华东师大版数学七年级下册9.2求多边形边数的方法

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华东师大版七年级数学下册第九章多边形PPT课件全套

3、如图：∠1＝25°，∠2＝95°， ∠3＝30°，则∠4＝___3_0_°__
D C4
2 1
A
E
3 B
思维提升
1、如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
的度数？
A
解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D
B
12 C
（三角形的外角等于与它不 E 相邻的两内角的和）
又∵∠2＝ ∠B+ ∠E
（三角形的外角等于与它不 D 相邻的两内角的和）
2 三角形的内角和等于180˚ 三角形的外角和等于360 ˚
3 在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。
9.1.3 三角形的三边关系
1.掌握三角形三条边的大小关系; 2.会应用三角形三边关系处理问题;
已知：如图，△ABC。
A
求证：∠A+∠B +∠C=180° 。
当问题的条件不够时，
添加辅助线，构造新图形，形成新的关系，建立已知
B
与未知间的桥梁，把问题
转化成自己已经会解的情
况。
辅助线
E
1 2
CD
虚线
辅助线有什么意义呢？
新知探究
Ⅰ、求证：三角形三个内角的和等于180°。
已知：如图，△ABC。
A
求证：∠A+∠B +∠C=180° 。
四、互编互练知识拓展 1. 如图，△ABC是等腰三角形，且AB＝AC.
试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线.从中你发现了什么？
（第 1 题）
五、畅谈收获
1、三角形的概念 2．三角形的分类

七年级数学下册第9章多边形 9.2 多边形的内角和与外角和多边形的内角和课件(新版)华东师大版

合作探究
四边形的内角和
。 360
D
A
2 4
B
C
即∠A+∠B+∠C+∠D=360o
合作探究
五边形的内角和
。 540
B C
A D
E
合作探究
3180 4180 5180
三角形四边形五边形
六边形
七边形
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形转化为三角形？
345 540 °720 °900 °
n-2
例3 已知多边形的每一内角为150°，
求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
（n－2）×180°=150 °n 解得n= 12
答：这个多边形的边数为12.
练习运用
1.如果一个多边形的内角和等于900°, 那么这个多边形是七边形.
2.十边形的内角和等于1440°度.
3.正十五边形的每一个内角等于 156°度.
拓展提高
B C
B C
A
A
D
D
E
E
拓展提高
B
.
A
p
E
C
A D
B C
.D
p
E
拓展提高
B
.
A
p
E
C
A D
B C
.D
p
E
小小结结
本节课我们通过把多边形划分成
若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°.这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握.
例1
求八边形的内角和。
解：八边形的内角和为（n－2）×180°=（8－2）×180°=10 80°

新华东师大版七年级数学下册《9章多边形 9.2 多边形的内角和与外角和多边形的内角和》教案_8

9.2《多边形的内角和》教学设计教学内容华师大版七年级下册数学第九章第2节第一课时《多边形的内角和》教学目标知识与技能：了解多边形的概念，掌握多边形的内角和公式。

会用多边形的内角和进行简单的运算。

过程与方法：通过经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，体会数学的转化思想。

情感态度与价值观：（1）通过学生之间交流、探索、进一步激发学生的学习热情和求知欲望，养成良好的数学思维品质。

（2）通过公式的猜想、归纳、推理一系列过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，培养学生对学习数学勇于创新的精神。

教学重点：探索并归纳多边形的内角和公式，多边形内角和公式的应用。

教学难点：多边形内角和公式推导。

教学过程（一）创设图片情景，引入新课1、多媒体展示图片一：鸟巢，图片二：中国奥运会游泳中心——水立方。

2、然后让仔细观察这幅图片（水立方）找一找有哪些是我们熟悉的几何图形。

通过同学们的观察从这幅图里面我们找到了三角形、四边形、五边形等，这些图形我们统称：多边形。

今天我们就来认识多边形并且探索多边形的内角和。

（板书：9.2多边形的内角和一、认识多边形）（二）、温故知新1、自学课本83页——86页，回答下列问题（1）什么叫三角形？（2）你能说说什么叫四边形、五边形、n边形吗？由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，称为n边形。

又称为多边形。

2、出示正三角形，正方形，正五边形图片让学生观察它们都有什么特点？从而归纳出正多边形的定义：每条边都相等，每个内角也相等的多边形叫正多边形。

（三）合作交流，探索新知1、认识多边形特殊线段——对角线多媒体显示对角线定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

师提问：连接对角线的这两个顶点是什么关系？（不相邻）2、提出问题，独立思考，引发探究动手画一画：同学们请在练习本上任意画一个三角形，四边形，五边形，六边形，然后画出它们从一个顶点出发的对角线。

华师大版七年级数学下册第9章多边形PPT课件

义务教育教科书（华师）七年级数学下册
第9章
多边形
定义：不在同一条直线上的三条线段尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
首
×
×
×
×
×
√
1、顶点：用一个大写字母表示如A、B、C 2、边：边AB，边BC，边AC A 3、角（内角）：相邻两边的夹角 ∠A，∠B，∠C 4、三角形记作：△ABC BC边的对角是∠A 5、对角：
A B C D
E
综合提高如图，AB//CD，∠ABD与∠BDC的平分线相交于点E，求∠BED的度数.
解：因为AB//CD，
A E 所以∠ ABD+∠BDC=180°， B 因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，所以∠EBD= 1 ∠ABD ， D
2 ∠BDC， 1 所以∠EBD+ ∠ BDE=90°， 2
C
1
A
B
D
外角
1、三角形的一边与另一边的延长线的夹角，叫做外角。 2、外角的性质——
（1）外角等于不相邻的2 个内角之和；
（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；
C
D
112
C
x (x-10)
x
65
A
B
A
B
y
E
（1）重点探究了三角形3个内角之间的关系以及三角形外角的性质.
∠BDE=
C
在△BED中， ∠EBD+ ∠BDE+∠E=180° ，
所以∠BED= 180°－ 90°=90°.
没有激流就称不上勇进，没有山峰
则谈不上攀登。
义务教育教科书（华师）七年级数学下册
第9章
多边形
1.图中有几个三角形？

