概率论与数理统计 第7章参数估计习题及答案

第7章 参数估计 ----点估计

一、填空题

1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<

计量=p

ˆ X

N

. 2、 设 总 体)p ,1(B ~X

， 其 中 未 知 参 数 01<

则 p 的 矩 估 计 为_∑=n 1i i X n 1_， 样本 的 似 然 函 数 为_i

i X 1n

1

i X )p 1(p -=-∏__。

3、 设 12,,

,n X X X 是 来 自 总 体 ),(N ~X 2σμ的 样 本， 则 有 关 于 μ及 σ2

的 似 然 函 数212(,,;,)n L X X X μσ=_2

i 2

)X (21n

1i e

21

μ-σ

-

=∏

σ

π__。

二、计算题

1、设总体X 具有分布密度(;)(1),01f x x x α

αα=+<<，其中1->α是未知参数，

n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计.

解：因⎰

⎰++=+=

10

1

1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2

α1

α2α1α102++=

++=

+|a x 令2

α1α

++==ˆˆ)(X X E

X

X --=∴112α

ˆ为α的矩估计 因似然函数1212

(,,

;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+

∑=++=∴n

i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=∂∂n

i i X n

L 1

01ααln ln 得，

α的极大似量估计量为)ln (ˆ∑=+-=n

i i

X

n

1

1α

2、设总体X 服从指数分布 ,0

()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩

其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）

求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.

解：（1）由于1

()E X λ

=

，令

1

1X X

λλ

=⇒=

，故λ的矩估计为1ˆX λ

= （2）似然函数1

12(,,,)n

i

i x n

n L x x x e

λ

λ=-∑=

11

1

ln ln ln 0n

i

i n

i n

i i

i L n x d L n n x d x

λλλλλ====-=-=⇒=∑∑∑

故λ的极大似然估计仍为1

X

。 3、设总体()2~0,X N σ，12,,

,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本，求2σ的极大似

然估计；

[解] (1)

似然函数2

221

i x n

i L σ-==

()

2

2

1

222

2n

i i x n e

σπσ=-

-∑=⋅

于是22

2

1ln ln 2ln 222n

i i x n n L πσσ

==---∑ 2

2241

ln 122n i i d L n x d σσσ==-+∑， 令2

ln 0d L d σ=，得2

σ的极大似然估计：2211n i i X n σ∧

==∑.

4、设总体X 服从泊松分布()P λ, 12,,

,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本, （1）求

未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.

解：（1）令ˆ()E X X X λλ

==⇒=，此为λ的矩估计。 （2）似然函数1

121

(,,,)!

n

i

i x n n n

i

i e L x x x x λ

λ

=-=∑=

∏

1

1

11ln ln ln !

ln 0n n

i i i i n n

i i i i L x n x x x d L n x

d n

λλλλλ=====--=-=⇒==∑∑∑∑故λ的极大似然估计仍为X 。

第七章 参数估计 ----点估计的评价标准

一、填空题

1、 设321,,X X X 是取自总体

X 的一个样本，则下面三个均值估计量

32133212321112

1

4331ˆ,1254131ˆ,2110351ˆX X X u

X X X u X X X -+=++=++=μ

都是总体均值的无偏估计，则 2ˆμ

最有效. 2、 设n X X X ,,21是取自总体),0(2

σN 的样本，则可以作为2σ的无偏估计量是( A ).

A 、∑=n i i X n 12

1

B 、∑=-n i i X n 12

11

C 、∑=n

i i X n 11

D 、∑=-n

i i X n 1

11

二、计算题

1、设n X X X ,,21为从一总体中抽出的一组样本，总体均值μ已知，用∑=--n

i i X n 1

2)(11μ去估计总体方差2

σ，它是否是2

σ的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计.

解：因∑∑==--=--n i n i i i X E n X n E 1122

)(11])(11[μμ221

σσ≠-=n n ∑=--∴n

i i X n 12)(11μ不是2σ的无偏估计 但∑=-n i i X n 1

2)(1μ是2

σ的无偏估计 2、设n X X X ,,21是来自总体),(2

σμN 的一个样本，若使∑-=+-⋅

1

1

21

)(n i i i X X

C 为2σ的无

偏估计，求常数C 的值。 解：