高数题库带答案

一、单项选择题
1.2
16sin x x y -+=的定义域为(A).
A.],0[],4[ππ --
2．函数2
1sin x x
x y +=是(A). A.偶函数
3.函数x x y -=3的奇偶性为(A).A.奇函数
4.求=
++∞
→1
4)12(lim
33
n n n (C)C.2
5.)
(
lim 2n n n n -+∞
→=(A)A.2
1
6.22212lim n n n n n →∞⎛⎫
+++ ⎪⎝
⎭
=(D).D.2
1
7.
=
--→x
x x 33lim
3
(D).D.∞
10.当0→x 时,下列变量中的无穷小量是(B).B.x sin 11.当0→x 时,与无穷小量3
100x x +等价的无穷小量是(C)C.x
12.无穷小量是(C).
C.以0为极限的一个变量 13.无穷大量与有界量的关系是(B).
B.无穷大量一定不是有界量 14.=
∞
→x
x x 23sin
2lim (C).C.31
5.=→x x x sin ln lim 0(A).
A.0 16.x
x
x x sin 1sin lim
20
→的值为(D).D.0 17.
=--→1
)1sin(lim 21x x x (B).B.2
18.=∞
→x
x x 2sin lim (B).B.0
19.
)
4(1)(2-+=
x x x x f 的间断点的
个数(B).B.2
20.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,0,3sin 1)(x a x x x x f ,要
使)(x f 在),(+∞-∞处连续,则
=a (C)C.1
21.点1=x 是函数
⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<-=1,31
,11
,13)(x x x x x x f 的(C).C.可去间断点 22.设
1
1)(11+-=
x x
e e x
f ,则0
=x 是)(x f 的(B). B.跳跃间断点
23.x
x x f tan )(=的第一类可去
间断点的个数(B). A.0B.1C.2D.无数个
24.()f x 在点0x 连续是()f x 在0x 可导的(B)条件. A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.无关 25.()f x 在点0x 可导是()f x 在0x 连续的(A)条件. A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.无关 26.(0)0f =且0
()lim 3x f x x
→=,
(0)f '=(D).
A.0B.1C.2D.3
27.0()f x '存在是0()f x -'与0()f x +'存在的(A)条件. A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.无关 280()f x -'与0()f x +'存在是
0()f x '存在的(B)条件.
A.充分非必要
B.必要非充分
C.充分必要
D.无关 29.0()f x -'与0()f x +'存在且相等,是0()f x '存在的(C)条件.
A.充分非必要
B.必要非充分
C.充分必要
D.无关 30.设曲线2
2y x x =+-在点M 处的切线的斜率为3,则点M 的坐标为(A). A.(1,0)B ．(1,2)--C ．(0,2)-D ．(2,4)
31.()f x '存在,a ,b 常数,则0
()()lim 2x f x a x f x b x x
∆→+∆--∆=
∆(B). A.()2
a b f x -' B.()
2
a b
f x +' C.
()()a b f x '- D.()()a b f x '+
32.(0)0f =且0
(3)lim 6x f x x
→=,(0)f '=
(D).
A.6
B.4
C.3
D.2
33.
,0(),0
x e x f x ax b x ⎧>=⎨
+≤⎩.在0
x =可导,则(C)正确. A.1,0a b ==B ．2,1a b ==C ．1,1a b ==
D
．1,1a b ==-
34.设2
cos y x ,则y (C).
A.2cos x B ．2cos x C ．sin 2x D ．sin 2x 35.已知x
e y sec =,则y '=(A).
A.x
x
x
e e e tan sec B.x
x
e e tan sec C.x
e tan
D.x
x
e e cot
36.设sin()x y e ,则(0)y (B).
A.sin1
B.cos1
C.1
D.0 37.3()2ln f x x x =+,则[(1)]=f '(D).
A.7B ．6C ．3D ．0
38.设sin()x y e ,则(0)y (B).
A.sin1
B.cos1
C.1
D.0
39.设)(x f y -=,则='y (D).
A.)(x f '
B.)(x f '-
C.)(x f -'
D.)(x f -'-
40.由方程0sin =+y
xe y 所确定的曲线)(x y y =在(0,0)点处的切线斜率为(A).