七年级数学下册第9章多边形9.2多边形的内角和与外角和9.2.1多边形和多边形的对角线作业设计华东师大版

9.2.1多边形和多边形的对角线一．选择题（共8小题）1．如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（）A．S四边形ABDC=S四边形ECDF B．S四边形ABDC＜S四边形ECDFC．S四边形ABDC=S四边形ECDF+1 D． S四边形ABDC=S四边形ECDF+22.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形3．下列图形中具有稳定性的有（）A．正方形B．长方形C．梯形D．直角三角形4．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A． 6 B．5 C．8 D．75．若从多边形的某一顶点出发只能画五条对角线，则它是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形6．从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（）A．n B．（n﹣1）C．（n﹣2）D．（n﹣3）7．下列图形中，多边形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边（）A． 6 B．7 C 8 D．9二．填空题（共7小题）9．一个多边形的内角和为720°，从这个多边形同一个顶点可画的对角线有_________ 条．10．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是_________ ．11．过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形；过五边形或六边形的一个顶点的对角线，分别把它们分成个三角形；过n边形一个顶点的对角线可以把n边形分成_________ 个（用含n的代数式表示）三角形．12．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是_________ ．13．一个凸多边形的内角中，最多有_________ 个锐角．14．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出_________ 个三角形．15．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是_________ ．三．解答题（共5小题）16．用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．17．从四边形的一个顶点出发可画_________ 条对角线，从五边形的一个顶点出发可画_________ 条对角线，从六边形的一个顶点出发可画_________ 条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有_________ 条对角线，从n边形的一个顶点出发有_________ 条对角线，从而推导出n边形共有_________ 条对角线．18．请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把10边形分成_________个三角形．19．实践与探索！①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成_________ 个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成_________ 个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外_________ 个顶点连线可以把n边形分成_________ 个三角形（用含n的代数式表示）．④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．20．已知从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，求此多边形的内角和．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．A．2．A．3．D．4．B．5．C．6．C．7．B．8．A．二．填空题（共7小题）9．3．10．10．11．（n﹣2）12．n2+2n．13．314．（n﹣1）15．5，6，7．三．解答题（共5小题）16．解：四个．如图所示：17．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，从而推导出n边形共有条对角线，故答案为：1；2；3；4；（n﹣3）；．18．解：∵四边形可分割成4﹣2=2个三角形；五边形可分割成5﹣2=3个三角形；六边形可分割成6﹣2=4个三角形；七边形可分割成7﹣2=5个三角形∴10边形可分割成10﹣2=8个三角形．19．解：①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4﹣1=3个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5﹣1=4个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n﹣2）个顶点连线可以把n边形分成（n ﹣2）个三角形（用含n的代数式表示）．④在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形，这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1）•180°，以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°，所以n边形的内角和是（n﹣1）•180°﹣180°=（n﹣2）•180°．故答案为：3；4；n﹣2，n﹣1．20．解：设多边形为n边形，由题意，得n﹣2=，整理得：n2﹣5n+4=0，即（n﹣1）（n﹣4）=0，解得：n1=4，n2=1（不合题意舍去），所以内角和为（4﹣2）×180°=360°．。

正多边形求边数公式

正多边形求边数公式在我们学习数学的奇妙世界里，正多边形求边数公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开许多几何谜题的大门。

