高一数学必修四课后习题答案
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第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB u u u r，BA u u u r . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ； 与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r； 与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r u uu r5、AD =u u u r .6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对 2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r； （2）CB u u u r .4、（1）c r ； （2）f u r ； （3）f u r ； （4）g u r . 练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BCuuu r与AB u u u r反向.3、（1）2b a =r r ； （2）74b a =-r r ； （3）12b a =-r r； （4）89b a =r r .4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -r r ； （2）111123a b -+r r； （3）2ya r . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以AC ===u u u r 因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ； （2）AB u u u r ； （3）BA u u u r ； （4）0r ； （5）0r ； （6）CB u u u r ； （7）0r .5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ； （2）102210a b c -+r r r ； （3）132a b +r r ； （4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r . 11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r，34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，（第11题）（第12题）EHGFC AB丙（第1题）BC∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形.（3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r所以BA CD =u u u r u u u r，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ； （2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ； （4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ； （2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r； （3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ； （4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r（第4题(3)）（第5题）∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r 习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r 88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r 222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r .3、a b +==r r ，a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r ， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r ，则2292x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是(55a =r或(55a =--r . 11、解：设与a r 垂直的单位向量(,)e x y =r ，则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是,55e =-r或(55e =-r . 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，33(,)c x y =r .先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y ⋅=+r r ，1313a c x x y y ⋅=+r r由a b a c ⋅=⋅r r r r 得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--r r ，所以()0a b c ⋅-=r r r再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c ⋅-=r r r 得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+u u u r u u u r u u u r u u u r . 3、证明：构造向量(,)u a b =r ，(,)v c d =r .cos ,u v u v u v ⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v +=<>r r∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++r r 4、AB AC ⋅u u u r u u u r 的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r 又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r ，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r 所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r ∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r ∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113）（第4题）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩ 代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =.2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r （2）因为1()2AE a b =+u u u r r r 所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO CO OE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r ；（2）v r 在A v u u r 方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u r u u r . 4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r 的夹角为θ， 则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r ，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r .设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r 为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v g θu u r ，最大投掷距离为20sin 2v g θu u r .O DF E A B C （第2题） （第4题）2、解：设1v u r 与2v u u r 的夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r 的夹角为α，行驶距离为d . 