高考数学基础练习题

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高考数学练习题含答案一第3讲

配套作业一、选择题1．已知a ＞b ＞0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a ＋1b ＞b ＋1a B ．a ＋1a ＞b ＋1b C.b a ＞b ＋1a ＋1D.a ＋b2＞ab答案 A解析因为a ＞b ＞0，所以1a ＜1b ，根据不等式的性质可得a ＋1b ＞b ＋1a ，故A 正确；对于选项B ，取a ＝1，b ＝12，则a ＋1a ＝1＋11＝2，b ＋1b ＝12＋2＝52，故a ＋1a ＞b ＋1b 不成立，故B 错误；根据不等式的性质可得b a ＜b ＋1a ＋1，故C 错误；取a＝2，b ＝1，可知D 错误．2．如果ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－1＜x ＜3}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( )A ．f (5)＜f (－1)＜f (2)B ．f (－1)＜f (5)＜f (2)C ．f (－1)＜f (2)＜f (5)D ．f (2)＜f (－1)＜f (5) 答案 A解析由题意知a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0对应的两根分别为x 1＝－1和x 2＝3，f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝1，所以f (5)＜f (－1)＜f (2)．3．当x ＜0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( ) A ．最小值－1 B ．最大值－1 C ．最小值2 D ．最大值2答案 A解析 ∵x ＜0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥2－2 (－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x＝－1，当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时“＝”成立，故选A.4．(2018·湖南模拟)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C解析由题设易知a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋2b ≥2 2ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2b＝ab ，b ＝2a时，取等号，选C.5．实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则使得z ＝2y －3x 取得最小值的最优解是( )A ．(1,0)B ．(0，－2)C ．(0,0)D ．(2,2) 答案 A解析约束条件所表示的可行域为三角形，其三个顶点的坐标分别为(0,0)，(1,0)，(2,2)，将三个顶点的坐标分别代入到目标函数z ＝2y －3x 中，易得在(1,0)处取得最小值，故取得最小值的最优解为(1,0)．6．(2018·兰州诊断)当实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y ≤2时，恒有ax ＋y ≤2成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(0,1]C ．(－1,1]D ．(1,2)答案 A解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线ax ＋y ＝z ，结合图形观察得知，要使当直线ax ＋y ＝z 经过该平面区域内的点时，相应直线在y 轴上的截距均不超过2，此时实数a 的取值范围是(－∞，1]，故选A.7．(2018·郑州预测二)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4]答案 B解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到x 2＋y 2可视为该平面区域内的点(x ，y )与原点的距离的平方，结合图形可知，x 2＋y 2的最小值等于原点与点(0,1)间的距离，即等于1；x 2＋y 2的最大值等于原点与点(0,2)间的距离，即等于2，因此x 2＋y 2的取值范围是[1,4]，故选B.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[2,10]D ．[3,11]答案 D解析根据已知条件作出可行域如图：化简x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1在坐标系中的意义为点(x ，y )与(－1，－1)所成直线的斜率，所以y ＋1x ＋1∈[k CB ，k CA ]，取4x ＋3y ＝12与y 轴交点为A ，y ＝x 与4x ＋3y ＝12交点为B ，(－1，－1)为点C ，易知A (0,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫127，127，∴k CA ＝y A －y C x A －x C ＝4－(－1)0－(－1)＝5， k CB ＝y B －y C x B －x C ＝127－(－1)127－(－1)＝1，∵y ＋1x ＋1∈[k CB ，k CA ]，∴y ＋1x ＋1∈[1,5]． ∴x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1∈[3,11]．故选D.9．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪ac bd ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪x －1a ＋1 a －2x ≥1任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32 答案 D解析由定义知，⎪⎪⎪⎪x －1a ＋1 a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1， ∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立， ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.故应选D.10．已知x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最小值为( ) A ．1 B.324 C.116 D.132 答案 D解析可行域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y 最小，最小值为132.故选D.11．(2018·湖南长郡中学模拟)不等式x 2＋2x ＜a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 答案 C解析因为a b ＋16ba ≥2ab ·16ba ＝8，当且仅当a ＝4b 时等号成立，由题意知x 2＋2x ＜8恒成立，由此解得－4＜x ＜2.故选C.二、填空题12．(2018·天津河西一模)若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，0]解析 ∵4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1 ＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质，可知当2x ＝2，即x ＝1时，y 有最小值0，∴a ∈(－∞，0]．13．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为_______．答案 6解析根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－32x ＋12z ，画出直线y ＝－32x ，将其上下移动，结合z2的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎨⎧x －2y －2＝0，y ＝0，解得B (2,0)，此时z max ＝3×2＋0＝6.14．(2018·西安二模)已知a ＞0，实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 12解析作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由a ＞0可知z ＝2x ＋y 经过点(1，－2a )时取得最小值，且z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.15．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

高考数学练习卷(答案) (1)

高考数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共20小题，每小题3分，共60分）1、函数)65(log 221+-=x x y 的单调区间为（）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,25B .()+∞,3C .⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-25,D .()2,∞-2、若8.0log ,6log ,log 273===c b a π，则（）A .cb a >>B .ca b >>C .ba c >>D .ac b >>3、函数44()sin ()sin ()44f x x x ππ=+--是（）A、周期为π的奇函数B、周期为π的偶函数C、周期为2π的奇函数D、周期为2π的偶函数4、点P(-3,-2)到直线4x-3y+1=0的距离等于（B ）A.-1B.1C.3D.-25、过两点A (2,)m -，B(m ，4)的直线倾斜角是45︒，则m 的值是（C ）。

A、-2B、4C 、1D、-36.某商场准备了5份不同礼品全部放入4个不同彩蛋中，每个彩蛋至少有一份礼品的放法有（）A.280种B.240种C.180种D.144种7．空间两直线m l 、在平面βα、上射影分别为1a 、1b 和2a 、2b ，若1a ∥1b ，2a 与2b 交于一点，则l 和m 的位置关系为()（A）一定异面（B）一定平行（C）异面或相交（D）平行或异面8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是()（A）4条（B）6条（C）8条（D）10条9．已知四棱锥P－ABCD 的底面为平行四边形，设x=2PA2+2PC2－AC2，y=2PB2+2PD2－BD2，则x，y 之间的关系为()（A）x＞y（B）x＝y（C）x＜y（D）不能确定10．已知点),(y x P 在由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤--≤-+010103x y x y x 确定的平面区域内，O 为坐标原点，点A （-1,2），则AOP OP ∠⋅cos ||的最大值是（）A．55-B．553C．０D．511.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则=()A.B.C.D.12.直线的倾斜角为()A. B.C. D.13.若,且为第四象限角,则的值等于()A.B. C.D.14.函数的定义域是()A.B. C.D.15.若,,则的坐标是()A.B. C.D.以上都不对16.在等差数列中,已知,且,则与的值分别为()A.-2,3B.2，-3C.-3,2D.3，-217.设,“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件18.函数的图象如图所示,则最大、最小值分别为()A. B.C. D.19.设,,,其中为自然对数的底数,则,,的大小关系是()A. B. C. D.20.设,,,都为正数,且不等于,函数,,,在同一坐标系中的图象如图所示,则,,,的大小顺序是()B.C. D.二、填空题（共计30分）1、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点0，点E，E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且AF=-AC，连接EF.若AC=10，则EF=______.2、圆锥的表面积是底面积的3倍,则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数为_____.3、设5，1-x ，55成等比数列，则=x _______4、在等比数列{}n a 中，已知0>n a ，252645342=⋅+⋅+⋅a a a a a a ，则_______5、在等差数列{}n a 中，已知19,2321=+=a a a ，则456a a a ++=_______6、在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=_______7、点),1(b E ,()2,3--F 的中点坐标是()21，-，则=b _______8、已知5),2,1(),,3(=--MN N b M ,则b=_______9、两平行直线0562013=-+=-+y x y x 与的距离是_______10、若直线08)3(1=-++=-my x m y x 与直线平行，则=m _______三、大题：(满分30分)1、已知数列}{n a 是递增的等比数列，且893241==+a a a a ，，求数列}{n a 的通项公式。

《常考题》数学高考题经典练习题(含答案解析)

一、选择题1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )A ．B ．C ．D ．2．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（）A ．14B ．15C ．16D ．173．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（）A ．49B ．29C ．12D ．134．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A ．19B ．29C ．49D ．718 5．函数2||()x x f x e -=的图象是（）A ．B ．C ．D ．6．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,-2)C ．(-2,0)D ．(0,2)8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（） A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 9．当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（） A ． B ．C ．D ．10．设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．511．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A ．534 B ．532 C ．532 D ．13212．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．3213．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C ．3D ．2 14．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（） A ．12 B ．122± C ．1102± D ．3222± 15．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（）A ．1B ．1-C ．iD ．i -二、填空题16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.17．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm . 18．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．19．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.20．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．21．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．22．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.23．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.24．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2x π的值介于1[0,]2的概率为． 25．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 三、解答题26．已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值；（2）证明：2()1x f x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈）27．选修4-5：不等式选讲：设函数()13f x x x a =++-.（1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围.28．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.29．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,3AC BC B C ACB π==∠=（I ）求证：1//QB 平面11A ACC（Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.30．已知0,0a b >>.(1)211ab a b≥+ ；(2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b +≥-．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案 **科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．C4．C5．A6．B7．D8．B9．D10．A11．C12．B13．B14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主17．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为18．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时直线19．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr∵含有x2的系数是54∴r＝2∴54可得6∴6n∈N*解得n＝4故答案为4【点睛】本题考20．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小21．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基22．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径23．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图24．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率25．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f （b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．故选C．本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．2．B解析：B【解析】【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=，样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键. 4．C解析：C【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算. 5．A【解析】【分析】通过(0)1f=，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A．【详解】2||()x xf x e-=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，故选A【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．6．B解析：B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得1iz=-+，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数z满足21iiz=-，∴()()()2121111i iiz ii i i+===---+，∴复数z的共轭复数等于1i--，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】由已知α=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设α=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则由224λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得2λμ=⎧⎨=⎩∴α=0m+2n,∴α在基底m, n下的坐标为(0,2).8．B解析：B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．9．D解析：D【解析】【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.【详解】由于1a >，所以1x x a y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合.故选：D.【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11．C解析：C【解析】试题分析：先求得M（2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM=532，故选C．考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用．点评：简单题，应用公式计算．12．B解析：B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（二项式定理）练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x ＋1)n 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．42．[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第( )项A ．3B ．4C ．5D ．63．[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160 4．[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x ＋2y )(x －y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A ．30 B ．10 C ．－30 D ．－105．[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2023ꞏ江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1＋2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 5＝a 6，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．98．[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x ＋x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x －1)n 的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．13．[2023ꞏ上海市一模]二项式(x ＋13x)30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12－x n 的展开式中所有项的系数和为164 ，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52 x 3B ．154 x 4 C ．－20x 3 D ．15x 45．[2023ꞏ浙江省高三联考](x－23x)6的展开式的中间一项的系数是__________．(用数字作答).6．[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝__________；展开式中的系数最大的项是________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．102．[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．243．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x ＋a )5展开式中，x 2的系数为80，则a ＝________． 6．[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四. 经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ，x )＝⎝⎛⎭⎫2m ＋m x n (m >0，x >0).(1)当m ＝2时，求f (7，x )的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f (10，x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 10x 10 ，且a 2＝180，参考答案一基础小题练透篇1．答案：C答案解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C答案解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝（－1）r C r7 x 7－2r，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：D答案解析：由于x ，1x互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3 ＝20×（－8）＝－160.故选D. 4．答案：B答案解析：因为（x ＋2y ）（x －y ）5＝x （x －y ）5＋2y （x －y ）5，（x －y ）5的通项为：T r ＋1＝C r5 x 5－r （－y ）r ，令r ＝3，则T 4＝C 35 x 2（－y ）3，令r ＝2，则T 3＝C 25 x 3（－y ）2，所以x 3y 3的系数为C 35 （－1）3＋2C 25 （－1）2＝－10＋20＝10. 故选B. 5．答案：D答案解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1 ×（－2＋1）8＝54 ，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54 ＝－14 . 6．答案：C答案解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：C答案解析：（1＋2x ）n 展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r n （2x ）r ＝C r n 2r x r，∵a 5＝a 6，∴C 5n 25＝C 6n 26，即C 5n ＝2C 6n ，∵n ！5！（n －5）！＝2×n ！6！（n －6）！，整理得n －5＝3，∴n ＝8. 故选C.8．答案：15答案解析：令x ＝1，得所有项的系数和为4n ，二项式系数和为2n ，所以4n 2n ＝2n＝32，即n ＝5，（3x ＋x ）5的第r ＋1项为C r5 ·（3x ）5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r＝C r 5 ·35－r ·x 5－r2 .令5－r2＝3，得r ＝4，所以x 3项的系数是C 45 ×3＝15.二能力小题提升篇1．答案：C答案解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C答案解析：（1－x ）8展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r 8 18－r （－x ）r ＝（－1）r C r 8 x r，（1－ax ＋x 2）（1－x ）8的展开式中含x 2的项的系数为1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ，所以1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ＝21，解方程可得a ＝－1，故选C.3．答案：D答案解析：二项式（x ＋13x ）30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r·（13x）r＝C r30 ·x15－56r，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A答案解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 n ＝164 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 6 ，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6－3x 3＝－52x 3. 5．答案：－16027答案解析：由二项式展开式可知，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3－23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·（－2）3＝－16027. 6．答案：4 108x 5答案解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n －（3＋1）n ＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝ ⎛⎭3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x4 ，展开式中的系数最大的项是108x 5.三高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r＝C r 5 （－2）rx 5－r2 ，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A答案解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：－28答案解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8＝()x ＋y 8－y x()x ＋y 8，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6－y xC 58 x 3y 5＝－28x 2y 6，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x ()x ＋y 8的展开式中x 2y 6的系数为－28. 4．答案：240答案解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2答案解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r ，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10答案解析：（x －1）3展开式的通项T r ＋1＝C r 3 x 3－r ·（－1）r ，（x ＋1）4展开式的通项T k ＋1＝C k 4 x 4－k ，则a 1＝C 03 ＋C 14 ＝1＋4＝5；a 2＝C 13 （－1）1＋C 24 ＝3；a 3＝C 23 （－1）2＋C 34 ＝7；a 4＝C 33 （－1）3＋C 44 ＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.四经典大题强化篇1．答案解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.（2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r ·x 5－r，知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．答案解析：（1）当m ＝2时，f （7，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 7 的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T 4＝C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 ＝280x3 或T 5＝C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＝560x4 .（2）①f （10，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m x 10 的通项公式为T r ＋1＝C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r＝210－r ·m 2r －10·C r 10 x －r ，且f （10，x ）＝a 0＋a 1x＋a 2x2 ＋…＋a n xn ，所以1x2 的系数为a 2＝28C 210 m －6＝180，解得m＝2，所以f （10，x ）的通项公式为T r ＋1＝C r10 ⎝ ⎛⎭2x r＝2r C r 10 x －r ，所以a r ＝2r C r10 ，当r ＝0时，a 0＝1，令x ＝1，∑10i ＝1a i ＝310－1＝59 048， ②设a r ＝2r C r10 为a i （0≤i ≤10）中的最大值，则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r －1C r －110 2r C r 10 ≥2r ＋1C r ＋110，解得⎩⎪⎨⎪⎧2（11－r ）≥r r ＋1≥2（10－r ），即193 ≤r ≤223 ，r ∈N ，所以r ＝7，所以（a i ）max ＝a 7＝27C 710 ＝15 360.。

