF EF=--=-，，xy zO故由20,10,n DF x n EF x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩解得2,3,x y =-⎧⎨=⎩ 故(2,3,1)n =-． (9)分 设AE 与平面DEF 所成角为θ，则||5sin 14||||14n AE n AE θ⋅===⋅， (12)分所以AE 与平面DEF 所成角为 点A 到平面DEF 的距离为sin AE θ⋅= …………………14分18．解：（1）由cos ,cos ,cos b C a A c B 成等差数列，可得cos cos 2cos b C c B a A =+， …………………2分故sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A =+，所以sin()2sin cos B C A A =+， ………4分 又A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，故sin 2sin cos A A A =， 又由(0,π)A ∈，可知sin 0A ≠，故1cos 2A =，所以π3A =． …………………6分（另法：利用cos cos b C c B a =+求解） （2）在△ABC 中，由余弦定理得2222cos 3b c bc π+-=， (8)分即2218b c bc +-=，故2()318b c bc +-=，又6b c +=，故6bc =，………………10分所以2222()2AB AC AB AC AB AC AB AC ==++⋅++22||||2||||cos AB AC AB AC A =++⋅ (12)分22c b bc =++2()30b c bc =+-=，故30AB AC =+ …………………14分19．解：（1）由11()22f =，可得111log 222a -=，解之得2a =. …………………2分由32种情形等可能，故1(1,2,,32)32k P k ==， ……………………4分所以21132(log )53232H =⨯-=， 答：“谁被选中”的信息熵为5． ……………………6分（2）n A 获得冠军的概率为111111111+)1(1)24222n n n ----++=--=(，……………8分 当1,2,k =,1n -时，2()2log 22k k k k k f p --=-=，又11()2n n n f p --=， 故111231124822n n n n H ----=+++++， ……………………11分1112211+248222n n n n n n H ----=++++， 以上两式相减，可得11111111+1224822n n H --=+++=-，故422n H =-，答：“谁获得冠军”的信息熵为422n -． ……………………14分20．解：（1）由 AP OP ⊥，可知1AP OP k k ⋅=-，又A 点坐标为(,0),a -故1122111+22a ⋅=---，可得1a =， (2)分 因为椭圆M 过P 点，故211+144b =，可得213b =， 所以椭圆M 的方程为22113y x +=． ……………………………4分 （2）AP 的方程为01110122y x -+=--+，即10x y -+=， 由于Q 是椭圆M 上的点，故可设(cos )Q θθ， (6)所以12APQS∆= (8)分)16πθ++当2()6k kθπ+=∈Z，即2()6k kπθπ=-∈Z时，APQS∆取最大值．故APQS∆14．……………………………10分法二：由图形可知，若APQS∆取得最大值，则椭圆在点Q处的切线l必平行于AP，且在直线AP的下方．…………………………6分设l方程为(0)y x t t=+<，代入椭圆M方程可得2246310x tx t++-=，由0∆=，可得t=，又0t<，故t= (8)分所以APQS∆的最大值1124==． (10)分（3）直线AD方程为1(1)y k x=+，代入2231x y+=，可得2222111(31)6310k x k x k+++-=，21213131A Dkx xk-⋅=+，又1Ax=-，故21211313Dkxk-=+，21112211132(1)1313Dk ky kk k-=+=++， (12)分同理可得22221313Ekxk-=+，222213Ekyk=+，又121k k=且12k k≠，可得211kk=且11k≠±，所以212133Ekxk-=+，12123Ekyk=+，112211122211122112231323133(1)313E DDEE Dk ky y k k kkx x k k kk k--++===---+-++，直线DE的方程为21112222213()k k ky x--=-， (14)令0y =，可得22112211133(1)21313k k x k k -+=-=-++． 故直线DE 过定点(2,0)-． ………………16分（法二）若DE 垂直于y 轴，则,E D E D x x y y =-=，此时221222111133D E D D D E D D y y y y k k x x x y =⋅===++-与题设矛盾． 若DE 不垂直于y 轴，可设DE 的方程为+x ty s =，将其代入2231x y +=，可得222(3)210t y tsy s +++-=，可得22221,33D E D E ts s y y y y t t --+=⋅=++，………12分 又12111(1)(1)D E D ED E D E y y y y k k x x ty s ty s =⋅==++++++， 可得22(1)(1)()(1)0D E D E t y y t s y y s -+++++=， ………………14分故2222212(1)(1)(1)033s tst t s s t t ---++++=++，可得2s =-或1-，又DE 不过A 点，即1s ≠-，故2s =-．所以DE 的方程为2x ty =-，故直线DE 过定点(2,0)-． ………………16分21．解：（1）对于函数21()f x x =，当0,0t s >>时，2211()0,()0f t t f s s =>=>， 又222111()()()()20f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以111()()()f s f t f s t +<+， 故21()f x x =是“L 函数”. ………………2分对于函数2()f x =1t s ==时，222()()2()f t f s f t s +=>=+，故2()f x =不是“L 函数”. ………………4分（2）当0,0t s >>时，由()31(31)x x g x a -=-+-是“L 函数”，可知()31(31)0t t g t a -=-+->，即(31)(3)0t t a -->对一切正数t 恒成立，又310t ->，可得3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤． ………………6分由()()()g t g s g t s +<+，可得+3331(3331)0s t s t s t s t a ------++--+>， 故(31)(31)(3)0+s t s t a +-->，又(31)(31)0t s -->，故30+s t a +>， 由30+s t a +>对一切正数,s t 恒成立，可得10a +≥，即1a ≥-． ………………9分综上可知，a 的取值范围是[11] -，． ………………………10分（3）由函数()f x 为“L 函数”， 可知对于任意正数,s t ， 都有()0,()0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+， 令s t =，可知(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >， ………………………12分 故对于正整数k 与正数s ，都有112(2)(2)(2)(2)2()k k k k k k f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅>， ………………………………14分(1)1f =，16分18分。
2020届黄浦二模试卷答案
数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题4满分54分，第7-12题每题5满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．若集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝ ． 2．函数y ＝2cos 2x +2的最小正周期为 ．3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 户． 4．若直线l 1：ax +3y ﹣5＝0与l 2：x +2y ﹣1＝0互相垂直，则实数a 的值为 ． 5．如果sin α=−2√23，α为第三象限角，则sin （3π2+α）＝ ．6．若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为 ． 7．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线：l ：y ＝2x +10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 ．8．已知函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则f （﹣1）＝ ．9．当x ，y 满足{x +2y −7≤0，x −y −1≤0，x ≥1，时，|2x ﹣y |≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．10．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为 ． 11．已知a ∈R ，函数f （x ）={a +2x (x ＞0)x 2+1(x ≤0)，若存在不相等的实数x 1，x 2，x 3，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=f(x 3)x 3=−2，则a 的取值范围是 ．12．点A 是曲线y =√x 2+2(y ≤2)上的任意一点，P （0，﹣2），Q （0，2），射线QA 交曲线y =18x 2于B 点，BC 垂直于直线y ＝3，垂足为点C ，则下列结论： （1）|AP |﹣|AQ |为定值2√2； （2）|QB |+|BC |为定值5；（3）|P A |+|AB |+|BC |为定值5+√2． 其中正确结论的序号是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分） 13．“函数f （x ）（x ∈R ）存在反函数”是“函数f （x ）在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A ．若|z 1﹣z 2|＝0，则z 1=z 2 B ．若z 1=z 2，则z 1=z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1•z 1=z 2•z 2 D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 2215．已知e →，f →是互相垂直的单位向量，向量a n →满足：e→⋅a n→=n ，f →⋅a n →=2n +1，b n 是向量f →与a n →夹角的正切值，则数列{b n }是（ ） A ．单调递增数列且lim n→∞b n =12B ．单调递减数列且lim n→∞b n =12C ．单调递增数列且lim n→∞b n ＝2D ．单调递减数列且lim n→∞b n ＝216．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，A ，D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC ⊥l ，则下列判断： ①点O 到棱BC 中点E 的距离的最大值为√2+1； ②正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为√3． 其中正确的说法是（ ）A ．①②都正确B ．①②都错误C ．①正确，②错误D ．①错误，②正确三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，在三棱椎P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝BC ＝1，P A ＝2． （1）求异面直线PB 与DF 所成的角； （2）求点P 到平面DEF 的距离．18．设A （x 1，y 1）（x 2，y 2）是函数，y =12+log 2x1−x 的图象上任意两点，点M （x 0，y 0）满足OM →=12（OA →+OB →）． （1）若x 0=12，求证：y 0为定值；（2）若x 2＝2x 1，且y 0＞1，求x 1的取值范围，并比较y 1与y 2的大小．19．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点E ，F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上． （1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域A 1B 1C 1D 1为花卉展览区，如图②所示，矩形A 1B 1C 1D 1的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点A 1，B 1分别在OE ，OF 上，点C 1，D 1在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形A 1B 1C 1D 1面积最大时，两矩形A 1B 1C 1D 1与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展区A 1B 1C 1D 1面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）20．已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为√63，且点A 是圆r ：(x −√2)2+y 2=r 2(r ＞0)的圆心，动直线l ：y ＝kx 与椭圆交于P ．Q 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，OS →=λOP →(λ∈R +)，且当λ取最小值时直线l 与圆相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆分别交于G ，H 两点，点G 在线段PQ 上，且|QG |＝|PH |，求r 的取值范围．21．（18分）若数列{a n}与函数f（x）满足：①{a n}的任意两项均不相等，且f（x）的定义域为R；②数列{a n}的前n项的和S n＝f{a n}，对任意的n∈N*都成立，则称{a n}与f（x）具有“共生关系”．（1）若a n=2n(n∈N∗)试写出一个与数列{a n}具有“共生关系”的函数f（x）的解析式；（2）若f（x）＝ax+b与数列{a n}具有“共生关系”，求实数对（a，b）所构成的集合，并写出a n关于a，b，n的表达式：（3）若f（x）＝x2+cx+h，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n}，使得{a n}与f（x）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c，h）在射线x=12(y≤116)上”．一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题4满分54分，第7-12题每题5满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝{1，2}．由题直接求出集合B，再利用交集的定义求得结果．由题知集合B＝（﹣2，3），再由交集定义可得A∩B＝{1，2}，故答案为：{1，2}．本题主要考查的是交集的运算，注意端点和点集，是道基础题．2．函数y＝2cos2x+2的最小正周期为π．先将函数降幂化简，然后套公式求周期．由已知得y=2×1+cos2x2+2=cos2x+3，所以T=2π2=π．故答案为：π．本题考查三角函数式的化简以及最小正周期的求法．属于基础题．3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选56户．由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果．由题知共有140+280+80＝500户家庭，设应选中等收入家庭为x户，由分层抽样的定义知x100=280500，解得x＝56故答案为：56本题主要考查的是分层抽样，是道基础题．4．若直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a的值为﹣6．由直线互相垂直，可得a+6＝0，解得a．∵直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，∴a+6＝0，解得a＝﹣6．故答案为：﹣6．本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如果sinα=−2√23，α为第三象限角，则sin（3π2+α）＝13．由sin α的值及α为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，原式利用诱导公式化简，将cos α的值代入计算即可求出值． ∵sin α=−2√23，α为第三象限角， ∴cos α=−√1−sin 2α=−13， 则sin （3π2+α）＝﹣cos α=13．故答案为：13．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．6．若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为 9√3π ．根据三视图的性质，求出圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．∵一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，即圆锥的轴截面是正三角形ABC ，边长等于6，如图：∴圆锥的高AO =√32×6=3√3，底面半径r =12×6＝3，因此，该圆锥的体积V =13πr 2•AO =13π×32×3 √3=9√3π． 故答案为：9√3π．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题． 7．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线：l ：y ＝2x +10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为x 25−y 220=1 ．根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a 、b 、c 的关系和条件列出方程求出a 2、b 2，代入双曲线的方程即可． 由题意得，{b a=2−2c +10=0c 2=a 2+b 2，解得a 2＝5，b 2＝20， ∴双曲线的方程是x 25−y 220=1，故答案为：x 25−y 220=1．本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．8．已知函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则f （﹣1）＝ √3−3 ． 由题分别讨论0＜a ＜1，a ＞1两种情况，得出关系式，解方程组即可得出a ，再代入f （﹣1）即可．当0＜a ＜1时，由题得{a −2+b =0a 0+b =−2，解得a =√33，b ＝﹣3，则f （﹣1）=√3−3；当a ＞1时，由题意得{a −2+b =−2a 0+b =0，无解； 故答案为：√3−3本题主要考查的是函数的定义域与值域，及分类讨论，是道综合题．9．当x ，y 满足{x +2y −7≤0，x −y −1≤0，x ≥1，时，|2x ﹣y |≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是 [4，+∞） ．画出约束条件的可行域，求解|2x ﹣y |的最大值，即可得到a 的范围．x ，y 满足{x +2y −7≤0，x −y −1≤0，x ≥1，的可行域如图：由{x +2y −7=0x −y −1=0解得A （3，2），z ＝2x ﹣y ，经过可行域的A 时，取得最大值，最大值为：4， 此时|2x ﹣y |取得最大值，所以，|2x ﹣y |≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为2735．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数n =C 84=70，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数m =C 84−C 21C 21C 21C 21=54，由此能求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动， 现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数n =C 84=70，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数m =C 84−C 21C 21C 21C 21=54，∴选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为p =m n =5470=2735． 故答案为：2735．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题． 11．已知a ∈R ，函数f （x ）={a +2x (x ＞0)x 2+1(x ≤0)，若存在不相等的实数x 1，x 2，x 3，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=f(x 3)x 3=−2，则a 的取值范围是 （﹣∞，﹣4） ．令x 2+1x=−2（x ≤0），解得x ＝﹣1，所以问题转化为a+2xx=−2在（0，+∞）上有两个不等根即可，分离参数得a =−2(x +1x )在（0，+∞）上有两个不等实根，只需研究g （x ）=−2(x +1x)在（0，+∞）上的单调性，极值，端点值，结合图象即可解决问题． 