A.1-
B.1
C.2
1D.2
1-
41.设由方程22
=xy 所确定的隐函数为)(x y y =,则dy =(A).
A.dx x y 2-
B.dx x
y 2 C.dx
x
y -
D.dx x
y
42.设由方程0sin 2
1=+-y y x 所
确定的隐函数为)(x y y =,则dx
dy =(A).
A.
y cos 22- B.
y
sin 22+ C.
y
cos 22+ D.
x
cos 22-
43.设由方程⎩⎨
⎧-=-=)
cos 1()sin (t a y t t a x 所确
定的函数为)(x y y =,则在2
π
=
t 处的导数为(B).
A.1-
B.1
C.0
D.
2
1-
44
设由方程arctan x y t
⎧
⎪=⎨=⎪⎩定的函数为)(x y y =,则=
dx
dy (B).
1t
C.12t
D.t
45.sin y x =,则(67)
y
=(D).
A.sin x B ．sin x -C ．cos x D ．cos x -
46.4
5y x =,则(4)
(0)y =(A).
A.5!B ．4!C ．3!D ．0 47.2cos3dx x =(A). A ．
(2cos33sin3)x x x x dx
-B ．
(2cos3+3sin 3)x x x x dx
C ．
(2sin33cos3)x x x x dx
-D ．
(2sin33cos3)x x x x dx -
48.3ln d x =(B). 2
3ln xdx B ．2
3ln x dx
x
C ．3ln xdx
D ．3ln x dx x
49.下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是(D).
||)(x x f = B.12)(2
--=x x x f C.
2
1)(x x f =
D.1)(2
+=x x f 50.2
sin y x =,则
(3)(0)y =(A). A.0B ．1-C ．1D ．1
2
(A). A ．0.98B ．0.98-C ．0.96D ．0.96- 52.1ln xdx d x
=(C).
A ．2[ln ]d x C +
B ．2
[ln ]
d x C -+C ．2
ln [
]
2
x d C +D ．2
ln []
2
x d C -
+
53.下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是(C). A.x
e x
f =)( B.|
|)(x x f = C.2
1)(x x f -= D.
⎪⎩⎪⎨⎧
=≠=0
,00 ,1sin )(x x x
x x f
54.函数x
x f 1
)(=
满足拉格朗日中值定理条件的区间是(B).
A.]2,2[-
B.]2,1[
C.]0,2[-
D.]1,1[-
55.3
()2f x x x =+在区间
[]1,0上满足拉格朗日中值
定理,则定理中的ξ=(C).
33- B.3C.33D.3
3± 56.下列函数在]1 ,1[-上满
足罗尔定理条件的是(D)a ||)(x x f = B.12)(2
--=x x x f C.
2
1)(x
x f =
D.1)(2+=x x f 57.设a ,b 是方程0)(=x f 的两个不同根,)(x f 在],[b a 上连续,),(b a 内可导,则0)(='x f 在),(b a 内(B).
只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根
58.x
e e x
x x sin lim 0
-→-=(B).
A.1
B.2
C.3
D.0
59.x
x x e e x
x x sin 2lim 0
----→=(C).
A.0B.1C.2D.3
60.下列极限能使用洛必达法则的是(D). x
x x sin lim
∞
→ B.x
x x x x sin 43cos 2lim +-∞
→ C.
x
x x 3sin tan lim
2
π
→
D.x
e x x )1ln(lim
++∞→ 61.)1ln(ln lim 1x x x -⋅-
→=(A). A.0B.1- C.1D.2
62.6
2
20
sin lim x x x x -→=(A).
A 6
1B.5
1C.4
1D.2
1
63.x
x x cos ln lim 0
→=(A).
A.0B.1C.1- D.不存在
64.下列函数中(A)在指定区间内是单调递减的函数. x y -=2),(∞+-∞ B.x y e =)0,(-∞
C.x y ln =),0(∞+
D.x y sin =),0(π 65.函数1123
++=x x y 在定义域内(A).
单调递增B.单调递减C.图形凹的D.图形凸的 66.曲线1123--=x x y 在区间)2,0(内(B).
