3动量定理流体问题

动量定理流体问题

考点规律分析

1．解答质量连续变动问题的基本思路

(1)建立“柱体”模型。对于流体，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在Δt时间内通过某一横截面积为S的流体长度为Δl，如图所示，若流体的密度为ρ，那么，在这段时间内流过该截面的流体的质量为Δm＝ρSΔl＝ρSvΔt；

(2)掌握“微元”方法。当所取时间Δt足够短时，图中流体柱长度Δl就足够短，质量Δm也很小，这种以一微小段为研究对象的方法就是微元法；

(3)运用动量定理，即流体微元所受的合外力的冲量等于微元动量的增量，

Δt＝Δp。

即F

合

2.解答质量连续变动问题的具体步骤

应用动量定理分析连续体相互作用问题的方法是微元法，具体步骤为：

(1)确定一小段时间Δt内的连续体为研究对象；

(2)写出Δt内连续体的质量Δm与Δt的关系式；

(3)分析连续体的受力情况和动量变化；

(4)应用动量定理列式、求解。

典型例题

1.飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持飞船速度不变的问题。我国科学家已将这一问题解决，才使得“神舟五号”载人飞船得以飞行成功。假如有一宇宙飞船，它的正面面积为S＝0.98 m2，以v＝2×103 m/s的速度进入宇宙微粒尘区，尘区每1 m3空间有一微粒，每一微粒平均质量m＝2×10－4g，若要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？(设微粒与飞船相碰后附着到飞船上)

[规范解答]由于飞船速度保持不变，因此增加的牵引力应与微粒对飞船的作用力相等，据牛顿第三定律知，此力也与飞船对微粒的作用力相等。只要求出时间t内微粒的质量，再由动量定理求出飞船对微粒的作用力，即可得到飞船增加的牵引力。

时间t内附着到飞船上的微粒质量为M＝m·S·vt，

设飞船对微粒的作用力为F，

由动量定理得Ft＝Mv＝mSvt·v，

即F＝mSv2，

代入数据解得F＝0.784 N，

由牛顿第三定律得，微粒对飞船的作用力为0.784 N，故飞船的牵引力应增加0.784 N。

[完美答案]0.784 N

举一反三

1.一艘小船在静水中由于风力的推动作用做匀速直线运动，船

体的迎风面积S＝1 m2，风速v1＝10 m/s，船速v2＝4 m/s，空气密度ρ＝1.29 kg/m3。小船在匀速前进时船体受到的平均风力大小为多少？

答案46.4 N

解析选择以船体的迎风面为底，(v1－v2)t为高的空气柱为研究对象，这些空气在船体的作用下在时间t内速度由v1变为v2，

根据动量定理有－Ft＝mv2－mv1，

将m＝ρS(v1－v2)t代入上式可得

F＝ρS(v1－v2)2＝1.29×1×(10－4)2N＝46.4 N。

由牛顿第三定律知，空气对船体的平均作用力大小为46.4 N，方向与v2方向一致。

2．(质量连续变动问题)由喷泉中喷出的竖直水柱，把一个质量为M的垃圾筒顶在空中。若水以恒定的速率v0从面积为S的小孔中喷出，射向空中，在冲击垃圾筒底后以原速竖直溅下。将水的密度记为ρ，求垃圾筒在空中停留的高度h。

答案v20

2g－

g

8⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

M

ρv0S2

解析小孔喷出的水在空中做竖直上抛运动，设水柱射到高度为h处时速度为v，

由运动学公式有：v20－v2＝2gh①

每秒钟射到垃圾筒底的水的质量为：Δm＝ρv0S②

设水对垃圾筒底冲击力的反作用力为f′，以Δm的水为研究对象，取竖直向下为正方向，由动量定理有：

f′Δt＝Δm v－(－Δm v)＝2ρv0S v

由于Δt＝1 s，所以水对垃圾筒底的冲击力为：

f＝f′＝2ρv0S v③

当垃圾筒停留在空中时，它所受到的合外力为零，故有：f－Mg＝0④

由①②③④式可解得：h＝v20

2g－

g

8⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

M

ρv0S2。

3．采煤中有一种方法是用高压水流将煤层击碎将煤采下。今有一采煤水枪，由枪口射出的高压水流速度为v，设水流垂直射向煤层的竖直表面，随即顺煤壁竖直流下，求水流对煤层的压强(水的密度为ρ)。

答案ρv2

解析设射向煤层水流的截面积为S，则在时间Δt内有质量为ρS v·Δt的水撞击煤层，撞击后动量变为零。设煤层对水流作用力为F，取煤层对水的作用力方向为正方向，对于上述这部分水由动量定理有

F·Δt＝0－(－ρS vΔt·v)

解得F＝ρS v2

由牛顿第三定律知，水对煤层的作用力大小

F′＝F＝ρS v2

所以煤层表面受到水流的压强为p＝F′

S＝ρv

2。