咱们先来说说啥是正多边形。

正多边形啊，就是那些各个边都相等，各个角也都相等的多边形。

像常见的正三角形、正方形、正五边形等等，它们都长得规规矩矩、整整齐齐的。

那正多边形求边数公式到底是啥呢？其实啊，它就是通过已知的一些条件来算出这个正多边形到底有几条边。

比如说，如果我们知道了正多边形的内角和，那就能通过公式算出边数啦。

就拿我曾经遇到的一件事儿来说吧。

有一次，我在课堂上给学生们出了一道题：一个正多边形的内角和是 1080 度，那它有几条边呢？当时啊，好多同学都有点懵，不知道从哪儿下手。

我就引导他们，咱们先想想正多边形内角和的公式是啥呀？（n - 2）×180°，这里的 n 就是边数。

那咱们就可以把已知的内角和 1080 度代入这个公式，得到 1080 = （n - 2）×180。

接下来就是解这个方程啦，1080÷180 = n - 2，6 = n - 2，n = 8。

所以这个正多边形有 8 条边，是个正八边形。

看着同学们恍然大悟的表情，我心里那叫一个满足。

再比如说，如果我们知道了正多边形的一个外角的度数，也能求出边数。

因为正多边形的所有外角和都是 360 度嘛。

假设一个正多边形的一个外角是 45 度，那 360÷45 = 8，它就有 8 条边。

这个公式在生活中其实也有不少用处呢。

比如说，设计师在设计一些图案的时候，如果想要用正多边形来组成一个漂亮的图案，那就要先算出边数，才能确定形状和大小。

还有建筑工人在铺设地砖的时候，如果想用正多边形的地砖铺满地面，也得先搞清楚边数，才能保证没有缝隙。

总之，正多边形求边数公式虽然看起来简单，但用处可大着呢。

同学们在学习的时候，可别小瞧了它，要多做几道题练练手，把它掌握得牢牢的。

这样，以后再遇到和正多边形有关的问题，就能轻松应对啦！。

华东师大版七年级数学下册第9章《多边形》教案设计

学生未能认真审题.所以在以后审题教学中重视学抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率.
3
9.1 三角形
第 2 课时教学目标
【知识与技能】 1.掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，并会用数学式子表示. 2.掌握三角形的角平分线、中线和高的画法. 【过程与方法】通过画、折等实践活动操作过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神.学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力. 【情感态度】通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心.
∵∠1＋∠ACB＝∠2＋∠BAC＝∠3＋∠ABC＝180°
8
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°×3 又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180° ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°×3-180°＝360° 【归纳结论】三角形的外角和等于 360°. 【教学说明】学生亲自动手进行几何证明，使学生三角形的内角和与外角和以及外角的性质掌握的更牢固. 三、运用新知，深化理解 1.将一副直角三角板如图所示放置，使含 30°角的三角板的一条直角边和含 45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1 的度数为（）
解：延长 BC 至点 E，以 C 为顶点，在 BE 的上侧作∠DCE=∠2，则 CD∥BA∵CD∥BA∴∠1=∠ ACD∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°∴∠1+∠2+∠3=180° 2.你能根据三角形的内角和计算出直角三角形的两个锐角的度数和吗？【归纳结论】三角形的内角和等于 180°；直角三角形的两个锐角互余. 3.如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角. 三角形的外角与内角有什么关系呢？

吉林省长春市双阳区七年级数学下册第9章多边形9.2多边形的内角和与外角和(1)教案华东师大版(20

吉林省长春市双阳区七年级数学下册第9章多边形9.2 多边形的内角和与外角和（1）教案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（吉林省长春市双阳区七年级数学下册第9章多边形9.2 多边形的内角和与外角和（1）教案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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多边形的内角和与外角和教学目标知识与技能1.理解多边形的概念和正多边形的概念。

2。

了解多边形的内角、外角、对角线等概念。

3。

在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理。

过程与方法经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的推理能力，积累数学活动的经验,在探索中学会与人合作，学会和别人交流自己的思想和方法。

情感态度价值观让学生体验猜想得到证实的喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在,体验数学中充满着探索和创造。

教学重点多边形内角和定理的探索和应用。

教学难点多边形的内角和，外角和定理的推导.教学内容与过程教法学法设计、情境导入，初步认识什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢?二、思考探究，获取新知探究1 多边形的概念三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。

记作:△ABC。

把学生的注意力自然的引入研究方向，为课题的研究做铺垫。

四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：四边形ABCD。

一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形.探究2 正多边形如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等.连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.探究3 多边形的内角和我们知道三角形的三个内角和是180度,那么四边形、通过操作活动更加吸引学生的注意力，调动学生参与课堂的积极性。

七年级数学下册第9章多边形9.2多边形的内角和与外角和教案华东师大版

9.2.2 多边形的外角和一、教学目标【知识与技能】1、多边形外角的概念。

2、多边形外角和的推导及应用。

【过程与方法】经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会和别人交流自己的思想和方法。

【情感态度】让学生体验猜想得到证实的喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充满着探索和创造。

【教学重点】多边形外角和定理的探索和应用。

【教学难点】多边形的外角和的推导。

二、学习过程（一）知识回顾1、三角形的外角概念？三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。

2、三角形的外角和？三角形的外角和等于360°3、多边形的概念？由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形。

（n≥3的自然数）4、多边形的内角和？n边形的内角和为(n-2)·180°（二）获取新知1、概念：①多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫多边形的外角。

②在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。

n边形有n个外角。

2、探究①四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数。

②五边形ABCDE，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分别是五个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数。

通过上面推导多边形的外角和的过程，我们充分利用了多边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为，可以求得多边形的外角和.据此，请将数据填入下表中.归纳结论：任意多边形的外角和为（三）典例讲解例1：一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？例2：一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形？例3：若正n边形的一个内角是144°，这个多边形是几边形？（四）课堂练习1、一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是几边形？2、一个多边形的内角都等于140°，这个多边形是几边形？3、若n边形的内角和与外角和的比为7∶2，这个多边形是几边形？4、如果一个正多边形的一个内角和它相邻外角的比是2∶1，那么这个多边形是几边形？（五）课堂小结：任意多边形的外角和等于360°三、课后作业练习册：9.2四、课后反思。

华东师大版初中数学七年级下册课件：第9章多边形

=∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°.
求：（1）∠B 的度数；
（2）∠C 的度数.
A
B
DC
解（1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知）， ∴∠B +∠BAD = ∠ADC = 80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 又∵∠B =∠BAD（已知），
A ∠B = 80°× 1 = 40°（等量代换）.
三角形的任意两边之和大于第三边.
探究新知
做一做画一个三角形，使它的三条边长分别为
4 cm、3 cm、2.5 cm.
1. 先画线段 AB = 4cm；
2. 然后以点 A 为圆心、 3 cm 长为半径画圆弧；
3. 再以点 B 为圆心、2.5 cm 长为半径画圆弧，
两弧相交于点 C；
C
4. 连结 AC、BC.
课堂练习
1. 在下图中，正确画出△ABC 中边 BC 上
高的是（ C ）.
AD
A
A.
C
B.
B
B CD
A
A
C.
D.
DC
B
DC
B
2. 如图所示，AM 是△ABC 的中线，△ABM 的面积是 20 平方厘米，求△ABC 的面积.
S△ABC = 2S△ABM = 40 平方厘米
3. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平
分线，则：
∠1 = ∠2 ；
A
∠3
=
1 2
∠ABC
或∠ABE；
F
12
E
∠ACB = 2∠4 或2∠ACF. B 3 D
4C
4. 以下说法错误的是（ A ）
A. 三角形的三条高一定在三角形内部交于一点