当x ≤0时，令x 2+1x=−2（x ≤0），解得x ＝﹣1；所以只需方程a+2xx=−2在（0，+∞）上有两个不等根即可，整理得a =−2(x +1x)，x ∈（0，+∞）有两个根．只需y ＝a 与y =−2(x +1x )在（0，+∞）上有两个不同交点即可． 令g （x ）=−2(x +1x)，x ＞0，∵g ′(x)=−2(1−1x 2)=−2(x+1)(x−1)x 2， 当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增；x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减；所以g （x ）max ＝g （1）＝﹣4， 且x →0，或x →+∞时，都有g （x ）→﹣∞． 所以，要使x ＞0时，结论成立，只需a ＜﹣4即可．故答案为：（﹣∞，﹣4）．本题考查利用数形结合思想研究函数零点的问题，要注意函数的零点、方程的根、两个函数图象交点的横坐标之间的相互转化，互为工具的关系．同时考查学生的逻辑推理能力等．属于中档题．12．点A 是曲线y =√x 2+2(y ≤2)上的任意一点，P （0，﹣2），Q （0，2），射线QA 交曲线y =18x 2于B 点，BC 垂直于直线y ＝3，垂足为点C ，则下列结论： （1）|AP |﹣|AQ |为定值2√2； （2）|QB |+|BC |为定值5；（3）|P A |+|AB |+|BC |为定值5+√2．其中正确结论的序号是（1），（2）．曲线y=√x2+2(y≤2)表示双曲线y22−x22=1的上支，曲线y=18x2表示的是抛物线x2＝8y，P，Q点为双曲线的两个焦点，且Q点也是抛物线的焦点，然后结合抛物线、双曲线的定义，逐个判断即可；其中第（3）问中，要注意将|P A|转化为|PQ|+2√2后，再进一步分析．由题意知：曲线y=√x2+2(y≤2)表示双曲线y22−x22=1的上半支，a=b=√2，c=2；并且P（0，﹣2）是双曲线的下焦点，Q（0，2）为上焦点；曲线y=18x2表示的是抛物线x2＝8y，其焦点为Q（0，2），准线为y＝﹣2．做出图象如图：较长的曲线为抛物线，较短的曲线为双曲线上支．①因为A在双曲线的上支上，所以|AP|﹣|AQ|＝2a=2√2，为定值，故（1）正确；②因为B在抛物线上，设BH⊥直线y＝﹣2于H，∴|BQ|＝|BH|，∴|QB|+|BC|＝|BH|+|BC|＝|HC|＝5，定值，故（2）正确；③因为|PA|=|AQ|+2a=|AQ|+2√2，∴|P A|+|AB|+|BC|＝|AQ|+|AB|+|BC|+2√2=|QB|+|BC|+2√2=5+2√2≠5+√2，故（3）错误．故正确的序号为：（1）（2）．故答案为：（1），（2）．本题考查了圆锥曲线的定义及性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分）13．“函数f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件函数f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立“函数f（x）在R上为增函数”⇒“函数f（x）（x∈R）存在反函数”；反之取f（x）＝﹣x（x∈R），则函数f（x）（x∈R）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数．故选：B．本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．14．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z1﹣z2|＝0，则z1=z2B．若z1=z2，则z1=z2C．若|z1|＝|z2|，则z1•z1=z2•z2D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．对（A），若|z1﹣z2|＝0，则z1﹣z2＝0，z1＝z2，所以z1=z2为真；对（B）若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1=z2为真；对（C）设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，若|z1|＝|z2|，则√a12+b12=√a22+b22，z1⋅z1=a12+b12，z2⋅z2=a22+b22，所以z1⋅z1=z2⋅z2为真；对（D）若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z12=1，z22=−1，所以z12=z22为假．故选：D．本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题．15．已知e →，f →是互相垂直的单位向量，向量a n →满足：e →⋅a n →=n ，f →⋅a n →=2n +1，b n 是向量f →与a n →夹角的正切值，则数列{b n }是（ ） A ．单调递增数列且lim n→∞b n =12B ．单调递减数列且lim n→∞b n =12C ．单调递增数列且lim n→∞b n ＝2D ．单调递减数列且lim n→∞b n ＝2分别以e →和f →所在的直线为x 轴，y 轴建立坐标系，则e →=（1，0），f →=（0，1），设a n →=（x n ，y n ），进而可求出tan θn ，结合函数的单调性即可判断．分别以e →和f →所在的直线为x 轴，y 轴建立坐标系，则e →=（1，0），f →=（0，1）， 设a n →=（x n ，y n ），∵e →•a n →=n ，f →•a n →=2n +1，n ∈N *，∴x n ＝n ，y n ＝2n +1，n ∈N *， ∴a n →=（n ，2n +1），n ∈N *， ∵θn 为向量f →与a n →夹角，cos θn =2n+1√n 2+(2n+1)2=2n+1√5n 2+4n+1，sin θn =√1−(2n+1)25n 2+4n+1=n√5n +4n+1∴tan θn =2n+1n =2+1n， ∴b n ＝tan θn 为减函数， ∴θn 随着n 的增大而减小．lim n→∞b n ＝2．故选：D ．本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．考查转化思想以及计算能力，是中档题．16．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，A ，D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC⊥l，则下列判断：①点O到棱BC中点E的距离的最大值为√2+1；②正四面体ABCD在平面α上的射影面积的最大值为√3．其中正确的说法是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，因此O到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到SC的距离，故最大距离为BC到球心的距离，求解判断①；求出特殊点A与O重合时，射影面的面积判断②即可．由题意，直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，∴O到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到DC的距离，因此：最大距离为BC到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径，如图：ME=2−AM2=√AC2−EC2−AM2=√4−1−1=√2，点O到棱BC中点E的距离的最大值为：√2+1；所以①正确；当A与O重合时，正四面体ABCD在平面α上的射影为：对角线长为2的正方形，射影面的面积为2，所以②不正确；故选：C．本题考查空间几何体的点、线、面的距离，射影面的面积的求法，命题的真假的判断，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，在三棱椎P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝BC ＝1，P A ＝2． （1）求异面直线PB 与DF 所成的角； （2）求点P 到平面DEF 的距离．（1）分别以AB 、AC 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BP →与DF →所成角的余弦值，可得异面直线PB 与DF 所成的角的大小；（2）求出平面DEF 的一个法向量，再求出PF →的坐标，由点到平面的距离公式可得点P 到平面DEF 的距离．（1）如图，分别以AB 、AC 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （1，0，0），C （0，1，0），P （0，0，2）， D （12，0，0），F （0，12，1）．故BP →=(−1，0，2)，DF →=(−12，12，1)．∴cos ＜BP →，DF →＞=BP →⋅DF→|BP →|⋅|DF →|=525⋅√32=√306．可得＜BP →，DF →＞=arccos√306． 故异面直线PB 与DF 所成的角为arccos√306； （2）DE →=(0，12，0)，DF →=(−12，12，1)． 设n →=(x ，y ，1)是平面DEF 的一个法向量，则{n →⋅DE →=12y =0n →⋅DF →=−12x +12y +z =0，取z ＝1，得n →=(2，0，1)．又PF →=(0，12，−1)．∴点P 到平面DEF 的距离d =|PF →⋅n →|n →||=5=√55．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解点到平面的距离，是中档题． 18．设A （x 1，y 1）（x 2，y 2）是函数，y =12+log 2x1−x的图象上任意两点，点M （x 0，y 0）满足OM →=12（OA →+OB →）． （1）若x 0=12，求证：y 0为定值；（2）若x 2＝2x 1，且y 0＞1，求x 1的取值范围，并比较y 1与y 2的大小．（1）依题意，x 0=12(x 1+x 2)=12，即x 1+x 2＝1，再利用中点坐标公式可求得y 0=12(1+log 2x 1x 2x 1x 2)=12，即得证；（2）根据题意，可得log 2x 11−x 1+log 22x11−2x 1＞1，再由对数函数的性质可得{2x 11−2x 1＞0x 11−x 1⋅2x 11−2x 1＞2，由此求得x 1的取值范围，利用作差法可知0＜x 11−x 1＜2x 11−2x 1，进而得出y 1与y 2的大小关系．（1）证明：由OM →=12(OA →+OB →)可知，x 0=12(x 1+x 2)=12，即x 1+x 2＝1，y 0=12(y 1+y 2)=12(12+log 2x 11−x 1+12+log 2x 21−x 2)=12(1+log 2x 1x2(1−x 1)(1−x 2))， 故y 0=12(1+log 2x 1x 2x 1x 2)=12为定值，即得证；（2）由x 2＝2x 1，y 0＞1，可得log 2x 11−x 1+log 22x 11−2x 1＞1， 则{2x 11−2x 1＞0x 11−x 1⋅2x 11−2x 1＞2，即{0＜x 1＜12x 12−3x 1+1＜0，解得3−√52＜x 1＜12，此时由x 11−x 1−2x 11−2x 1=−x 1(1−x 1)(1−2x 1)＜0，可得0＜x 11−x 1＜2x11−2x 1，故12+log 2x 11−x 1＜12+log 22x 11−2x 1，即y 1＜y 2．本题考查平面向量的综合运用以及对数函数的图象及性质，涉及了中点坐标公式的运用，作差法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．19．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点E ，F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上． （1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域A 1B 1C 1D 1为花卉展览区，如图②所示，矩形A 1B 1C 1D 1的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点A 1，B 1分别在OE ，OF 上，点C 1，D 1在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形A 1B 1C 1D 1面积最大时，两矩形A 1B 1C 1D 1与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展区A 1B 1C 1D 1面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）（1）设∠EOF ＝2θ，利用直角三角形的边角关系求出BO 、OF ，再计算扇形的面积即可； （2）在图②中连接OC 1，设∠FOC 1＝α，OC 1＝r ，利用正弦定理求出B 1C 1，计算矩形A 1B 1C 1D 1的面积，求出面积取最大值时时对应的边长比，从而判断两矩形的长和宽之比相等，得出该同学的猜想是正确的． （1）设∠EOF ＝2θ，则∠BFO ＝θ，在Rt △OBF 中，BO =12AB ＝24，OF ＝BC ＝40，sin θ=OBOF =35，θ＝arcsin 35；可得扇形的面积为S 1=12•402•2arcsin 35=1600arcsin 35≈1030（平方米），即扇形花园的面积约为1030平方米；（2）在图②中，连接OC 1，设∠FOC 1＝α（0＜α＜θ），OC 1＝r ， 则在△OB 1C 1中， 由B 1C 1sinα=OC 1sinθ，可得B 1C 1=rsinαsinθ； 又C 1D 1＝2r sin （θ﹣α），sin θ=35，cos θ=45， 所以矩形A 1B 1C 1D 1的面积为 S 2＝B 1C 1•C 1D 1=rsinαsinθ•2r sin （θ﹣α）=10r 2sinα3（sin θcos α﹣cos θsin α）=r 23（6sin αcos α﹣8sin 2α）=r 23（3sin2α+4cos2α﹣4） =16003[5sin （2α+arcsin 45）﹣4]，当且仅当2α+arcsin 45=π2，即α=12（π2−arcsin 45）=θ2时，S 2取得最大值， 所以S 2的最大值为16003；所以花卉展览区A 1B 1C 1D 1面积的最大值为16003平方米．当矩形A 1B 1C 1D 1的面积最大时，α=θ2， 此时C 1D 1B 1C 1=2rsin(θ−α)rsinαsinθ=2sin θ=65，CD BC=4840=65，所以两矩形的长和宽之比相等，即两矩形的形状相同，该同学的猜想是正确的．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学建模与运算求解能力，是难题． 20．已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为√63，且点A 是圆r ：(x −√2)2+y 2=r 2(r ＞0)的圆心，动直线l ：y ＝kx 与椭圆交于P ．Q 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，OS →=λOP →(λ∈R +)，且当λ取最小值时直线l 与圆相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆分别交于G ，H 两点，点G 在线段PQ 上，且|QG |＝|PH |，求r 的取值范围．（1）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标及直线AB 的方程，由题意可得a 的值，及O 到直线的距离距离，可得，a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设P 的坐标，由向量的关系求出S 的坐标，将S 的坐标代入直线AB 的方程可得λ的表达式，由三角函数的取值范围求出λ最小时r 的值；（3）设直线GH 的方程与圆联立，求出P ，Q 的坐标，求出弦长GH ，求出A 到直线的距离，及弦长GH 与A 到直线GH 的距离和半径之间的关系，求出弦长GH ，两式联立求出r 的表达式，换元可得r 2＝2−11+k2可得r 的范围．（1）由题意可知，a =√2，A （a ，0），B （0，b ）， 所以直线AB 的方程为：bx +ay ﹣ab ＝0， 所以原点到直线的距离d =√a 2+b =√63，所以可得b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（2）由（1）设P （√2cos α，sin α）（α∈[0，π2），由题意可得S （√2λcos α，λsin α）， 将S 坐标代入直线AB 的方程√2+y ＝1中，可得λ（cos α+sin α）＝1，所以λ=1cosα+sinα=1√2sin(α+π4)，所以当α=π4时λ取最小值√22，所以P （1，√22），且直线l 的方程为x −√2y =0，所以r=√23=√63；（3）由|QG|＝|PH|，可得|PQ|＝|GH|，将y＝kx代入椭圆C的方程可得：（1+2k2）x2＝2，即x＝±√21+2k2，故|PQ|=2⋅2√21+2k2，又A到直线l的距离=√2k|√1+k ，故|GH|＝2√r2−2k21+k2，所以√1+k2⋅2√21+2k2=2√r2−2k21+k2，可得r2=2k21+k2+2(1+k2)1+2k2=4k2+21+k2+2(1+k2)1+2k2−2，令z=1+2k21+k2=2−11+k2∈[1，2），则r2＝2（z+1z）﹣2∈[2，3），所以r的取值范围为[√2，√3）．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式，换元方法的应用，属于中档题．21．（18分）若数列{a n}与函数f（x）满足：①{a n}的任意两项均不相等，且f（x）的定义域为R；②数列{a n}的前n项的和S n＝f{a n}，对任意的n∈N*都成立，则称{a n}与f（x）具有“共生关系”．（1）若a n=2n(n∈N∗)试写出一个与数列{a n}具有“共生关系”的函数f（x）的解析式；（2）若f（x）＝ax+b与数列{a n}具有“共生关系”，求实数对（a，b）所构成的集合，并写出a n关于a，b，n的表达式：（3）若f（x）＝x2+cx+h，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n}，使得{a n}与f（x）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c，h）在射线x=12(y≤116)上”．（1）由a n =2n ，可知S n =2(1−2n)1−2=2n +1﹣2，由此能求出与数列{a n }具有“共生关系”函数f （x ）的解析式．（2）由题意得S n ＝aa n +b ，令n ＝1，得（1﹣a ）a 1＝b ，推导出a n+1=a a−1a n ，数列{a n }是首项为b 1−a ，公比为a a−1的等比数列，由此能求出结果．（3）先证明必要性：若{a n }是等差数列，且它与f （x ）具有“共生关系”，设a n ＝dn +m ，（d ≠0），则由S n =a n 2+ca n +ℎ，知d 2n 2+(m +d 2)n =d 2n 2+（2md +cd ）n +（m 2+cm +h ）恒成立，由此推导出点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上；再证明充分性：若点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上，则c =12，h ≤116，方程a 1=a 12+12a 1+ℎ等价于a 12−12a 1+ℎ=0，△=14−4ℎ＞0，且a 1=1+√1−16ℎ4，它是正数，满足S 1＝f （1），令a n +1﹣a n =12，则f （n +1）﹣f （n ）＝（a n+12+12a n+1）﹣（a n 2+12a n ），当n ≥2时，S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝f （1）+[f（2）﹣f （1）]+[f （3）﹣f （2）]+…+[f （n ）﹣f （n ﹣1）]＝f （n ），由此能证明：“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n }，使得{a n }与f （x ）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c ，h ）在射线x =12(y ≤116)上”． （1）解：由a n =2n ，可知S n =2(1−2n )1−2=2n +1﹣2，∴与数列{a n }具有“共生关系”函数f （x ）的解析式可以是f （x ）＝2x ﹣2．（2）解：由题意得S n ＝aa n +b ，令n ＝1，得a 1＝aa 1+b ，即（1﹣a ）a 1＝b ， ①若a ＝1，b ≠0，此式不成立，不合题意，若a ＝1，b ＝0，由S 2＝a 2，得a 2＝0，又S 3＝a 3，可得a 2＝0，与{a n }任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意．