则1sin 10sin sin v v v θθα==u r r r ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r .将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r 所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==- （2）32y x=- 解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos 44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩ 又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=- 第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r 4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r 1133EF a b =--u u u r r r ，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u u r r r CE a b =-+u u u r r r 5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r ；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ； （3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r .6、AB u u u r 与CD u u u r 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C === 11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r .12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ== 第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r .222()2a b a b a b a b+=+=++⋅r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r r r r r r . 再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r .由于222a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r由a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=，于是a b ⊥r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r . 【几何意义是矩形的两条对角线相等】3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=-r u r r r r r r r（第6题）又a b =r r ，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r 再证c d a b ⊥⇒=r u r r r .由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r ，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r所以a b =r r 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r 而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r ，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r 所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒ 所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为沿与水流方向成903︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r ，所以点O 是ABC ∆的垂心.9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，P 2（第5题）夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=. cos(2)cos2cos sin 2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=.4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β== 所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）1、（1； （2） （3 （4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-； 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅. 5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）； （5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-； （6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+； （2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+； （3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-； （4）原式=12(cos )cos sin sin ))2333x x x x x πππ=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=， 即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角， 于是4cos 5β===-. 因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(444525210πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α=，所以sin tan (2)cos ααα==-=4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 8842πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题3.1 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈， 又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、（1） （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD = ∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒ 13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-； （5； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cos sin ((3ϕϕϕ=-=-=-sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-（第12题）sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin α==∴1sin 22sin cos 2()339ααα==⨯-⨯=-222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴78cos(2)cos2cos sin 2sin (444929218πππααα-+=-=-⨯--⨯=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题3.1 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题3.2 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题3.2 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4） 提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒-=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95； （2）2425；（3）223±. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==.8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+ sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边 （4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=，13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=（第13题）。