华东师大初中数学七年级下册《多边形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

《多边形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解它们这些性质在生产、生活中的广泛应用．5.理解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和公式，并能灵活运用公式解决有关问题.体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线在三角形中，连接它的一个顶点与它的对边中点的线段叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n 边形共有(3)2n n - 条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n 边形的内角和为(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.已知三角形的三边长分别是3，8，x ,若x 的值为偶数，则x 的值有 ( )．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】D ；【解析】x 的取值范围：511x <<，又x 为偶数，所以x 的值可以是6, 8, 10，故x 的值有3个.【总结升华】不要忽略“x 为偶数”这一条件.举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成个不同的三角形.当x 为时，所组成的三角形周长最大.【答案】三，8；提示：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2＜x-3＜4+2，解得5＜x ＜9，因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11.2.如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC ．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【高清课堂：与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝3BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三：【高清课堂：与三角形有关的角练习（3）】【变式】如图所示，表示∠1，∠2，∠3，∠4的关系正确的选项为（）A. ∠1+∠2=∠4﹣∠3B. ∠1﹣∠3=∠2﹣∠4C. ∠1+∠2=∠3+∠4D. ∠1﹣∠2=∠4﹣∠3【答案】A；提示：∵∠AEF是△BDE的外角，∴∠AEF=∠2+∠3，同理，∠4是△AEF的外角，∴∠4=∠AEF+∠1，即∠4=∠1+∠2+∠3，即∠1+∠2=∠4﹣∠3．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。