②若a ≠1，则a 1=b1−a ，若b ＝0，则由a 1＝S 1＝aa 1与a 1+a 2＝S 2＝aa 2，可得a 1＝a 2＝0，不合题意，若b ≠0，a ≠0，1，则S n ＝b ，由S n ＝aa n +b ，S n +1＝aa n +1+b ，可得a n +1＝S n +1﹣S n ＝aa n +1﹣aa n ，即a n+1=a a−1a n ，此时，数列{a n }是首项为b 1−a ，公比为a a−1的等比数列，又{a n }的任意两项均不相等，故a a−1≠±1，可知a ≠12，∴实数对（a ，b ）所构成的集合为{（a ，b ）|a ≠0，1，12，且b ≠0，其中a ，b ≠0，其中a ，b ∈R }，且a n =b a−1⋅(a a−1)n−1=ba n−1(a−1)n ． （3）证明：（必要性）若{a n }是等差数列，且它与f （x ）具有“共生关系”， 设a n ＝dn +m ，（d ≠0），则由S n =a n 2+ca n +ℎ，可知nm +n(n+1)d 2=（dn +m ）2+c （dn +m ）+h ，∴d 2n 2+(m +d 2)n =d 2n 2+（2md +cd ）n +（m 2+cm +h ）恒成立， ∴{ 12d =d 2m +d 2=2md +cd0=m 2+cm +ℎ，可得c ＝d =12，且m 2+12m +ℎ=0有实根， 即△=14−4ℎ≥0，可知h ≤116，∴点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上． （充分性）若点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上，则c =12，h ≤116， 又方程a 1=a 12+12a 1+ℎ等价于a 12−12a 1+ℎ=0，△=14−4ℎ＞0， 且a 1=1±√1−16ℎ4，取a 1=1+√1−16ℎ4，它是正数，满足S 1＝f （1）， 令a n +1﹣a n =12，则f （n +1）﹣f （n ）＝（a n+12+12a n+1）﹣（a n 2+12a n ）＝（a n +1﹣a n ）（a n +1+a n +12）=12（2a n +1）＝a n +1，∴当n ≥2时，S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝f （1）+[f （2）﹣f （1）]+[f （3）﹣f （2）]+…+[f （n ）﹣f （n ﹣1）]＝f （n ），这里的无穷数列{a n }是首项为1+√1−16ℎ4，公差为12的无穷数列，其每一项都是正数， ∴存在每项都是正数的无穷等差数列{a n }，使得{a n }与f （n ）具有“共生关系”． 故“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n }，使得{a n }与f （x ）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c ，h ）在射线x =12(y ≤116)上”．本题考查函数解析式的求法，考查两函数具有共生关系的充要条件的证明，考查运算求解能力、推理论证能力，二查化归与转化思想，是难题．。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷高三数学理科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷高三数学理科一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()UA B =（A ）{0,1} （B ）{2,3} （C ）{0,1,4}（D ）{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= （A ）1（B ）2（C ）i -（D ）i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是 （A ）2sin =ρθ（B ）2sin =-ρθ（C ）2cos =ρθ（D ）2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值， 则判断框内可以填入 （A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤（D ）34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则 （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a <<（D ）c a b <<6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α（D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A ）4（B ）2（C （D ）8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）111[1,)(,]243-- （B ）111(1,][,)243-- （C ）111[,)(,1]342-- （D ）111(,][,1)342--第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△ABC 中，2BC =，AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则CD =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n 项和n S =______． 14．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值． 16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ； （Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 的取值范围． 19．（本小题满分14分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值． 20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．参考答案及评分标准一、1．C ；2．B ； 3．A ； 4．C ；5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、9．>；10．80；11．3，2； 12．125； 13．21n +，4(1)n n +；14．4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分. 三、15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos(x =2分 因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α， 所以 sin 3==α．………………3 所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α． 所以111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα．……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα， 整理得 cos20=α．…11分因为 62ππ<<α， 所以 23π<<πα，所以 22π=α， 即 4π=α．…13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14．…4分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20．………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===，222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===，3344A 1(20)A 4P X ===．………10分 所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………………13分17．（本小题满分14分）【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，22BD BC +所以 BD BC ⊥．……1分又因为 ⊥PD 平面所以 PD BC ⊥…3分所以⊥BC 平面PBD （Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =． (6)分在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=．又 2=BD ， 所以1AB =，AD =又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =．所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ．………………8分 因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， 所以直线AM ∥平面PBC ．………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -．所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ． 设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ．…11分所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有||34||||AM BN AM BN ⋅=， ………………12分 所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ．………………13分故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43．…14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP所以 点M 的坐标为2(5由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=7…5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<．①………………6分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +．…7分 因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．②…8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x xm x +=-．………………10分所以00111622(2)82m x x =+≤-++-+， ………………12分当且仅当 02x =-时，上式等号成立．所以 m 的取值范围是1(0,24-．…13分 19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-．………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即6350x y +-=．4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-．………………6分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得 11x =，或21x =．()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)++∞；单调减区间为(1+． …8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-．………………10分② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()33f x a =--． (11)分因为 14(3)(2)3f f a -=-， 所以 当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-．………………12分 ③当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分 综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --，最大值是73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --，最大值是723a -； 当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5．………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n na a '=，11n n a a --'=，，11k k a a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠．………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a 与12,,,k a a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k k b b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,n a a a '''的生成列也不同．………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-．………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 22k b =-≥．………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n =，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-=，创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换 后，一定会使各项的满意指数均为非负数．………………13分创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01。
2020届上海市黄浦区高三二模(阶段性调研)数学试题(解析版)
【解析】先求出从这8人中随机选出4人的选法总数，再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数，再求概率.
【详解】
从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有 种不同的选法.
选出的4人中至少有2人来自同一小组分为下列情况：
(1)恰好有2人来自同一小组,有 种
（2）4个人来自2个不同的小组（每个小组2个人）有
点 到棱 中点 的距离，即以 为直径的球面上的点到棱 中点 的距离.
所以点 到棱 中点 的距离的最大值为点 到球心的距离再加上球的半径.
设 的中点为 ，则 为以 为直径的球的球心，半径为
所以
所以点 到棱 中点 的距离的最大值为 ，故正确①.
由直线 平面 ，且 ，则 平面 .
在正四面体 中， ,又 ，所以 平面
则 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得
所以
所以
所以数列 是单调递增数列，又 .
故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积的坐标表示和运算和数列极限，关键是根据直条件将所求问题坐标化，属于中档题.
4．如图，直线 平面 ，垂足为 ，正四面体 的棱长为2， ， 分别是直线 和平面 上的动点，且 ，则下列判断：①点 到棱 中点 的距离的最大值为 ；②正四面体 在平面 上的射影面积的最大值为 ．其中正确的说法是（ ）．
【答案】(1) 平方米(2)花卉展览区 面积的最大值为 平方米，该同学的猜想是正确的.
【解析】(1)设 ，则 ,在 ，求出 角，利用扇形的面积公式可求出扇形的面积.
(2)在图②中，连 ，设 ,在 中求出 ，又 ，所以矩形 的面积 化简可得 ，从而可得出答案.
【详解】
(1)设 ，则 ，
在直角三角形 中， , .
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.2．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<„，则()R A B U ð=（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x x 剟C ．{|10}x x -<„D ．{|1}x x -… 【答案】D【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð【详解】 {|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.3．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】 由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．4．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-【答案】D【解析】【分析】 根据逆运算，倒推回求x 的值，根据x 的范围取舍即可得选项.【详解】因为2y =,所以当()12+12x =，解得3>0x = ，所以3是输入的x 的值；当122x --=时，解得20x =-<，所以2-是输入的x 的值，所以输入的x 的值为2- 或3，故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.5．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B．32 C ．1 D ．0【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，平移目标直线即可求解.【详解】解：作出可行域： 由2z x y =+得，1122y x z =-+ 由图形知，1122y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大 10y x x y =⎧⎨+-=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，max 1232222z =+⨯= 故选：B【点睛】考查线性规划，是基础题.6．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】【分析】 求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围.【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--，当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+，作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， ()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,033a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由()1243i z i +=+，得43i 2i 12i z +==-+，所以2z i =+． 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．40 【答案】B【解析】【分析】2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可.【详解】由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722a a S +==+⨯=. 故选：B.【点睛】 本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.10．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =U （ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞ 【答案】C【解析】 ∵集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，∴A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1B1 C．12 D．12【答案】B【解析】【分析】 设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PAm PF ==== 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==， Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．12．已知集合{}{}22(,)4,(,)2x A x y x y B x y y =+===，则A B I 元素个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】y 的图象上的点，作出两由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数2x集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共I元素个数为2，元素，所以A B故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黄浦区2020届高三数学二模考试阶段性调研试题含解析
由 、 分别是棱 、 的中点。 所以 ，且
所以 (或其补角）为异面直线 与 所成的角.
由 平面 ，则 ,又 ，即 .
又 ,所以 平面 ,
由 、 分别是棱 、 的中点. 所以 ，且
所以 平面 ，则 ，即 。
所以在直角三角形 中， .
所以异面直线 与 所成的角为 ；
（2）由 是棱 的中点,所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离。
二、选择题(本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13.“函数 存在反函数"是“函数 在 上为增函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
设点 到平面 的距离为 。
由(1)可知 为直角三角形，则 。
.
由 是棱 的中点，所以点 到面的距离为
由 ,所以
所以
所以点 到平面 的距离为 ．
【点睛】本题考查求异面，本题也可以建立空间直角坐标系，用向量的方法求解，属于基础题.
18。设 , 是函数 的图像上任意两点,点 满足 ．
【详解】曲线 ，即双曲线 的一部分。
所以 ， 为双曲线 的焦点。
抛物线 的准线方程为： ，焦点为
由点 在双曲线 上,根据双曲线 定义有： ，所以（1）正确.
过点 作 垂直于抛物线 准线 于点 ,则 。
所以 ，所以(2)正确.
由双曲线的定义有 ，
所以 。
所以（3）不正确.
故答案为：(1)（2）。
【点睛】本题考查抛物线的定义和双曲线的定义的应用，属于中档题.