高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(指数函数、对数函数、幂函数)练习

高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（指数函数、对数函数、幂函数）练习一、单选题1．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（） A ．1B ．2C ．4D ．62．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>3．（2022ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259 D ．534．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>5．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（） A ．()()0f x f x -+= B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=6．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态7．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b << 8．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b <<9．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（） A ．1- B ．lg 7 C ．1D ．7log 1010．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．11．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<12．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（） A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c<a<b13．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.614．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+15．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（） A ．()0,∞+ B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞16．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01x y a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．17．（2020ꞏ海南ꞏ高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞18．（2020ꞏ天津ꞏ统考高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<20．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b21．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．6922．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b23．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设3log 42a =，则4a -=（） A ．116B ．19C ．18D ．1624．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减25．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │27．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为mk 的星的亮度为Ek （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-28．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b29．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>31．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+32．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+33．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>二、多选题34．（2020ꞏ海南ꞏ统考高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n== ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )三、填空题35．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）若212log log 40x -=，则实数x 的值是______.36．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 37．（2020ꞏ江苏ꞏ统考高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.38．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．四、双空题39．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．参考答案1．B【要点分析】根据对数的性质可求代数式的值.【答案详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B2．C【要点分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【答案详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C.3．C【要点分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【答案详解】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa bb b -====．故选：C.4．A【要点分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【答案详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=. 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg 9lg10lg8lg 9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．5．C【要点分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【答案详解】()()1121112121212x xx x x f x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确； ()()11212121121212122121x x x x x x x x f x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．6．D【要点分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【答案详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误. 当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确. 故选：D7．C【要点分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-，导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小.【答案详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 方法二：比较法解： 0.10.1a e = ， 0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ， ①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则 1()1011x f x x x-'=-=<-- ，故 ()f x 在 (0,0.1] 上单调递减，可得 (0.1)(0)0f f <= ，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ；②0.10.1ln(10.1)a c e -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 ()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=-- ，令 ()(1)(1)1x k x x x e =+-- ，所以 2()(12)0x k x x x e '=--> ，所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >> ，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以 .a c > 故 .c a b <<8．D【要点分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解. 【答案详解】22log 0.3log 10<= ，<0a ∴，122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>= ，1b ∴>， 0.3000.40.41<<= ，01c ∴<<， a c b ∴<<. 故选：D.9．C【要点分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求. 【答案详解】 2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==， 251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==. 故选：C.10．B【要点分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【答案详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.11．C【要点分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【答案详解】5881log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<. 故选：C.12．B【要点分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 11f x x =+,()()ln 121g x x =++，利用导数要点分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系. 【答案详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()2121x f x x -='=+，由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>()1x >+，()0f x ¢>，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011>，即a c >；令()()ln 121g x x =++，则()00g =，()212212x g x x --==+' 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.021<，即b <c ；综上，b<c<a ，故选：B. [方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()10,ff b c <=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()10,gg a c =∴综上，b<c<a ，故选：B.【名师点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.13．C【要点分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解. 【答案详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈. 故选：C.14．C【要点分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【名师点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．15．B【要点分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠.所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B16．B【要点分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.【答案详解】当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，所以()f x 在()0,∞+上递减，()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0∞-上递增. 注意到01a =，所以B 选项符合. 故选：B17．D【要点分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可. 【答案详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥ 故选：D【名师点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.18．D【要点分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【答案详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【名师点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.19．A【要点分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果. 【答案详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数， x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【名师点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.20．A【要点分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【答案详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【名师点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.21．C【要点分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.【答案详解】()()0.23531t K I t e--=+ ，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【名师点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.22．A【要点分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.【答案详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.23．B【要点分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【答案详解】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B.【名师点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.24．D【要点分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.25．B【要点分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【答案详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．26．C【要点分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【答案详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．27．A【解析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【答案详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.28．A【要点分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小．【答案详解】0.200.30.31c =<=；22log 7log 42>=；331log 8log 92<<=．故c b a <<．故选A ．【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．29．A【解析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【答案详解】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5<<，故112c <<，所以a c b <<．故选A ．【名师点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．30．D【答案详解】要点分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 答案详解：由题意结合对数函数的性质可知： 2log e >1a =，()21ln 20,1log ==∈b e ，12221log log 3log 3c e ==>，据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.名师点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．31．B【答案详解】要点分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果．答案详解：.0.30.3log0.2,2a b log == 0.2211log0.3,0.3log a b∴== 0.3110.4log a b∴+= 1101a b∴<+<,即01a bab +<< 又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.名师点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．32．B【答案详解】要点分析：确定函数y lnx =过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．答案详解：函数y lnx =过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有()y ln 2x =-过此点．故选项B 正确名师点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．33．D【答案详解】要点分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.答案详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<， 133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 名师点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．34．AC【要点分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出 ()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【答案详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n== ，则 ()222111log log log H X n n n n n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且 ()21j m j P Y j p p +-==+（ 1,2,,j m = ）.()2222111log log m mi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ . ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++ 由于()01,2,,2i p i m >= ，所以 2111i i m i p p p +->+，所以 222111log log i i m ip p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【名师点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查要点分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.35．14【要点分析】根据对数运算化简为2log 2x =-，求解x 的值. 【答案详解】21222log log 40log log 40x x -=⇔+=，即2log 2x =-，解得：14x =. 故答案为：1436．(0,)+∞【要点分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【答案详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴> 故答案为：(0,)+∞【名师点睛】本题考查函数定义域，考查基本要点分析求解能力，属基础题.37．4-【要点分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f - 【答案详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【名师点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本要点分析求解能力，属基础题. 38．-7【答案详解】要点分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.答案详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 名师点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.39． 12-； ln 2．【要点分析】根据奇函数的定义即可求出．【答案详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称 0a ∴≠ 若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x +≠- 1x ∴≠且11x a ≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称， 111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ． [方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x -+--=++=+=+--- 1()1ax a f x ln b x++-=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x ln ln b x x--++∴+-=++=-+ 2222(1)201a x a lnb x -+∴+=- 22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln-==-⇒=∴=-= [方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x ++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．。

高考数学练习卷及含答案 (3)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、在长方体ABCD—A′B′C′D′的12条棱中，与棱AA′成异面直线的棱有()A．3条B．4条C．6条D．8条2、如图1在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为() A．30°B．60°C．90°D．45°3、若a∥α，⊂bα，则a和b的关系是()A．平行B．相交C．平行或异面D．以上都不对4、已知PD⊥矩形ABCD所在的平面（图2），图中相互垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对5、棱长为2的正方体内切球的表面积为()A．π4B．π16C．π8D．π26.函数sin24y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图像可能是（）PA BCD图27.在ABC △中,若2AB BC CA === ,则AB BC ⋅ 等于（）A.23- B.23 C.－2 D.28.如图所示,若,x y 满足约束条件0210220x x x y x y ⎧⎪⎪⎨--⎪⎪-+⎩≥≤≤≥则目标函数z x y =+的最大值是（）A.7B.4C.3D.19.已知α表示平面,,,l m n 表示直线,下列结论正确的是（）A.若,,l n m n ⊥⊥则l m ∥ B.若,,l n m n l ⊥⊥⊥则mC.若,,l m l αα∥∥则∥mD.若,,l m l αα⊥⊥∥则m 10.已知椭圆22126x y +=的焦点分别是12,F F ,点M 在椭圆上,如果120F M F M ⋅= ,那么点M 到x 轴的距离是（）A. B. C.2 D.111.等边△ABC 的边长为a，过△ABC 的中心O 作OP⊥平面ABC，且OP＝63a，则点P 到△ABC 的边的距离为()A．a B．32a C．33a D．63a 12.已知函数f (x)是定义域为R 的奇函数，给出下列6个函数：①g (x)＝sin x (1－sin x)1－sin x ；②g (x)＝sin(52π＋x)；③g (x)＝1＋sin x－cos x 1＋sin x＋cos x；④g (x)＝lg sin x ；⑤g (x)＝lg(x2＋1＋x)；⑥g (x)＝2ex＋1－1。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(椭圆)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2，因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5，所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12，当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ，所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ，所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1）＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2，当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a，故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14，又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2，所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →，又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0），故得x 0＝3，y 0＝－2，即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1，以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1，得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立．设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。

高考数学专题练习 (12)

“12＋4”限时标准练(七) (时间：40分钟满分：80分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A. 2 B ．1 C.22D.12[解析] 解法一：因为z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝2，故选A.解法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2i 1＋i ＝|2i||1＋i|＝212＋12＝2，故选A.[答案] A2．已知集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |x ＝n 2－1，n ∈A }，P ＝A ∩B ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个[解析] 因为B ＝{x |x ＝n 2－1，n ∈A }＝{－1,0,3,8}，所以P ＝A ∩B ＝{0,3}，所以P 的子集共有22＝4(个)，故选B.[答案] B3．sin80°cos50°＋cos140°sin10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12D.12[解析] 解法一：sin80°cos50°＋cos140°sin10°＝cos10°cos50°－cos40°sin10°＝cos10°cos50°－sin50°sin10°＝cos(10°＋50°)＝12，故选D.解法二：sin80°cos50°＋cos140°sin10°＝cos10°sin40°－cos40°sin10°＝sin(40°－10°)＝12，故选D. [答案] D4．已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ≥1时，f (x )＝x －2x ，则{x |f (x ＋2)>1}＝( ) A ．{x |x <－3或x >0} B ．{x |x <0或x >2} C ．{x |x <－2或x >0} D ．{x |x <2或x >4}[解析] 由f (1－x )＝f (1＋x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为当x ≥1时，f (x )＝x －2x ，易知函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝1，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，f (0)＝1，所以由f (x ＋2)>1得x ＋2>2或x ＋2<0，解得x >0或x <－2，故选C.[答案] C5.如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB ⊥OA ，P 是圆上的动点，点P 关于直线OB 的对称点为P ′，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将|OP →－OP →′|表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )[解析] 根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则P (cos x ，sin x )，P ′(－cos x ，sin x )，所以OP →＝(cos x ，sin x )，OP ′→＝(－cos x ，sin x )，所以OP →－OP ′→＝(2cos x,0)，所以f (x )＝|OP →－OP ′→|＝|2cos x |，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2，－2cos x ，π2<x ≤π，由余弦函数的图象知A 正确，故选A.[答案] A6．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为( )A.1＋e 1－e r ＋2e1－e R B.1＋e 1－e r ＋e 1－e R C.1－e 1＋e r ＋2e 1＋rR D.1－e 1＋e r ＋e 1＋eR [解析] 设该卫星远地点离地面的距离为r ′，则由题意分析可知⎩⎨⎧a －c ＝r ＋R ，a ＋c ＝r ′＋R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝r ＋r ′＋2R 2，c ＝r ′－r 2，所以离心率e ＝c a ＝r ′－r r ＋r ′＋2R ，解得r ′＝1＋e 1－e r ＋2e1－eR ，故选A.[答案] A7．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女2名运动员组成．某班级从3名男生A 1，A 2，A 3和3名女生B 1，B 2，B 3中各随机选出2名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A 1和B 12人组成一队参加比赛的概率为( )A.19B.29C.13D.49[解析] 从3名男生和3名女生中各随机选出2名，选出的4人的组队方法有C 23C 23A 22＝18(种)，其中A 1和B 12人组成一队参加比赛的组队方法有2×2＝4(种)，所以所求概率P ＝418＝29，故选B.[答案] B8．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的两个焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则△ABF 2的内切圆的半径为( )A.23B.33C.223D.233[解析] 由双曲线方程知b ＝1.由通径公式，知2b 2a ＝2，所以a ＝2，所以c ＝ 3.由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝2a ＋|AF 1|，|BF 2|＝2a ＋|BF 1|，所以|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋|AF 1|＋|BF 1|＝5 2.设△ABF 2的内切圆半径为r ，则12r ·(|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |)＝12·|AB |·|F 1F 2|，即r ·62＝2×23，解得r ＝33，故选B.[答案] B二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．设非零实数a >b >c ，那么下列不等式中一定成立的是( ) A ．a 2>bcB ．ac 2>bc 2C ．(a －b )2>(a －c )2D ．ln a －ba －c<0[解析] 当a ＝1，b ＝－2，c ＝－3时，a 2<bc ，所以选项A 不一定成立；因为a ，b ，c 是非零实数，所以c 2>0，又a >b ，所以ac 2>bc 2，所以选项B 一定成立；因为b >c ，所以－b <－c ，则a －b <a －c ，又a >b ，所以a －b >0，即a －c >a －b >0，当c >0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上单调递增，所以(a －c )c >(a －b )c ，故选项C 不一定成立；因为a －c >a －b >0，所以0<a －b a －c <1，所以ln a －ba －c<0，故选项D 一定成立．综上可知，选BD.[答案] BD10．已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，则下列说法正确的是( ) A ．数列{S n }中的最大项为S 10 B ．数列{a n }的公差d <0 C ．S 10>0 D ．S 11<0[解析] 由S 5>S 6>S 4得a 6<0，a 5>0，a 5＋a 6>0，所以公差d <0，故B 正确；由a 6<0，a 5>0知数列{S n }中的最大项为S 5，故A 不正确；S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)>0，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6<0，故C 、D 正确．综上，正确的说法为BCD.[答案] BCD11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，CC 1，C 1D 1的中点，则下列结论正确的是( )A ．EF ⊥B 1CB ．直线FG 与直线A 1D 所成的角为60°C ．过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形D ．三棱锥B －EFG 的体积为56[解析] 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，E (1,0,0)，F (0,2,1)，B 1(2,2,2)，C (0,2,0)，G (0,1,2)，A 1(2,0,2)，则EF →＝(－1,2,1)，B 1C →＝(－2,0，－2)，所以EF →·B 1C →＝－1×(－2)＋2×0＋1×(－2)＝0，所以EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ，所以A 正确；FG →＝(0，－1,1)，A 1D →＝(－2，0，－2)，所以cos 〈FG →，A 1D →〉＝－22×22＝－12，所以〈FG →，A 1D →〉＝120°，则直线FG 与直线A 1D 所成的角为60°，所以B 正确；延长GF ，DC 交于H ，延长FG ，DD 1交于Q ，连接EH 交BC 于点N ，连接EQ 交A 1D 1于点M ，连接NF ，MG ，则EMGFN 为截面图形，所以过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形，所以C 不正确；连接BH ，则S △BEH ＝S 梯形ABHD －S △ABE －S △EDH ＝12×(2＋3)×2－12×1×2－12×1×3＝52，V B －GEF ＝V G －BEF ＝V H －BEF ＝V F －BEH ＝13S △BEH ·FC ＝13×52×1＝56，所以D 正确．故选ABD.[答案] ABD12．已知f (x )＝e x －2x 2有且仅有两个极值点，分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则下列不等式中正确的有(参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)( )A ．x 1＋x 2<114 B ．x 1＋x 2>114 C ．f (x 1)＋f (x 2)<0D ．f (x 1)＋f (x 2)>0[解析] 由题意得f ′(x )＝e x －4x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e14－1>0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e12－2<0，f ′(2)＝e 2－8<0.由ln3≈1.0986，得98>ln3，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫94>0，从而14<x 1<12，2<x 2<94，所以x 1＋x 2<114.因为f (0)＝1，所以易得f (x 1)>1.因为f ′(2ln3)＝9－8ln3>0，所以x 2<2ln3，因为f ′(x 2)＝0，所以f (x 2)＝4x 2－2x 22.设g (x )＝4x －2x 2，则g (x 2)>g (2ln3)>g (2.2)＝－0.88>－1，所以f (x 1)＋f (x 2)>0.[答案] AD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填写在各小题的横线上．) 13．设向量a ＝(m,1)，b ＝(2,1)，且a ·b ＝12(a 2＋b 2)，则m ＝__________.[解析] 由题意，得m ×2＋1×1＝12(m 2＋12＋22＋12)，整理，得m 2－4m ＋4＝0，解得m ＝2. [答案] 214．某种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－3σ<Z ≤μ＋3σ)≈0.9973.某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的产品件数为__________．[解析] 10000件产品中质量指标值位于区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的产品件数为[1－P (μ－3σ<Z ≤μ＋3σ)]×10000≈(1－0.9973)×10000＝27.[答案] 2715．(3x 2－2x －1)5的展开式中，x 2的系数是______．(用数字填写答案)[解析] 解法一：因为(3x 2－2x －1)5＝[(3x 2－2x )－1]5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(3x 2－2x )5－r·(－1)r ，当r ＝0或r ＝1或r ＝2时，二项式(3x 2－2x )5－r 的展开式中无x 2项；当r ＝3时，二项式(3x 2－2x )5－r 的展开式中x 2的系数为4；当r ＝4时，二项式(3x 2－2x )5－r 的展开式中x 2的系数为3；当r ＝5时，二项式(3x 2－2x )5－r 的展开式中无x 2项．所以所求展开式中x 2的系数为4×C 35×(－1)3＋3×C 45×(－1)4＝－25.解法二：(3x 2－2x －1)5＝(3x ＋1)5(x －1)5，(3x ＋1)5的展开式中常数项为1，x 的系数为3C 45＝15，x 2的系数为9C 35＝90，(x －1)5的展开式中常数项为－1，x 的系数为C 45×(－1)4＝5，x 2的系数为C 35×(－1)3＝－10，所以(3x 2－2x －1)5的展开式中，x 2的系数为1×(－10)＋15×5＋90×(－1)＝－25.[答案] －2516．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C 且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，则sin2B ＋2cos B 的最小值为__________，最大值为__________．[解析] 由sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，得2sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理，得2b ＝a ＋c ，所以b 2＝14(a ＋c )2，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝38·a 2＋c 2ac －14≥38×2－14＝12，所以00，所以当sin B <12，即B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(B )>0，函数f (B )单调递增，当sin B >12，即B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3时，f ′(B )<0，函数f (B )单调递减，所以当sin B＝12，即B ＝π6时，f (B )取得最大值，即f (B )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝332.又f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32＋1，所以f (B )min ＝32＋1. [答案]32＋1 332。