【精选】华师版七年级数学下册第九章《多边形》优秀教案

【精选】华师版七年级数学下册第九章《多边形》优秀教案9．1三角形9．1.1认识三角形第1课时三角形的概念【教学目标】1．了解三角形的基本元素与主要线段．2．能区分不同形状的三角形，按角、按边分类的两种方法．3．理解等腰三角形、等边三角形的概念．【重难点】重点三角形内角、外角，等腰三角形、等边三角形等概念．难点三角形的外角．【教学设计】一、创设情境，问题引入在我们生活中几乎随时可以看见由各种形状的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面，在这些地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙．这些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？换一些其他形状的行不行？为了解决这些问题，我们有必要研究多边形的有关性质．三角形是最简单的多边形，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题．让我们从三角形开始，探究其中的道理．二、探索问题，引入新知三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边．如图三角形的顶点采用大写字母A、B、C……等表示，整个三角形表示为△ABC.如图，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角．思考：(1)一个三角形(如△ABC)有多少个内角？多少个外角？答：三个内角，表示为∠ABC，∠ACB，∠BAC六个外角(三对)．(2)与内角相邻的外角有几个？它们是什么关系？答：两个，是一对对顶角．试一试：如图，三个三角形的内角各有什么特点？(1)中：三个内角均为锐角；(2)中：有一个内角是直角；(3)中：有一个内角是钝角．那么三角形按角来分，应如何分类？结论：三角形按角可以分为：所有内角都是锐角——锐角三角形；有一个内角是直角——直角三角形；有一个内角是钝角——钝角三角形．试一试：如图，三个三角形的边各有什么特点？(1)中：三角形的三边互不相等；(2)中：三角形有两条边相等；(3)中：三角形的三边都相等．结论：我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)．【例1】如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．分析：分别找出图中的三角形即可．解：图中共有7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF.【例2】如图，过A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形．(1)以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．分析：(1)利用以AB为边画三角形，结合E，D，C的位置得出符合题意三角形；(2)利用网格中线段长得出等腰三角形和钝角三角形．解：(1)如图所示：以AB为边的三角形能画3个有：△EAB，△DAB，△CAB；(2)△ABD 是等腰三角形，△EAB，△CAB是钝角三角形．三、巩固练习1．下列说法正确的有( )①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①②B．①③④C．③④D．①②④2．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有________对．3．如图，以BC为边的三角形有几个？以A为顶点的三角形有几个？分别写出这些三角形．4．如图，直线a上有5个点，A1，A2，…，A5，图中共有多少个三角形？5．如图，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E.(1)写出图中所有的直角三角形；(2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第82页“习题9.1”中第1题．2．完成练习册中本课时练习．【教学反思】教师在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加难度，让优等生在这个知识点上的学习更进一步．而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同．这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步．从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题．所以在以后审题教学中重视学抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率．第2课时三角形的高、角平分线和中线【教学目标】1．掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，并会用数学式子表示．2．掌握三角形的角平分线、中线和高的画法．【重难点】重点认识三角形的中线、角平分线、高．难点三角形的中线、角平分线、高的应用．【教学设计】一、创设情境，问题引入如图，有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．(1)当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连结线段AD，则AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？(2)汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？(3)汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF 这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？二、探索问题，引入新知分析上述问题并给出结论：(1)AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC 的面积相等．(2)AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形中角平分线有三条．(3)AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高．(1)把锐角三角形换成直角三角形后，再试一试．(2)把锐角三角形换成钝角三角形后，再试一试．结论：1．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，并且都相交于三角形内一点；2．锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形的两条高位于三角形的外部且三条高所在的直线相交于三角形外一点．例1.画出△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是( )分析：作哪一条边上的高，即从哪条边所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．解：过点C作AB边的垂线，正确的是C.【例2】如图，已知△ABC的周长为24 cm，AD是BC边上的中线，AD＝58 AB，AD＝5 cm，△ABD的周长是18 cm，求AC的长．分析：由AD＝58AB，AD＝5 cm，可求出AB的长度，结合△ABD的周长是18 cm，可求出BD的长度，进而可求出BC的长度，再根据△ABC的周长为24 cm，即可求出AC的长．解：∵AD＝58AB，AD＝5 cm，∴AB＝8 cm.又∵△ABD的周长是18 cm，∴BD＝5 cm.又∵D是BC的中点，∴BC＝2BD＝10 cm.又∵△ABC的周长为24 cm，∴AC＝24－8－10＝6(cm)．三、巩固练习1．一定在三角形内部的线段是( )A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2．如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是( )A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△GBC中，CF是BG边上的高C．△ABC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，GC是BC边上的高,第3题图)3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有________个．4．如图，已知△ABC的周长为27 cm，AC＝9 cm，BC边上中线AD＝6 cm，△ABD周长为19 cm，则AB＝________.,第4题图) ,第5题图) 5．在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，则AC＝________.四、小结与作业小结学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流在学习过程中的体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结．作业1．教材第76页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．【教学反思】让学生通过画、折等实践操作，理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的．9．1.2三角形的内角和与外角和【教学目标】1．掌握三角形的内角和与外角和．2．理解三角形的外角的两条性质．3．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算．【重难点】重点掌握三角形内角和及其外角和．难点三角形角的有关计算．【教学设计】一、创设情境，问题引入在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和为180°.那么，你能用几何知识进行证明吗？二、探索问题，引入新知如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3来表示△ABC的三个内角，证明：∠1＋∠2＋∠3＝180°.解：延长BC至点E，以C为顶点，在BE的上侧作∠DCE＝∠2，则CD∥BA.∵CD∥BA，∴∠1＝∠ACD，∵∠3＋∠ACD＋∠DCE＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.由三角形的内角和等于180°，可以得出：结论：直角三角形的两个锐角互余．如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角．三角形的外角与内角有什么关系呢？显然有：∠CBD(外角)＋∠ABC(相邻内角)＝180°那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？∵∠CBD＋∠ABC＝180°，∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠CBD＝∠ACB ＋∠BAC.结论：三角形的外角有两条性质：1．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角．从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和．问：你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1＋∠2＋∠3＝360°吗？∵∠1＋∠ACB＝∠2＋∠BAC＝∠3＋∠ABC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°×3，又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°×3－180°＝360°.结论：三角形的外角和等于360°.【例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．分析：由AD是BC边上的高，∠B＝42°，可得∠BAD＝48°，再由∠DAE＝18°，可得∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝30°，然后根据AE是∠BAC的角平分线，可得∠BAC＝2∠BAE＝60°，最后根据三角形内角和定理即可推出∠C的度数．解：∵AD是BC边上的高，∠B＝42°，∴∠BAD＝48°，∵∠DAE＝18°，∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝30°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAE ＝60°，∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝78°.【例2】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．分析：在△ABD中，由三角形的外角的性质知∠3＝2∠2，因此∠4＝2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x.因为∠BAC＝63°，所以∠2＋∠4＝117°，即x＋2x＝117°，所以x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°－∠3－∠4＝24°.三、巩固练习1．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为( )A．54°B．62°C．64°D．74°,第1题图) ,第2题图)2．如图，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD＝( ) A．145°B．150°C．155°D．160°3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于________．,第3题图) ,第4题图) 4．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于________．5．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．6．如图，AE，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，OD⊥BC，求证：∠1＝∠2.四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第79页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．【教学反思】实践出真知，因此，在教学中尽量去引导学生从不同的角度去发现问题、思考问题，启发、诱导学生通过动手、动脑，与同学交流合作，大胆探索、猜想，并用自己所学的知识来解决问题，真正做到老师“导”学生“学”．教师一定要相信学生的能力，大胆放手，也许会有意想不到的收获．归纳、对比对于知识的掌握有着不可忽视的作用，教学中要及时引导学生总结，找出好的学习方法和解题捷径，并熟练应用．本节课中有的学生尽管知道了三角形外角的性质，却仍习惯性地用三角形内角和定理来求外角，费时费力，不利于知识的掌握，因此教师要注意让学生多运用三角形外角性质．9．1.3三角形的三边关系【教学目标】1．掌握和理解三角形三边的关系．2．认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题．【重难点】重点三角形任何两边之和大于第三边的应用．难点已知三角形的两边求第三边的范围．【教学设计】一、创设情境、复习引入1．三角形的三个内角和是多少？三角形的外角有什么性质？2．在连结两点的所有线中最短的是哪一种？二、探索问题，引入新知做一做：画一个三角形，使它的三条边分别为：4 cm，3 cm，2.5 cm.