数学实验(matlab)课程设计

数学实验课程设计

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2013年6月26日

数学实验课程设计

问题描述：下图描述一个直径为d 的球体在空气中下落的情况：

球体被释放后会一直加速，直到终结速度，当阻力F d 和重力W=mg 相等时，达到终结速度，即：

F d =mg （1）

m 为球体的质量，g 为重力加速度，阻力可由下式计算：

A v c F d d 22

1ρ= （2） 其中c d 是经验阻尼系数，ρ是流体密度（此时是空气），v 是球体的速度，A 是球体的表面积。 F.M White(Viscous Fluid Flow

,2d g

ed.,1991,McGrawHill,p182)给出了球体空气动力学阻力实验数据曲线拟合： 51020,4.01624⨯≤≤+++=Re Re

Re c d （3） μ

ρvs Re =是Reynolds 数，μ是流体（空气）的动态粘度，把方程（2）和（3）代入（1）可以得到终结速度和重量之间关系，c d 仍然用关于Re 的表达式来表示（即使你需要把v 带入Re 的表达式中来计算公式的值）。将得到的公式变换成f (x )=0的形式。

编写两个m 文件求解任意球体在空气中下落的终结速度。一个m 文件接受用户从命令行输入的m 值和d 值，另一个m 文件为求根程序计算f (x )=0的值。m 、d 和μ 的值怎样传给f (x )文件？不要使用全局变量，用所编的m 文件函数给出下列情况的终结速度：

(a) m =2gm ，d=2cm ；

(b) m =2kg ， d=15cm ；

(c) m =200kg ，d=1m 。

方程（3）对任何的m 值和d 值都有效吗？

方程（3）仅在Re 一个有限的范围内有效。当Re =105时，c d 值会在某点处急剧减小，此点就称为阻力临界点。阻力的临界点随球体的粗糙程度不同而不同，当球体比较粗糙时，Re 的值就比较小。高尔夫球比较粗糙，所以他在低速情况下出现阻力临界点。从而减少空气动力学阻力。

数据文件sphereCd.dat 中包含光滑球体在104≤Re ≤3.99⨯106范围内的cd=f(Re)的数据。对指定的Re 值编写一个m 文件函数（取名为sphereCd ），返回适合的cd 值。当0≤Re ≤104时，用方程（3）计算；当104≤Re ≤3.99⨯106时，对sphereCd.dat 中的数据进行线性插值（可使用Matlab 内置函数 interp1）当Re>3.99⨯106时，假设cd 为它在Re=3.99⨯106处的常量。 用所编写的sphereCd 函数代替方程（3）重新计算上面的终结速度。用sphereCd 函数得到的三种球体的终极速度与仅使用方程（3）得到的有何不同。

建立模型：

雷诺数是流体力学中表征粘性影响的相似准数。为纪念O.雷诺而命名，记作Re 。Re=ρvs/μ，ρ、μ为流体密度和动力粘度，v 、s 为流场的特征速度和特征长度。对外流问题，v 、s 一般取远前方来流速度和物体主要尺寸(如机翼弦长或圆球直径)。雷诺数表示作用于流体微团的惯性力与粘性力之比。两个几何相似流场的雷诺数相等，则对应微团的惯性力与粘性力之比相等。在不同的流动状态下，流体的运动规律．流速的分布等都是不同的，因而管道内流体的平均流速V 与最大流速Vmax 的比值也是不同的。因此雷诺数的大小决定了粘性流体的流动特性。

小球在下落相当于小球在空气中流动，雷诺数Re=ρvs/μ中，ρ为空气密度（通常情况下取温度为20℃时的大气密度ρ=1.29kg/m ³，s 为小球直径。球体被释放后会一直加速，直到终结速度，当阻力F d 和重力W=mg 相等时，达到终

结速度。此时mg= A v c F d d 22

1ρ=， 其中 51020,4.01624⨯≤≤+++=Re Re Re c d ，Reynolds 数μρvs Re =，由已知的求球体质量m ，直径d ，空气密度ρ=1.29kg/m ³，动力粘度u ，重力加速度g=9.8N/kg 等数据，可以求出球体的密度、体积、表面积，重力（阻力）等，进一步求出球体的终结速度。

利用matlab 读取数据文件sphereCd.dat ，phereCd.dat 中包含光滑球体在Re 不同范围内的cd=f(Re)的数据，当0≤Re ≤104时，利用51020,4.01624⨯≤≤+++=Re Re

Re c d 计算；当104≤Re ≤3.99⨯106时，对sphereCd.dat 中的数据进行线性插值，当Re>3.99⨯106时，假设cd 为它在Re=3.99⨯106处的常量，此时所编写的sphereCd 函数代替51020,4.01624⨯≤≤+++=Re Re

Re c d ，在第一次得到三个球体的终结速度的基础上，再次计算上面的终结速度，两次不同情况下的球体的终结速度结果可能有所不同。

设计思路：

1、 分析题目中所需各个数据的值、含义及关系：

由于题目中数据繁多，且关系错综复杂，所以首先必须清楚各字母的代表意义。 质量的单位统一为千克kg ，直径单位统一为米m ；

重力W=mg ，g=9.8N/kg

阻力 A v c F d d 22

1ρ=，ρ是流体密度（此时是空气）、v 是球体的速度，A 是球体的表面积； 经验阻尼系数()51020,4.01624⨯≤≤+++=Re Re Re c d ；

Reynolds 数=μ

ρvs Re =；ρ此时是小球的密度，u=1.824e-5;即空气为20℃时的动力粘度，单位kg/m.s ；s 此时代表小球直径d 。

2、求解任意球体在空气中下落的终结速度

由题可知: 球体被释放后会一直加速，直到终结速度，当阻力F d 和重力W=mg 相