高考数学练习卷及含答案 (7)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知关于x 的方程02=-+a ax x 有两个不等的实根，则()A、4-<a 或0>a B、0≥a C、04<<-a D、4->a 2.已知a ⊥b ，并且a ),3(x =，b)12,7(=,则x=()A47-B47C37-D373.等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是()A12B24C 16D484.下列函数为奇函数的是()A．1+=x y B．2x y =C．xx y +=2D．3x y =5.已知a、b 为两个单位向量，则一定有()A．a =bB．若a //b ，则a =bC．1=⋅b a D．bb a a ⋅=⋅6、设x∈R，则“|x﹣|＜”是“x 3＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7、已知a=log 2e，b=ln2，c=log，则a，b，c 的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 8、将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减9、已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=110、如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．311.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）A．38C种B．38A种C．39C种D．311C种12.某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习教师，每所中学分配1名男生和2名女生，则不同的分配方法有（）A．6种B．8种C．12种D．16种二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．2.已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____.3.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是___________，最大值是___________．4.已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = _____.三、大题：(满分70分)1.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.2.已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线e xy =的切线.3.已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连结QE 并延长交C 于点G.（i）证明：PQG △是直角三角形；（ii）求PQG △面积的最大值.4.在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P.（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.5.知直线l 经过两条直线021=+y x l ：与010432=--y x l ：的交点，且与直线03253=+-y x l ：的夹角为4π，求直线l 的方程．6.直线02=-+y x l ：，一束光线过点)13,0(+P ，以︒120的倾斜角投射到l 上，经l 反射，求反射线所在直线的方程．参考答案：一、选择题：1-5题答案:AABDD 6-10题答案:ADACA 11-12题答案:AC6、设x∈R，则“|x﹣|＜”是“x 3＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣|＜可得﹣＜x﹣＜，解得0＜x＜1，由x 3＜1，解得x＜1，故“|x﹣|＜”是“x 3＜1”的充分不必要条件，故选：A．7、已知a=log 2e，b=ln2，c=log，则a，b，c 的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：a=log 2e＞1，0＜b=ln2＜1，c=log =log 23＞log 2e=a，则a，b，c 的大小关系c＞a＞b，故选：D．8、将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．9、已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．故选：C．10、如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+=，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴=（﹣1，m），=（﹣，m﹣），0≤m≤，∴=+m2﹣m=（m﹣）2+﹣=（m﹣）2+，当m=时，取得最小值为．故选：A．二、填空题：152、433、0,54、{1,6}三、大题：1.解：（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为a1+b1=l，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为a1–b1=l，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．2.解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．因为f（e）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又1101x <<，1111111(ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f（x）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f（x）有且仅有两个零点．（2）因为0ln 01e x x -=，故点B（–lnx0，01x ）在曲线y=ex 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----．曲线y=ex 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ，所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y=ex 的切线．3.解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ 的斜率为k，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-．由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii）由（i）得||2PQ =221||2PG k =+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k ++===++++‖．设t=k+1k ，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．因为2812tS t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．4．解：（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==.由已知得||||cos23OP OA π==.设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上.所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=..因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.5.知直线l 经过两条直线021=+y x l ：与010432=--y x l ：的交点，且与直线03253=+-y x l ：的夹角为4π，求直线l 的方程．分析：先求1l 与2l 的交点，再列两条直线夹角公式，利用l 与3l 夹角为4π，求得l 的斜率．也可使用过两直线交点的直线系方程的方法省去求交点的过程，直接利用夹角公式求解．解法一：由方程组⎩⎨⎧=--=+0104302y x y x 解得直线1l 与2l 的交点)1,2(-．于是，所求直线l 的方程为)2(1-=+x k y ．又由已知直线03253=+-y x l ：的斜率253=k ，而且l 与3l 的夹角为4π，故由两直线夹角正切公式，得3314tan kk k k +-=π，即k k 251254tan +-=π．有125125±=+-k k ，15252±=+-k k ，当15252=+-k k 时，解得37-=k ；当15252-=+-kk 时，解得73=k ．故所求的直线l 的方程为)2(731-=+x y 或)2(371--=+x y ，即01373=--y x 或01137=-+y x ．解法二：由已知直线l 经过两条直线1l 与2l 的交点，则可设直线l 的方程为0)2()1043(=++--y x y x λ，（*）即010)42()3(=--++y x λλ．又由l 与3l 的夹角为4π，3l 的方程为0325=+-y x ，有212112214tanB B A A B A B A +-=π，即)42)(2()3(55)42()2)(3(1--++⨯---+=λλλλ，也即λλ+-=2312141，从而1231214=+-λλ，1231214-=+-λλ．解得139-=λ，1137=λ．代入（*）式，可得直线l 的方程为01373=--y x 或01137=-+y x ．说明：此题用到两直线的夹角公式，注意夹角公式与到角公式的区别。

高考数学复习基础知识专题讲解与练习04 函数的性质综合应用(解析版)