画法步骤如下：(1)先画线段AB＝4 cm；(2)以点A为圆心，3 cm的长为半径画圆弧；(3)再以B 为圆心，2.5 cm 的长为半径画圆弧，两弧相交于点C ；(4)连结AC ，BC.△ABC 就是所要画的三角形．这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等．试一试：现有长2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cm ，6 cm 的五条线段，你任意选三条线段画三角形，使它的三边长分别是你所选择的三条线段的长．你在画的过程中可能会遇到什么情况？这是为什么？在画三角形的过程中，你会发现有多种情况，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形．结论：三角形的任意两边的和大于第三边．你能用其它的依据说明“三角形的任意两边的和大于第三边”吗？做一做：用3根木条钉一个三角形，拉三角形的顶点，这个三角形的形状会发生改变吗？三角形的大小会变吗？你知道这是为什么？用四根木条钉一个四边形，拉四边形的顶点，这个四边形的形状会发生改变吗？四边形的大小会变吗？你知道这是为什么？结论：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．四边形具有不稳定性．三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用．例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构．【例1】已知三角形三条边分别为a ＋4，a ＋5，a ＋6，求a 的取值范围．分析：根据三角形两边之和大于第三边可得a ＋4＋a ＋5＞a ＋6再解即可．解：由题意得：⎩⎨⎧a ＋4>0，a ＋4＋a ＋5>a ＋6，解得：a ＞－3. 【例2】若a ，b ，c 分别为三角形的三边，化简：|a －b －c|＋|b －c －a|＋|c －a ＋b|分析：根据三角形的三边关系得出a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a ，再去绝对值符号，合并同类项即可．解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，∴原式＝|a－(b＋c)|＋|b－(c＋a)|＋|(c＋b)－a|＝b＋c－a＋a＋c－b＋c＋b－a ＝－a＋b＋3c.三、巩固练习1．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是( ) A．4 B．5 C．6 D．92．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( )A．2，3，4 B．5，7，7C．5，6，12 D．6，8，103．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为________．4．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8 m和5 m的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？5．如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA＋OB＋OC＞12(AB＋BC＋CA)．四、小结与作业小结先小组内交流收获与感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师作补充．作业1．教材第82页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．【教学反思】课堂上通过有趣的情境故事引出本节课的知识点，激发学生的学习兴趣，让学生在经过自己的思考后，教师启发诱导解决实际问题，让学生做学习的主人，并探讨多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获．9．2多边形的内角和与外角和【教学目标】1．理解多边形的概念和正多边形的概念．2．了解多边形的内角、外角、对角线等概念．3．在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理．【重难点】重点多边形内角和定理的探索和应用．难点多边形的内角和，外角和定理的推导．【教学设计】一、创设情境、复习引入什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？二、探索问题，引入新知试一试：四边形和五边形是怎样表示呢？如图(1)，三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：△ABC.如图(2)，四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：四边形ABCD.如图(3)，五边形是由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：五边形ABCDE.一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n 边形，又称为多边形．注意：(1)我们现在研究的是如图(2)(3)的多边形，也就是凸多边形，如图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围．(2)与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角．如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形．连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如：正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等．试一试：我们知道三角形的三个内角和是180度，那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180度，这样我们就可以求出多边形的内角和．根据我们的分析，完成下表：多边形 3 4 5 6 …n的边数分成的三角形个数1 2 3 4 …n－2多边形的内角和180°360°540°720°…(n－2)·180°由此，我们可以得出：结论：n边形的内角和为(n－2)·180°.与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．如图，四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．因为∠1＋∠DAB＝∠2＋∠CBA＝∠3＋∠DCB＝∠4＋∠ADC＝180°，又因为∠DAB＋∠CBA＋∠DCB＋∠ADC＝360°(四边形内角和等于360°)，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.所以四边形的外角和等于360°.根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，填表：多边形的边数3 4 5 …n多边形的内角与外角的总和3×180°＝540°4×180°＝720°5×180°＝900°…n×180°多边形的内角和180°360°540°…(n－2)·180°多边形的外角和360°360°360°…360°结论：任意多边形的外角和都为360°.【例1】如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，求每个内角的度数．分析：根据多边形内角和定理求解．解：∵五边形的内角和＝(5－2)·180°＝540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数＝540°÷5＝108°.【例2】一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是几边形？分析：根据多边形内角和定理求解．解：设多边形为n边形，由题意得(n－2)·180°＝900°，解得n＝7.【例3】一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形是几边形？分析：根据任意多边形的外角和都为360°求解．解：设多边形为n边形，由题意，得n·72°＝360°解得n＝5.例4：如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进10米，又向左转30度，……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了多少米？分析：根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以10米即可．解：∵小亮每次都是沿直线前进10米后向左转30度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120(米)．故他一共走了120米．三、巩固练习1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形2．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是( )A．6 B．12 C．16 D．183．如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是( ) A．4 B．5 C．6 D．74．七边形的内角和为________．5一个n边形的内角和是720°，则n＝________.6．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是________．7．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于________度．,第7题图) ,第8题图) 8．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝________.四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．作业1．教材第88页“习题9.2”中第1，2，3题．2．完成练习册中本课时练习．【教学反思】本节课通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n－2)·180°.这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握．由于多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理．通过练习情况来看学生本节课掌握的较好．9．3用正多边形铺设地面【教学目标】1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．2．探索用多种正多边形拼地板的过程和原理．【重难点】重点通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力．难点通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键．【教学设计】一、创设情境、复习引入回到开始提出的问题：某些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？地砖或瓷砖的形状大多数是正多边形，是不是所有的正多边形都能铺满地面呢？二、探索问题，引入新知探究1：用相同的正多边形使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？通过学生动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角相加恰好等于360°.下面再通过计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形．完成下表：正多边形3 4 5 6 7 …n的边数正多边形180°360°540°720°900°…(n－2)180°的内角和正多边形每个内角度数60°90°108°120°900°7…当[360°÷（n－2）·180°n]为正整数时，即2nn－2为正整数时，用这样的正多形就可以铺满地面．结论：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以拼成一个平面图形．探究2：用多种正多边形用正三角形和正六边形能铺满地面吗？为什么？由正六边形和正三角形组成也能铺满地面．因为正六边形的内角为120°，正三角形的内角为60°，这样用2块正六边形和2块正三角形，它们内角之和为一个周角360°，所以能铺满地面．(即：2×120°＋2×60°＝360°)能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢？如图①：是用正八边形和正方形拼成的．因为正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，那么用2个正八边形和1个正方形各一内角之和正好等于360°，所以可以铺满地板．(即：2×135°＋90°＝360°)如图②：是用正六边形、正方形、正三角形拼成的．因为正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，正三角形的内角为60°，那么用1个正六边形，2个正方形和1个正三角形各一个内角之和为360°，所以可以铺满地面．(即：120°＋2×90°＋60°＝360°)结论：若几个正多边形的一个内角的和等于360°，那么这几个正多边形可铺满地面．【例1】正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由．分析：先算出正八边形每个内角的度数，再看每个内角度数能否整除360°.解：不能．∵正八边形每个内角是（8－2）×180°8＝135°，不能整除360°，∴不能密铺．点评：正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.【例2】某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设计．(1)如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有________．(填序号)①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤任意三角形；⑥任意四边形(2)如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中，任意选取其中的两种，有几种可行的方案？(3)如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中，任意选取其中三种，有几种可行的方案？分析：(1)由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．(2)分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．(3)分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．解：(1)①正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；②正五边形每个内角是180°－360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；③正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；④正八边形的每个内角为：180°－360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密铺．⑤任意三角形⑥任意四边形都可以镶嵌平面．(2)正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°＋。