凹且单调增加B.凹且单调减少C.凸且单调增加D.凸且单调减少
67.条件0)(0=''x f 是
)(x f 的图形在点0x x =处
有拐点(D)条件.
必要非充分B.充分非必要C.充分必要D.以上都不对 68.设
)12)(1()(+-='x x x f ,
则在区间)1,2
1(内(B)． A.)(x f y =单调增加,曲线)(x f y =为凹的
B.)(x f y =单调减少,曲线)(x f y =为凹的
C.)(x f y =单调减少,曲线)(x f y =为凸的
D )(x f y =单调增加,曲线)(x f y =为凸的
69.曲线
22)3()1(--=x x y 的拐
点个数为(C). A.0B.1C.2D.3
70.曲线2
1
x xe y =(D). A ．仅有水平渐近线
B ．只有垂直渐近线
C ．有垂直和水平渐近线
D ．有垂直和斜渐近线. 71.下列哪个表达式等于)(x f (C).
⎰))((dx x f d B.⎰)(x df C.))(('⎰dx x f D.⎰dx x f )(
72.已知函数)(x F y =的导数等于12+x ,且当3=x 时,13=y ,则=)(x F (A)
A.12
++x x B.42
+x C.52+-x x D.22++x x 73.
⎰dx x f )(指的是)
(x f 的(D)
A ．某个原函数B.唯一的一个原函数C.任意一个原函数D.所有的原函数
74.如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则(C)正确
c x f dx x F +=⎰)()( B.c x f dx x F +='⎰)()( C.c x F dx x f +=⎰)()( D.c x F dx x f +='⎰)()(
75.若v u ,都是x 的可微函
数,则⎰
=udv (A). A.⎰
-vdu uv B.
⎰'-vdu u uv C.⎰'-du v uv D.
⎰'-du v u uv .
76已知()f x 是[],a a -上的连续奇函数,则
()a
a
f x dx -=⎰
(B).
A ．
()a
f x dx -⎰B ．0
C ．0
2()a
f x dx
-⎰
D ．
()a
f x dx ⎰
77.若
⎰='dF(x)
),()(则x f x F =(D).
)(x F B.)(x f C.c x f +)(D.c x F +)(
78.已知)(x F 是)(x f 的一
个原函数,则(C)是
)(22
x xf 的一个原函数
A.)(2
x F x B.)(x xF C.
)(2x F D.)(22x F x
79.已知
C e xe dx x f x x +-=⎰
)(,
则
='⎰
dx x f )((B)
A.C e xe x x +-
B.C xe x +
C.C e xe x x ++
D.C e xe x x +-2
80.设函数)(x f 的一个原
函数是
x 1
,则=')(x f (C) A.x 1B.x ln C.32x D.21x - 81.若函数()f x 的一个原函数为ln x ,则一阶导数()f x '=(B) A.1x B.21
x
- C.ln x D.ln x x
82.如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则(C)正确
c x f dx x F +=⎰)()( B.c x f dx x F +='⎰)()( C.c x F dx x f +=⎰)()( D.c x F dx x f +='⎰)()(
83.如果)(x F 与)(x G 都是)(x f 在某区间I 上的原函数,则在区间I 上必有(B) )()(x G x F = B.C x G x F +=)()( C.)()(x CG x F = D.
)(1
)(x G C
x F =
84.如果()f x 在[]1,1-上连续,且平均值为2,则
1
1
()=f x dx -⎰
(B).
A ．1
B ．1-
C ．4
D ．4- 85.
1
()x
x
e
e dx -+=⎰(D).
A ．1e e +
B ．2e
C ．2e
D ．1e e - 86.已知()f x 为偶函数且
6
0()8f x dx =⎰,则6
6
()f x dx -=⎰
(D).
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16 二、填空题 1.函数2
91
x
y -=
+2-x 的定义域是
32≠≥x x 且；
2.,1
)(x
x f =则
=)]}([{x f f f 1
x
；
3,23)1(3
6
3
++=+x x x f 则=)(x f x x +2
； 4.x x f ln 1)(+=的定义域为e
x 1≥
； 5.
4)(3
-+=bx ax x f ,若6)2(=f ,则=
-)2(f -14_；
6.已知函数)(x f y =为奇函数,若1)2()3(=-f f ,则=---)3()2(f f 1.