人教版高中数学必修4课后习题答案详细讲解
练习(第5页》1. 锐角是第一象限你第•象限你不一定是锐角;直角不膩于任何一个象限•不属于任何•个象限的角不一・定丛亢如：饨介迢第二象Wfft.第二绘限角不一定址钝介.说阴认识•说升广、-直角”•“mr和係限角”的区别埒联系.2•三•三• it.说明本題的II的足将终边相同的仰的符',;哦示应川到找他周期件何題匕题||联系实臥把教科筋中的除数360换戍毎个凡期的夭数7.利川了-M余”(这里余数是3)來确定7怡无氐7 k JjiU 也祁見川期•.这样的练习不难.町以II答.3•⑴第一魏探伽(2)第阿糾W伽(3)第二録限角$⑷第三簽限如.说明能作出结定的仰.并判定是第儿feRlfft・用略.4. ⑴305°・挖・第冋象Oh <2) 35鴛・第一象限伽⑶24『30'・第垛限处•说明能住给定范鬧内找出勺指定的角终边相同的角•并判定圧笫儿象瞅也・5. (1) «0|0 1303m 360°. AW引.-496*42\ —136°42‘・ 223。
叭(2) 〃|0= 225°M • 360°. W \、585°. - 225\ 135：说明用集合花示法和符号指定和终边柜同的介的集令•并在给定范田内找;l「j描定的角终边HI同的介. 练习C第9页)1. (1)令. (2)孕⑶攀说明能进行度U加度的换贰2. (!) 15°；<2) 210°€Ci) 54°.说明能进行瓶度9度的换◎・3. (I) {a | o= kK. it^Z}: (Z) ”！a=专十阪点€紂・说明川弧废；《丧示终边分别轴和y轴I：的"啲集舍.4. (I) cos 0. 75°・cos (L 75; (Z) tan L 2°"<^nni L 2$说明体会1诃数値不同的位的角对应的三角函数値町能不同•并进-步认识两种尬位制.注盘先用计算器求Jh函数血之前.耍先对il•算器中和的模式进行设證.如求cox«.75^i%•變将仰模人设比为"EG(用处制)；求CON O.75之|條賞将巾校成设汽为RAIN丸懐制).r w5盲机说明通过分别込川佝加制和软度制下的孤氏公儿体会引人毎度制的必茨性・6. 如度数为1.2.说明进•少认沢弧直数的绝对備公式.匀題I. 1 (第9贡》A俎1. (I)95\第二彖服(2) «0\第一彖服(3) 236W.第三象Rh ⑷:iOO\第四象限.说明能任给定范附内找出习指定的角终边相同的角，并判定是第儿彖限角.2. S I cr A • |&)°・ itez}.说明将终边相I同的仰用集介表斥.3. ( I) {fl\p 60° + k - 360'• k^Z}.— 30O\ 60°；⑵ SI" -75+. 360°. «eZh 一75°. 285•:(3) SI” 一82十3()+・36(汽JtGZ). — 1(M'3()\ 255°30气⑷{p\p 475+• 3$(几翳幼-215% 115^⑸ }屮=90°+£・ 360°. &WZ). - 270°, 90°;<«)270° + 女• ：<6(代JteZ}. - 90\ 270%(7){P\P IKO Q I - 360°, XZ}・ 1«0\ 18(f|(«)出|陰*任(几圧2}・-360°. 0°.说明川集伶衣〃湫和符号诸护孑出与能定角终边郴何的角的集合•并住绻定范IR内找出号指崔的角终边柏胡的角.5. (1> (:.说明14 为 <^< aV9O°・所以0°V 2a< 180\(2> I).说明冈为◎ • 360°0<90°十& • 360\ Jt€Z.所以k• 180'V号<45°十点• 1«()\ k"、半k为奇数时•；址第垛限伽臥为偶数时.号是第一象限角.6. 不等『1知址这是因为等于半轻长的弧所对的阀心角为】孤度•而零干半径氏的弦所对的弧比半径长.说明了解瓠度的槪念.说明能逬行麼吋加度的换算.& （1）— 210°; （2）600°；（3） 80.21\ （4） 3& 2°.说明能进行加度勺度的换算.9. 61°.说明町以先运用麵度制下的如氏公式求岀関心介的弧度数•卩術弧度换算为度・也町以K接运川血度制下的就尺公式.10. 11 CDL说明町以先将度换笫为匏度•再运川弧度制下的如氏公式•也可以M接运川角皮制卜的颅辰公式.1. <1）〈略）<2）设m子的阀心巾为0•山-7—52--------- =0.618.討（2兀一4〉0=0・ 618（2 穴一0）.说明水題址一个数学实嘶动.Mil对“芙观的阳子"并没右给出标准.II的址止学生先占体验.然麻评运川所学知讲发现.大寥数血子之所以“芙观”是冈为射都満足舟Q・GI8（黄金分割比）的逍理.2. ⑴时针转了120\等于一竽弧喪）分针转了一14彳0°・筹于一&瓠度.（2）设经过八nin分针就9时针改合.川为两针31合的次数.因为分针旋转的如速朋为时什施转的如速度为矗5=盏（rad/min>-（計—希）用计算机或计算需作出函效戶誥的图象（如下页图）或汲格.从屮吋淸楚地介列时什'j分针每次1R 合所尙的吋间.因为HHI&E 转一夭所需的时何为24X60=1 440(min).所以等曲440. 川W22・故时fl 七分针一天内只会磴合22次.说明 通过时什与分针的旋转问題进…步地认识弧度的概念•并将何題引向深入•用南数思想进行 分析.在研究时针与分针一犬的亟合次数时.可利用计算器或计算机•从模拟的图形、衣格中的数 据.换数的解析式或图象等角度.不堆得到正确的结论.3・ 864\ 警• 15l ・27rna说明 通过W 轮的转动何题进一步地认识弧度的概念和弧长公式•当大垢轮转动•周时•小片轮转 动的加处器 X 360。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
高中数学必修四课后习题答案
高中数学必修四课后习题答案高中数学必修四课后习题答案高中数学必修四是一门重要的数学课程，其中的习题对于学生的学习和提高非常关键。
在这篇文章中，我将为大家提供一些高中数学必修四课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门课程。
第一章二次函数1. 解：设二次函数的解为x1和x2，则有：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a代入题目中的系数，得：x1 + x2 = -(-3)/1 = 3x1 * x2 = 2/1 = 2所以，二次函数的解为x1 = 1，x2 = 2。
2. 解：根据题目中的条件，可以列出方程组：{ a + b + c = 6{ a - b + c = 2{ a + b - c = 4解方程组，得a = 4, b = 1, c = 1。
所以，二次函数的表达式为f(x) = 4x^2 + x + 1。
第二章三角函数1. 解：根据题目中的条件，可以列出方程：sin^2(x) + cos^2(x) = 1代入已知条件，得：sin^2(x) + (1/2)^2 = 1sin^2(x) + 1/4 = 1sin^2(x) = 3/4sin(x) = ±√(3/4)sin(x) = ±√3/2所以，x的解为x = π/3，2π/3，4π/3，5π/3。
2. 解：根据题目中的条件，可以列出方程：cos(2x) = sin(x)代入已知条件，得：2cos^2(x) - 1 = sin(x)2(1 - sin^2(x)) - 1 = sin(x)2 - 2sin^2(x) - 1 = sin(x)-2sin^2(x) - sin(x) + 1 = 0解这个二次方程，得sin(x) = 1/2，sin(x) = -1。
所以，x的解为x = π/6，5π/6，π/2，3π/2。
第三章概率与统计1. 解：根据题目中的条件，可以列出方程：2p + q = 13p + 2q = 1解这个方程组，得p = 1/3，q = 1/3。
高一数学必修4全册习题(答案详解)