华师大版七年级数学下册第九章《9.2多边形的内角和与外角和》课件

那么出五边形，六边形，n边形的外角和吗？
任意多边源自形的外角
和
都
为
五边形的外角和就是5X 180°-540°= 360 °
3
六边形的外角和就是6X 180°-720°= 360°
6
。。。。。。
0
n边形的外角和就是nX 180°- (n-2)X 180°
°
= (n-n+2)X 180° = 360 °
例3.正五边形的每一个外角等于___.每一个内角等于
解（n－2）×180° =（8－2）×180° =1 080°
老师,可以用计算器吗?
例2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边形的边数是_____
解: 120°n=（n－2）×180° 120°n=n×180°-360 ° 60°n =360 ° n =6
探索多边形的外角和
E
前面我们学习
了三角形的外角
A
和是360 °，当
时是怎样研究出
来的？
B
C
D
F
1.先把三角形的三个外角和三个内角这六个角的和求出来，刚好是三个平角。
2.再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下的就是三角形的外角和了！
那么你
整体思路：1.先求4个外角+4个内角的和； 2.再减去4个内角的和
能
研
例8.一个正多边形的一个内角和与外角和的比是
7:2,则这个多边形的边数为
。
今天你学到了什么知识？你能用自己的话说说吗？
_____,
72°
144°
例4.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边形的边数是__6___
例5.如果一个正多边形的一个内角等于150°,则这个多边形的边数是（ A ）

七年级数学下册(9.2 多边形的内角和与外角和)练习题(1)(无答案) 华东师大版试题

某某省蓬溪外国语实验学校七年级数学下册《9.2 多边形的内角和与外角和》练习题（1）华东师大版一、填空题1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______.______度..4.正十五边形的每一个内角等于_______度.5.内角和是1620°的多边形的边数是________.二、选择题6.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( )A.四边形B.五边形7.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( )A.5B.6 C8.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( )A.4B.5 C9.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( )A.600°B.720°C.900°D.1080°10.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( )三、解答题11.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和.12.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数.13.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于2750°,求这个内角及多边形的边数.强化提高题14.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的23, 求这个多边形的边数及内角和.中考模拟题22.已知四边形ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°, 求各内角的度数.α,其余角的和等于2750°,求这个多边形的边数及α.24.一个广场地面的一部分如图所示,地面的中央是一块正六边形的地砖, 周围用正三角形和正方形, 则第12层的外边界所围成的多边形的周长是多少?1.4;2.540;3.35;4.156;5.11;6.3,4,6;。

七年级数学下册第9章多边形知识归纳华东师大版

七年级数学下册第9章多边形知识归纳华东师大版年级：姓名：第九章多边形一、基本概念（一）三角形有关概念1．三角形定义：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。

三角形专用符号：“△” A （顶点）2．三角形的顶点、边B C组成三角形的线段如图中的AB 、BC 、AC 是这个三角形的三边，两边的公共点叫三角形的顶点。

(如点A 等)三角形顶点只能用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC 。

3．三角形的内角，外角的概念：（1）内角：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC 等。

每个三角形有三个内角，（2）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD 是∠ABC 的一个外角， A它与内角∠ACB 相邻。

外角例如右图中∠ACD 是∠ABC 的一个外角，它与内角∠ACB 相邻。

B C D与△ABC 的内角∠ACB 相邻的外角有几个?它们之间有什么关系?一个三角形共有几个外角？4．三角形的分类（1）三角形按角分类可分为：⎪⎩⎪⎨⎧是钝角）钝角三角形（有一个角是直角）直角三角形（有一个角是锐角）锐角三角形（三个角都各类三角形的定义锐角三角形：所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；直角三角形：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。

（2）三角形按边分类可分为：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧形（等边三角形）腰和底相等的等腰三角角形（只两边等）腰和底不相等的等腰三等腰三角形角形）都不相等）（又称斜三不等边三角形（三条边各类三角形的定义不等边三角形：三边互不相等的三角形叫做不等边三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。

相等的两边叫做等腰三角形的腰。

等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形)。

5．三角形的中线、角平分线、高（记住这重要的三线）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。

初中数学华东师大七年级下册(2023年新编)第9章多边形多边形的内角和

多边形的内角和与外角和一、教材的地位和作用：本节课内容是华东师大版七年级数学下册第九章第二节《多边形的内角和与外角和》第1课时，它是多边形相关知识的重点。

教材从复习三角形的定义、内角和到学习探究多边形的定义、内角和，环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性、类比性都比较强。

通过这节课的学习，培养了学生积极参与课堂探究的习惯及探索与归纳的能力，在探究中体会从简单到复杂，从特殊到一般，以及类比、转化等重要的数学思想方法。

二、学情分析：本章的第一节学习的是三角形的有关知识，学生已经经历了三角形定义、边、角、外角及内角和的探究过程，对这些知识已经有了一定的认识，并且具备了一些探究和归纳的能力，这为本节课的学习打下了很好的基础。