7.=-++-→22
3lim 221x x x x x 31-；
8.1235lim ++∞→n n n = 2
5； 9.1
)1(lim 2+-∞→n n n n =____0____； 10.=+∞→n
n
n n 532lim
_0； 11.
,21
)32(12)13(lim 22=++-++∞→n a n n a n 则=a ___-5_____； 12.=
-+∞
→)1(lim n n n _0__；
13.=-+∞→n
n
n )1(1lim
__0_； 14.)
5(lim n n n --∞
→=__0__；
15.)521
(lim 22++∞→n n n =__2
1；
16.)5(lim 2
n n n -+∞
→=_0_；
17.∞→n lim 1
1
22++n n =__0__； 18.=--+→2312lim 4x x x 34__； 19.)12
11(lim 21---→x x x =21； 20.=-++-→223lim 22
1x x x x x 31-； 21.)11(lim 22--++∞
→x x x =_ 0_； 22.当∞→x 时,x x +21与x
1相比是_高阶___无穷小.
23.当1→x 时,
354-+x 与)1(-x 相比是___同阶____无穷小.
24.当+∞→x ,
x x -+12与
x
21
相比是_等阶______无穷小. 25.当∞→x 时,
131
2++x x 与x 1相比是__
高阶_____无穷小. 26.=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+→x x x x x 2sin 3sin lim 02； 27.=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∞→x x x x x 2sin 3sin lim 3； 28.=→x
x
x 5sin lim 05； 29.5)12sin(lim 0=+→x x
a x ,
则=a ____2_；
30.1)32tan()16sin(lim
0=+-→x a x
a x ,则=a _1_____；
31.=∞
→n
n n 4tan
2lim π
0_；
32.5)12sin(lim 0=+→x x
a x ,
则=a ___2___；
33.=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n n 1lim ___e 1； 34.=-∞→n n n )21(lim _2-e ___； 35.1235lim ++∞→n n n =_25；
36.=+∞→n n
n n 534lim 0； 37.)5312(lim 2
2
++∞→n n n = 32； 38.∞→n lim 1122++n n =__0_； 39.12lim 3+∞→n n n =____0____；
40.)
11(lim --++∞
→x x x =0； 41.
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>+=<=0,)1(0
,30,sin )(1
x bx x x x ax
x f x 在0=x 连续,则=a __3___；=b __3ln ____.
42.
0()2
f x '=000(3)()lim x f x x f x x ∆→-∆-=∆-6； 43.已知000(4)()lim 8x f x x f x x ∆→+∆-=∆则0()f x '=2； 44.0()1f x '=,000
()()
lim
3
x f x a x f x x
∆→+∆-=-∆,则a =-3； 45.0()2f x '=,
000
(2)()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-=
∆4； 46.已知
000(2)(2)
lim
8x f x x f x x x ∆→+∆--∆=∆,则0()f x '=4；
47.0()4f x '=-,则000(2)()
lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆=∆-12； 48.0()2f x '=-,且000()()lim 6x f x a x f x a x x ∆→-∆-+∆=∆,则a =23 49.22()=1x f x x +(1)=
f '-0；
50.()sin cos f x x x x =+,则()=2f π'0；
51.
()(1)(2)(100)f x x x x x =+++,则(0)=f '!100；
52.sin ()=1cos t
h t t
+,则
()=h t '0.
53.ln()y ax b =+,0a ≠,
则y '=
t cos 11
+； 54.()y ax b μ=+,0a ≠,
则y '=b
ax a +； 55.ax b
y e +=,0a ≠,则
y '=1)(-+μμb ax a ； 56.sin()y ax b =+,0a ≠,则y '=b ax ae +； 57.sin 2x
y =,则y '=
)cos(b ax a +；
58.arctan()y ax b =+,
0a ≠,则y '=x x sin 2cos 2ln ；
59.21
sin y x x
=,则y '=
2)
(1b ax a
++；
60.2
sin (21)y x =-,则
y '=x
x x 1cos 1sin
2-； 61.x y
xy e
+=,则
dy dx
=)24sin(2-x ；
62.2
2+90y xy -=,dy dx
=
x
e e y y x y
x --++；
63.33
30x y axy +-=,
dy
dx =
x
y y -； 64.2
2+90y xy -=,dy dx
=
ax y x ay --22
；
65.22221x y a b +=,dy dx =
y a x b 22-； 66.3
3+20y y ax -=,
dy
dx =
3
322--y a ； 67.