高一三角同步练习1（角的概念的推广）一．选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 5、下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα 6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C7、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ）A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角 8、若α是第四象限的角，则α- 180是 ．(89上海)A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角二．填空题1、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．2、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．3、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．4、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．三．解答题1、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）210-； （2）731484'-．2、求θ，使θ与900-角的终边相同，且[]1260180，-∈θ．3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|, {}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360|,求B A ,B A .4、已知角α是第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略. 2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB， 2.5CD，3EF ，22GH .4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同.习题2.1 A 组（P77）1、30°45°CAOB（2）D CBA. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ；与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ；与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、332AD. 6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量. 2、相等的向量共有24对.模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD 同向的共有3对，与AD 反向的也有6对；模为2的向量共有4对；模为2的向量有2对水流方向CDAB2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略. 2、图略. 3、（1）DA ；（2）CB .4、（1）c ；（2）f ；（3）f ；（4）g .练习（P87）1、图略. 2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略.练习（P90）1、图略. 2、57ACAB ，27BC AB . 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC与AB 反向. 3、（1）2ba ；（2）74b a ；（3）12ba ；（4）89ba . 4、（1）共线；（2）共线.5、（1）32a b ；（2）111123a b ；（3）2ya .6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ；（2）向东走 5 km ；（3）向东北走102km ；（4）向西南走52km ；（5）向西北走102km ；（6）向东南走102km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB ，2AD，所以222282217ACABAD 因为tan 4CAD ，由计算器得76CAD 所以，实际航行的速度是217km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0；（2）AB ；（3）BA ；（4）0；（5）0；（6）CB ；（7）0.5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略.8、（1）略；（2）当ab 时，a ba b9、（1）22a b ；（2）102210a b c ；（3）132a b ；（4）2()xy b .10、14a be ，124a b e e ，1232310a b e e .11、如图所示，OCa ，ODb ，DCb a ，BCa b .12、14AEb ，BC b a ，1()4DE b a ，34DB a ，34ECb ，1()8DN b a ，11()48AN AM a b . 13、证明：在ABC 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EFAC ，即12EF AC ；同理，12HG AC ，所以EFHG .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM ，而13AN AC ，13AM AB ，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC .4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC ，∴AD BC //且AD BC ∴四边形ABCD 为梯形.（3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）（第13题）EHGFDCAB丙甲乙（第1题）（第4题(2)）BACD证明：∵AB DC ，∴AB DC //且AB DC∴四边形ABCD 为平行四边形又ABAD∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OBBA ，OD OC CD 而OA OC OB OD 所以OA OBOD OC所以BA CD ，即AB ∥CD .因此，四边形ABCD 为平行四边形. 2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）1、（1）(3,6)a b ，(7,2)a b ；（2）(1,11)a b ，(7,5)a b ；（3）(0,0)a b ，(4,6)a b ；（4）(3,4)a b，(3,4)a b .2、24(6,8)a b ，43(12,5)a b .3、（1）(3,4)AB ，(3,4)BA ；（2）(9,1)AB ，(9,1)BA ；（3）(0,2)AB，(0,2)BA ；（4）(5,0)AB，(5,0)BA 4、AB ∥CD .证明：(1,1)AB，(1,1)CD，所以AB CD .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)；（2）(1,4)；（3）(4,5).6、10(,1)3或14(,1)37、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32APPB ，得32A P P B(,)(2,3)(2,A P x y x y，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y ∴3(2,3)(4,3)2x y x y ∴32(4)233(3)2x x y y （第4题(3)）AD CBADMOBC（第5题）∴815x y，所以点P 的坐标为(8,15).习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)；（2）(0,8)；（3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F 3、解法一：(1,2)OA ，(53,6(1))(2,7)BC而ADBC ，(1,5)OD OA AD OA BC . 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)ADx y x y ，(53,6(1))(2,7)BC 由ADBC 可得，1227x y ，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA，(2,4)AB .1(1,2)2A C A B ，2(4,8)ADAB ，1(1,2)2AEAB . (0,3)O C O A A C ，所以，点C 的坐标为(0,3)；(3,9)O D O A A D ，所以，点D 的坐标为(3,9)；(2,1)O EO AA E ，所以，点E 的坐标为(2,1). 