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36 B ．72C ．36-D ．36±【答案】A 【解析】 【分析】根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【详解】等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以4264a a a =±⋅=±，又2420a a q =⋅>，所以44a =，由等差数列的性质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 2．执行程序框图，则输出的数值为（ ）A ．12B ．29C ．70D ．169【答案】C 【解析】 【分析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，2012a -==，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，输出70b =. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.3．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102xg x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点， 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102xg x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算.4．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =I （ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.5．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 2【答案】C 【解析】 【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可. 【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P 1＝36； 方案二坐车可能：312、321，所以，P 1＝26；所以P 1+P 2＝56故选C. 【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题. 6．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE 'V ，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立【答案】A 【解析】 【分析】作出二面角α的补角、线面角β、线线角γ的补角，由此判断出两个命题的正确性. 【详解】①如图所示，过'A 作'AO ⊥平面BCDE ，垂足为O ，连接OE ，作OM BE ⊥，连接'A M .由图可知'A MO πα∠=-，''A EO A MO βπα∠=≤∠=-，所以αβπ+≤，所以①正确.②由于//BC DE ，所以'A E 与BC 所成角''A ED A MO γππα=-∠≤∠=-，所以αγπ+≤，所以②正确.综上所述，①②都正确. 故选：A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.8．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A =I B ．A B B ⋃=C ．()U A B =∅I ðD ．U B A ⊆ð【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】由2230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤， 则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故U 3(,1),2A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ð，由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A B =∅I ，31,(2,)2A B ⎡⎤⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，()U (2,)A B ⋂=+∞ð，3(2,)(,1),2⎛⎫+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选:D 【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.9．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可. 【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==， 因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想. 10．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x-≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题. 12．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125ai i a a iai z i i i ++-+++===--+， 又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年上海市黄浦区高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2023年上海市黄浦区高考数学二模试卷1. 设集合，，则______ .2. 函数的最小正周期为______ .3. 若函数的图像经过点与，则m的值为______ .4. 设复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，为虚数单位，则______.5. 以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______ .6. 已知m是与4的等差中项，且，则的值为______ .7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，若，则实数a的值为______ .8. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm的圆柱挖去一个圆锥此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面所得到的几何体，则该学具的表面积为______9. 若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则______ .10. 若每经过一天某种物品的价格变为原来的倍的概率为，变为原来的倍的概率也为，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为______ .11. 如图.在直角梯形ABCD中，，，，点P是腰AB上的动点，则的最小值为______ .12. 已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为______ .13.若直线与直线垂直，则实数a的值为( )A. B. C. D.14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是( )A. 恰好有一个白球与都是红球B. 至多有一个白球与都是红球C. 至多有一个白球与都是白球D. 至多有一个白球与至多一个红球15. 如图，与都是等腰直角三角形.其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点.设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是( )A. 存在某一值，使得B. 存在某一值，使得C. 存在某一值，使得D. 存在某一值，使得16. 设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”.关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件.下列判断正确的是( )A. ①和②都为真命题B. ①为真命题，②为假命题C. ①为假命题，②为真命题D. ①和②都为假命题17. 在中，求的值；若，求的周长和面积.18. 如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点求证：；若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小.19. 将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：分别加以统计，得到下列频率分布直方图.该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵.请列出列联表，并判断能否有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：若已知该工厂工人中生产标兵的占比为，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比.附：k20. 已知双曲线C的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在x轴上，离心率为3，过点的动直线l与双曲线C交于点A、设求双曲线C的渐近线方程：若点A、B都在双曲线C的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；关于求的最值，某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值若点A在双曲线C的左支上点A不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形.且AB边的长等于双曲线C的实轴长的2倍.21. 三个互不相同的函数，与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”.设，，试分别判断、是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：直接利用交集运算的定义得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】【解析】解：函数的最小正周期故答案为：直接利用三角函数的周期公式求解．本题主要考查了三角函数的周期公式，属于基础题．3.【答案】81【解析】解：函数的图像经过点与，，解得，即m的值为故答案为：把点代入函数解析式求出a的值，再把代入即可求出m的值．本题主要考查了幂函数的定义，属于基础题．4.【答案】【解析】解：复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，，故答案为：利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．5.【答案】【解析】解：因为抛物线的焦点，准线，故所求圆的圆心，半径为2，故圆的方程为故答案为：先确定出圆的圆心及半径，进而可求圆的方程．本题主要考查了抛物线的性质，直线与圆相切的性质，圆方程的求解，属于基础题．6.【答案】40【解析】解：由题意可得，解得，所以二项式为，则展开式中含的系数为，即故答案为：先利用等差中项的定义建立方程求出m的值，代入二项式，再根据二项式定理求出展开式中含的系数，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，涉及到等差中项的定义，属于基础题．7.【答案】【解析】解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以，又当时，，所以，所以故答案为：由奇函数的性质，可知，代入已知条件中，根据指数和对数的运算法则，即可得解．本题考查函数奇偶性的应用，指数和对数的运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，故几何体的表面积为故答案为：先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解几何体的表面积．本题考查了几何体表面积的计算，属于基础题．9.【答案】【解析】解：由于函数的图像，由函数的图像向右平移个单位所得到，所以由于函数在区间上是严格减函数，，所以，，即，，故，，由于，故故答案为：首先利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的变换正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．10.【答案】【解析】解：设物品原价格为1，因为，，，，故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，5天升高1天降低和6天升高，则经过6天该物品的价格较原来的价格增加的概率为故答案为：由已知结合n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式即可求解．本题主要考查了n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式的应用，属于基础题．11.【答案】4【解析】解：在直角梯形ABCD中，，，，，则，则以A为原点，AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，设，设，则，，，故，，所以，故，当且仅当即时取得等号，即的最小值为4，故答案为：建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案．本题考查向量的坐标运算，属于基础题．12.【答案】【解析】解：由题意得，，因为，所以，解得，令，则，当或时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以的极大值，的极小值，又，，故abc的取值范围为故答案为：由已知，，结合基本不等式建立关于a的不等式，求出a的范围，然后把所求式子表示为关于a的函数，结合导数与单调性及最值关系可求．本题主要考查了导数与单调性关系在最值求解中的应用，属于中档题．13.【答案】B【解析】解：直线与直线垂直，则，解得故选：直接利用直线垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．14.【答案】A【解析】【分析】本题考查了互斥事件应急对立事件的定义，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．由题意可得总事件分别为红，白，红，红，白，白三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．【解答】解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，表示的事件分别为红，白，红，红，白，白三种情况，故选项A互斥不对立，A正确，选项B：至多有一个白球表示的是红，白，红，红，与都是红球不互斥，故B错误，选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，选项D：至多有一个红球表示的是红，白，白，白，所以两个事件不互斥，故D错误，故选：15.【答案】D【解析】解：已知，对于A，若，又，且，平面ACD，可得，与矛盾，故A错误；对于B，是BD的中点，，若，又，平面AEF，即，由选项A可知，错误，故B错误；对于C，取BC中点G，连接EG，FG，则，可得，若，则，而，则平面BFD，即平面BFD，此时需要，在中，，F为AC的中点，由等面积法可知，，而，则，即不成立，故C错误；对于D，当平面平面BCD时，有，故D正确．故选：由直线与平面垂直的判定与性质结合反证法思想判断ABC错误；取时，可得D正确．本题考查二面角的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】C【解析】解：令等差数列的公差为d，当时，，不符合题意，当时，，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，存在，使得，取不小于的正整数n，则有，即，不符合题意，综上，①为假命题；等比数列中，首项，为“K数列”，，，，，，，，依题意，任意的，，函数，在单调递减，值域是，，是为“K数列”的充要条件，故②是真命题．故选：利用等差数列的性质及“K数列”的定义判断命题①；利用等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件判断命题②．本题考查等差数列的性质、等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：在中，，又A，，则，则；，又，则由正弦定理得，则的周长为，的面积为【解析】利用两角和的正弦公式即可求得的值；先利用正弦定理求得的a，b的长，进而求得的周长和面积．本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题．18.【答案】解：证明：在正方体中，，且，所以四边形为平行四边形，所以，而面，面，所以面，又因为面，面面，所以，所以；点E到平面的距离即是E到面的距离，设为h，因为，在正方体中，B到面的距离为正方体的棱长3，又因为若，所以，因为面，所以，所以，所以，即，解得，所以E到面的距离为；，，设与平面所成角的大小为，，则，所以，即与平面所成角的大小为【解析】在正方体中可知，进而可证得面，再由线面平行的性质定理可得，进而可证得；由等体积法，可得E到面的距离，设线面角，可得角的正弦值，进而求出线面角的大小．本题考查线面平行的性质的应用及等体积法求点到面的距离，属于中档题．19.【答案】解：由频率分布直方图可知，在抽取的80名工人中，35周岁以上组中的生产标兵有人，35周岁以下组中的生产标兵有人，则列联表如下：生产标兵非生产标兵合计35周岁以上组20608035周岁以下组305080合计50110160则，没有的把握认为生产标兵与工人所在的年龄组有关；设35周岁以下的工人为事件A，生产标兵为事件B，由频率分布直方图可知，，，，则，估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比为，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比为【解析】由频率分布直方图可得35周岁以上组中的生产标兵的人数，以及35周岁以下组中的生产标兵的人数，再列出列联表，求出即可．利用全概率公式求出，再利用条件概率公式求解即可．本题考查独立性检验的应用，全概率公式，条件概率公式的运用，属于中档题．20.【答案】解：因为双曲线C的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在x轴上，离心率为3，可得设双曲线的方程为，由，可得，即有渐近线的方程为；由可得，，所以双曲线的方程为，设，，因为点A，B都在双曲线C的右支上，所以，所以，当且仅当时取得等号，即，当时，，所以，所以轴且，又双曲线的方程为，可令，解得，可得，又，所以，证明：设直线l的方程为，将代入双曲线的方程，可得，设，，可得，，由，可得，故，又，同号，所以，即，所以，解得，此时直线l的斜率的绝对值为，可知直线l与双曲线的两支都相交，又，所以，则，它等于双曲线实轴长的2倍，此时，所以是等腰三角形．【解析】由双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，进而得到渐近线方程；设双曲线的方程为，，，运用基本不等式和双曲线的定义，锐角三角函数的定义和二倍角的正切公式，计算可得所求值；设直线l的方程为，将代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，以及双曲线的定义，等腰三角形的定义，可得证明．本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：因为恒成立，且恒成立，所以当时，恒成立，故是与在上的“分割函数”；又因为，当与1时，其值分别为1与，所以与在上都不恒成立，故不是与在上的“分割函数”；设是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数x恒成立，又因为，当时，它的值为4，可知的图象在处的切线为直线，它也是的图象在处的切线，所以，可得，所以对一切实数x恒成立，即且对一切实数x恒成立，可得且，即，又时，与为相同函数，不合题意，故所求的函数为；关于函数，令，可得，，当与时，；当与时，，可知是函数极小值点，0是极大值点，该函数与的图象如图所示：由为与在区间上的“分割函数”，故存在使得且直线与的图象相切，并且切点横坐标，此时切线方程为，即，，设直线与的图象交于点，，则由，可得，所以，令，，则，当时，，所以在上单调递减，所以，所以，所以的最大值为【解析】根据题意可得当时，恒成立，结合“分割函数”的定义依次判断，即可求解；根据“分割函数”的性质，则对一切实数x恒成立，由导数的几何意义和恒成立可得且对一切实数x恒成立，结合图形即可求解；利用导数求出函数极值，则，，作出其函数与函数的图象，设直线与的图象交于点，，利用代数法求出弦长，结合导数研究函数，的性质即可求解．本题属于新概念题，考查了转化思想、数形结合思想、导数的综合运用，理解定义及作出图象是关键，属于难题．。
上海市黄浦区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像. 【详解】设2()(1)ln 1g x f x x x -=-=-+，由于120112ln 22g -⎛⎫=> ⎪⎝⎭+，排除B 选项；由于()2222(e),e 2e 3eg g --==--，所以()g e >()2e g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确. 故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.2．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】 【分析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．4．已知向量(a =r ，b r是单位向量，若a b -=r r ，则,a b =r r （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】 【分析】设(,)b x y =r，根据题意求出,x y 的值，代入向量夹角公式，即可得答案； 【详解】设(,)b x y =r ，∴(1)a b x y -=-r r， Q b r是单位向量，∴221x y +=,Q a b -=r r，∴22(1))3x y -+=，联立方程解得：1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,0,x y =⎧⎨=⎩当1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，13122cos ,212a b -+<>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 当1,0,x y =⎧⎨=⎩时，11cos ,212a b <>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 综上所述：,3a b π<>=r r .故选：C. 【点睛】本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意b r的两种情况.5．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值【答案】B 【解析】【分析】判断直线0bx ay c ++=与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况. 【详解】由0a b c ++=，a b c >>，所以可得0,0a c ><.1112,22222c c c ca b a a c b c a c c a a a a>⇒>--⇒>->⇒-->⇒<-∴-<<-⇒<-<， 所以由0b cbx ay c y x a a++=⇒=--，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.6．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，【答案】B 【解析】 【分析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，画出可行域如下图所示：将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =； 当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=， 所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6， 故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 7．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1=4π,x 2=π, |x 1-x 2|=π,|y 1-y 2|=|πsinx 1-πcosx 2|=22π+22π =2π, ∴|MN|==π.故选C.8．设函数22sin ()1x x f x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解. 【详解】对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，因为()()()()()2222sin sin 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；对于选项D:因为2222sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22sin 01f ππππ==+,故选项C 排除; 故选:B 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.9．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =-的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案. 【详解】 解：1sin 22sin 22sin 22sin 2233y x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 222sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数. 10．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23， 故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.11．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1- B ．0C ．1D．22+ 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值. 【详解】函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩即|cos |y x =直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数cos y x =-相切于4x ，4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为sin y x '=， 故444cos sin 2x k x x -==+，所以()()()()4444444sin 1221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题. 12．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市十三校2020年联考高考数学二模试卷(理科)含答案解析