高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题04函数的性质综合应用一、单选题1．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（） A ．(－1,0) B ．(－2,0) C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由题设函数的定义域，应用换元法求出()f t 的定义域，进而求(21)f x -的定义域即可. 【详解】由题设，若1t x =+，则(1,1)t ∈-，∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-，故其定义域为(0,1). 故选：C.2．（2021·湖南·高三月考）已知函数()f x 满足22()()326f x f x x x +-=++，则（） A ．()f x 的最小值为2B ．x R ∃∈，22432()x x f x ++>C ．()f x 的最大值为2D ．x R ∀∈，22452()x x f x ++>【答案】D 【分析】先求得()f x ，然后结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】因为22()()326f x f x x x +-=++（i ），所以用x -代换x 得22()()326f x f x x x -+=-+（ii ）. （i ）×2-（ii ）得23()366f x x x =++，即22()22(1)1f x x x x =++=++，从而()f x 只有最小值，没有最大值，且最小值为1.()2222222221243243122()222222x x x x x x f x x x x x x x ++-++++===-<++++++， ()2222222221245245122()222222x x x x x x f x x x x x x x +++++++===+>++++++. 故选：D.3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,1] D ．[1,1]-【答案】A 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--，所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-，因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，所以142x x +≥-，解得1x ≥，故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x 2+1）＝x 4，则函数y ＝f （x ）的解析式是（）A ．()()21,0f x x x =-≥B ．()()21,1f x x x =-≥C ．()()21,0f x x x =+≥D ．()()21,1f x x x =+≥【答案】B 【分析】利用凑配法求得()f x 解析式. 【详解】()()()2242211211f x x x x +==+-++，且211x +≥，所以()()22211,1f x x x x x =-+=-≥. 故选：B.5．（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数()f x 满足()()()222f a b f a f b +=+对,a b ∈R 恒成立，且(1)0f ≠，则(2021)f =（） A ．1010 B ．20212C ．1011D ．20232【答案】B 【分析】利用赋值法找出规律，从而得出正确答案. 【详解】令0a b ==，则()()()()20020,00f f f f =+=，令0,1a b ==，则()()()()()221021,121f f f f f =+=，由于()10f ≠，所以()112f =.令1a b ==，则()()()221211f f f =+=，令2,1a b ==，则()()()2133221122f f f =+=+=，令3,1a b ==，则()()()23144321222f f f =+=+=，以此类推，可得()202120212f =.故选：B.6．（2021·安徽·六安二中高三月考）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21x f x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．21x -- B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+【答案】D 【分析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数的解析式可得()21x f x --=-，结合函数的奇偶性分析可得答案．【详解】根据题意，设0x <，则0x ->，则()21x f x --=-，又由()f x 为奇函数，则()()21x f x f x ---=-+=，故选：D.7．（2021·河南·高三月考（理））||||2()x x x e f x e-=的最大值与最小值之差为（）A ．4-B ．4eC ．44e-D ．0【答案】B 【分析】利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值. 【详解】22()1xx xx e x f x ee-==-，设2()xx g x e=，则()()1g x f x =+则()g x 为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，max max ()()1g x f x =+min ()()1min g x f x =+ max min ()()0g x g x +=max min max min max min max ()()(()1)(()1)()()2()f x f x g x g x g x g x g x ∴-=---=-=即()f x 的最大值与最小值之差为max 2()g x ，当0x >时2()xxg x e =，222(1)()x x x x g x e e --'==，故2()xxg x e =的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞，所以max 2()(1)g x g e==，所以()f x 的最大值与最小值之差为4e故选：B.8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞- D ．()3,-+∞【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减，由()()320f m f m -+-<，得()()()322f m f m f m -<--=，于是得32m m ->，解得3m <-. 故选:C.9．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数()(1ln 31xx a x f x x a +=++++-（0a >，1a ≠），且()5f π=，则()f π-=（） A ．5- B ．2 C ．1D ．1-【答案】C 【分析】令()()3g x f x =-，由()()0g x g x -+=，可得()g x 为奇函数，利用奇函数的性质即可求解. 【详解】解：令()()(1ln 13x x a x g x f x x a +++=--+=，因为()()((11ln ln 011xxx x a a g x x x x x x aa g --++-++-++++=---+=，所以()g x 为奇函数，所以()()0g g ππ-+=，即()()330f f ππ--+-=，又()5f π=，所以()1f π-=，故选：C.10．（2021·北京通州·高三期中）已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f D ．()30f <【答案】B 【分析】根据条件可得()f x 关于直线3x =对称，()f x 在[)3,+∞上单调递增，结合()54f =可判断出答案. 【详解】由()3f x +是偶函数可得()f x 关于直线3x =对称因为[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[)3,+∞上单调递增因为()54f =，所以()()064f f =>，()()154f f ==，()()244f f =< 无法比较()3f 与0的大小故选：B.11．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数，则实数a =（）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D【分析】由奇函数的性质()00f =求解即可【详解】因为函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数，定义域为R ，所以()00f =，即02021a -=+，解得1a =，经检验符合题意，故选：D.12．（2022·上海·高三专题练习）函数()2020sin 2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C 【详解】∵()2020sin 2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x x f t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤，故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故选：C.13．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时，()2f x '>恒成立，若不等式()()()1221f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【分析】由题意可得()()()f x x f x x -=---，令()()2F x f x x =-，根据奇偶性的定义，可得()F x 为偶函数，利用导数可得()F x 的单调性，将题干条件化简可得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-，根据()F x 的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.【详解】由()()4f x f x x --=，得()2()2()f x x f x x -=---，记()()2F x f x x =-，则有()()F x F x =-，即()F x 为偶函数，又当(0,)x ∈+∞时，()()20F x f x ''=->恒成立，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以由()()()1221f a f a a --≥-，得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-(||)(|1|)F a F a ⇔-，所以|||1|a a -，即2212a a a ≥+-，解得12a ，故选：D.14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】B【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案．【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个．故选：B ．15．（2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足1(2)()f x f x +=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+，则()2021f 等于（） A ．4 B ．2C ．2-D ．2log 7【答案】C 【分析】求得()f x 是周期为4的周期函数，从而求得()2021f . 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()11(4)(2)2()1(2)()f x f x f x f x f x +=++===+，其最小正周期为4，所以()()2021450511)()1(f f f f ⨯+===--.因为31,02⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+，所以()2()log 13)1(12f -=--+=⨯，所以()202112()f f =--=-. 故选：C.16．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数()f x 是定义在[3,2]a --上的奇函数，且在[3,0]-上单调递增，则满足()()0f m f m a +->的m 的取值范围是（）A ．5,82⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．[]2,3D ．[]3,3-【答案】B 【分析】根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得320a -+-=，即可解出a ，由奇函数的性质可得函数()f x 在[]3,3-上递增，再将()()0f m f m a +->等价变形为()()f m f a m >-，然后根据单调性即可解出．【详解】依题意可得320a -+-=，解得5a =，而函数f x （）在[3,0]-上单调递增，所以函数()f x 在[0,3]上单调递增，又函数()f x 连续，故函数()f x 在[]3,3-上递增，不等式()()0f m f m a +->即为()()5f m f m >-，所以333535m m m m-≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，解得532m <≤．故选：B ．17．（2021·浙江·高三期中）已知0a >，0b >，则“2ln 39b a a b>-”是“a b >”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【分析】构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】解：由()22ln ln 2ln 33b a a a b b=->-，得()2ln 23ln 3a b a b +>+，令()ln 3x f x x =+，()f x 在()0,∞+上单调递增，又()()2f a f b >，则2a b >．即当0a >，0b >时，2ln 392b a a a b b>-⇔>．显然，2a b a b >⇒>，但由2a b >不能得到a b >．故选：B ．18．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()f x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩在R 上为减函数，所以()213112011312a a a a +⎧≥⎪⎪<<⎨⎪-++≥⎪⎩，解得1132a ≤≤，所以实数a 的取值范围为11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B.19．（2021·全国·高三期中）已知()2f x +是偶函数，当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3b f =，()4c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．b a c <⎡⎤⎣⎦恒成立，则()()12f x f x <，所以()f x 在()2,+∞为增函数.又因为()2f x +是偶函数，所以，()()22f x f x -+=+，即1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()7342f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<.故选：A.20．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()13f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（）A ．2022B ．0C ．3D ．2022-【答案】C 【分析】由条件可得()f x 是周期为4的周期函数，然后利用()()()()()()()()()()1232022505123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦算出答案即可.【详解】因为()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，所以()()f x f x -=-，()00f = 因为()()11f x f x -=+，所以()()()2f x f x f x -=+=-所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数因为()13f =，()()200f f ==，()()()3113f f f =-=-=-，()()400f f == 所以()()()()()()()()()()12320225051234123f f f f f f f f f f ++++=+++++=⎡⎤⎣⎦故选：C.21．（2021·河北·高三月考）已知函数()3()21sin f x x x x =+++，则()(32)4f x f x -+-<的解集为（） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A 【分析】设3()()222sin g x f x x x x =-=++，然后可得函数()g x 为奇函数，函数()g x 在R 上单调递增，然后不等式()(32)4f x f x -+-<可化为()(32)g x g x -<-+，然后可解出答案. 【详解】设3()()222sin g x f x x x x =-=++，可得函数()g x 为奇函数，2()62cos 0g x x x '=++>，所以函数()g x 在R 上单调递增，()(32)4()2(32)2()f x f x f x f x g x -+-<⇒--<--+⇒-(32)()(32)g x g x g x <--⇒-<-+，所以321x x x -<-+⇒<．故选：A.22．（2021·河南·高三月考（文））已知函数()()12x x f x e e －＝+，记12a fπ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝，1log 2b f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，()c f π＝，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据导函数的符号求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为()()()12x x f x e e f x --=+=，所以函数()f x 为偶函数，()()12x xf x e e -'=-，当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,∞+上递增，则()1log log 22b f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以10log 212πππ<<<<，所以b a c <<. 故选：C ．23．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．无法确定【答案】B 【分析】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，可得函数()f x 的周期4T =，由此即可求出结果. 【详解】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-；所以()(2)f x f x =--，所以(+2)()f x f x =-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期4T =，911334211222222f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立，且函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，(1)4f =，则(2020)(2021)(2022)f f f ++=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】根据函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，得到函数是奇函数，然后结合(2)()f x f x +=-，得到函数的周期为4T =求解. 【详解】因为函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以函数()y f x =的图象关于点()0,0对称，即()()f x f x -=-，又因为(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，所以函数的周期为4T =，又(1)4f =，所以(2020)(2021)(2022)(0)(1)(0)4f f f f f f ++=++=. 故选：D.25．（2021·江西·高三月考（文））若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且()30f =，则满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为（）A ．(][),15,-∞-+∞B ．[][]3,05,-+∞C ．[][]1,02,5-D ．(][),10,5-∞-【答案】C 【分析】根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞递增，且()30f =，所以()f x 在(),0-∞递增，且()30f -=.()2f x -的图象是由()f x 的图象向右平移2个单位得到，画出()2f x -的大致图象如下图所示，由图可知，满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为[][]1,02,5-.故选：C.26．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（） A ．f 3()2<f 1()4-<f 1()4B ．f 1()4<f 1()4-<f 3()2C ．f 3()2<f 1()4<f 1()4-D ．f 1()4-<f 3()2-<f 1()4【答案】C 【分析】首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项. 【详解】因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为4，并且()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 关于1x =对称，作出f (x )的草图(如图)，由图可知3()2f <1()4f <1()4f -，故选：C.27．（2022·全国·高三专题练习）函数()342221x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，则不等式()1f x ≥的解集是（）A ．()513⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，B ．(]5133⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦，，C ．513⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．533⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【分析】将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()1f x ≥的解集. 【详解】()342221x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，443,3434,232,21x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪-⎩，当43x <时，431,11x x x -≥≤⇒≤，当423x ≤≤时，55341,233x x x -≥≥⇒≤≤，当2x >时，10x ->，则21,21,3231x x x x ≥≥-≤⇒<≤-，综上所述，不等式()1f x ≥的解集为(]5,1,33⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦.故选：B.28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））函数()f x 满足()()4f x f x =-+，若()23f =，则()2022f =（）A ．3B ．-3C ．6D ．2022【答案】B 【分析】根据函数()f x 满足()()4f x f x =-+，变形得到函数()f x 是周期函数求解. 【详解】因为函数()f x 满足()()4f x f x =-+，即()()4f x f x +=-，则()()()84f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，周期为8，所以()()()()202225286623f f f f =⨯+==-=-．故选：B ．29．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数2()ln(231)f x x x =-+的单调递减区间为（）A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞【答案】B【分析】先求出函数()f x 的定义域，再求出函数2231u x x =-+在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答.【详解】在函数2()ln(231)f x x x =-+中，由22310x x -+>得12x <或1x >，则()f x 的定义域为1(,)(1,)2-∞+∞，函数2231u x x =-+在1(,)2-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又ln y u =在(0,)u ∈+∞上单调递增，于是得()f x 在1(,)2-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间为1(,)2-∞. 故选：B.30．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】A【分析】根据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数．【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A.31．（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x 1<2<x 2，且x 1＋x 2>4，则f (x 1)＋f (x 2)的值（）A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0【答案】B【分析】首先根据条件()(4)f x f x -=-+转化为(4)()f x f x -=-，再根据函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，将1x 转换为14x -，从而14x -，2x 都在(2,)+∞的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断12()()f x f x +的值的符号．【详解】解：定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，将x 换为x -，有(4)()f x f x -=-，122x x <<，且124x x +>，2142x x ∴>->，函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，21()(4)f x f x ∴>-，(4)()f x f x -=-，11(4)()f x f x ∴-=-，即21()()f x f x >-，12()()0f x f x ∴+>，故选：B ．32．（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数()f x 满足()()1f x f x -=()x R ∈，则下列函数中，不是奇函数的为（）A ．()()11f x f x -+ B ．()()11f x f x +- C ．()()1f x f x - D ．()()1f x f x + 【答案】D【分析】根据奇函数的定义判断．【详解】因为()()1f x f x -=()x R ∈，所以()1()()1f x g x f x -=+，则11()11()()()()1()11()1()f x f x f xg x g x f x f x f x -----====--+++，()g x 是奇函数，同理()()1()1f x h x f x +=-也是奇函数，1()()()()()p x f x f x f x f x =-=--，则()()()()p x f x f x p x -=--=-，是奇函数， 1()()()()()q x f x f x f x f x =+=+-，()()()()q x f x f x q x -=-+=为偶函数，故选：D ．33．（2021·四川郫都·高三月考（文））已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2log 3B ．1C ．1-D ．0【答案】D【分析】根据函数的奇偶性和(1)()f x f x -=可得函数的周期是2，利用周期性进行转化求解即可．【详解】解：奇函数满足(1)()f x f x -=，()(1)(1)f x f x f x ∴=-=--，即(1)()f x f x +=-，则(2)(1)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的周期函数，所以225111()()log ()log 102222f f ==+==．故选：D.34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f ≠，则()2021f =（）．A ．2021B ．1C ．0D ．1-【答案】C【分析】分别令0x y ==，令12x y ==得到()()110f x f x ++-=，进而推得函数()f x 是周期函数求解．【详解】令0x y ==，则()()()()00200f f f f +=，故()()()20010f f -=，故()01f =，（()00f =舍）令12x y ==，则()()1110222f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()10f =．∴()()()()11210f x f x f x f ++-==，即()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=，故()f x 的周期为4，即()f x 是周期函数．∴()()202110f f ==．故选：C ．二、多选题35．（2021·全国·高三月考）()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()()2log 2f x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．()20221f =C ．当[]2,3x ∈时，()()2log 4f x x =--D ．函数()f x 在[]0,2021内有1010个零点【答案】AC【分析】由()()2 x f f x +=-可判断A ，()()()2022450()5220f f f f =⨯+==-，可判断B ，当[]2,3x ∈时，[]20,1x -∈，结合条件可判断C ，易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===，可判断D.【详解】()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2 x f f x +=-，()()4 (2,f x f x f x ∴+=-+=）故函数的周期为4，故选项A 正确；()()()2022452(05201)f f f f =⨯+==-=-，故选项B 错误；当[]2,3x ∈时，[]20,1x -∈，则()()()()222log 2 2log 4f x f x x x ⎡=--=---=-⎤⎦-⎣，故选项C 正确；易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===，于是函数()f x 在[]0,2021内有1011个零点，故选项D 错误，故选：AC ．36．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）关于函数()321x f x x +=-，正确的说法是（） A ．()f x 有且仅有一个零点B ．()f x 在定义域内单调递减C ．()f x 的定义域为{}1x x ≠D ．()f x 的图象关于点()1,3对称【答案】ACD【分析】将函数()f x 分离系数可得5()31f x x =+-，数形结合，逐一分析即可；【详解】解：323(1)55()3111x x f x x x x +-+===+---，作出函数()f x 图象如图：由图象可知，函数只有一个零点，定义域为{}|1x x ≠，在(),1-∞和()1,+∞上单调递减，图象关于()1,3对称，故B 错误，故选：ACD ．37．（2021·福建·三明一中高三月考）下列命题中，错误的命题有（）A ．函数()f x x =与()2g x =是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．函数4sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值为4 D ．设函数22,0()2,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 在R 上单调递增【答案】ACD【分析】求出两函数的定义域，即可判断A ；命题的否定形式判断B ；函数的最值判断C ；分段函数的性质以及单调性判断D ；【详解】解：函数()f x x =定义域为R ，函数2()g x =的定义域为[)0,+∞，所以两个函数的定义域不相同，所以两个函数不是相同函数；所以A 不正确；命题“0[0x ∃∈，1]，2001x x +”的否定为“[0x ∀=，1]，21x x +<”，满足命题的否定形式，所以B 正确；函数4sin sin y x x =+(0)2x π<<，因为02x π<<，所以0sin 1x <<，可知4sin 4sin y x x =+>，所以函数没有最小值，所以C 不正确；设函数22,0,()2,0,x x x f x x +<⎧⎪=⎨⎪⎩两段函数都是增函数，并且0x <时，0x →，()2f x →，0x 时，函数的最小值为1，两段函数在R 上不是单调递增，所以D 不正确；故选：ACD ．38．（2021·福建·高三月考）已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()13f x f x +=-，()()13f x f x +=-，当02x ≤≤时，()2f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为4B ．()f x 的图象关于直线2x =对称C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最大值为2D ．当68x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12- 【答案】ABC【分析】根据抽象函数关系式，可推导得到周期性和对称性，知AB 正确；根据()f x 在[]0,2上的最大值和最小值，结合对称性和周期性可知C 正确，D 错误.【详解】对于A ，()()13f x f x +=-，()()4f x f x ∴+=，()f x ∴的最小正周期为4，A 正确；对于B ，()()13f x f x +=-，()()22f x f x ∴+=-，()f x ∴的图象关于直线2x =对称，B 正确；对于C ，当02x ≤≤时，()()max 22f x f ==，()f x 图象关于2x =对称，∴当24x ≤≤时，()()max 22f x f ==；综上所述：当04x ≤≤时，()()max 22f x f ==，C 正确；对于D ，()f x 的最小正周期为4，()f x ∴在[]6,8上的最小值，即为()f x 在[]2,4上的最小值，当02x ≤≤时，()min 1124f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()f x 图象关于2x =对称， ∴当24x ≤≤时，()min 711224f x f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴在[]6,8上的最小值为14-，D 错误. 故选：ABC.39．（2022·全国·高三专题练习）设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（）A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称.【答案】BC【分析】根据偶函数的对称性，结合函数图象变换性质、函数图象关于直线对称的性质进行逐一判断即可.【详解】A ：中由y ＝f (x )关于y 轴对称，得y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，所以结论错误；B ：因为y ＝f (x ＋2)为偶函数，所以函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以结论正确；C ：因为f (2＋x )＝f (2－x )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因此结论正确；D ：由f (2－x )＝f (x )，得f (1＋x )＝f (1－x )，所以y ＝f (x )关于直线x ＝1对称，因此结论错误，故选：BC.40．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知函数sin ()()x f x e x R =∈，则下列论述正确的是（）A ．()f x 的最大值为e ，最小值为0B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期函数，且最小正周期为2πD ．不等式()f x ≥5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】BD【分析】由|sin |[0,1]x ∈，得到函数的值域，可判定A 错误；由函数奇偶性的定义，可判定B 正确；由函数周期的定义，可得判定C 错误；由()f x ≥，得到1|sin |2x ≥，结合三角函数的性质，可判定D 正确.【详解】由|sin |[0,1]x ∈，可得的sin [1,]x e e ∈，故A 错误；由sin()|sin |()()x x f x e e f x --===，所以()f x 是偶函数，故B 正确；由|sin()||sin ||sin |(=e )()x x x f x e e f x ππ+-+===，所以π是()f x 的周期，故C 错误；由()f x ≥，即1sin 2x e e ≥，可得1|sin |2x ≥，解得x 的取值范围是5,66xk x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故D 正确. 故选：BD. 41．（2021·全国·模拟预测）已知函数()21x f x x =-，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 在(),1-∞上是增函数B ．函数()f x 的图象关于点()1,2中心对称C ．函数()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得直线//AB x 轴D ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称【答案】AC【分析】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，然后画出其图象可得答案. 【详解】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，其大致图象如下，结合函数图象可得AC 正确，BD 错误.故选：AC.42．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD【分析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-=，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题43．（2021·广东·高三月考）请写出一个函数()f x =__________，使之同时具有如下性质：①图象关于直线2x =对称；②x R ∀∈，(4)()f x f x +=．【答案】()cos 2f x x π=（答案不唯一）. 【分析】根据性质①②可知()f x 是以4为周期且图象关于2x =对称点的函数，即可求解.【详解】解：由题可知，由性质①可知函数()f x 图象关于直线2x =对称；由性质②x R ∀∈，(4)()f x f x +=，可知函数()f x 以4为周期，写出一个即可，例如：()cos 2f x x π=，故答案为：()cos 2f x x π=（答案不唯一）. 44．（2021·湖南·高三月考）已知偶函数()f x 满足()()416f x f x +-=，且当(]0,1x ∈时，()[]222()f x f x =，则()3f -=___________.【答案】12【分析】利用函数的奇偶性及赋值法，可以解决问题.【详解】由()()416f x f x +-=，令2x =，可得()28f =.因为[]22(2)(1)16f f ==，212(1)02f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥，所以()10f ≥，所以()14f =，由()()416f x f x +-=，令1x =，可得()312f =.因为()f x 是偶函数，所以()()3312f f -==.故答案为：12.45．（2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考）定义在R 上的函数f (x )满足()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+，则23(log 8)2f +＝___．【答案】74【分析】由条件可得2233(log 8)(log )22f f +=，然后可算出答案. 【详解】因为()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+，所以23log 222331317(log 8)(log )2224244f f +==+=+= 故答案为：74. 46．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，2(2),[3,1)(),[1,3)x x f x x x ⎧-+∈--⎪=⎨∈-⎪⎩，数列{}n a 满足(),n a f n n N =∈*，{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =_________．【答案】337【分析】先判断出周期为6，再求出126a a a ++⋅⋅⋅+的值，最后求出2021S 的值【详解】因为函数()f x 满足(6)()f x f x +=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，()()()()12311,22,331a f a f a f f ======-=-，()()()()()456420,511,00a f f a f f a f ==-===-=-==，()()7711a f f ===，1261210101a a a ++⋅⋅⋅+=+-+-+=，因为202163365=⨯+，所以()2021126125336336112101337S a a a a a a =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯++-+-=故答案为：337.47．（2021·辽宁沈阳·高三月考）若函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数，则m 的值为________．【答案】12- 【分析】先根据()()11f f =-求出m 的值，再根据奇偶性的定义证明即可.【详解】解：由已知210x -≠，即0x ≠，故函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，因为函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数，则()()11f f =- 即1112121m m -⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，解得12m =-，当12m =-时， ()()()()333331111212221211221x x x x x f x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫--=+⋅--+⋅=⋅--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭3332102121x x x x x x =⋅--=--. 故12m =-时，函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭为偶函数故答案为：12-. 48．（2021·全国·高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为______.【答案】(0,2)【分析】利用导数可判断函数在(0,)+∞为增函数，再利用函数奇偶性的定义可判断函数为偶函数，从而将(21)(1)f x f x -<+转化为|21||1|x x -<+，进而可求出不等式的解集【详解】定义域为R ，由题意，()2sin cos (2cos )sin f x x x x x x x x '=--=--，当0x >时，()1sin 0f x x x '≥⋅->，故()f x 在(0,)+∞为增函数.因为22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=----=-=，所以()f x 为偶函数，故(21)(1)f x f x -<+即(|21|)(|1|)f x f x -<+，则|21||1|x x -<+，故22(21)(1)x x -<+，解得02x <<，故原不等式的解集为(0,2).故答案为：(0,2).49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定.【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+- 222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点，即f (x )的零点个数为2.故答案为：2.50．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359x f x g x x x +=-++，则()()13f g -+=______．【答案】223【分析】先用列方程组法求出()f x 和()g x 的解析式，代入即可求解.【详解】因为()()224359x f x g x x x +=-++……① 所以()()224359x f x g x x x -+-=+++ 因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()224359x f x g x x x -=+++……② ①②联立解得：()235f x x =+，()249x g x x =-+，所以()()()22431331532392f g ⨯-+=-+-=+. 故答案为：223.。