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x ，所以236x ，解得4x .6、(4,4)AB ，(8,8)CD，2CD AB ，所以AB 与CD 共线.7、2(2,4)OAOA ，所以点A 的坐标为(2,4)；3(3,9)O B O B ，所以点B 的坐标为(3,9；故(3,9)(2,4)(5,5)A B习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA ，(3,3)AB .当1t 时，(4,5)OP OA AB OB ，所以(4,5)P ；当12t 时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB ，所以57(,)22P ；当2t 时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB ，所以(5,4)P ；当2t时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB ，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB ，(1,1.5)AC ，所以4AB AC ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ ，(6,8)PR ，所以4PR PQ ，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF ，(1,0.5)EG ，所以8EFEG ，所以E 、F 、G三点共线. 3、证明：假设10，则由11220e e ，得2121e e .所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10.同理20.综上120.4、（1）19OP .（2）对于任意向量12OPxe ye ，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q.2、当0a b时，ABC 为钝角三角形；当0a b 时，ABC 为直角三角形.3、投影分别为32，0，32. 图略练习（P107）1、22(3)45a ，225229b ，35427a b .2、8a b，()()7a b a b ，()0a b c ，2()49a b .3、1a b，13a，74b ，88.习题2.4 A 组（P108）1、63a b，222()225123a b aa b b，25123a b .2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA .3、22223a baa b b，22235a baa b b.4、证法一：设a 与b 的夹角为.（1）当0时，等式显然成立；（2）当0时，a 与b ，a 与b 的夹角都为，所以()cos cosa b a b a b ()c o sa b a b ()cos cosa b a b a b 所以()()()a b a b a b ；（3）当0时，a 与b ，a 与b 的夹角都为180，则()cos(180)cosa ba b a b ()cos cos a b a b a b ()cos(180)cosa b ab a b 所以()()()a ba b a b ；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)ax y ，22(,)b x y ，那么11221212()(,)(,)a bx y x y x x y y 112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y 所以()()()a ba b a b ；5、（1）直角三角形，B 为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA，(3,4)(5,2)(2,2)BC ∴6(2)(6)20BA BC ∴BABC ，B 为直角，ABC 为直角三角形（2）直角三角形，A 为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB，(1,6)(2,3)(1,3)AC ∴2117(3)0AB AC ∴ABAC ，A 为直角，ABC 为直角三角形（3）直角三角形，B 为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA，(10,7)(5,2)(5,5)BC ∴35350BA BC ∴BABC ，B 为直角，ABC 为直角三角形6、135. 7、120. 22(23)(2)44361a b a b aa b b，于是可得6a b，1cos2a b a b ，所以120.8、23cos40，55. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB，(8,4)(5,2)(3,6)BC ，(8,4)(4,6)(4,2)DC∴ABDC ，43(2)60AB BC ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)ax y ，则2292xy y x，解得355655x y，或355655xy.于是3565(,)55a或3565(,)55a .11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y ，则221420xyx y ，解得55255xy或55255xy. 于是525(,)55e或525(,)55e . 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c 证法二：设11(,)ax y ，22(,)b x y ，33(,)c x y .先证()a ba c ab c 1212a bx x y y ，1313a cx x y y 由a b a c 得12121313x x y y x x y y ，即1231()()x x x y y y 而2323(,)b c x x y y ，所以()a b c 再证()ab c a b a c由()0a b c 得123123()()0x x x y y y ，即12121313x x y y x x y y ，因此a b a c 2、cos cos cossin sin OA OB AOBOA OB.3、证明：构造向量(,)ua b ，(,)v c d .c o s,u v u v u v，所以2222cos ,ac bd a bcd u v∴2222222222()()()cos,()()ac bd a b cd u vab c d 4、AB AC 的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CMAB ，12AMAB 又cos AB AC AB AC BAC ，而AM BACAC所以212AB ACAB AMAB 5、（1）勾股定理：Rt ABC 中，90C，则222CACBAB证明：∵ABCB CA ∴2222()2AB CB CA CBCA CB CA .由90C，有CA CB ，于是0CA CB ∴222CA CBAB（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD 证明：∵ACAB AD ，,DBAB AD ∴22()()AC DB AB AD AB AD ABAD .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD ，所以22ABAD∴0AC DB，所以AC BD （3）长方形ABCD 中，求证：ACBD证明：∵四边形ABCD 为长方形，所以ABAD ，所以0AB AD ∴222222ABAB AD ADABAB AD AD .∴22()()AB AD AB AD ，所以22ACBD ，所以ACBD（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y 则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x 由2RA AP 得11(1,)2(1,)x y x y ，即11232x x y y代入直线l 的方程得2yx .所以，点P 的轨迹方程为2yx .2、解：（1）易知，OFD ∽OBC ，12DFBC , 所以23BO BF .2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b （2）因为1()2AE a b 所以23AO AE ，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE 同理可知：2,2BO CO OF OD ，所以2AO BO COOE OF OD3、解：（1）(2,7)B Avv v ；（2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v . 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为，则31F，30；331F ，3F 与1F 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos xv v ，0sin yv v .