上海市十三校2020年联考高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．7．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．8．已知直角坐标系中，曲线C参数方程为（0≤α≤2π），现以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面BDE 的距离为．10．函数f（x）=（）x+x﹣5的零点为x1、x2，函数g（x）=log x+x﹣5的零点为x3、x4，则x1+x2+x3+x4的值为．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S5的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为．13．已知正四面体A1A2A3A4，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积的不同数值的个数为．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行16．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）A．是必然事件B．M∪N是必然事件C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，918．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线三、解答题（共5小题，满分60分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）20．已知复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）若z1z2为实数，求sec2θ的值；（2）若复数z1，z2对应的向量分别是，，存在θ使等式（λ﹣）（﹣λ）=0成立，求实数λ的取值范围．21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2020？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）设A={x|μ（x+log2x）＞m}，B=（，2），若A∩B≠∅，求实数m的取值范围；（2）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n）（n∈N+）上的值域为M n，集合M n中的元素个数为a n，求证：；（3）设g（x）=x+a，h（x）=，若对于x1，x2（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），求实数a的取值范围．2020年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=2．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1∴x=2故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20．【分析】根据二次项展开式的通项公式，写出含x项的指数，令指数为0求出r的值，再计算二项展开式中的常数项．【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：T r+1=（2x）6﹣r=26﹣r x6﹣2r，由6﹣2r=0得：r=3；∴二项展开式中的常数项为：23=﹣20．故答案为：﹣20．【点评】本题考查了二项式系数的性质问题，利用二项展开式的通项公式求出r的值是解题的关键，是基础题．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．【分析】先根据椭圆的焦点位置，求出半焦距，经过的椭圆的长半轴等于，可求短半轴，从而写出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c=1，a=，∴b2=4，故椭圆的方程为为故答案为：．【点评】本题考查椭圆的性质及标准方程的求法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．用待定系数法求椭圆的标准方程是一种常用的方法．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=[4，5）．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2，解得：1＜x＜5，即A=（1，5），由B中不等式变形得：x（x﹣4）≥0，且x≠0，解得：x＜0或x≥4，即B=（﹣∞，0）∪[4，+∞），则A∩B=[4，5），故答案为：[4，5）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【分析】由A的度数，求出sinA的值，设a=BC，c=AB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．【分析】先求出基本事件总数，由选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学至少有一名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任意2人参加体能测试，基本事件总数n=，选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】化简a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，从而可得b2﹣k2b2≥0恒成立，从而解得．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a=kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及恒成立问题的应用．8．已知直角坐标系中，曲线C参数方程为（0≤α≤2π），现以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ．【分析】求出C的直角坐标系方程，然后根据极坐标方程进行转化即可．【解答】解：，曲线C的标准方程为x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y+4=4，则x2+y2﹣4y=0，则ρ2﹣4ρsinθ=0即ρ=4sinθ，故答案为：ρ=4sinθ【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程和普通方程之间的转化，根据相应的转化公式是解决本题的关键．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面BDE 的距离为．【分析】连接AC，与BD交于O，连接OE，作C1F⊥OE，证明C1O即为所求．【解答】解：如图所示，连接AC，与BD交于O，连接OE，作C1F⊥OE．∵BD⊥平面A1C1CA，BD⊂平面BDE∴平面BDE⊥平面A1C1CA，∵平面BDE∩平面A1C1CA=OE，C1F⊥OE，∴C1F⊥平面BDE．△C1OE中，C1E=3，C1O=，EO=，∴C1O2+EO2=C1E2，∴C1O⊥OE，即O，F重合，∴点C1到平面BDE的距离为．故答案为：．【点评】本题考查点C1到平面BDE的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．函数f（x）=（）x+x﹣5的零点为x1、x2，函数g（x）=log x+x﹣5的零点为x3、x4，则x1+x2+x3+x4的值为10．【分析】由函数与方程的关系转化为图象的交点问题，根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于y=x对称的性质进行转化求解．【解答】解：由f（x）=（）x+x﹣5=0得（）x=5﹣x，由g（x）=log x+x﹣5的得log x=5﹣x，分别作出函数y=（）x，y=5﹣x和y=log x的图象，∵y=（）x和y=log x的图象关于y=x对称，则（）x=5﹣x，与log x=5﹣x的根关于y=x对称，由得，即两直线的交点坐标为（，），则=，=，即x1+x3=5，x2+x4=5，则x1+x2+x3+x4=10，故答案为：10．【点评】本题主要考查函数与零点的应用，结合指数函数和对数函数的对称性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S5的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=16．【分析】由a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），分别令n=2，3，4，5，求得{a n}的前5项，观察得到最小值b=1+2+3+4+5，a=1+2+4+8+16，计算即可得到a﹣b的值．【解答】解：由a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1=a1，解得a2=2a1=2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3=a2+a1=3或2a2=4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4=a3+a1=4或5；a4=a3+a2=5或6；或a4=2a3=6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5=a4+a1=5或6或7；a5=a4+a2=6或7或8；a5=a4+a3=7或8或9或10或12；a5=2a3=8或10或12或16．综上可得S5的最大值a=1+2+4+8+16=31，最小值为b=1+2+3+4+5=15．则a﹣b=16．故答案为：16．【点评】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，3] ．【分析】根据奇函数的性质求出f（﹣2）=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象并对x 分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）=0，在（﹣∞，0）是减函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，函数图象示意图：其中f（0）=0，∵xf（x﹣1）≥0，∴或，解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，∴不等式的解集是[﹣1，0]∪[1，3]，故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，正确画出函数的示意图是解题的关键，考查分类讨论思想和数形结合思想．13．已知正四面体A1A2A3A4，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积的不同数值的个数为9．【分析】设出已知正四面体的棱长，求出四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长，每一对相对棱的中点连线得长，然后分别求i=1，j自1取到10，所得数量积的不同数值，同理求得i=2，j自1取到10，所得数量积的不同数值，…i=10，j自1取到10，所得数量积的不同数值，比较结果后得答案．【解答】解：∵四面体A1A2A3A4是正四面体，∴四面体的所有棱长相等，设为a，四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长均为，每一对相对棱的中点连线相等均为．当i=1，j自1取到10，所得数量积的不同数值有：=a2，，，，，，，，．当i=2，j自1取到10时，依次求得数量积的不同数值，…i=10，j自1取到10，依次求得数量积的不同数值，比较结果后得数量积的不同数值有，0，共9个．故答案为：9．【点评】本题考查向量在几何体中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是[，+∞）．【分析】由题意可得≤ωx+≤ωπ+，2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，由此求得ω的范围．【解答】解：由题意得，D=[0，π]，f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的定义域为D，∵f﹣1（[0，2]）={x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+）∈[0，2]．∵ω＞0，x∈[0，π]，∴≤ωx+≤ωπ+，∴由2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了对应关系的应用，以及函数的定义域与值域的关系的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．16．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）A．是必然事件B．M∪N是必然事件C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件【分析】有M、N是互斥事件，作出相应的示意图，即可得．【解答】解：因为M、N为互斥事件，如图：，无论哪种情况，是必然事件．故选A．【点评】本题考查借助示意图判断事件间的关系，考查互斥事件的定义，属于基础题17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B【点评】本题主要考查系统抽样方法．18．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）【分析】求出圆锥的侧面积即为答案．【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r，则圆锥的高为r，圆锥的母线为．∵V==，∴r=10cm．∴圆锥形容器的侧面积S==100cm2≈444.3cm2．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积，体积计算，属于基础题．20．已知复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）若z1z2为实数，求sec2θ的值；（2）若复数z1，z2对应的向量分别是，，存在θ使等式（λ﹣）（﹣λ）=0成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，通过复数是实数求出θ，然后求解即可．（2）化简复数z1，z2对应的向量分别是，，然后利用向量的数量积求解即可．【解答】解：复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）z1z2=2sinθ+2cosθ+（4sinθcosθ﹣）i，z1z2为实数，可得4sinθcosθ﹣=0，sin2θ=，解得θ=．sec2θ==﹣2．（2）复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，复数z1，z2对应的向量分别是，，=（2sinθ，﹣），=（1，2cosθ），（λ﹣）（﹣λ）=0，∵2+2=（2sinθ）2+（﹣）2+1+（2cosθ）2=8，=（2sinθ，﹣）（1，2cosθ）=2sinθ﹣2cosθ，∴（λ﹣）（﹣λ）=λ（2+2）﹣（1+λ2）=8λ﹣（1+λ2）（2sinθ﹣2cosθ）=0，化为sin（θ﹣）=，∵θ∈[，]，∴（θ﹣）∈[0，]，∴sin（θ﹣）∈[0，]．∴0≤≤，解得λ≥或λ≤2﹣．实数λ的取值范围是（﹣∞，2﹣]∪[2+，+∞）．【点评】熟练掌握z1z2∈R⇔虚部=0、复数的几何意义、向量的数量积、一元二次不等式的解法是解题的关键21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2020？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）可求得d==3，{b n﹣a n}是等比数列，公比q=2，从而求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）化简c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，从而分类讨论以确定数列{c n}的前n项和S n，可求得S n=，从而讨论即可．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，∴d==3，∴a n=3n，∵{b n﹣a n}是等比数列，且b1﹣a1=4﹣3=1，b4﹣a4=20﹣12=8，∴q=2，∴b n﹣a n=12n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1；（2）c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，故①当n为奇数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…+（3（n﹣1）+2n﹣2）﹣（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…+3（n﹣1））﹣3n+（﹣1+2﹣4+…﹣2n﹣1）=3×﹣3n+ [（﹣2）n﹣1]=﹣（n+1）+ [（﹣2）n﹣1]=﹣[（n+1）+（2n+1）]，②当n为偶数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…﹣（3（n﹣1）+2n﹣2）+（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…﹣3（n﹣1）+3n）+（﹣1+2﹣4+…+2n﹣1）=3×+ [（﹣2）n﹣1]=n+（2n﹣1），综上所述，S n=，若S m=2020，故m一定是偶数，故m+（2m﹣1）=2020，故（2m﹣1）=2020﹣m，而（214﹣1）＞2020，（212﹣1）＜2020﹣×12，故m值不存在．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列前n项和的求法及分类讨论的思想应用．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2 （3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．【分析】（1）求得特征直线的斜率，哟哟点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出双曲线的渐近线方程，可得点G的“特征直线”的斜率为2，求得G的坐标，解方程可得较大的根，进而得到证明；（3）设C（m，n），D（s，t），求得直线l1、l2的方程，求得交点M，解方程可得两根，再由向量共线的坐标表示，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，即有直线l的方程为y﹣1=x﹣2，即为y=x﹣1；（2）证明：双曲线的渐近线为y=±x，可得点G的“特征直线”的斜率为2，即有G的横坐标为4，可设G的坐标为（4，4），可得点G的“特征直线”方程为y﹣4=2（x﹣4），即为y=2x﹣4，点Q（a，b）为线段GH上的点，可得b=2a﹣4，（0≤a≤4），方程x2﹣ax+b=0的根为x=，即有较大的根为===2，可得r（a，b）=2；（3）设C（m，n），D（s，t），即有直线l1：y+n=mx，l2：y+t=sx，联立方程，由n=m2，t=s2，解得x=（m+s），y=ms，即有a=（m+s），b=ms，则方程x2﹣ax+b=0的根为x1=m，x2=s．可得E（0，﹣m2），点M在线段CE上，则b=ma﹣m2=ms，则=λ（λ≥0），即（m+s）﹣m=λ（0﹣（m+s）），即有（s﹣m）（m+s）≤0，即s2≤m2，即|s|≤|m|，则r（a，b）=；以上过程均可逆，即有点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查抛物线的切线的方程的求法和运用，考查向量共线的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）设A={x |μ（x +log 2x ）＞m }，B=（，2），若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围； （2）设g （x ）=μ（x μ（x ）），g （x ）在区间（0，n ）（n ∈N +）上的值域为M n ，集合M n 中的元素个数为a n ，求证： ；（3）设g （x ）=x +a ，h （x ）=，若对于x 1，x 2（2，4]，都有g （x 1）＞h （x 2），求实数a 的取值范围．【分析】（1）根据μ（x ）的定义，A ∩B ≠∅，可得μ（x +log 2x ）的最大值为3，可得m ＜3；（2）由g （x ）=μ（x μ（x ）），依次求出数列{a n }的前5项，再归纳出a n =a n ﹣1+n ，利用累加法求出a n ，运用数列的极限的计算公式，即可得证；（3）对于x 1，x 2∈（2，4]，都有g （x 1）＞h （x 2），即有g （x 1）＞h （x 2）max ，由二次函数的最值和正弦函数的值域，可得g （x ）的最大值为4，讨论x ∈（2，3]，当x ∈（3，4]，结合新定义和分离参数，由二次函数的最值的求法，即可解得a 的范围．【解答】解：（1）由题意可得x ＞0，且x +log 2x 在（，2）递增，即有﹣1＜x +log 2x ＜3，可得μ（x +log 2x ）的最大值为3，由A ∩B ≠∅，可得m ＜μ（x +log 2x ）的最大值，即有m ＜3，即m 的范围是（﹣∞，3）；（2）证明：由题意易知：当n=1时，x ∈（0，1]，所以μ（x ）=1，所以μ（x μ（x ））=1，所以M 1={1}，a 1=1；当n=2时，x ∈（1，2]，所以μ（x ）=2，所以μ（x μ（x ））∈（2，4]，所以M 2={1，3，4}，a 2=3；当n=3时，x ∈（2，3]，所以μ（x ）=3，所以μ（x μ（x ））=μ（3x ）∈（6，9]， 所以M 3={1，3，4，7，8，9}，a 3=6；当n=4时，因为x ∈（3，4]，所以μ（x ）=4，所以μ（x μ（x ））=μ（4x ）}∈（12，16]，所以M 4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a 4=10；当n=5时，因为x ∈（4，5]，所以μ（x ）=5，所以μ（x μ（x ））=μ（5x ）∈（20，25]， 所以M 5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a 5=15， 由此类推：a n =a n ﹣1+n ，所以a n ﹣a n ﹣1=n ，=n，即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1以上n﹣1个式子相加得，a n﹣a1=，解得a n=，可得===；（3）对于x1，x2∈（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），即有g（x1）＞h（x2）max，由g（x）=，当x=时，x2﹣5x+7取得最小值，sinπx+2取得最大值1+2=3，即有g（x）取得最大值4．当x∈（2，3]，有μ（x）=3，可得x+﹣2＞4，即有3a＞x（6﹣x），当x=3时，x（6﹣x）取得最大值9，可得3a＞9，即为a＞3：当x∈（3，4]，有μ（x）=3，可得x+﹣2＞4，即有4a＞x（6﹣x），当x=3时，x（6﹣x）取得9，可得4a＞9，即为a＞．综上可得a＞3．【点评】本题考查新定义的理解和应用，归纳推理，累加法求数列的通项公式，以及不等式恒成立问题的解法，难度较大．。
2020届黄浦区高三二模数学试卷(高清打印版)
2020届黄浦区高三二模数学试卷黄浦区2019学年度第二学期高三年级阶段性调研数学试卷2020年5月（完卷时间：120分钟满分：150分）考生注意：1.毎位考生应同时收到试卷和答眺卷两份材料，解答必須在答題卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答題卷上填写清楚：3.本试卷共21道试題，満分150分：考试时间120分钟.一、壊空题（本大题共有12 滴分54分.其中第1-6题每题满分4分,第7~12题毎题滴分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接壊写结果-1.若集合>4-{1,2,3,4,5}, B = {x|x I-x-6<0）,则Bc8= •2.函数y = 2cos,* + 2的最小正周期为.3.某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调査社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 .4.若直线4：ax + 3y-5 = O与4：x + 2y-l = 0互相垂直.则实数0的值为.5.如果sina=-絳，a为第三象限角，则sin（学+a）=____________ .6.若一圆推的主視图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为.7.己知双曲略一若=1（。
>°0>°）的一条渐近线平行于直线厶y = 2x + 10.双曲线的一个焦点在直线，上，则双曲线的方程为.8.已知函数/（x）= a,+ZKa>0,a*l）的定义域和值域都是[-2,0].则/（-1）= .如+2>»-7《0,9.当x,y瀧足，x-v-lWQ 时，|2x-j/|Wa恒成立，则实数a的取值范|fl是_______________ .xNl10-某班共有4个小组，每个小组冇2人报名参加志愿者活动.现从这8人中随机选岀4人作为正式志屋者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为.11.已知OG R,= , a +I ">°）,若存在不相等的实数x"g，使得四2=丑坦= X2+i （直〈0）E x2久髭=一2,则。
2020年上海市浦东新区高中数学高考二模试卷含详解