22cos sin 30y x a x -=,dy dx
=x
y x
a x y cos 23cos 3sin 2
2-；
68.cos()xy x =,dy
dx
=
)
sin(1
)sin(xy x xy y +；
69.2sin cos x t y t =⎧⎨=⎩,dy dx =t tan 2
1
-； 70.23
1x t y t t ⎧=-⎨=-⎩,dy dx =t
t 21
32-； 71.cos cos 2x t y t =⎧⎨=⎩,dy dx
=.
t cos 4
72.2x
y =,则)
n y
=
（n x )2(ln 2；
73.98
1071y x x x =+++,则)
(0)y =（9!10；
74.2
ln(1)y x =+,则(1)y ''=0；
75.ln y x x =,则()
n y =
121
)!2()1(----n n x
n ；
76.22
1x y +=,则y ''=31y -； 77.23
13x t y t t ⎧=-⎨=-⎩
),则22
d y dx =32
41
9t t -+； 78.arctan y x =,则
(1)y ''=21
-；
79.44
sin cos y x x =+(9),则y ''=x 4sin -；
80.22
1x y -=,则y ''=.31y
- 81.ln cos y x =,则dy =
xdx tan -；
82.y =,则dy =
dx x
x 2
1--；
83.函数x y sin ln =在(
6
5
, 6 ππ
)上满足罗尔定
理的条件,则定理中ξ的值
2
π
; 84.011lim 1x x e x →⎛⎫-
⎪-⎝⎭
=2
1-; 85.)(x f 在[a,b]内连续，如果在(b a ,)内,恒有
0)(>'x f ,则函数)(x f 在(b a ,)内单调性为
单调递增;
86.)(x f 在[a,b]内连续，如果在(b a ,)内,恒有
0)(<'x f ,则函数)(x f 在(b a ,)内单调性为.
单调递减
87.如果在(b a ,)内,恒有
0)(>''x f ,则函数)(x f 在(b a ,)内为凹函数； 88.如果在(b a ,)内,恒有()0f x ''<,则函数)(x f 在(b a ,)内为凸函数；
89.x x y 33
-=的凹区间
为0>x ；
90.)(x F 是一个可导函数,则⎰
'dx x F )(=C x F +)(；
91.设1()f x x
=
,则()f x dx '=
⎰
C x
+1
； 92.一阶导数
='⎰)sin 5(xdx x x x
sin 5；
93.不定积分
=⎰)(arctan x d .
C x +arctan
94.=+⎰dx x
x
2
4=C x ++)4ln(2
1
2. 95.
1
02=xdx ⎰1；
96.sin =xdx π
π
-
⎰0；
97.203()t x
f x t e dt -=⎰,则
()f x '=2
3x e x --； 98.已知()f x 为偶函数且
6
0()8f x dx =⎰,则6
6
()f x dx -=⎰
16
990
()=
⎰
f x ,则
()f x '=31x +；
100.2
2()cos x a
f x t t dt =⎰,
则()f x '=
43cos 2x x ；
101.22()sin x x
f x t dt -=⎰
,
则()f x '=
42sin 2sin x x x +；
计算题
1.)1(lim n n n -+∞
→
解：
0n n n →∞
===2.211
lim()1
x x x →--+ 解：
2111
1lim()1
(1)(1)lim 1lim(1)
2
x x x x x x x x x →-→-→--+-+=+=-=- 3.)8
2103(lim 222-+-+→x x x x x 解：
2
2222310
lim(
)
28
(2)(5)lim
(2)(4)
(5)lim
(4)76
x x x x x x x x x x x x x →→→+-+--+=-++=+=
4.)223(lim 221-++-→x x x x x 解：
2
211132
lim()2
(2)(1)lim
(2)(1)
(2)lim
(2)13
x x x x x x x x x x x x x →→→-++---=+--=+=-
5.)2
112
(
lim 23-+-+→x x x x 解：
23333
lim(2)28
x x x x x →→→→===+=6.)1
1(
lim 20x
x x -+→ 解：
00
2
1lim()0
x x x x x →→→→====
7.1
)1sin(lim 21--→x x x 解：
212111
sin(1)lim 1
1lim
1
(1)(1)
lim
1lim(1)
2
x x x x x x x x x x x x →→→→---=--+=-=+= 8.)5(lim n n n --∞
→
解：
n n n →∞
===9.11lim 23
1--→x x x 解：
32
1212
11lim 1
(1)(1)lim (1)(1)(1)lim
(1)32
x x x x x x x x x x x x x →→→---++=-+++=-+=-