设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则1s i n,()2c o sh v t g t gsv t 为重力加速度所以，最大高度为220sin 2v g，最大投掷距离为20sin2v g.2、解：设1v 与2v 的夹角为，合速度为v ，2v 与v 的夹角为，行驶距离为d . 则1sin 10sin sin v vv，0.5sin20sinv d.∴120sind v.所以当90，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）(0,1)ODFEABC（第2题）（第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y . (2,22)AB .将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74到AP ，于是7777(2cos22sin ,2sin22cos )(1,3)4444AP 所以1123x y，解得0,1xy（2）32yx解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4后，点P 的坐标为(,)x y 则cos sin 44sincos44x x y yx y ，即2()22()2x x y yx y 又因为223xy，所以2211()()322x y x y ，化简得32yx第二章复习参考题A 组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×. 2、（1）D ；（2）B ；（3）D ；（4）C ；（5）D ；（6）B.3、1()2AB a b ，1()2AD a b 4、略解：2133DE BA MA MBa b 2233AD a b ，1133BC a b 1133EF a b ，1233FA DC a b 1233CDa b ，2133AB a b CEa b5、（1）(8,8)AB ，82AB ；（2）(2,16)OC ，(8,8)OD；（3）33OA OB .（第4题）6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB ，(1,1)CD ，所以AB CD . 所以AB 与CD 共线.7、(2,0)D .8、2n. 9、1,0.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m ，所以(2)n m m .12、1.13、13a b，1a b.14、519cos,cos 820第二章复习参考题B 组（P119）1、（1）A ；（2）D ；（3）B ；（4）C ；（5）C ；（6）C ；（7）D.2、证明：先证aba b a b .222()2a ba b aba b，222()2a ba b a b a b .因为ab ，所以0a b ，于是22a b a ba b .再证a b a ba b. 由于222a b aa bb ，222a b aa b b由a b a b 可得0a b ，于是ab所以a ba b a b. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】3、证明：先证abcd22()()c d a b a b ab又a b ，所以0c d ，所以cd再证cd ab .由cd 得0c d，即22()()a b a b a b 所以a b【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所（第3题）NMOABS（第6题）示】4、12AD AB BC CD a b ，1142AE a b 而34EFa ，14EM a ，所以1111()4242AM AE EMa b a a b 5、证明：如图所示，12ODOP OP ，由于1230OP OP OP ，所以3OP OD ，1OD 所以11OD OP PD 所以1230OPP ，同理可得1330OPP 所以31260PPP ，同理可得12360PP P ，23160P PP ，所以123PP P 为正三角形. 6、连接AB.由对称性可知，AB 是SM N 的中位线，222MN ABb a .7、（1）实际前进速度大小为224(43)8（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为42千米／时，沿与水流方向成690arccos 3的方向前进.8、解：因为OA OB OB OC ，所以()0OB OA OC ，所以0OB CA 同理，0OA BC ，0OC AB，所以点O 是ABC 的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x ；（2）垂直；（3）当12210AB A B 时，1l ∥2l ；当12120A A B B 时，12l l ，夹角的余弦121222221122cosA AB B A BA B ；（4）022Ax By CdABDOP 3P 1P 2（第5题）第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin0cos1sin sin222.c o s(2)c o s2c o s s i n2s i n1c o s0.2、解：由3cos,(,)52，得2234sin1cos1()55；所以23242 cos()cos cos sin sin()444252510.3、解：由15sin17，是第二象限角，得22158cos1sin1()1717；所以811538153 cos()cos cos sin sin33317217234.4、解：由23sin,(,)32，得2225cos1sin1()33；又由33cos,(,2)42，得2237sin1cos1()44.所以3c o4.练习（P131）1、（1）624；（2）624；（3）624；（4）23.2、解：由3cos,(,)52，得2234sin1cos1()55；所以4133433 sin()sin cos cos sin()333525210.3、解：由12sin13，是第三象限角，得22125cos1sin1()1313；所以3c o66.4、解：tan tan314tan()2 41311tan tan4.5、（1）1；（2）12；（3）1；（4）32；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin26)cos(3426)cos602；（6）原式=sin20cos70cos20sin70(sin20cos70cos20sin70)sin901.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x xx ；（2）原式=312(sin cos )2(sin cos cos sin )2sin()22666x x x x x ；（3）原式=222(sin cos )2(sin cos cos sin )2sin()22444x x x x x ；（4）原式=1322(cos sin )22(cos cos sin sin )22cos()22333xx x x x .7、解：由已知得3sin()cos cos()sin5，即3sin[()]5，3sin()5所以3sin5. 又是第三象限角，于是2234cos 1sin1()55. 因此55si 44.练习（P135）1、解：因为812，所以382又由4cos85，得243sin 1()855，3sin 385tan 484cos85所以3424sinsin(2)2sin cos2()()488855252222437c o sc o s(2)c o s s i n ()()488855252232tan23162484tantan(2)3482771tan1()842、解：由3sin()5，得3sin 5，所以222316cos 1sin1()525所以2221637cos2cossin()255253、解：由sin2sin 且sin 0可得1cos2，又由(,)2，得2213sin 1cos1()22，所以s i n 3t an (2)3co s2. 4、解：由1t an 23，得22t an11t an3. 所以2t an6t an 10，所以t a n3105、（1）11sin15cos15sin3024；（2）222cossincos8842；（3）原式=212tan22.511tan4521tan 22.522；（4）原式=2cos452. 习题3.1 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cossin sin0cos (1)sin sin 222；（2）333sin()sin coscos sin1cos0sincos 222；（3）cos()cos cos sin sin1cos0sin cos ；（4）sin()sin coscos sin 0cos(1)sin sin . 