高中数学高考总复习---函数的最值和及值巩固练习题(基础、提高)含答案解析

(Ⅰ)求 a、b 的值；
(Ⅱ)若对于任意的 x∈[0，3]，都有 f(x)<c2 成立，求 c 的取值范围。
14.（2015 金凤区校级一模）已知函数
.
（1）求
的单调区间和极值;
(2)若对任意
，
恒成立，求实数的最大值.
15. （2016 海淀区模拟）已知函数
.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若关于的不等式
14
②当
时，由（1）知
，
所以
随的变化情况如下表：
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以的极大值点为，极小值点为。
综上所述，当
时，
有一个极大值点
，没有极小值点；
当
时，有一个极大值点，一个极小值点。
16.【解析】
（1）由已知，函数 f(x)的定义域为(0,+∞)，
，
所以
．
当
时，g(x)在区间
在区间
上单调递减；
当
时，g(x)在区间(0,+∞)上单调递增．
（2）由
，解得
上单调递增，．
12
令
．
则故存在 x0∈(1,e)，使得令
，．
，
由
知，函数 u(x)在区间(1,+∞)上单调递增．
所以
．
即 a0∈(0,1)．
当 a=a0 时，有
，
由（1）知，函数 f＇(x)在区间(1,+∞)上单调递增．
故当 x∈(1,x0)时，有 f＇(x0)＜0，从而 f(x)＞f(x0)=0；当 x∈(x0，+∞)时，有 f＇(x0)＞0，从而 f(x)＞f(x0)=0；所以，当 x∈(1,+∞)时，f(x)≥0．

高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(三角恒等变换)练习(附答案)

高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（三角恒等变换）练习一、单选题1．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-3．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2021ꞏ北京ꞏ统考高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为985．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）22π5πcoscos 1212-=（）A ．12B C D 6．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．37．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A ．15B C D 8．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．4739．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和210．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．6511．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C sin cos 2c B A =，则tan A 等于（） A ．3B ．13-C ．3或13- D ．-3或1312．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79 C ．79-D ．89-13．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π14．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为415．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -= A ．15B．5C．5D ．116．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BCD二、多选题17．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（） AB ．32C．2 D．218．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅三、填空题19．（2022ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．20．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．21．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________． 22．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．23．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.四、解答题24．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.25．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．26．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+27．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．28．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.29．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．30．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）在ABC 中，17,8,cos 7a b B ===-．（1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．31．（2018ꞏ浙江ꞏ高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．32．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.33．（2018ꞏ江苏ꞏ高考真题）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．34．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b=，求sin(2B π+的值．35．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．36．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 37．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．38．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.五、双空题39．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）若函数()sin f x A x x =的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．参考答案1．C【要点分析】化简得出()cos 2f x x =，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【过程详解】因为()22cos sin cos 2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C.2．D【要点分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【过程详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-；故选：D3．C【要点分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【过程详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-= 所以()tan 1αβ-=- 故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2πα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（）（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（） sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin =04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =sin =044422πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1, 故选：C. 4．D【要点分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【过程详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98. 故选：D. 5．D【要点分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【过程详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos26π==. 故选：D. 6．C【要点分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【过程详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.【名师点睛】思路要点分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 7．A【要点分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【过程详解】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==故选：A.【名师点睛】关键名师点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.8．B【要点分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【过程详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB 为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以1004''1)273A B ⨯==+≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．【名师点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．9．C【要点分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【过程详解】由题，()sincos 3s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==故选：C ． 10．C【要点分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【过程详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++ ()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【名师点睛】易错名师点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 11．A【要点分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【过程详解】 222sin cos tan 222a b c C C C ab +-==⇒=，4C π∴>， 2sin sin sin a b cR A B C===，sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=，sin()sin 22A CB ∴+=⇒=，4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.12．B【过程详解】要点分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.过程详解：227 cos2α12199sin α=-=-= 故选B.名师点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 13．C【过程详解】要点分析:将函数()2f 1tanxtan xx =+进行化简即可过程详解：由已知得()221f sin2,1221(sinxtanx cosx sinxcosx x x k k Z sinx tan x c x osxππ⎛⎫====≠+∈ ⎪+⎝⎭+ ()f x 的最小正周期2T π2π== 故选C.名师点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 14．B【要点分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【过程详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 15．B【要点分析】首先根据两点都在角的终边上，得到2b a =，利用2cos23α=，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得215a =，从而得到5a =，再结合2b a =，从而得到2a b a a -=-=. 【过程详解】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即5a =，所以2a b a a -=-=B. 【名师点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 16．B【要点分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【过程详解】2sin 2cos 21α=α+ ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【名师点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 17．AC【要点分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到23b a =或2a b =，即可得解，注意就,M N 在双支上还是在单支上分类讨论.【过程详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支， OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 21NF NF 2a -=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 12NF NF 2a -= 352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ===选C[方法二]：答案回代法A e 2=选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===，则123cos 5F NF ∠=，C e 2=选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=+，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===，则123cos 5F NF ∠=， [方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin ac β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ===若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bc β=-，故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故e == 故选：AC. 18．AC【要点分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP uuur ，2AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【过程详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP = ，故12||||OP OP = ，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α=====，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确； D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC19．45【要点分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【过程详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=cos 1010αα⎫-=⎪⎪⎭，令sin θ=cos θ=，()αθ-=∴22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 210k παθπθ⎛⎫=++==⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.；45. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45. 20．2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【要点分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+2=，即可解出.【过程详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【名师点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.21．32【要点分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得3tan 2α=. 【过程详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开因为5tantan tan 1444ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，解之得3tan 2α=．故答案为：32．［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式551tan tan 1553445tan tan 15544211tan tan 544ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭．故答案为：32．［方法三］：换元法＋两角和的正切公式令54πθα=-，则1tan 5θ=，且54παθ=+．151tan tan5354tan tan 51421tan tan 145πθπαθπθ++⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭--．故答案为：32．【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接；方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出；方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式． 22．12-【要点分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【过程详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1αβ++=，1in()s 2αβ+=-．［方法二］：利用方程思想直接解出sin 1cos ,cos sin αβαβ=-=-，两式两边平方相加得1cos 2β=，则1sin 2α=．又cos 2sin αβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或cos 2sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1in()s 2αβ+=-．［方法三］：诱导公式＋二倍角公式由cos sin 0αβ+=，可得3sin cos sin 2πβαα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则322k πβπα=++或32()2k k πβππα⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭Z ．若32()2k k πβπα=++∈Z ，代入得sin cos 2sin 1αβα+==，即2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k πααβπααα⎛⎫=+=++=-=-=- ⎪⎝⎭．若2()2k k πβπα=--∈Z ，代入得sin cos 0αβ+=，与题设矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=，得1sin 2α=．又sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-⎛⎫===-=- ⎪-⎝⎭，()2k k βαπ=-∈Z ，即22k απβ=-，则2()k k αβπα+=-∈Z ．从而1sin()sin(2)sin 2k αβπαα+=-=-=-．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=，则cos()0αβ-=或sin()1αβ+=-．若cos()0αβ-=，则()2k k παβπ-=+∈Z ，即()2k k παβπ=++∈Z ．当k 为偶数时，sin cos αβ=，由sin cos 1αβ+=，得1sin cos 2αβ==，又23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-，所以131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-．当k 为奇数时，sin cos αβ=-，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．若sin()1αβ+=-，则2()2k k παβπ+=-∈Z ．则sin sin 2cos 2k παπββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．23．10. 【要点分析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【过程详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212=22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+=⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.24．(1)1c =(2)sin 4B =(3)sin(2)A B -=【要点分析】（1）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-以及2b c =解方程组即可求出；（2）由（1）可求出2b =，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．【过程详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以sin A ==sin sin a b A B =，所以2sin sinb AB a===（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又sin A == 所以1sin 22sin cos 2448A A A ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin B =cos B ==故7sin(2)sin 2cos cos 2sin 8A B A B A B ⎛-=-=+= ⎝⎭． 25．(1)6π(2)6+【要点分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【过程详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos 2C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === a =由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=. 26．(1)5π8； (2)证明见解析．【要点分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【过程详解】（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =．（2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得， cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．27．（I ）；（II ）34；（III ）116【要点分析】（I ）由正弦定理可得::2a b c = （II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【过程详解】（I ）因为sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =b = 2ac ∴==；（II ）由余弦定理可得2223cos24a b c C ab +-===；（III ）3cos 4C = ，sin C ∴==，3sin 22sin cos 2448C C C ∴==⨯=，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭111828216=⨯-⨯=.28．（1）π；（2）12+. 【要点分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =-，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 242y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由三角函数的图象与性质即可得解.【过程详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎭⎦⎝，所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin cos 22x x x x x x ⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭1cos 2sin 22cos 2sin 22222242x x x x x π-⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值12+.29．（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦ 【要点分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【过程详解】（I ） [方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 24a A b b ⎫==⎪⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc+-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=，即444222222220a b c a c a b b c +++--=，即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=，即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->，∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ） [方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤.由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 622A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.30．（1）∠A =π3；（2）AC边上的高为2．【要点分析】（1）方法一：先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，即可解得AC 边上的高．【过程详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理在ABC 中∵,1πcos ,,π,sin 727B B B ⎛⎫=-∴∈∴==⎪⎝⎭.由正弦定理得7ππsin ,π,0,,.sin sin sin 2223a b A B A A A B A π⎛⎫⎛⎫=⇒=∴=∈∴∈∴∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭［方法二］：余弦定理的应用由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-．因为17,8,cos 7a b B ===-，代入上式可得3c =或5c =-（舍）．所以2221cos 22b c a A bc +-==，又(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义在△ABC 中，∵sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+=1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=， ∴AC边上的高为2．［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义如图1，由（1）得1cos 842AD AC A =∠=⨯=，则14737AB =-⨯=．作BE AC ⊥，垂足为E，则sin 3BE AB A =∠==AC［方法三］:等面积法由（1）得60A ∠=︒，易求CD =1，作CD AB ⊥，易得4=AD ，即3AB =．所以根据等积法有11sin 22AC BE AB AC A ⋅⋅=⋅⋅⋅，即3BE =所以AC 边上的高为2．【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角；（2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出；方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出；方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出． 31．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 【要点分析】要点分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果.【过程详解】过程详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=.（Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±.由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 名师点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.32．（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3. 【要点分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围.【过程详解】（Ⅰ）()1cos211π1cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3. 名师点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 33．（1）725-；（2）211-【过程详解】要点分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan 2α，再利用两角差的正切公式得结果. 过程详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos 5αβ+=-，所以()sin 5αβ+==，因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+．名师点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.34．（1）c =（2）5. 【要点分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值； (2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【过程详解】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=，由正弦定理sin sin a bA B =，得cos sin 2B B bb =，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+==⎪⎝⎭【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.35．（1）3A π=；（2）sin C 【要点分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得1sin cos 222C C -=，然后结合辅助角公式可得64ππC =+，据此由两角和差正余弦公式可得sin C =【过程详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-，即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理可得：222b c a bc +-=， 2221cos 22b c a A bc +-∴==，()0,A π∈ ，3A π∴=.（2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦由（1）知，23B C π+=2b c +=，2sin 2sin 3πA C C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，1cos 22C C -=，即sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又20,,,3662C C ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以64C ππ-=，即64ππC =+，则sin sin 644ππC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．[方法二]正弦定理+方程思想2b c +=，得sin 2sin B C A ==2sin 2C -，代入22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，得23sin 2sin sin 242C C C ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得24sin 10C C -+=，则sin 4C =．由sin 2sin 0B C =>，得sin 4C >，所以sin 4C =． [方法三]余弦定理令c t a =．由2,b c b c a =+>，得t >将2b c =代入222b c a bc +-=中，可得2230c a -+=，即2310t -+=，解得6t =或6t =（舍去）．所以sin sin c C t a A ===从而sin 4C =． [方法四]摄影定理因为2c b =+，所以1cos 45cos 6022c a b a b ︒=+=+︒，由射影定理得()180456075C ∠=︒-︒+︒=︒，所以sin sin 75C ︒==【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解sin C 的值；方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得sin C 的值；方法三：利用余弦定理求得ct a=的值，然后结合正弦定理可得sin C 的值；方法四：利用摄影定理求得C ∠的值，然后由两角和差正余弦公式求解sin C 的值；【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.36．(1) 3B π=;(2)()82. 【要点分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【过程详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-，。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ），∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ）＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与方程)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1，而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0；当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0，综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ，所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立，解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ，则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|，所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1），得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。