上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C _______．2.某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为_______．3.若函数()21x x f =，则()=-11f_______．4.若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p _______．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为_______．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是_______．7.若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x 32lim _______．8.已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是_______.9.从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m _______．10.已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为_______．11.如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，的最小值为_______.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_______.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则目标函数y x f +=2的最大值为()A ．1B ．2C ．3 D.414.如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线()A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D.不存在15.已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数；②函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581.则正确结论的序号是()A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①②④16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为()A ．711949⋅B ．7021949⋅C ．702371949⋅⋅D ．702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、．（1）求()β+αcos 的大小；（2）在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列： ,,,,,54321；②等比数列： 1618141211,,,,--；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷答案解析版一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】【分析】由补集的运算法则可得解.【详解】{}{}0,1,2,0,1U A == {}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.2.某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___．【答案】100【解析】【分析】数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.【详解】5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100【点睛】本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.3.若函数()12f x x =，则()11f -=__________．【答案】1【解析】【分析】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解.【详解】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.4.若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．【解析】【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i - 是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.5.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为．【答案】1:8【解析】试卷分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8考点：球体的表面积体积6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是________．【答案】相交【分析】由已知可得：直线l 的标准方程为10x y -+=，圆O 的标准方程为221x y +=，再计算出圆心到直线的距离2d r =<，问题得解.【详解】由直线l 的参数方程1x t y t =-⎧⎨=⎩，可得：直线l 的标准方程为：10x y -+=，由圆O 的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，可得：圆O 的标准方程为：221x y +=，圆心为(0,0)，半径1r =圆心为(0,0)到直线l的距离12d ==<则直线l 与圆O 的位置关系是相交.故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.7.若二项式()412x+展开式的第4项的值为()23lim nn x x x x →∞++++= __．【答案】15【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，得：3344(2)x T C ==，解得16x =，再由等比数列求和公式，得：2311156nnx x x x ⎡⎤⎛⎫=⨯-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣+⎦+ ，从而极限可求.【详解】由已知可得：3344(2)x T C ==，即33(2)2x x ==，解得16x =，2311166(1)111115616nnn nx x x x x xx ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∴+++⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+ ，()231111565lim lim nnn n x x x x→∞→∞+++⎡⎤⎛⎫∴⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+= .故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题.8.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.【答案】22221x y -=【解析】【分析】由已知可得双曲线的右焦点为(1,0)，即1c =，由双曲线的渐近线方程为y x =±，可设其方程为：22,0x y λλ-=>，再由222+=a b c 可得：1λλ+=，求出λ，问题得解.【详解】 抛物线24y x =的焦点为：(1,0)∴双曲线的右焦点为：(1,0)，即1c =双曲线的渐近线方程为y x =±，∴双曲线的方程可设为：22,0x y λλ-=>，即221x y λλ-=，22a b λ∴==由222+=a b c 可得：1λλ+=，12λ∴=，双曲线的方程是22221x y -=.故答案为：22221x y -=【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.9.从m （N m *∈且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则m =_____________．【答案】10【解析】【分析】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，共有116m C C 情况，由已知可得：2211662266m m m m C C C C C C +++=，即221166m m C C C C +=，解之即可.【详解】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，116m C C 情况()()P A P B = ，2211662266m m m m C C C C C C +++∴=221166m m C C C C ∴+=，即(1)65622m m m -⨯+=整理，得：213300m m -+=，即(3)(10)0m m --=N m *∈ 且4m ≥，10m ∴=故答案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.10.已知函数()()222log 22f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为________．【答案】{}1【解析】【分析】由已知可得：()f x 为R 上的偶函数，又函数()f x 的有且只有一个零点，所以()00f =，由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =【详解】显然，由()()222log 22f x x a x a =+++-，可得：()()f x f x =-，()f x \为R 上的偶函数.函数()f x 的有且只有一个零点，()0=0f ∴由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =故答案为：{}1【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.11.如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+ ，若ABC 的面积为332，则AP 的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】设,AB AC m n ==，由1sin 22BA AB A C C ⋅⋅∠= ，可得：6mn =再由1233t AC AB t AC A AP D =++= ，可得：13t =，则AP == 222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n== ABC 的面积为332，1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠1222mn ==6mn ∴= D 为AB 中点，2AB AD ∴=1233t AC AB t AC AD AP +==+∴ 又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t =1133AP AC AB ∴=+ 则()2222911112=3399AP AC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭ 22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠ 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+AP ∴=当且仅当m n ==时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=++1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_____________.【答案】202133-【解析】【分析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈；11n n a b ++=2n n a b ，12,n n n a b n N -*∴=∈，由此可得：12333n n n n c +=⋅=-，再由等比数列求和公式可得解.【详解】1n n n a a b +=+ ①，1n n n b a b +=+②两式相加可得：()112+n n n n n n n n a b a b a b a b +++++=+=，{}n n a b ∴+是公比为2的等比数列，首项112a b +=2,n n n a b n N *∴+=∈两式相乘可得：(11n n n n n n a b a b a b ++=++()22n n n na b a b =+={}n n a b ∴是公比为2的等比数列，首项111a b =12,n n n a b n N -*∴=∈113323nn n n n n n n n n a b c a b a b ⎛⎫+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，由等比数列求和公式，得：()2020202120206133313S -==--故答案为：202133-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)max 22z x y ∴=+=.故选：B【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.14.如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（）A.有一条B.有二条C.有无数条D.不存在【答案】C【解析】【分析】易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条.【详解】若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ，又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条.故选：C【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题.15.已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论：①()f x 是周期函数；②函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（）A.①②B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【解析】【分析】由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数，当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题.【详解】()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确；当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=--可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确；函数()f x 的对称轴为,x k k Zπ=∈若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误；sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确.故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径.那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A.711949⋅ B.7021949⋅ C.702371949⋅⋅ D.702721949⋅⋅【答案】C【解析】【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72 ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++ ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020 等1949类，问题可得解.【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况；以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72 ，有（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++ ①70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++ ②707070,070,r r C C r r Z-=≤≤∈ ①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯ 70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020, 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅.故选：C【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）83π（2）62arccos 4+【解析】【分析】（1）先算底面积212EBC S r θ=扇形，再由V S h =⋅算出体积；（2）以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出cos FP AC FP ACα⋅=⋅ ，即可得解.【详解】（1）由已知可得：22112422233EBC S r ππθ==⨯⨯=扇形．48233V S h ππ∴=⋅=⨯=．（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,2A ，()2,0,2F ，()0,2,0P ，()3C -，所以，()2,2,2FP =--，()32AC =-- .设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则cos FP ACFP ACα⋅=⋅()()()()()()()()()222222212322222132-⨯-+⨯+-⨯-=-++-⋅-++-624=所以，异面直线FP 与CA 所成角为62arccos4α=.【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.18.已知锐角αβ、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为31025105、．（1）求()cos αβ+的大小；（2）在ABC ∆中，a b c 、、为三个内角、、A B C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值．【答案】（1）22（2）1=2λ-【解析】【分析】（1）由已知得：cos 105αβ==，故而sin 10α=，sin 5β=，再由cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ=-可得解.（2）由（1）得：4C παβ=+=，所以22cos ,sin 22C C ==，由3tan 4A =可得34sin ,cos 55A A ==，再由sin sin()B A C =+可得72sin 10B =，最后由正弦定理可得：2222sin sin =sin sin a c AC bc B C λ--=，问题得解.【详解】（1）由三角函数定义，得：cos αβ==αβ 、为锐角，10sin 10α∴==，sin 55β==cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ∴=-22=（2）由2cos(+)2αβ=，αβ 、为锐角，得：4C παβ=+=，22cos ,sin 22C C ∴==由3tan 4A =，得sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=，解得34sin ,cos 55A A ==[]sin sin ()sin()B AC A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C=+34525210=⨯+⨯=由正弦定理可得：222291sin sin 1252=sin sin 5a c A C bc B C λ---==-【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．【答案】（1）当12b =时不满足条件②，见解析（2）939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以不满足条件②；（2）求导得：()2221444b x bf x x x+'=+=，当0b ≥时，满足条件①；当0b <时，()f x 在)⎡+∞⎣上单调递增，所以3≤.由条件②可知，()2x f x ≥，即44x b x +≤，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+在[]3,6上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件②.（2）由条件①可知，()44x bf x x=-+在[]3,6上单调递增，()2221444b x bf x x x +'=+=所以当0b ≥时，()0f x ¢³满足条件；当0b <时，由()0f x ¢=可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时()0f x ¢³，()f x 单调递增，3∴≤，解得904b -≤<，所以94b ≥-由条件②可知，()2xf x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+当3x =时，()218164y x =--+取最小值394394b ∴≤综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12AF AF +=（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（20y ±-=（3）(,)-∞+∞ 【解析】【分析】（1）由已知得：2a =，问题得解；（2）由已知可得：OA OB ⊥，设直线l 方程为：1x my -=，()11,A x y ,()22,B x y ，与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，由韦达定理，得：12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，最后由0OA OB ⋅= ，可得：1212x x y y +21212(1)()10m y y m y y =++++=，代入解方程即可；（3）设直线l 方程为：y kx b =+，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx b k x x +++=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=，有已知可得:122x x +=，联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=，由228(21)0k b ∆=-+>，和1224221kbx x k +=-=+可求b 的取值范围.【详解】（1）由12+AF AF =2a =，从而a =2212x y +=.（2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上.因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥.设直线l 方程为：1x my -=，且()11,A x y ,()22,B x y 与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+，由0OA OB ⋅=，可得：12121212(1)(1)x x y y my my y y +=+++21212(1)()1m y y m y y =++++2222121022m m m m +=--+=++解得22m =±0y ±=.（3）设直线l 方程为：y kx b =+，()()()11222,,,,1,0A x y B x y F ，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx b k x x +++=--.1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x ∴+-+-=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符合条件，因此122x x +=.联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=.因为228(21)0k b ∆=-+>，即22210k b -+> ①由1224221kb x x k +=-=+得：2212k b k+=-②将②代入①得：222212102k k k ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，解得：212k >令()12f k k k =--，则()222112122k f k k k -'=-+=当212k >时，()0f k '<，()12f k k k ∴=--在,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭或,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()2f k f ⎛⎫∴>-= ⎪ ⎪⎝⎭或()2f k f ⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭所以b 的取值范围为：(,)-∞+∞ .【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1,2,3,4,5, ；②等比数列：11111,,,,24816-- ；（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【答案】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列.（2）证明见解析（3）()(12,23,a ∈-U 【解析】【分析】（1）①数列通项公式为n a n =，计算可得：()()22120i i i i a a a a +++--=-<，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得：()()222191042ii i i i a a a a +++⎛⎫--=⨯-> ⎪⎝⎭，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，若11a =，{}n a 是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，1n =命题成立，若n k =时2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，可得：222423k k k a a a +++>>，所以当1n k =+时命题也成立；（3）有已知可得：21n n a a ++-()()221519195125n n n n a a a a =----，2n n a a +-()()()2123195125n n n n a a a a =----，若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，解得5,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，解得53,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，由5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则153,2n a +⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，得()2,2n a ∈-；当51013,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则()12,2n a +∈-，得(n a ∈，问题得解.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5, 通项公式为：n a n=()()[][]221(2)2(1)20i i i i a a a a i i i i +++--=-++-+=-< 所以此数列不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,24816-- 通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()11122211111910222242i i i i ii i i i a a a a -+++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以此数列是跳跃数列（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列.充分性：（下面用数学归纳法证明）若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.①当1n =时，112111a a a a a =>=，213112a aa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>>321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立②若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）21195n n a a +-=()222212191919251919555125n n n n a a a a ++-⎛⎫- ⎪⨯---⎝⎭∴===()22221192519191255n n n n a a a a ++⨯---∴-=-()()221519195125n n n n a a a a =----()222192519125n n n n a a a a +⨯---=-()()()2123195125n n n n a a a a =----①若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧----<⎪⎪∴⎨⎪---->⎪⎩解得5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭；②若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧---->⎪⎪∴⎨⎪----<⎪⎩解得51013,2n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若5101,22n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211951013,52n n a a +⎛-+=∈ ⎝⎭，所以()2,2n a ∈-，若51013,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈，所以()(12,2a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()(2,2n a ∈-U 【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.。