2、解：由3cos,05，得2234sin1cos1()55，所以4331433cos()cos cossin sin666525210. 3、解：由2sin,(,)32，得2225cos 1sin1()33，又由33cos ,(,)42，得2237sin1cos1()44，所以5co3. 4、解：由1cos7，是锐角，得22143sin1cos1()77因为,是锐角，所以(0,)，又因为11cos()14，所以221153sin()1cos ()1()1414所以cos cos[()]cos()cos sin()sin11153431()14714725、解：由60150，得9030180又由3sin(30)5，得2234cos(30)1sin (30)1()55所以coscos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin3043314335252106、（1）624；（2）264；（3）23. 7、解：由2sin,(,)32，得2225cos 1sin1()33. 又由3cos4，是第三象限角，得2237sin 1cos1()44. 所以cos()cos cossin sin5327()()3434352712sin()sin cos cos sin2357()()()3434635128、解：∵53sin ,cos 135A B 且,A B 为ABC 的内角∴0,02A B ，124cos ,sin 135A B当12cos 13A 时，sin()sin cos cos sin AB A B A B5312433()013513565A B，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ∴cos cos()(cos cos sin sin )CA B A B A B 1235416()135135659、解：由3sin,(,)52，得2234cos 1sin1()55. ∴sin 353tan()cos544. ∴31tan tan 242tan()311tan tan111()42. 31tan tan 42tan()2311tan tan1()42.10、解：∵tan ,tan是22370x x 的两个实数根.∴3tantan2，7tan tan2. ∴3tan tan 12tan()71tan tan31()2. 11、解：∵tan()3,tan()5∴tan()tan()tan2tan[()()]1tan()tan()3541357tan()tan()tan2tan[()()]1tan()tan()351135812、解：∵::2:3:6BD DC AD ∴11tan,tan 32BD DC AD AD ∴tan tan tan tan()1tan tanBAC1132111132又∵0180BAC ，∴45BAC βαDACB（第12题）13、（1）65sin()6x ；（2）3sin()3x ；（3）2sin()26x；（4）27sin()212x ；（5）22；（6）12；（7）sin()；（8）cos()；（9）3；（10）tan().14、解：由sin0.8,(0,)2，得22cos1sin 10.80.6∴sin22sin cos 20.80.60.962222cos2cossin0.60.80.2815、解：由3cos,1802703，得2236sin1cos 1()33∴6322sin22sin cos 2()()3332222361cos2cossin ()()333sin222tan2(3)22cos2316、解：设5sin sin 13B C，且90B ，所以12cos 13B . ∴512120sin sin(1802)sin22sin cos 21313169A B B B B 2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B sin 120169120tan ()cos 169119119A A A 17、解：22122tan33tan211tan41()3，13tan tan274tan(2)1131tan tan2174.18、解：1cos()cos sin()sin31cos[()]3，即1cos 3又3(,2)2，所以22122sin 1cos1()33∴22142sin22sin cos 2()33922221227cos2cossin()()339∴72422728cos(2)cos2cossin2sin()44492921819、（1）1sin2；（2）cos2；（3）1sin44x ；（4）tan2.习题3.1 B 组（P138）1、略.2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x ，即210xpxp 的两个实根∴tan tan A B p ，tan tan 1A B p ∴tan tan[()]tan()CA B A B tan tan 11tan tan 1(1)A B p A Bp 由于0C，所以34C. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sincos (30)sin cos(30)4（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cossin(30)cos4223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4223sincossin cos4，其中30，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高. 4、因为12PAPP ，则2222(c o s ()1)s i n ()(c o sc o s )(s i n s i n )即22cos()22cos cos 2sin sin所以cos()cos cossin sin3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略. 2、略.3、略.4、（1）1sin42y x . 最小正周期为2，递增区间为[,],8282kk k Z ，最大值为12；（2）cos 2y x . 最小正周期为2，递增区间为[2,22],k k kZ ，最大值为3；（3）2sin(4)3yx. 最小正周期为2，递增区间为5[,],242242k k kZ ，最大值为2.习题3.2 A 组（P143）1、（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用22sin cos代替1，用2sin cos 代替sin 2；（5）略；（6）提示：用22cos 代替1cos2；（7）提示：用22sin 代替1cos2，用22cos 代替1cos2；（8）略.2、由已知可有1sin coscos sin2……①，1sin cos cos sin3……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin（2）把（1）所得的两边同除以cos cos 得tan 5tan注意：这里cos cos0隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan2. 于是2212()2tan 42tan211tan31()21tantan1142tan()1431tantan1()142∴tan24tan()44、由已知可解得sin x ，cos y ，于是2222sincos1x y.5、()2sin(4)3f x x，最小正周期是2，递减区间为7[,],242242k kkZ .习题3.2 B 组（P143）1、略.2、由于762790，所以sin76sin(9014)cos14m即22cos 71m ，得1cos72m 3、设存在锐角,使223，所以23，tan()32，又tan tan232，又因为tan tan 2tan()21tantan2，所以tantantan()(1tan tan )33222由此可解得tan 1，4，所以6.经检验6，4是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM .在Rt OMA 中，coscos22OM OA .在1Rt OM M 中，11cos coscos 22OM OM MOM ，11sin sincos22M M OM MOM .于是有1(cos cos )cos cos 222，1(sin sin )sin cos 2225、当2x时，22()sin cos 1f ；当4x时，4422222()sincos(sincos)2sincosf 211sin 22，此时有1()12f ≤≤；当6x 时，66()sinf 231sin 24，此时有1()14f ≤≤；由此猜想，当2,x k k N 时，11()12k f ≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ，其中34cos ,sin55所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）22sin()yab x，其中2222cos,sina b abab所以，y 的最大值为22ab ，最小值为22ab ；第三章复习参考题A 组（P146）xy M 1MC AOB（第4题）1、1665. 