高考数学习题及含答案 (1)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中任意抽取一张，则四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是（）A、41B、83C、241D、25692、从100张卡片（1号到100号）中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率是（）A、507B、1007C、487D、100153、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A.垂直B.平行C.相交不垂直D.不确定4、右图是正方体平面展开图，在这个正方体中()A.BM 与ED 平行；与BE 是异面直线；与BM 成45º角；D.DM 与BN 垂直.5、等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，2:3:23=S S ，公比q 的值是（）A1B21-C 211-或D211或-6.已知f (x )=3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则F (x )=［f －1(x )］2－f －1(x 2)的值域为（）A.［2，5］B.［1，+∞）C.［2，10］D.［2，13］7、已知集合{}{}|12,|35A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（）A．{}|34a a <≤B．{}|34a a <<C．{}|34a a ≤≤D．∅8．设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁B）=（）RA．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}9、设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．4510、阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．411.在复平面中，已知点A（2，1），B（0，2），C（-2，1），O（0，0）．给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②；③；④．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12.在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（）A．1∶3B．1∶9C．1∶33D．1∶)133(-二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1．在等比数列{512,124,}7483-==+a a a a a n 中，且公比q 是整数，则10a 等于_________.2．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则目标函数y x z 3+=的取值范围是_________.3．已知,1sin 1cot 22=++θθ那么=++)cos 2)(sin 1(θθ_________.4．取棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体.则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为365a.以上结论正确的是_________.（要求填上的有正确结论的序号）三、大题：(满分70分)1.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N 的正弦值．2.已知抛物线C：y2=3x 的焦点为F，斜率为32的直线l 与C 的交点为A，B，与x 轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB|．3.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．4.设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（）．A．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//m B．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C．α⊥l ，β⊥m ，且ml //D．α//l ，β//m ，且ml //5.设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ．6.如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，(1)求证：MN；//(2)求MN的长．参考答案：一、选择题：1-5题答案:BAADC6-10题答案:ACBCB11-12题答案:CDB）=（）8．设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁RA．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，B={x|x＜1}，∴∁R∴A∩（∁B）={x|0＜x＜1}．R故选：B．9、设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．45【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．10、阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：若输入N=20，则i=2，T=0，==10是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，循环，=不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5不成立，循环，==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2，故选：B．二、填空题：1、－1或5122、[8，14]3、44、①②⑤三、大题：1.解：（1）连结B1C，ME．因为M，E 分别为BB1，BC 的中点，所以ME∥B1C，且ME=12B1C．又因为N 为A1D 的中点，所以ND=12A1D．由题设知A1B1= DC，可得B1C = A1D，故ME =ND，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN∥ED．又MN ⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D 为坐标原点，DA的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则(2,0,0)A ，A1(2,0,4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(2)A M =-- ，1(1,0,2)A N =--，(0,MN =．设(,,)x y z =m 为平面A1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||5⋅〈〉==‖m n m n m n ，所以二面角1A MA N --的正弦值为105．2.解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+．（1）由题设得3,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-．（2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x ty x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=．所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故413||3AB =．3.解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <.所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点.（iii）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.（iv）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点.综上，()f x 有且仅有2个零点.4.设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（）．A．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//m B．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D．α//l ，β//m ，且ml //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．5.设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ．∵平面α⊥平面γ，∴PQ ⊥平面γ，MN ⊥平面γ，∴MN PQ //．又∵p a //，Q a PQ = ，N b MN = ，∴平面α//平面β．说明：如果在α、β内分别作γ⊥PQ ，γ⊥MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ 、MN 在α、β内，如果直接在α、β内作a 、b 的垂线，就可推出MN PQ //．由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．6.如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，(1)求证：β//MN ；(2)求MN 的长．分析：（1）要证β//MN ，取AD 的中点P ，只要证明MN 所在的平面β//PMN ．为此证明β//PM ，β//PN 即可．(2)要求MN 之长，在CMA ∆中，CM 、CN 的长度易知，关键在于证明CD MN ⊥，从而由勾股定理可以求解．证明：(1)连结AD ，设P 是AD 的中点，分别连结PM 、PN ．∵M 是AB 的中点，∴BD PM //．又β⊂BD ，∴β//PM ．同理∵N 是CD 的中点，∴AC PN //．∵α⊂AC ，∴α//PN ．∵βα//，P PM PN = ，∴平面β//PMN ．∵MN ⊂平面PMN ，∴β//MN ．(2)分别连结MC 、MD ．∵b BD AC ==，a BM AM 21==，又∵AB 是α、β的公垂线，∴︒=∠=∠90DBM CAM ，∴ACM Rt ∆≌BDM Rt ∆，∴DM CM =，∴DMC ∆是等腰三角形．又N 是CD 的中点，∴CD MN ⊥．在CMN Rt ∆中，22222421c a b CN CM MN -+=-=．说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解．(3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．。

全国统一高考数学练习卷及含答案 (1)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知,2||,1||==b a 且)(b a -与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A60B30C135D452、若直线l 上的一个点在平面α内，另一个点在平面α外，则直线l 与平面α的位置关系（）A．l ⊂αB．l ⊄αC．l ∥αD．以上都不正确3、两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对4、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n +=22，那么它的通项公式是（）A、12-=n a n B、12+=n a n C、14-=n a n D、14+=n a n 5、曲线||x y =与1+=kx y 的交点情况是（）A、最多有两个交点B、有两个交点C、仅有一个交点D、没有交点6、已知集合},2|||{},23|{>=<<-=x x P x x M 则=⋂P M （）A、}2223|{<<-<<-x x x 或B、RC、}23|{-<-x x D、}22|{<<x x 7、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）（A）60%（B）30%（C）10%（D）50%8.如图，在正方形ABCD 中，E、F、G、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个9.如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（）A．22B．515C．46D．3611.抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A．0B．23C．2D．312.已知椭圆22221a y x =+（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A．2230<<a B．2230<<a 或282>aC．223<a 或282>a D．282223<<a 二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)1.如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.2.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.3.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.4.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.5、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º（Ⅰ）证明：AB⊥PC（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积。

高考数学专题练习 (14)

“12＋4”限时标准练(八)(时间：40分钟满分：80分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数z ＝2i －1i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝2i －1i ＝(2i －1)i i 2＝i －2i 2＝2＋i ，复数z 在复平面内对应的点为(2,1)，在第一象限．[答案] A2．为了保障人民群众的身体健康，在预防新型冠状病毒期间，贵阳市市场监督管理局加强了对市场的监管力度，为了考察生产口罩的某工厂生产的600个口罩是否合格，利用随机数表进行抽样测试，先将600个口罩进行编号，编号分别为001,002，…，599,600，再从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号为( )A ．578B ．324C ．535D ．522[解析] 第6行的第6个数开始的三位数分别为808,436,789,535,577,348,994,837,522，…，符合条件的编号分别为436,535,577,348,522，…，第5个样本数据为522.[答案] D3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A ．－4 B ．4 C ．－13 D.13[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)⇒－sin α＝－2cos α⇒tan α＝2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝－13. [答案] C4．已知a ＝2－ 13 ，b ＝log 213，c ＝log 1314，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b[解析] a ＝132⇒0<a <1，b ＝－log 23<0，c ＝log 34>1，所以c >a >b .[答案] D5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的二项展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若A ＋B ＝72，则二项展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18 [解析] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 中，令x ＝1，得A ＝4n ，由题意知B ＝2n ，所以4n ＋2n ＝72，得n ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(x )3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 3x 3－3r 2 ，令3－3r 2＝0，得r ＝1，所以常数项为T 2＝3C 13＝9.[答案] B6．已知A ，B ，C ，D 四点在球O 的表面上，且AB ＝BC ＝2，AC ＝22，若四面体ABCD 的体积的最大值为43，则球O 的表面积为( )A ．7πB ．9πC ．10πD ．12π[解析] 根据题意有AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 在以AC 为直径的截面圆内，如图，S △ABC ＝12×2×2＝2.当平面DAC ⊥平面ABC 时，所得四面体体积最大，此时，设高为h ，则V D －ABC ＝13S △ABC h ＝13×2h ＝43，解得h ＝2，设O 1为AC 的中点，则OO 1⊥平面ABC ，在Rt △OO 1C 中，根据OO 21＋O 1C 2＝OC 2，得(2－R )2＋(2)2＝R 2(R 为球O 的半径)，解得R ＝32，所以球的表面积S ＝4πR 2＝9π.[答案] B7．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19π4，27π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫9π2，13π2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17π4，25π4 D ．[4π，6π)[解析] ∵x ∈[0,1]，ω>0，∴ωx ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，ω＋π4，∵f (x )的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，∴9π2≤ω＋π4<6π＋π2，解得17π4≤ω<25π4.[答案] C8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P .若线段PF 的中点为M ，M 在线段PT 上，O 为坐标原点，则|OM |－|MT |＝( )A ．b －aB ．a －bC ．c －aD ．c －b[解析] 如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′.∵点M ，O 分别为线段PF ，FF ′的中点，∴|OM |＝12|PF ′|＝12(|PF |－2a )＝12|PF |－a ＝|MF |－a ，∴|OM |－|MT |＝|MF |－|MT |－a ＝|FT |－a .连接OT ，∵FT 是圆的切线，∴OT ⊥FT ，在Rt △FOT 中，|OF |＝c ，|OT |＝a ，∴|FT |＝|OF |2－|OT |2＝b ，∴|OM |－|MT |＝b －a .故选A.[答案] A二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x ||x －1|≤1}，则( )A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝MD ．(∁R M )∪N ＝R [解析] 由|x －1|≤1得0≤x ≤2，即N ＝[0,2]，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝M ，M ⊆N ，(∁R M )∪N ＝R ，故选CD.[答案] CD10．某篮球职业联赛中，运动员甲在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表(不包含罚球)：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数100 55 18B ，“没投中”为事件C ，用频率估计概率，则下述结论中，正确的是( )A ．P (A )＝0.55B ．P (B )＝0.18C ．P (C )＝0.27D ．P (B ＋C )＝0.55[解析] 由题意可知，P (A )＝55100＝0.55，P (B )＝18100＝0.18，事件“A ＋B ”与事件C 为对立事件，且事件A ，B ，C 互斥，所以P (C )＝1－P (A ＋B )＝1－P (A )－P (B )＝0.27，所以P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝0.45.故选ABC.[答案] ABC11．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥AFB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等[解析] 由题意及图形知，当点F 与点B 1重合时，∠CAF ＝60°，故A 错误；由正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的两个底面平行，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，知EF ∥平面ABCD ，故B 正确；由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，点A 到平面DD 1B 1B 的距离是定值，故可得三棱锥A —BEF 的体积为定值，故C 正确；由图形可以看出，B 到直线EF 的距离与A 到直线EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等，故D 错误．故选AD.[答案] AD12．设x 3＋ax ＋b ＝0(a ，b ∈R )，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( )A ．a ＝－3，b ＝2B ．a ＝－3，b ＝－3C ．a ＝－3，b >2D ．a ＝－1，b ＝2[解析] A 中，方程为x 3－3x ＋2＝0，可得x 3－x 2＋x 2－3x ＋2＝0，即x 2(x －1)＋(x －1)(x －2)＝0，即(x －1)(x 2＋x －2)＝0，即(x －1)2(x ＋2)＝0，可得方程有两个根1，－2，不符合题意，所以不正确；B 中，方程为x 3－3x －3＝0，令f (x )＝x 3－3x －3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x <－1，或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－1<x <1时，f ′(x ) <0，f (x )单调递减，f (－1)＝－1<0，f (1)＝－5<0，当x →－∞时，f (x )→－∞，当x →＋∞，f (x )→＋∞，f (x )的大致图象如图所示，所以函数f (x )只有—个零点，即方程仅有—个实根，所以正确；C 中，方程为x 3－3x ＋b ＝0，令f (x )＝x 3－3x ＋b ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，由选项B 的分析，f (1)为极小值，且f (1)＝－2＋b ，当b >2时，f (1)>0，所以函数f (x )有一个零点，即方程仅有一个根，所以正确；D 中，方程为x 3－x ＋2＝0，令f (x )＝x 3－x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，由类似选项B 的分析，极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝2＋239>0，极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝2－239>0，所以函数f (x )仅有一个零点，所以方程仅有一个根，所以正确，故选BCD.[答案] BCD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填写在各小题的横线上．)13．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，则|3a －2b |＝__________.[解析] |3a －2b |2＝9a 2＋4b 2－12a ·b ＝72－12×2×3×cos60°＝36，所以|3a －2b |＝6.[答案] 614．已知圆C 的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的标准方程为___________________________________________________．[解析] 因为抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，所以圆C 的圆心为(0,1)．圆C 的圆心到直线4x －3y －2＝0的距离为|－3－2|42＋(－3)2＝1，又|AB |＝6，所以圆C 的半径r ＝12＋32＝10，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝10.[答案] x 2＋(y －1)2＝1015．已知随机变量X ～B (2，p )，Y ～N (2，σ2)，若P (X ≥1)＝0.64，P (0<Y <2)＝p ，则P (Y >4)＝__________.[解析] ∵随机变量X ～B (2，p )，P (X ≥1)＝0.64，∴P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝0.64，解得p ＝0.4或p ＝1.6(舍)，∴P (0<Y <2)＝p ＝0.4，∴P (Y >4)＝12(1－0.4×2)＝0.1.[答案] 0.116．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3－cos A )sin B ＝sin A (1＋cos B )，a ＋c ＝6，则△ABC 的面积的最大值为__________．[解析] 根据(3－cos A )·sin B ＝sin A (1＋cos B )，得3sin B ＝sin A ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理可得：3b ＝a ＋c ＝6，∴b ＝2.∵6＝a ＋c ≥2ac ，∴ac ≤9(当且仅当a ＝c ＝3时等号成立)，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －42ac＝16－ac ac ， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16－ac ac 2 ＝4ac 2ac －16， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×ac ×4ac2ac －16＝22ac －16≤22×9－16＝22(当且仅当a ＝c ＝3时等号成立)，∴△ABC 面积的最大值为2 2.[答案] 22。