2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“函数存在反函数”是“函数在R上为增函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.设，是复数，则下列命题中的假命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.已知是互相垂直的单位向量，向量满足：是向量夹角的正切值，则数列是A. 单调递增数列且B. 单调递减数列且C. 单调递增数列且D. 单调递减数列且4.如图，直线平面，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为2，A，D分别是直线l和平面上的动点，且，则下列判断：点O到棱BC中点E的距离的最大值为；正四面体ABCD在平面上的射影面积的最大值为．其中正确的说法是A. 都正确B. 都错误C. 正确，错误D. 错误，正确二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若集合2，3，4，，，则______．6.函数的最小正周期为______．7.某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选______户．8.若直线：与：互相垂直，则实数a的值为______．9.如果，为第三象限角，则______．10.若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为______．11.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：，该双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程______．12.已知函数的定义域和值域都是，则______．13.当x，y满足时，恒成立，则实数a的取值范围是______．14.某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为______．15.已知，函数，若存在不相等的实数，，，使得，则a的取值范围是______．16.点A是曲线上的任意一点，，，射线QA交曲线于B点，BC垂直于直线，垂足为点C，则下列结论：为定值；为定值5；为定值．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，在三棱椎中，平面ABC，，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，，．求异面直线PB与DF所成的角；求点P到平面DEF的距离．18.设是函数，的图象上任意两点，点满足若，求证：为定值；若，且，求的取值范围，并比较与的大小．19.某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图所示，矩形ABCD的AB边与BC边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O为AB中点，扇形的圆弧端点E，F分别在AD与BC上，圆弧的中点G在CD上．求扇形花园的面积精确到1平方米；若在扇形花园内开辟出一个矩形区域为花卉展览区，如图所示，矩形的四条边与矩形ABCD的对应边平行，点，分别在OE，OF上，点，在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形面积最大时，两矩形与ABCD的形状恰好相同即长与宽之比相同，试求花卉展区面积的最大值，并判断上述猜想是否正确请说明理由20.已知点A，B分别是椭圆C：的右顶点与上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为，且点A是圆r：的圆心，动直线l：与椭圆交于两点．求椭圆C的方程；若点S在线段AB上，且当取最小值时直线l与圆相切，求r的值；若直线l与圆分别交于G，H两点，点G在线段PQ上，且，求r的取值范围．21.若数列与函数满足：的任意两项均不相等，且的定义域为R；数列的前n项的和，对任意的都成立，则称与具有“共生关系”．若试写出一个与数列具有“共生关系”的函数的解析式；若与数列具有“共生关系”，求实数对所构成的集合，并写出关于a，b，n的表达式：若，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：“函数在R上为增函数”“函数存在反函数”；反之取，则函数存在反函数，但是在R上为减函数．故选B函数存在反函数，至少还有可能函数在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．2.答案：D解析：解：对，若，则，，所以为真；对若，则和互为共轭复数，所以为真；对设，，若，则，，所以为真；对若，，则为真，而，所以为假．故选：D．题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题．3.答案：D解析：解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则，，设，，，，，，，，，为向量夹角，，，为减函数，随着n的增大而减小．．故选：D．分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则，，设，进而可求出，结合函数的单调性即可判断．本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．考查转化思想以及计算能力，是中档题．4.答案：C解析：解：由题意，直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到DC的距离，因此：最大距离为BC到球心的距离即BC与AD的公垂线半径，如图：，点O到棱BC中点E的距离的最大值为：；所以正确；当A与O重合时，正四面体ABCD在平面上的射影为：对角线长为2的正方形，射影面的面积为2，所以不正确；故选：C．直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，因此O到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到SC的距离，故最大距离为BC到球心的距离，求解判断；求出特殊点A与O重合时，射影面的面积判断即可．本题考查空间几何体的点、线、面的距离，射影面的面积的求法，命题的真假的判断，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．5.答案：解析：解：由题知集合，再由交集定义可得，故答案为：．由题直接求出集合B，再利用交集的定义求得结果．本题主要考查的是交集的运算，注意端点和点集，是道基础题．6.答案：解析：解：由已知得，所以．故答案为：．先将函数降幂化简，然后套公式求周期．本题考查三角函数式的化简以及最小正周期的求法．属于基础题．7.答案：56解析：解：由题知共有户家庭，设应选中等收入家庭为x户，由分层抽样的定义知，解得故答案为：56由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果．本题主要考查的是分层抽样，是道基础题．8.答案：解析：解：直线：与：互相垂直，，解得．故答案为：．由直线互相垂直，可得，解得a．本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：解析：解：，为第三象限角，，则．故答案为：．由的值及为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，原式利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．10.答案：解析：解：一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，即圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于6，如图：圆锥的高，底面半径，因此，该圆锥的体积故答案为：．根据三视图的性质，求出圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．11.答案：解析：解：由题意得，，解得，，双曲线的方程是，故答案为：．根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出、，代入双曲线的方程即可．本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．12.答案：解析：解：当时，由题得，解得，，则；当时，由题意得，无解；故答案为：由题分别讨论，两种情况，得出关系式，解方程组即可得出a，再代入即可．本题主要考查的是函数的定义域与值域，及分类讨论，是道综合题．13.答案：解析：解：x，y满足的可行域如图：由解得，，经过可行域的A时，取得最大值，最大值为：4，此时取得最大值，所以，恒成立，则实数a的取值范围是．故答案为：．画出约束条件的可行域，求解的最大值，即可得到a的范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.答案：解析：解：某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数，选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为．故答案为：．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数，由此能求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．15.答案：解析：解：当时，令，解得；所以只需方程在上有两个不等根即可，整理得，有两个根．只需与在上有两个不同交点即可．令，，，当时，，递增；时，，递减；所以，且，或时，都有．所以，要使时，结论成立，只需即可．故答案为：．令，解得，所以问题转化为在上有两个不等根即可，分离参数得在上有两个不等实根，只需研究在上的单调性，极值，端点值，结合图象即可解决问题．本题考查利用数形结合思想研究函数零点的问题，要注意函数的零点、方程的根、两个函数图象交点的横坐标之间的相互转化，互为工具的关系．同时考查学生的逻辑推理能力等．属于中档题．16.答案：，解析：解：由题意知：曲线表示双曲线的上半支，；并且是双曲线的下焦点，为上焦点；曲线表示的是抛物线，其焦点为，准线为．做出图象如图：较长的曲线为抛物线，较短的曲线为双曲线上支．因为A在双曲线的上支上，所以，为定值，故正确；因为B在抛物线上，设直线于H，，，定值，故正确；因为，，故错误．故正确的序号为：．故答案为：，．曲线表示双曲线的上支，曲线表示的是抛物线，P，Q点为双曲线的两个焦点，且Q点也是抛物线的焦点，然后结合抛物线、双曲线的定义，逐个判断即可；其中第问中，要注意将转化为后，再进一步分析．本题考查了圆锥曲线的定义及性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．属于中档题．17.答案：解：如图，分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则0，，0，，1，，0，，0，，．故，．．可得．故异面直线PB与DF所成的角为；，．设是平面DEF的一个法向量，则，取，得．又．点P到平面DEF的距离．解析：分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出与所成角的余弦值，可得异面直线PB与DF所成的角的大小；求出平面DEF的一个法向量，再求出的坐标，由点到平面的距离公式可得点P到平面DEF 的距离．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解点到平面的距离，是中档题．18.答案：解：证明：由可知，，即，，故为定值，即得证；由，，可得，则，即，解得，此时由，可得，故，即．解析：依题意，，即，再利用中点坐标公式可求得，即得证；根据题意，可得，再由对数函数的性质可得，由此求得的取值范围，利用作差法可知，进而得出与的大小关系．本题考查平面向量的综合运用以及对数函数的图象及性质，涉及了中点坐标公式的运用，作差法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：设，则，在中，，，，；可得扇形的面积为平方米，即扇形花园的面积约为1030平方米；在图中，连接，设，，则在中，由，可得；又，，，所以矩形的面积为，当且仅当，即时，取得最大值，所以的最大值为；所以花卉展览区面积的最大值为平方米．当矩形的面积最大时，，此时，，所以两矩形的长和宽之比相等，即两矩形的形状相同，该同学的猜想是正确的．解析：设，利用直角三角形的边角关系求出BO、OF，再计算扇形的面积即可；在图中连接，设，，利用正弦定理求出，计算矩形的面积，求出面积取最大值时时对应的边长比，从而判断两矩形的长和宽之比相等，得出该同学的猜想是正确的．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学建模与运算求解能力，是难题．20.答案：解：由题意可知，，，，所以直线AB的方程为：，所以原点到直线的距离，所以可得，所以椭圆的方程为：；由设，由题意可得，将S坐标代入直线AB的方程中，可得，所以，所以当时取最小值，所以，且直线l的方程为，所以；由，可得，将代入椭圆C的方程可得：，即，故，又A到直线l的距离，故，所以，可得，令，则，所以r的取值范围为解析：由椭圆的方程可得A，B的坐标及直线AB的方程，由题意可得a的值，及O到直线的距离距离，可得，a，b的值，进而求出椭圆的方程；设P的坐标，由向量的关系求出S的坐标，将S的坐标代入直线AB的方程可得的表达式，由三角函数的取值范围求出最小时r的值；设直线GH的方程与圆联立，求出P，Q的坐标，求出弦长GH，求出A到直线的距离，及弦长GH与A到直线GH的距离和半径之间的关系，求出弦长GH，两式联立求出r的表达式，换元可得可得r的范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式，换元方法的应用，属于中档题．21.答案：解：解：由，可知，与数列具有“共生关系”函数的解析式可以是．解：由题意得，令，得，即，若，，此式不成立，不合题意，若，，由，得，又，可得，与任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意．若，则，若，则由与，可得，不合题意，若，，1，则，由，，可得，即，此时，数列是首项为，公比为的等比数列，又的任意两项均不相等，故，可知，实数对所构成的集合为，1，，且，其中a，，其中a，，且．证明：必要性若是等差数列，且它与具有“共生关系”，设，，则由，可知，恒成立，，可得，且有实根，即，可知，点在射线上．充分性若点在射线上，则，，又方程等价于，，且，取，它是正数，满足，令，则，当时，，这里的无穷数列是首项为，公差为的无穷数列，其每一项都是正数，存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有“共生关系”．故“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．解析：由，可知，由此能求出与数列具有“共生关系”函数的解析式．由题意得，令，得，推导出，数列是首项为，公比为的等比数列，由此能求出结果．先证明必要性：若是等差数列，且它与具有“共生关系”，设，，则由，知恒成立，由此推导出点在射线上；再证明充分性：若点在射线上，则，，方程等价于，，且，它是正数，满足，令，则，当时，，由此能证明：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．本题考查函数解析式的求法，考查两函数具有共生关系的充要条件的证明，考查运算求解能力、推理论证能力，二查化归与转化思想，是难题．。
2020届上海市高三高考模拟2数学试题(解析版)
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|A x y x R ==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B I =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：由A 中y =10x -…， 解得：1x …，即{|1}A x x =…， 由B 中不等式变形得：11x -剟，即{|11}B x x =-剟， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.若函数()1f x =，()g x =，则()()f x g x +=__________．【答案】1+(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：αQ 是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴=-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题．4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型. 6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线(2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec tan yθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ）， 可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______.【答案】34【解析】 【分析】化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t .【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++, ∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+, ∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P L ，记2i i M AB AP =⋅u u u u v u u u v（1,2,,10i =L ），则1210M M M L +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i yi i y += 【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ， 直线33B C的方程为6)y x =-， 可设(i i P x ，)i yi i y +=即有23i i i i M AB AP x =⋅=u u u u r u u u r)18i i y =+=，则12101810180M M M ++⋯+=⨯=． 故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa x f x a a x x x ⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x ≤的解集为(],3,-∞则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(]1,3 【解析】 【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a >，且1a ≠，设函数21()21x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x …的解集是(-∞，3]，当1x …时，2|2|3x x -…，可得2323x x --剟，解得13x 剟； 当1x <，即(,1)x ∈-∞时，3x a …，不等式恒成立可得13a <…． 综上可得13a <…．∴实数a 的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 12.已知*n N ∈，从集合{}1,2,3,,n L 中选出k （k ∈N ,2k ≥）个数12,,,k j j j L ，使之同时满足下面两个条件：①121k j j j n ≤<<≤L ； ②1i i j j m +-≥（1,2,,1i k =-L ），则称数组()12,,k j j j L 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=， 故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题．二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）的A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题．15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x …，||1y …，可得||z …，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x …，||1y …，则||z =由||1z ，则221x y +…，所以||1x …，||1y …，即必要性成立． 所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( ) A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈ B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-, 即有()()()2121f x f x x x αα--<<-,令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+, 则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=u u u r u u u r，求△ABC 的面积． 【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r，可得AB AC =u u u r u u u r，进而可得△ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin (cos sin cos )2222B B B B B =++- 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12=又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AB AC =u u u r u u u r，∴111sin 2622ABCS AB AC π∆==⨯=u u u r u u u r 考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，116h ==cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2，故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500x a -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x ≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值． 【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，的所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤， 所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线0x y -=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由.【答案】（1）a =2）2（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v =-，于是CD0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v 代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y （2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+ 显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++ 即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v=-于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-L ，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题． 21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=L ，求正整数k 的值； （3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++L . 【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=g ，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．【详解】（1）证明：112n n n S a a +=Q ，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=，又11a =Q ，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n n b b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k n b b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又Q 11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =Q ，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>…， 2211(1)2c m c c -∴==-， 232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯， 3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