因此对于学习本节内容的知识条件已经具备，通过自学、互学、小组探究，学生将会自主探究出所学的知识，轻松、愉快地完成本节课的学习任务。

三、教学目标1.知识与技能目标：学会主动探索、归纳和掌握多边形的内角和公式，并会运用其解决相关问题。

并通过多边形内角和公式的推导，体验数学中的“转化”思想。

2.过程与方法目标：经历探索多边形内角和公式等的过程，在实践中培养学生的推理能力以及主动探究意识．3.情感态度与价值观目标：经历多边形内角和的探索过程，感受从特殊到一般的类比的学习方法，初步体会转化的数学思想，在学习中感受研究数学的乐趣。

四、教学重、难点1.重点：多边形的内角和定理及运用。

2.难点：多边形的内角和定理的推导过程（数学转化思想）。

五、教学过程1.情境导入：全世界瞩目的2023年冬奥会将在中国北京举行。

如果设计师能设计一个内角和为2023度的多边形图案，那该多有纪念意义呀！那么可能吗？它会是几边形呢？2.预习提问：问题1 ：什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形、多边形吗？通过类比，总结出多边形的定义。

（学生回答）问题2：说一说下面所指的是多边形的什么（顶点、边、角）？（学生独立回答）三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？（通过课前预习，学生独立回答），同时通过出示多边形的图片，让学生认识凸多边形和凹多边形（不在现在的研究范围），并强调，如果教材没有特别指明，多边形都指的是凸多边形。

华东师大版数学七年级-下第9章多边形知识点复习讲解(全)精选全文

可编辑修改精选全文完整版认识三角形三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．有关三角形的概念：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.④三角形的外角：三角形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：（1）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.三角形外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．注意：（1）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．三角形的分类：按角分⎩⎨⎧直角三角形斜三角形⎩⎨⎧锐角三角形钝角三角形按边分⎩⎨⎧不等边三角形（不规则三角形）等腰三角形⎩⎨⎧只有两条边相等的等腰三角形等边三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形三个角都是锐角有一个角为直角有一个角是钝角不等边三角形等腰三角形等边三角形三边不相等有两条边相等三条边都相等①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形； ③直角三角形：有一个角为90°的三角形。

①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形。

三角形的三线：三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．这个角的顶点与交点之间的线段．三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线．三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫做三角形的高．注意：（1）三角形分别有三条高线，三条中线，三条角平分线；（2）任意三角形三条角平分线，三条中线，分别交于一点，且都在三角形的内部；（3）直角三角形的三条高线的交点就是直角顶点，钝角三角形的三条高线的交点在三角形的外部，锐角三角形的三条高线在三角形的内部。

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求多边形边数的方法
求多边形的边数是“多边形及其内角和”一节的常见题型，本文将举例介绍几种求多边形边数的方法，以供读者学习参考.
一. 利用多边形的内角和公式计算
例1.已知一个多边形的内角和是1440o ，则这个多边形的边数是_______. 解：设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和公式，得
(2)1801440n -⋅=o o ，化简得28n -=
解得10n =，即该多边形的边数为10 .
例2.已知一个多边形的每一个内角都是160o ，则这个多边形是______边形. 解: 设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和公式，得
(2)180160n n -⋅=o o 解得18n =
即该多边形是18边形.
二.利用多边形的内角和的特性计算
例3.在一个多边形中，除去一个内角外的其它内角之和为1205o ，则这个多边形的边数是_______.
解：因为“n 边形的内角和等于(2)180n -⋅o ”
所以，n 边形的内角和必为180o 的整倍数，
而12051806125=⨯+o o o ，（注：可知除去的这个内角度数为18012555-=o o o ）所以该多边形的内角和应为180o 的7倍.
即27n -=，解得9n =. 即该多边形的边数为9 .
例4.已知一个多边形的所有内角与它的一个外角的和是2400o ，求这个多边形小边数.
解：因为24001801360=⨯+o o o ，又n 边形的内角和必为180o 的整倍数，所以该多边形的内角和应为180o 的13倍（注：可知增加的这个外角为60o ）即213n -=，解得15n =，即该多边形的边数为15.
三.利用多边形的外角和性质计算
例5.已知一个多边形的每一个外角都等于30o ，则这个多边形的边数是____. 解：设这个多边形的边数为n ，由“多边形的外角和等于360o ”得 30360n =o o ，解得12n =
即该多边形的边数为12.
四.综合利用多边形的内、外角和性质计算
例6.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是____.
解：设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和与外角和性质，得 (2)1803603n -⋅=⨯o o ，化简得26n -=
解得8n =，即该多边形的边数为8.
五.利用多边形内角的范围计算
例7.已知一个n 边形的(1)n -个内角的和为1160o ，求该多边形的边数n . 解：易知多边形的任意一个内角α是：0180α<<o o ，
而这里第n 个内角的度数应为：(2)180n -⋅-o 1160o ，
因此0(2)1801160180n <-⋅-<o o o 解得448999
n <<，而边数n 为整数，所以9n =. 六.利用多边形外角和的不变性计算
例8.已知一个n 边形的各个内角都相等，另一个2n 边形的内角也都相等，且
n 边形的一个内角比2n 边形的一个内角小18o ，求这两个多边形的边数.
解：因为两个多边形的内角分别相等，所以它们的各个外角也分别相等由“多边形的外角和等于360o ”得：
n 边形的每个外角为360n o ，2n 边形的每一个外角是3602n o ，即180n o . 因为n 边形的一个内角比2n 边形的一个内角小18o ，所以n 边形的一个外角比2n 边形的一个外角大18o . 即360n
o －180n o
=18o ，化简得18018n =o o 解得10n =，所以220n =
即两个多边形的边数分别是10、20.。