高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题(含答案解析)

高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题（含答案解析）作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。

所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。

一、基础知识： 1、求值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。

（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。

若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。

（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。

（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。

（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。

（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）例：()[]223,1,4f x x x x =−−∈−解：()()214f x x =−−∴对称轴为：1x = ()[]4,5f x ∴∈−（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →−∞→（4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > 注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x的系数为1，再去确定a 的值例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a = ② 极值点：,x a x a ==− ③ 极值点坐标：()(),2,,2a a a a −−④ 定义域：()(),00,−∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎤⎡−∞−+∞⎦⎣（5）函数：()0ay x a x=−> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =± ③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。

(通用版)高考数学复习专题三三角函数 3.2 解三角形基础题练习理-人教版高三全册数学试题

3.2 解三角形基础题命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·11)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a sin A-b sin B=4c sin C ,cosA=-14,则bb =()A.6B.5C.4D.3,得a 2-b 2=4c 2,由余弦定理的推论,得-14=cos A=b 2+b 2-b 22bb, ∴b 2-4b 22bb =-14,∴-3b 2b =-14,∴b b =32×4=6,故选A .2.(2018全国Ⅱ·6)在△ABC 中,cos b2=√55,BC=1,AC=5,则AB=()A.4√2B.√30C.√29D.2√5cos C=2cos 2b 2-1=-35,∴AB 2=BC 2+AC 2-2BC ·AC cos C=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=4√2.3.(2018全国Ⅲ·9)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 的面积为b 2+b 2-b 24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π6S=b2+b2-b24=12ab sin C,得c2=a2+b2-2ab sin C.又由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,∴sin C=cos C,即C=π4.4.(2017某某·9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2Asin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,∴sin B+2sin B cos C=(sin A cos C+cos A sin C)+sin A cos C,∴sin B+2sin B cos C=sin B+sin A cos C, ∴2sin B cos C=sin A cos C,又△ABC为锐角三角形,∴2sin B=sin A,由正弦定理,得a=2b.故选A.5.(2019全国Ⅱ·15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC的面积为.√3b2=a2+c2-2ac cos B,∴(2c)2+c2-2×2c×c×12=62,即3c 2=36,解得c=2√3或c=-2√3(舍去).∴a=2c=4√3.∴S △ABC =12ac sin B=12×4√3×2√3×√32=6√3.典题演练提能·刷高分1.在△ABC 中,若原点到直线x sin A+y sin B+sin C=0的距离为1,则此三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析由已知可得√22=1,∴sin 2C=sin 2A+sin 2B ,∴c 2=a 2+b 2,故三角形为直角三角形.选A .2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos C+c=2a ,且b=√13,c=3,则a=() A.1 B.√6C.2√2D.42b cos C+c=2a ,由正弦定理可得2sin B cos C+sin C=2sin A=2sin(B+C )=2sin B cos C+2cos B sin C ,∴sin C=2cos B sin C ,∵sin C ≠0,∴cos B=12.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,又知b=√13,c=3,解得a=4.故选D .3.(2019某某某某高三质检)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a sin B=2b sinC ,b=3,cos B=14,则△ABC 的面积为()A.9√15B.9√1516C.3√1516D.916a sin B=2b sin C ,结合正弦定理可得ab=2bc ,则a=2c.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,可得9=(2c )2+c 2-2×2c ×c ×14,解得c=32,则a=3.又sin B=√1-cos 2b =√154,所以S △ABC =12ac sin B=12×3×32×√154=9√1516.故选B .4.在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2cos 2b +b2-cos 2C=1,4sin B=3sin A ,a-b=1,则c 的值为()A.√13B.√7C.√37D.6解析∵2cos2b +b2=2cos 2π-b 2=2cos 2π2−b 2=2sin 2b2=1-cos C ,∴1-cos C-cos2C=1.∴cos2C=-cos C.∴2cos 2C+cos C-1=0,解得cos C=12.因为{b -b =1,4b =3b ,故得到{b =3,b =4.根据余弦定理得到12=b 2+b 2-b 22bb,解得c 的值为√13.5.△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=5,B=π3,cos A=1114,则△ABC 的面积S=()A.10√33B.10C.10√3D.20√3cos A=1114,所以sin A=5√314,由正弦定理得到bsin b=bsin b,解得b=7,由正弦定理得到sin C=sin(A+B )=4√37,△ABC 的面积S=12×5×7×4√37=10√3.6.(2019某某某某高三二调)在△ABC 中,角A ,B ,C 成等差数列,且对边分别为a ,b ,c ,若bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =20,b=7,则△ABC 的内切圆的半径为()A.√3B.7√33C.2D.3角A ,B ,C 成等差数列,∴2B=A+C=π-B ,即B=π3,∴bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ca cos π3=20,即ca=40,由余弦定理b 2=c 2+a 2-2ca cos B ,可得49=a 2+c 2-ac=(a+c )2-3ac=(a+c )2-120,解得a+c=13.故a=5,c=8.设△ABC 的内切圆的半径为r ,则12(a+b+c )r=12ac sin B ,可得12(5+8+7)r=12×5×8×√32,可得△ABC 的内切圆的半径r=√3.故选A .7.如图,平面四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点P ,若3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB=AD=√3BC ,∠CAD+∠ACB=56π,则bbbb=() A.√213B.√214C.2√63D.√62BC=1,则AB=AD=√3,延长BC 到E ,使BE=3BC ,所以CE=2,依题意3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AC ∥DE ,所以bb bb=bb bb=12,由正弦定理得{bb sin b =bbsin b ,bb sin b=bb sin b,两式相除得2sin b=√3sin b, 所以2sin5π6-α=√3sin α,所以α=π2,β=π3.在△ABC 中,由余弦定理得3=1+AC 2-2AC cos π3,AC=2,在Rt △ACD 中CD=√3+4=√7,故bbbb =√7√3=√213,选A .8.在△ABC 中,AB=2,AC=√7,∠ABC=2π3,则BC=.,根据余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B ,即BC 2+2BC-3=0,解得BC=1,或BC=-3(舍去负值).9.在△ABC 中,a=1,b=√7,且△ABC 的面积为√32,则c=.或2√3△ABC =12ab sin C=12×1×√7×sin C=√32,则sin C=√217,cos C=±2√77, 当cos C=2√77时,c 2=1+7-2×1×√7×2√77=4,c=2;当cos C=-2√77时,c 2=1+7+2×1×√7×2√77=12,c=2√3.10.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米..5由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米.在△ABC 中,由余弦定理有cos B=bb 2+bb 2-bb 22bb ·bb=132+142-1522×13×14=513,B 为锐角,sin B=√1-cos 2b =1213.设△ABC 外接圆半径为R ,则由正弦定理有bsin b =2R ,R=b2sin b =75002×1213=4062.5(米).命题角度2与三角形有关的最值和X 围问题高考真题体验·对方向1.(2015全国Ⅰ·16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值X 围是.√6−√2,√6+√2).作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°.在△CBE中,由正弦定理得,EB=√6−√2.延长CD交BA的延长线于F,则∠F=30°.在△BCF中,由正弦定理得,BF=√6+√2,所以AB的取值X围为(√6−√2,√6+√2).2.(2014全国Ⅰ·16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.√3,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=b2+b2-b22bb =12.∴sin A=√32.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=12bc·sin A≤√3,即(S△ABC)max=√3.典题演练提能·刷高分1.(2019某某某某高三一模)在△ABC中,AB=2,C=π6,则AC+√3BC的最大值为() A.4√7 B.3√7C.2√7D.√7ABC 中,AB=2,C=π6,则2R=bbsin b =4,则AC+√3BC=4sin B+4√3sin A=4sin 5π6-A +4√3sin A=2cos A+6√3sin A=4√7sin(A+θ),其中sin θ=√714,cos θ=3√2114,由于0<A<5π6,0<θ<π2,所以0<A+θ<4π3,所以最大值为4√7.故选A .2.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若A=π3,a=2√2,则△ABC 面积的最大值为()A.√2B.2√3C.√6D.√3ABC 中,由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即8=b 2+c 2-2bc cos π3=b 2+c 2-bc ≥2bc-bc=bc ,即bc ≤8,当且仅当b=c 时,等号成立,所以△ABC 面积的最大值为S=12bc sin A=12×8sin π3=2√3,故选B .3.已知锐角△ABC 中的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=a (a+c ),则sin 2bsin(b -b )的取值X 围是()A.(0,√22)B.(12,√32) C.(12,√22) D.(0,√32)b 2=a (a+c ),由余弦定理,得a 2+c 2-2ac cos B=a (a+c ), 化简得c-a=2a cos B.由正弦定理,得sin C-sin A=2sin A cos B ,∵C=π-(A+B ),∴sin(A+B )-sin A=2sin A cos B ,化简得sin(B-A )=sin A.∵△ABC 是锐角三角形,∴B-A=A ,即B=2A ,∵{0<b <π2,π2<b +b <π,即{0<2b <π2,π2<3b <π,∴π6<A<π4,∴sin 2bsin(b -b )=sin A ∈(12,√22).4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为√3,且cos(b +b )cos b=b2b +b ,则c 的最小值是()A.2B.2√2C.2√3D.4∵cos(b +b )cos b=b 2b +b ,∴-cos b cos b =b2b +b ,∴根据正弦定理可得-cos bcos b =sin b2sin b +sin b ,即-2sin A cos C=sin A.∵sin A ≠0,∴cos C=-12.∵C ∈(0,π),∴C=2π3.∵△ABC 的面积为√3,∴S △ABC =12ab sin C=√3,即ab=4.∵cos C=b 2+b 2-b 22bb=-12, ∴c 2=a 2+b 2+ab ≥2ab+ab=3ab=12,当且仅当a=b 时取等号. ∴c min =2√3,故选C .5.在△ABC 中,已知a 2+b 2-c 2=4S (S 为△ABC 的面积),若c=√2,则a-√22b 的取值X 围是()A.0,√2B.-1,0C.-1,√2D.-√2,√2a 2+b 2-c 2=4S ,∴a 2+b 2-c 2=4×12ab sin C=2ab sin C.∴b 2+b 2-b 22bb =sin C ,∴cos C=sin C.∴C=π4. ∵bsin b =bsin b =bsin b =√2√22=2,∴a=2sin A ,b=2sin B ,又a-√22b=2sin A-√22×2sin B=2sin A-√2sin B=2sin A-√2sin3π4-A=sin A-cos A=√2sin A-π4,∵0<A<3π4,∴-π4<A-π4<π2, ∴-1<√2sin A-π4<√2,∴-1<a-√22b<√2,故选C .6.已知平面四边形ABCD 中,AB=AD=2,BC=CD ,∠BCD=90°,则四边形ABCD 面积的最大值为()A.6B.2+2√3C.2+2√2D.4,设∠DAB=θ,BC=CD=x ,则BD=√2x.在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos θ,即(√2x )2=4+4-8cos θ=8-8cos θ,∴x 2=4-4cos θ.∴四边形ABCD 的面积为S=12×22×sin θ+12x 2=2sin θ+(2-2cos θ)=2√2sin θ-π4+2.∵0<θ<π,∴-π4<θ-π4<3π4,∴当θ-π4=π2,即θ=3π4时,S 有最大值,且S max =2√2+2.选C .7.已知点O 是△ABC 的内心,∠BAC=60°,BC=1,则△BOC 面积的最大值为.BOC=180°-180°-60°2=120°,在△OBC 中,BC 2=OB 2+OC 2-2OB ·OC ·cos120°,即1=OB 2+OC 2+OB ·OC ≥3OB ·OC ,即OB ·OC ≤13,所以S △OBC =12OB ·OC sin120°≤√312,当OB=OC 时取得最大值.8.在△ABC 中,AB=AC ,D 为AC 的中点,BD=1,则△ABC 面积的最大值为.ABD 中,设AB=AC=b ,由余弦定理得cos A=b 2+b 24-12b ·b 2=54−1b 2,则sin A=√1-(54-1b 2) 2,所以△ABC 的面积为S=12b 2sin A=12b 2·√1-(54-1b2)2=18√-9(b 2-209)2+2569≤23,所以△ABC 的面积的最大值为23.9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的边长分别为a ,b ,c ,若|bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6,则△ABC 面积的最大值为.|bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴|AB|=3.∵bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6,∴ab cos C=6.∴cos C=6bb .由余弦定理得9=a 2+b 2-2ab cos C=a 2+b 2-12≥2ab-12,∴ab ≤212.∴S=12ab sin C=12ab √1-cos 2b=12ab √1-36b 2b 2=12√b 2b 2(1-36b 2b 2 =12√b 2b 2-36≤12√(212) 2-36=3√334.。

高考数学《函数的单调区间》基础知识与专项练习题(含答案解析)

高考数学《函数的单调区间》基础知识与专项练习题（含答案解析）单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。

求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。

一、基础知识：1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D ⊆，若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。

若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。

2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x ⇒∀∈≥，此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型：，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。

等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+∞，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。

（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x ⇒∀∈≤，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()',()x a b f x ∀∈，的符号能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。

（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域（2）求出()f x 的导函数'()f x（3）令'()0f x >（或0<），求出x 的解集，即为()f x 的单调增（或减）区间（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。