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上海市黄浦区2020年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．2．计算：=．3．函数的反函数f﹣1（x）=．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．5．在极坐标系中，直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为（结果用反函数值表示）6．已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．7．已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=．8．已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=．9．在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于．10．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．12．设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），若ξ的数学期望Eξ=，则a+b=．13．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为．14．已知数列{a n}中，若a1=0，a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足a i+a2i≥100的i的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限17．若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形18．若函数f（x）=lg[sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）]的定义域与区间[0，1]的交集由n个开区间组成，则n的值为（）A．2B．3C．4D．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）20．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．21．已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．22．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i ＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．23．对于双曲线C（a，b）：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，则称P在C（a，b）的外部，若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称C（a，b）在的内部；（1）若直线y=kx+1上的点都在C（1，1）的外部，求k的取值范围；（2）若C（a，b）过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；（3）若曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C（a，b）的外部，求m的取值范围．2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：1【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．2．计算：=．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．【解答】解：故答案为：．【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．3．函数的反函数f﹣1（x）=（x﹣1）3．【分析】欲求原函数f（x）=x3+1的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵=y，∴x=（y﹣1）3，∴x，y互换，得y=（x﹣1）3．故答案为（x﹣1）3．【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简周期的求法，考查计算能力．5．在极坐标系中，直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为arctan（结果用反函数值表示）【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，把记极坐标方程化为直角坐标系方程，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可．【解答】解：把极坐标方程ρ（cosθ+2sinθ）=1与ρsinθ=1化为普通方程是x+2y=1与y=1；又直线x+2y=1与y=1夹角的正切值为，所以直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为arctan．故答案为：arctan．【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的互化问题，能进行极坐标和直角坐标的互化，是解题的关键．6．已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．【分析】由题意作图辅助，解菱形，从而求得向量在上的投影．【解答】解：∵在菱形ABCD中，A=，∴∠CAB=，又∵||=1，∴||=2||cos=，∴向量在上的投影为||cos=，故答案为：．【点评】本题考查了数形结合的思想方法应用及平面向量的应用，属于中档题．7．已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=．【分析】多面体为正六棱柱，底面边长和高都是1．【解答】解：由多面体的展开图可知此多面体为正六棱柱，底面边长和高均为1．正六棱柱的底面积S==．∴多面体的体积V=Sh==．故答案为．【点评】本题考查了棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题．8．已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=﹣3．【分析】由已知得f（x）是奇函数，由此利用奇函数的性质能求出f（a）+f（b）．【解答】解：∵f（x）=x3+lg（+x），∴f（﹣x）=﹣x3﹣lg（+x）=﹣f（x），∵f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，∴2[f（a）+f（b）]=﹣6，∴f（a）+f（b）=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．9．在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于15．【分析】（1+）5的展开式的通项公式T r+1==．令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解出即可得出．【解答】解：（1+）5的展开式的通项公式T r+1==．令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解得：r=1，r=（舍去），r=0．∴常数项=4﹣5=20﹣5=15．故答案为：15．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为10．【分析】不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．利用已知可得a ﹣c=5，a+c=15，解出即可得出．【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．∵椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，∴a﹣c=5，a+c=15，∴b2=a2﹣c2=5×15=75．∴b=5．则椭圆的短轴长为10．故答案为：10．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．【分析】根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，共有C93=84，它们的颜色和号码均不相等的取法有A33=3×2×1=6种，故它们的颜色号码均不相等的概率是=，故答案为：【点评】本题考查了古典概率问题，关键是利用排列组合，属于基础题．12．设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），若ξ的数学期望Eξ=，则a+b=．【分析】由已知得（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，由此能求出a+b．【解答】解：∵设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），ξ的数学期望Eξ=，∴（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，解得a=，b=0，∴a+b=．故答案为：．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列和数学期望的性质的合理运用．13．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为4031．【分析】化简可得4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得．【解答】解：由方程组消y可得，4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，当x≤﹣a时，4033﹣2x=1﹣x﹣x﹣a﹣x+b，故x=b﹣a﹣4032，故当x=b﹣a﹣4032≤﹣a，即b≤4032时，有一个解；即a≤4031时，有一个解；否则无解；当﹣a＜x≤1时，4033﹣2x=1﹣x+x+a﹣x+b，故x=4032﹣a﹣b，故当﹣a＜4032﹣a﹣b≤1，即b＜4032且a+b≥4301时，有一个解；即2020≤a≤4030，有一个解，否则无解；当1＜x≤b时，4033﹣2x=x+a+b﹣1，故3x=4034﹣a﹣b，故当3＜4034﹣a﹣b≤3b，即a+b＜4031且a+4b≥4304时，有一个解；即≤a≤2020，方程有一个解，否则无解；当x＞b时，4033﹣2x=3x+a﹣b﹣1，故5x=4034﹣a+b，故当4034﹣a+b＞5b，即a+4b＜4304时，有一个解；否则无解；综上所述，当a取最大值4031时，方程有一个解，故答案为：4031．【点评】本题考查了绝对值方程的解法及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．14．已知数列{a n}中，若a1=0，a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足a i+a2i≥100的i的最小值为128．【分析】由题意可得a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，从而解得．【解答】解：∵a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），∴a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，故k≥7；故i的最小值为27=128，故答案为：128．【点评】本题考查了数列，注意i与2i的关系对k的影响即可．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】两条直线平行时，一定可以得到a1b2﹣a2b1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系【解答】解：若“=0则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2，若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，∴=0，故“=0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．16．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，化简复数到最简形式为a+bi（a、b∈R）的形式，分析实部和虚部的大小关系．【解答】解：z=（m∈R，i为虚数单位）==，此复数的实部为m﹣1，虚部为m+1，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，故选D．【点评】本题考查复数的实部和虚部的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质．17．若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形【分析】不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求出a、b、c的值，再利用余弦定理求出最大角的余弦值，从而得出结论．【解答】解：∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求得a=4，b=3，c=6．再利用余弦定理可得cosC==﹣＜0，故C为钝角，故选：C．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=lg[sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）]的定义域与区间[0，1]的交集由n个开区间组成，则n的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由题意可得sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0，而当x∈（0，1）时，sin（πx）＞0恒成立；当0＜x＜时，sin（2πx）＞0，当＜x＜1时，sin（2πx）＜0，问题变成了求在0＜x＜时，sin（3πx）与sin（4πx）同号得区间，及＜x＜1时，sin（3πx）与sin（4πx）异号的区间．然后由三角函数的象限符号求解即可．【解答】解：要使原函数有意义，则sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0，当x∈（0，1）时，sin（πx）＞0恒成立；即sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0．若sin（2πx）＞0，得2kπ＜2πx＜π+2kπ，即k＜x＜，取k=0，得0＜x＜；若sin（2πx）＜0，得π+2kπ＜2πx＜2π+2kπ，即＜x＜1+k，取k=0，得＜x＜1；∴只需sin（3πx）与sin（4πx）在（0，）上同号，在（）上异号．若sin（3πx）＞0，得2kπ＜3πx＜π+2kπ，即＜x＜，取k=0，得0＜x＜．取k=1，得；若sin（3πx）＜0，得π+2kπ＜3πx＜2π+2kπ，即＜x＜，取k=0，得＜x＜；若sin（4πx）＞0，得2kπ＜4πx＜π+2kπ，即＜x＜，取k=0，得0＜x＜．取k=1，得；若sin（4πx）＜0，得π+2kπ＜4πx＜2π+2kπ，即+＜x＜，取k=0，得＜x＜．取k=1，得．∴满足sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0且在[0，1]内的区间为：（0，），（），（），（），共4个．∴n的值为4．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了三角函数的象限符号，是中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）【分析】连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，推导出∠PAO=60°，AO=6，PO=18，由此能求出凳面的高度h及三根细钢管的总长度．【解答】解：连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，∵凳面与地面平行，∴∠PAO是PA与平面ABC所成的角，即∠PAO=60°，在等边三角形ABC中，AB=18，∴AO=6，在直角△PAO中，PO=AB=18，由，解得h≈47.13cm，三根钢管总长度为≈163.25cm．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间图形的基本知识和基本技能，是中档题，解题时要认真审题，注意理解和掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识．20．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．【分析】（1）由f（）=，可得a+b=2，又f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=，f（x）的最大值为，可得：=，联立即可解出a，b的值．（2）由a=1，可得f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=b，由题意+φ=kπ+，k∈z，可得φ，根据tan（kπ+）==b，可求φ，由f（x0）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，结合范围x0∈[0，2π]，即可得解．【解答】解：（1）∵f（）=（a+b）=，∴a+b=2，①∵f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx）=sin（x+φ），其中tanφ=，∴f（x）的最大值为，可得：=．②∴联立①②可得：，，（2）∵a=1，∴可得：f（x）=sinx+bcosx=sin（x+φ），其中tanφ=b，∵根据直线x=是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，可得φ=kπ+，∴tan（kπ+）=tan==b，故φ=，故f（x）=2sin（x+）．∵f（x0）=，可得：2sin（x0+）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，解得：x0=2kπ，或x0=2kπ+，k∈Z，又∵x0∈[0，2π]．∴x0=0或或2π．【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质，涉及辅助角公式和三角函数的最值，属中档题．21．已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．【分析】（1）令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，求出h（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性即可；（2）通过讨论x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＞0，x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，从而证明结论即可．【解答】证明：函数f（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），（1）函数f（x）=a x+，其中a＞1，令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，则h′（x）=＞0，∴函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）x∈（﹣∞，﹣1）时，0＜a x＜1，=1﹣，x→﹣∞时：x+1→﹣∞，﹣→0，x→﹣1时，﹣→+∞，故x∈（﹣∞，﹣1）时：f（x）∈（1，+∞），x∈（﹣1，0）时，由（1）得：f（x）在（﹣1，0）递增，而f（0）=a0+=﹣2，∴f（x）＜0在（﹣1，0）恒成立，综上：不存在负实数x0使得f（x0）=0．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．22．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i ＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．【分析】（1）通过函数f（x）=（x﹣k1）（x﹣k2）是与x轴交于k1、k2两点且开口向上的抛物线可知，只需知k1、k2均在1的左边即可；（2）通过k1=1化简可知b n=n+﹣（1+k2），排除k2=1、2可知k2≥3，此时可知对于f （n）=n+而言，当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，进而解不等式组即得结论；（3）通过0＜k1＜k2及a n=（n﹣k1）（n﹣k2）可知c n=，结合c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）可知0＜i＜k1＜k2＜j，从而可知k1的最小值为5，通过S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等可知5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，进而可得k2的最小值为6．【解答】解：（1）k1=k2=0；（2）∵k1=1、k2∈N*，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴b n===n+﹣（1+k2），当k2=1、2时，f（n）=n+均单调递增，不合题意；当k2≥3时，对于f（n）=n+可知：当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，由题意可知b1＞b2＞b3、b3＜b4＜…，联立不等式组，解得：6＜k2＜12，∴k2=7，8，9，10，11；（3）∵0＜k1＜k2，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴c n=a n+|a n|=，∵c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j），∴i、j∉（k1，k2），又∵c n=2[n2﹣（k1+k2）n+k1k2]，∴=，∴0＜i＜k1＜k2＜j，此时i的四个值为1，2，3，4，故k1的最小值为5，又S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，不妨设S m=S m+1=S m+2=...，则c m+1=c m+2= 0∵当k1≤n≤k2时c n=0，∴5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，∴k2≥6，即k2的最小值为6．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．23．对于双曲线C（a，b）：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，则称P在C（a，b）的外部，若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称C（a，b）在的内部；（1）若直线y=kx+1上的点都在C（1，1）的外部，求k的取值范围；（2）若C（a，b）过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；（3）若曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C（a，b）的外部，求m的取值范围．【分析】（1）由题意可得直线上点P（x0，y0）满足x02﹣y02＜1，且y0=kx0+1，即为（1﹣k2）x02﹣2kx0﹣2＜0，恒成立，运用二次项系数小于0和判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；（2）将（2，1）代入双曲线的方程，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为r，联立圆的方程和双曲线的方程，求得交点坐标，可得弦长，化简整理可得b，r的关系式和r的范围；（3））|xy|=mx2+1（m＞0），即为|y|=m|x|+，由题意可得曲线上点P（x0，y0）满足﹣＜1，代入y0，整理成x0的二次不等式，运用换元法和二次函数的性质，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）直线y=kx+1上的点都在C的外部，可得（1，1）直线上点P（x0，y0）满足x02﹣y02＜1，且y0=kx0+1，即为（1﹣k2）x02﹣2kx0﹣2＜0，恒成立，可得1﹣k2＜0，且△=4k2+8（1﹣k2）＜0，即有k2＞2，解得k＞或k＜﹣；（2）若C过点（2，1），可得﹣=1，（a，b）即为a2=，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为r，联立，解得y=±，可得r=，化简可得r2====，令b2﹣3=t（t＞0），则r2=＞8，即有r＞2；（3）|xy|=mx2+1（m＞0），即为|y|=m|x|+，的外部，由曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C（a，b）可得曲线上点P（x0，y0）满足﹣＜1，即为b2x02﹣a2（m2x02+2m+）＜a2b2，即有（b2﹣a2m2）x04﹣（2a2m+a2b2）x02﹣a2＜0，令t=x02，即有（b2﹣a2m2）t2﹣（2a2m+a2b2）t﹣a2＜0，对t≥0恒成立，t=0时，﹣a2＜0显然成立；t＞0时，b2﹣a2m2＜0，且﹣a2＜0，＜0，由m＞0，可得m2＞，解得m＞．【点评】本题考查双曲线的内部或外部的理解和运用，注意运用转化思想和分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立思想的解法，以及直线和圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。