博弈树的搜索

α-β
α值为MAX节点（“或”节点）倒推值的下确界
——当前子节点中的最小倒推值
β值为MIN节点（“与”节点）倒推值的上确界
——当前子节点中的最大倒推值
α剪枝：若任一MIN节点（“与”节点）的β值小 于或等于其父节点（MAX节点（“或”节点）） 的α值（即不能升高其父节点的α值），则可中止 该MIN节点以下的搜索过程。这个MIN节点最终的 倒推值就设定为这个β值
极小极大搜索过程
极大极小过程步骤： （1）以当前考察的态势P为根节点，生成指定深度 的博弈树。 （2）根据静态估计函数f计算各叶节点的估计值。 （3）自底向上计算各个非叶节点的估计值，计算的 方法是MAX节点取其子节点的最大值，MIN节点取 其子节点的最小值。 （4）将根节点的倒推值对应的策略作为当前的最佳 策略。
α-β剪枝技术
采用有界深度优先策略，当生成规定深度的节点 时，计算叶节点的静态估值，并倒推非端节点的 估值。根据倒推结果，在非端节点的向下分枝中， 剪掉那些目前未知，但无论如何都不会改变非端 节点倒推值的未扩展分枝。
– 用α－β剪枝技术，搜索深度为3时，每走1步不到2 min， 搜索的节点数小于1.5×106个；而搜索深度为4时，每 走1步要用160 min，搜索的节点数小于2×108个。
1. 若 P是 MAX的必胜局， 则 e(P) = +∞ ； 2. 若 P是 MIN的必胜局， 则 e(P) = -∞ ； 3. 若P对MAX、MIN都是胜负未定局，则
e(P) = e(+P)－e(-P) 其中，e(+P)表示棋局 P上有可能使× 成三子一线的数 目；e(-P)表示棋局 P上有可能使 ○成三子一线的数目。
– 以棋盘为15×15大小的五子棋为例，人机对弈，用极大极小搜索 算法，搜索深度为3时，计算机（配 置：CUP赛场1.7 G，内存 DDR266 256 M）每走1步要用10 min，搜索的节点数超过了107 个；而搜索深度为4时，每走1步要用10个多小时，搜索节点数超 过了2×109个。
如果能边生成节点边对节点估值，并根据一定的条件，提 前剪去一些没用的分枝，那么就可以有效提高搜索效率。 在这种思想的基础上，人们提出了α-β剪枝技术。
中国象棋
一盘棋平均走50步，总状态数约为10的161次方。 假设1毫微秒走一步，约需10的145次方年。 结论：不可能穷举。
博弈树是与/或树
双方都希望自己能够获胜。因此，当任何一方走步时， 都是试图选择对自己最为有利，而对另一方最为不利的 行动方案。
从MAX方的观点看，在博弈过程的每一步，可供自己选择 的行动方案之间是“或”的关系，原因在于选择哪个方案完 全是由自己决定的；而可供MIN选择的行动方案之间则是 “与”的关系，原因是主动权掌握在MIN手里，任何一个方
案都有可能被MIN选中，MAX必须防止那种对自己最为不利 的情况的发生。
这样，从选手的角度看，博弈树就是一棵与或树，
其特点是：
（l）博弈的初始状态是初始节点；
（2）博弈树中的“或”节点和“与”节点逐层交替出现
（3）整个博弈过程始终站在某一方的立场上，所有能使自己 一方获胜的终局都是本原问题，相应的节点是可解节点；所 有使对方获胜的终局都是不可解节点。
极小极大搜索过程
极小极大搜索策略是考虑双方对弈若干步之后，从可能 的走步中选一步相对好棋的走法来走，即在有限的搜索深 度范围内进行求解。为此要定义一个静态估计函数f，以便 对棋局的势态（节点）作出优劣估值，这个函数可根据势 态优劣特征来定义（主要用于对端节点的“价值”进行度 量）。
一般规定有利于MAX的势态，f（p）取正值，有利于 MIN的势态，f（p）取负值，势均力敌的势态，f（p）取0 值。若f（p）＝＋∞，则表示MAX赢，若f（p）＝－∞，则 表示MIN赢。下面的讨论规定：顶节点深度d＝0，MAX代表 程序方，MIN代表对手方，MAX先走。
一字棋游戏
例
f(+P)=6 f(-P)=4 f(P) = f(+P) - f(P) =2
在搜索过程中，具有对称性的棋局认为是同一 棋局，以大大减少搜索空间。
对称棋局的例子
用极大极小搜索方法为MAX寻找第一步棋的走法。 （搜索深度为2）
α-β剪枝
极大极小过程是先生成与/或树，然后再计算各节点的估 值，即生成节点和计算估值这两个过程是分离的。在搜索 时，需要生成规定深度内的所有节点，因此搜索效率较低。
博弈树搜索
所谓双人完备信息，就是两位选手对垒，轮流 走步，这时每一方不仅都知道对方过去已经走 过的棋步，而且还能估计出对方未来可能的走 步。对弈的结果是一方赢（另一方则输），或 者双方和局。这类博弈的实例有：一字棋、余 一棋、西洋跳棋、国际象棋、中国象棋、围棋 等。对于带机遇性的任何博弈，因不具有完备 信息，不属这里讨论范围，但有些论述可推广 到某些机遇博弈中应用。
β剪枝：若任一MAX节点（“或”节点）的α值 大于或等于其父节点（ MIN节点（“与”节点）） 的β值（即不能降低其父节点的β值），则可以中 止该MAX节点以下的搜索过程。这个MAX节点最 终的倒推值就设定为这个α值。
＝≥44 S0
＝≤44 A
≤0 B
＝≥44 C
极小极大过程
0
0
3
1 1
极大
1
极小
6
0
-3
3 -3
-3 -2
1
-3
6
-3
0 5 -3 3 3 -3 0 2 2 -3 0 -2 3 5 4 1 -3 0 6 8 9 -3
一Baidu Nhomakorabea棋游戏
设有一个三行三列的棋盘，两个棋手轮流走步，每 个棋手走时往空格上摆一个自己的棋子，谁先使自己 的棋子成三子一线为赢。设程序方MAX的棋子用（×） 表示，对手MIN的棋子用（○）表示，MAX先走。静 态估计函数f（p）规定如下：
博弈问题可以用产生式系统的形式来描述，例如 中国象棋，综合数据库可规定为棋盘上棋子各种 位置布局的一种描述，产生式规则是各类棋子合 法走步的描述，目标则可规定为将（帅）被吃掉， 规则作用于数据库的结果便生成出博弈图或博弈 树。下面举一个简单的例子说明博弈问题可用与 或图表示，并讨论搜索策略应考虑的实际问题。