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1. 若集合}12,52,2{2a a a A +-=，且A ∈-3，则=a .2. 设集合}3,1,1{-=A ，}4,2{2++=a a B ,}3{=B A ,则实数=a .3. 设全集R U =,}0|{>=x x A ,}1|{>=x x B ，则=）（B C A U. 4. 命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 .5. “2>x ”是“211<x ”的条件. 6. 已知命题43:;33:>≥q p ，则q p ∧为（真/假），q p ∨为（真/假）.7. 若命题012,:2>+∈∀x R x p ，则该命题的否定p ⌝为 .8. 已知集合}20|{},40|{≤≤=≤≤=y y Q x x P ，下列从P 到Q 的各种关系f 不是函数的是( ).A x y x f 21:=→ .B x y x f 31:=→ .C x y x f 32:=→ .D x y x f =→: 9. 下列各组函数中表示同一函数是（）.A x x f =)(与 2)()(x x g = .B x )(=x f 与 33)(x x g =.C ||)(x x x f =与 ⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0()0()(22x x x x x g .D 11)(2--=x x x f 与 )1(1)(≠+=t t t g 10. 已知函数x x f 32)(-=，则：=)0(f ，=)32(f . =)(m f .=-)12(a f .11. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(211)(x xx x x f ，若a a f =)(，则实数=a . 12. 函数)1lg()(-=x x f 的定义域是 .13. 函数211)(xx f +=)(R x ∈的值域是 . 14. 下列函数)(x f 中，满足“对任意),0(,21+∞∈x x ，当时21x x <，都有)()(21x f x f >”的是（）.A xx f 1)(= .B 2)1()(-=x x f .C x e x f =)( .D )1ln()(+=x x f 15. 若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是 .16. 函数11)(-=x x f 在[]32，上的最小值为，最大值为 . 17. 函数x x x f -+=33)(与x x x g --=33)(的定义域均为R ，则)(x f 为（奇/偶）函数，)(x g 为（奇/偶）函数.18. 已知bx ax x f +=2)(是定义在[]a a 21，-上的偶函数，那么=+b a . 19. 已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，)1()(x x x f +=，则0<x 时，=)(x f .20. 为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象向平移个单位长度.21. 函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则有=a .22. 化简)0,0(16448<<y x y x 的结果为 .23. 函数)1,0(20182018≠>+=+a a a y x 的图象恒过定点 .24. =⋅⋅9log 22log 25log 532 .25. =⋅+2lg 5log 2lg 22 .26. 若对数式)5(log )2(a a --有意义，则实数a 的取值范围是 .27. 已知点)33,33(在幂函数的图象上，则=)(x f . 28. 函数54)(2+-=mx x x f 在区间[)+∞-,2上是增函数，则)1(f 的取值范围是 .29. 若二次函数满足1)0(,2)()1(==-+f x x f x f ，则=)(x f ，)(x f 的最小值为 .30. 函数x x f x 32)(+=的零点所在的一个区间是（）.A )1,2(-- .B )0,1(- .C )1,0( .D )2,1(31. 函数xx x f 4)(-=的零点个数是 .32. 函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上存在零点，则实数a 的取值范围是 .33. 函数)1()1()(2-+=x x x f 在1=x 处的导数等于 .34. 曲线123+-=x x y 在点)0,1(处的切线方程为 .35. 若x x x x f sin cos )(-=，则=)2('πf . 36. 若曲线4)(x x f =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为 .37. 函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 .38. x x x x f 33)(23+-=的极值点个数是 .39. 函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 .40. 已知函数812)(3+-=x x x f 在区间[]3,3-上的最大值与最小值分别为m M ,，则=-m M .41. 函数[]1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则的取值范围是 .42. 终边与坐标轴重合的角α的集合为 .43. 已知角α的终边过点)2,1(-，则=αcos .44. 弧长为π3，圆心角为135的扇形半径为，面积为 .45. = 300cos . 46. 已知31)2sin(=+πα，)0,2(πα-∈，则=αtan . 47. 若2tan =α，则=+-ααααcos sin cos 3sin . 48. 在ABC ∆中，31cos =A ，则=+)sin(C B . 49. 函数x x x f cos sin 2)(=是最小正周期为的 (奇/偶)函数.50. 函数)4tan(x y -=π的定义域是 .51. 函数⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=3,0),3cos(ππx x y 的值域是 . 52. 函数)62sin(2π-=x y 的最小正周期为，对称轴为 .53. 将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的解析式为 . 54. 把x y 21sin =的图象上的点的横坐标变为原来的2倍得到x y ωsin =的图象，则=ω .55. 已知函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的图象如图所示，则=)127(πf . 56. 计算=- 13sin 43cos 13cos 43sin .57. 计算=-5.22sin 212 .58. 如果a =-βα22cos cos ，则=-+)sin()sin(βαβα .59. 已知α是第二象限的角，53sin =α，则=α2tan . 60. =+ 313sin 253sin 223sin 163sin .61. 已知31)6sin(=-απ，则=+)232cos(απ . 62. =--15cos 260sin 32 . 63. 函数)2sin(sin 3)(x x x f ++=π的最大值是 .64. 在ABC ∆中， 60,10,15===A b a ，则=B cos .65. 在ABC ∆中,7,3,5===BC AC AB ,则=∠BAC .66. 在ABC ∆中,已知,sin sin 3sin sin sin 222C A A C B =--则角B 的大小为 .67. 在ABC ∆中,若34,31cos ,23===∆ABC S C a ，则=b . 68. 在ABC ∆中,已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆的形状是 . 69. 若点A 在点B 的北偏西30，则点B 在点A 的 .70. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速度是每小时海里.71. 给出下列命题：①向量AB 与向量BA 的长度相等，方向相反；②0=+BA AB ； ③a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同； ⑤AB 与CD 是共线向量，则D C B A 、、、四点共线.其中正确的是 .72. 对于非零向量a ,b ，“02=+b a ”是b a //的条件.73. 化简=---)()(BD AC CD AB .74. 已知),8(),5,4(y b a ==，且b a //，则=y .75. 在正ABC ∆中，AB 与BC 的夹角大小是 .76. 若)0,1(),3,2(-==b a ，则a b -3的坐标是 .77. 若向量),3()5,2(),1,1(x c b a ===，满足条件30)8(=⋅-c b a ，则=x .78. b a ，为平面向量，已知)8,3(2),34(=+=b a a ，，则b a ，夹角的余弦值= . 79. 已知向量)1,2(),2,3(-==b a ，则向量a 在b 方向上的投影为 .80. 平面向量a 与b 的夹角为 60，)0,2(=a ，1||=b ，则=+|2|b a .81. i 是虚数单位，复数=-+i i 13 . 82. 复数ii z +=1在复平面上对应的点位于第象限. 83. 已知y i i x =-+)1)((，则实数=x ，=y .84. 已知复数z 与i z 8)2(2--都是纯虚数，则=z . 85. 设z 的共轭复数是z ，若8,4=⋅=+z z z z ，则=zz . 86. 数列{}n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=121,12210,2n n n n n a a a a a ，若531=a ，则=2018a . 87. 数列{}n a 的前n 项和为12+=n S n ，则=n a .88. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,28,442===S a a n ，则=n .89. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S .90. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且30102010==S S ，，则=30S .91. 在等比数列{}n a 中，200720108a a =，则公比=q .92. 等比数列{}n a 中，45=a ，则=⋅82a a .93. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=25S S . 94. 已知等比数列{}n a 各项都是正数，31=a ，21321=++a a a ，则=++543a a a .95. 在数列{}n a ，{}n b 中，n b 是n a 与1+n a 的等差中项，21=a ，且对任意*N n ∈，都有031=-+n n a a ，则{}n b 的通项公式为 .96. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)1(1+=n n a n ，则=5S . 97. 已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和为n S ，且满足的n a a a n n +==-11,1，则=n S . 98. 数列{}n n ⋅-)1(的前2018项和=2018S .99. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n n a 2⋅=，则=n S . 100. 数列⋅⋅⋅，，，，81104172141前10项和为 .101. 设a ,b 为非零常数，若a +103.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为 . 104.设二次不等式012>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-311|x x ，则=⋅b a .105.不等式012≤+-x x 的解集是 . 106.当)2,1(∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，则m 的取值范围是 .107.已知点)1,3(和)6,4(-在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围为 .108.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+113y y x y x ，则目标函数y x z 24+=的最大值为 .109.在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x （a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则=a .110.已知23=+y x ，则y x 273+的最小值为 .111.如果1log log 22=+y x ，则y x 2+的最小值是 .112.用数学归纳法证明“)1(111212≠--=+⋅⋅⋅+++++a a a aa a n n ”，在验证1=n 时，左端计算所得项为 .113.用数学归纳法证明)12(312)()2)(1(-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++n n n n n n 时，从“k n =”到“1+=k n ”，左边需增乘的代数是 .114.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于 .115.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π34，则圆锥的体积为 . 116.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为 .117.如图是几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是 .118.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（） .A 平行或异面 .B 相交或异面.C 异面 .D 相交119. 对于直线n m ,和平面α，下列命题中的真命题是（）.A 如果n m n m ,,αα⊄⊂，是异面直线，那么α//n.B 如果n m n m ,,αα⊄⊂，是异面直线，那么n 与α相交.C 如果n m n m ,,//αα，⊂是共面直线，那么m n //.D 如果n m n m ,,//αα，⊂是异面直线，那么n 与m 相交120. 如果直线a //平面α，那么直线a 与平面α的（）.A 一条直线不相交 .B 两条相交直线不相交.C 无数条直线不相交 .D 任意一条直线都不相交121. α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判断平面α和β平行的是（） .A α和β都垂直于平面γ.B α内不共线的三点到β的距离相等.C m l ，是平面α内的直线，且ββ//,//m l.D m l ，是两条异面直线，且βααα//,////,//m l m l ，122. 给出下列关于互不相同的直线n m l ,，和平面γβα,，的三个命题:①若l 与m 为异面直线，则βα⊂⊂m l ，，则βα//;②若βαβα⊂⊂m l ,//，，则m l //;③若γαγγββα//,,l n m l ，=== ，则n m //. 其中真命题的序号是 .123. 设n m ,是两条不同的直线，βα，是两个不重合的平面，给定下列三个命题，其中真命题的是 .①αα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥m n n m ②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥m m ③n m n m //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα 124. 下列命题中：①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；②一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直；③一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直;④两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于他们交线的直线必垂直于第二个平面. 其中正确的命题是 .125.在正方体1111D C B A ABCD -中，C B 1与对角面B B DD 11所成角的大小是 . 126.如图，平面⊥ABC 平面BDC ，90=∠=∠BDC BAC ,且a AC AB ==，则=AD .127.设直线m 与平面α相交但不垂直，给出以下说法：①在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直；②过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直；③与直线m 垂直的直线不可能与平面α垂直;④与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直.其中错误的是 . 128. 如图所示，在四棱柱中1111D C B A ABCD -，M 为11C A 与11D B 的交点，若c AA b AD a AB ===1,,，则下列向量中与BM 相等的向量是（）.A c b a ++-2121 .B c b a ++2121 .C c b a +--2121 .D c b a +-2121 129.已知向量)4,2,4(--=a ，)2,3,6(-=b 则=-⋅+)2()32(b a b a .130.已知空间三点)3,2,2()4,0,1()1,1,1(--C B A 、、，则AB 与CA 的夹角的大小是 . 131.若直线21,l l 的方向向量分别为)4,4,2(-=a ，)6,9,6(-=b ，则（）.A 21//l l .B 21l l ⊥.C 1l 与2l 相交但不垂直 .D 以上均不正确132.已知两平面的法向量分别为)0,1,0(=m ，)1,1,0(=n ，则两平面所成的二面角为 . 133.正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与平面BD A 1所成角的余弦值为 . 134.过点)4,(),2(m N m M 、-的直线的斜率等于1，则m 的值为 .135.已知),1()7,4()5,3(x C B A -、、三点共线，则=x .136.已知两条直线2-=ax y 和1)2(++=x a y 互相垂直，则=a .137.已知直线1l 过)3,2(A 和)6,2(-B ，直线2l 过点)6,6(C 和)3,10(D ，则1l 与2l 的位置关系为 .138.已知点)3,2(A ，)2,5(-B ,若直线l 过点)6,1(-P ，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是 .139.已知直线l 的方程为453=-y x ，则l 在y 轴上的截距为 .140.直线l 过点)2,1(-且与直线0432=+-y x 垂直，则l 的方程为 . 141.如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不通过第象限.142.若直线l 过点)1,4(--P ，且横截距是纵截距的2倍，则直线l 的方程是 .143.与直线01243=++y x 平行，且与坐标轴构成三角形的面积是24的直线l 的方程是 .144.已知点)0)(2,(>a a 到直线03:=+-y x l 的距离为1，则=a .145.两直线02=--y x 与0322=+-y x 的距离为 .146.点P 在直线0132=++y x 上，点P 到)3,1(A 和)5,1(--B 的距离相等，则点P 的坐标是 .147.与直线05247=-+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是 .148.以点)1,2(-为圆心，以2为半径的圆的标准方程是 .149.若方程02)2(222=++++a ax y a x a 表示圆，则=a .150.若曲线04542:222=-+-++a ay ax y x C 上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为 .151.当a 为任意实数时，直线01)1(=++--a y x a 恒过定点C ，则C 以为圆心，5为半径的圆方程为 .152.圆0442:22=+--+y x y x C 的圆心到直线0443=++y x 的距离=d . 153.直角坐标系内过点)1,2(P 且与圆422=+y x 相切的直线有条.154.圆0222=-+x y x 与0422=++y y x 的位置关系是 .155.直线01:=-+-m y mx l 与圆5)1(:22=-+y x C 的位置关系是 . 156.直线052=+-y x 与圆822=+y x 相交于两点B A 、，则=AB . 157.过点)8,4(--作圆9)8()7(22=+++y x 的切线，则切线的方程是 . 158.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过焦点1F 的弦AB 的长是2，另一个焦点为2F ，则2ABF ∆的周长是 .159.椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则=m . 160.已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为54，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 . 161.已知椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则=m .162.已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若21tan ,02121=∠=⋅F PF PF PF ，则此椭圆的离心率为 . 163.已知双曲线的离心率为2，焦点是)0,4()0,4(，-，则双曲线方程为.164.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 .165.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线为)0(>=k kx y ，离心率k e 5=，则双曲线方程为 .166.若双曲线)0(14222>=-b b y x 的渐近线方程为x y 21+=，则=b . 167.设双曲线116922=-y x 的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则AFB ∆的面积为 .168.抛物线x y 82=的焦点到准线的距离是 .169.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上一点),3(m P -到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 .170.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于两点),(),,(2211y x B y x A ，若621=+x x ，则=AB .171.已知过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交该抛物线于B A 、两点，2=AF ,则=BF .172.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线x y =与抛物线C 交于B A 、两点，若)2,2(P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 .173.ABC ∆的顶点)0,5(),0,5(B A -，ABC ∆的内切圆圆心在直线3=x 上，则顶点C 的轨迹方程是 .174.已知两定点)0,1(),0,1(21F F -，且21F F 是1PF 与2PF 等差中项，则动点P 的轨迹方程是 .175.直线1+-=k kx y 与椭圆14922=+y x 的位置关系是 . 176.设21F F 、为椭圆13422=+y x 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于Q P 、两点，当四边形21QF PF 面积最大时，21PF PF ⋅的值等于 .177.以椭圆141622=+y x 内的点)1,1(M 为中点的弦所在直线的方程是 . 178.若圆0222=--+ax y x 与抛物线x y 42=的准线相切，则=a . 179.以直线02=±y x 为渐近线，且截直线03=--y x 所得弦长为338的双曲线方程为 .180.某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。