提示：()2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]443、1.4、（1）提示：把公式tan tantan()1tan tan变形；（2）3；（3）2；（4）3. 提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式=cos103sin104sin(3010)4 sin10cos10sin20；（2）原式=sin10sin103cos10 sin40(3)sin40cos10cos10=2sin40cos40sin801 cos10cos10；（3）原式=3sin203sin20cos20 tan70cos10(1)tan70cos10cos20cos20=sin702sin10sin20cos101 cos70cos20cos70；（4）原式=3sin10cos103sin10 sin50(1)sin50cos10cos102cos50sin100sin501cos10cos106、（1）95；（2）2425；（3）223. 提示：4422222sin cos(sin cos)2sin cos；（4）17 25.7、由已知可求得2cos cos5，1sin sin5，于是sin sin1tan tancos cos2.8、（1）左边=222cos214cos232(cos22cos21)22242(cos21)2(2cos)8cos=右边（2）左边=222 2sin cos2sin cos(sin cos) 2cos2sin cos2cos(cos sin)sin cos11tan2cos22=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin2cos(cos sin)sin()cos cos()sin sinsin sin=右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A =右边9、（1）1sin21cos2sin2cos222sin(2)24y x x x x x递减区间为5[,],88k k k Z（2）最大值为22，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin22cos(2)4f x x x x x x xx x x（1）最小正周期是；（2）由[0,]2x 得52[,]444x ，所以当24x，即38x时，()f x 的最小值为 2. ()f x 取最小值时x 的集合为3{}8.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin22sin(2)14f x x x x x xx（1）最小正周期是，最大值为21；（2）()f x 在[,]22上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a xa .（1）由21a 得1a；（2）2{22,}3x k x k k Z ≤≤.13、如图，设ABD ，则CAE ，2s i n h AB ，1cos h AC所以1212sin2ABC hh S AB AC ，(0)2当22，即4时，ABCS的最小值为12hh . 第三章复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sincos1，及0≤≤，可解得4sin5，h 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13 cos sin55，所以24sin225，7cos225，312sin(2)sin2cos cos2sin44450.解法二：由1s i n c o s5得21(sin cos)25，24sin225，所以249 cos2625.又由1sin cos5，得2sin()410.因为[0,]，所以3[,]444.而当[,0]44时，sin()04≤；当3[,]444时，22 sin()4210≥.所以(0,)44，即(,)42所以2(,)2，7cos225.312sin(2)4502、把1cos cos2两边分别平方得221cos cos2cos cos4把1sin sin3两边分别平方得221sin sin2sin sin9把所得两式相加，得13 22(cos cos sin sin)36，即1322cos()36，所以59cos()723、由43sin()sin35可得3343sin cos225，4sin()65.又02，所以366，于是3cos()65.所以334 cos cos[()]66104、22sin22sin2sin cos2sin2sin cos(cos sin)sin1tan cos sin1cosx x x x x x x x xxx x xx1tansin2sin2tan()1tan4xx x xx由177124x得5234x，又3cos()45x，所以4sin()45x，4tan()43x所以2cos cos[()]cos()cossin()sin44444410x x x x ，72sin 10x，7sin22sin cos 25x x x, 所以2sin22sin 281tan 75x x x，5、把已知代入222sincos(sin cos )2sin cos 1，得22(2sin )2sin1.变形得2(1cos2)(1cos2)1，2cos2cos2，224cos 24cos 2本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含的三角函数.考虑sincos ，sin cos 这两者又有什么关系？及得上解法.5、6两题上述解法称为消去法6、()3sin21cos22sin(2)16f x x x m x m . 由[0,]2x 得72[,]666x，于是有216m . 解得3m . ()2si n (2)4()6f x x x R 的最小值为242，此时x 的取值集合由322()62x k kZ ，求得为2()3xk k Z 7、设AP x ，AQy ，BCP，DCQ，则tan1x ，tan1y于是2()tan()()x y x y xy又APQ 的周长为2，即222x yxy，变形可得2()2xyx y 于是2()tan()1()[2()2]x y xy x y .又02，所以4，()24PCQ.8、（1）由221sin cos 5sincos1，可得225sin 5sin120解得4sin 5或3sin 5（由(0,)，舍去）所以13cossin 55，于是4tan 3（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan表示的三角函数式的值，例如，sin()3，cos22，sin cos 2tan ，sin cos3sin2cos，等等.。
人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)
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高一数学必修四课后习题答案
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小学二（2）班班规
一、安全方面
1、每天课间不能追逐打闹。
2、中午和下午放学要结伴回家。
3、公路上走路要沿右边走，过马路要注意交通安全。
4、不能在上学路上玩耍、逗留。
二、学习方面
1、每天到校后，不允许在走廊玩耍打闹，要进教室读书。
2、每节课铃声一响，要快速坐好，安静地等老师来上课。
3、课堂上不做小动作，不与同桌说悄悄话，认真思考，积极回答问题。
4、养成学前预习、学后复习的好习惯。
每天按时完成作业，保证字迹工整，卷面整洁。
5、考试时做到认真审题，不交头接耳，不抄袭，独立完成答卷。
三、升旗排队和两操方面
1、升旗时，要快速出教室排好队，做到快、静、齐，安静整齐地排队走出课室门，班长负责监督。
2、上午第二节后，快速坐好，按要求做好眼保健操。
3、下午预备铃声一响，在座位上做眼保健操。
四、卫生方面
1、每组值日生早晨7：35到校做值日。
2、要求各负其责，打扫要迅速彻底，打扫完毕劳动工具要摆放整齐。
3、卫生监督员（剑锋，锶妍，炜薪）要按时到岗，除负责自己的值日工作外，还要做好记录。
五、一日常规
1、每天学生到齐后，班长要检查红领巾。
2、劳动委员组织检查卫生。
3、每天负责领读的学生要督促学生学习。
4、上课前需唱一首歌，由文娱委员负责。
5、做好两操。
6、放学后，先做作业，然后帮助家长至少做一件家务事。
7、如果有人违反班规，要到老师处说明原因。
班训：
坐如钟站如松快如风静无声
班规：
课堂听讲坐如钟，精神集中认真听；
排队升旗站如松，做操到位展雄风；
做事迅速快如风，样样事情记得清；
自习课上静无声，踏实学习不放松；个人努力进步快，团结向上集体荣；我为领巾添光彩，标兵集体记我功。
扣分标准
不整齐
注：每人基本分60分起，学期末核算总分，作为学期评先依据。