10.52
1lim 5---→x x x
解：
5
55514x x x x →→→→====11.h
x
h x h -+→0
lim
解：
h h h h →→→→===12.a
x a x a x --→2
2lim
解：
2
lim
()()lim lim()
2x a x a x a
x a
x a
x a x a x a x a a
→→→---+=-=+= 13.)1
2)(11(lim 2x
x x -+∞→
解：
211
lim(1)(2)12
2
x x x
→∞+-=⨯= 14.)1311(
lim 3
1x x x ---→ 解：
3123
1212113lim()1113lim 1(2)(1)
lim (1)(1)
(2)
lim
(1)1
x x x x x x
x x x x x x x x x x x →→→→---++-=-+-=-+++=-++=- 15.)
1ln(5sin lim 0x x
x +→；
解：
00sin 5lim
ln(1)
5lim 5
x x x x x x →→+== 16.2
2lim n n n n ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞→.
解：
2
2
2lim 2lim 1n
n n n n n n e
→∞
→∞
+⎛⎫ ⎪⎝⎭
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭= 17.x
x x 2arctan lim ∞
→
解： 2lim arctan
2arctan lim 2
2
2
x x x x x x
→∞
→∞
==
18.()
x
x x sin 1
31lim -→
解：
()
()
()1sin 0133sin 0
31sin 30
3
lim 13lim 13lim 13x x x x x
x x
x
x
x x x x e →→→-=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=
19.1
2sin
lim 2+∞
→x x
x x 解：
22
2lim sin
1
2lim 12
x x x
x x x
x x →∞→∞+=+= 20.n
n n 211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞
→
解：
22
1lim 1n
n n n →∞
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⎤⎥⎥⎦ x
.
11
(
)222
2
11
222
1lim 112lim 122lim 1111x
x x x x x x x x x x x e →∞-+→∞
-→∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭
-+⎛⎫= ⎪-⎝⎭
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦=22.求极限
)
3(2tan sin lim 22
0x x x x x +→. （2分）
（3分）
解：
2
202
200sin lim
tan 2(3)lim
2(3)
1
lim
2(3)16
x x x x x x x x x x x x →→→+=+=+=
23.若函数
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠+=0,0,)1()(3
x a x x x f x 在
0=x 处连续,试确定a 的
值. 解：
2
202
200sin lim
tan 2(3)lim
2(3)
1
lim
2(3)16
x x x x x x x x x x x x →→→+=+=+=
24.cos 2()=sin cos x
f x x x
+,
求()f x '.
解：
22cos 2()=
sin cos cos sin =sin cos cos sin '()=-sinx-cosx
x f x x x x x x x x x f x +-+=- 25.2
y ax =与ln y x =相切，求a .
解：
1
2y ax '= 2
1
y x
'= 由1
2y y ''=
，得x =f y 111
212x x x x
+
cos n
nx x ，求y cos )n
x '
0= (ln )]]
x x '=33.⎧⎨
⎩隐函数解：（3分）
（2分）
（3分）
（2分）
y =
22tan (21)y x =+,求dy .
解：
2222222222222tan(21)[tan(21)]2tan(21)sec (21)(21)8tan(21)sec (21)
8tan(21)sec (21)y x x x x x x x x dy y dx x x x dx
''=++'=+++=++'==++
40..已知2
y 求dy .
解：
222
2222
2
2cos sin 2ln 22cos sin (2ln 2)x x x x x y x
x x x dy y dx dx
x -'=+
-'==+ 41.x
e
e x x ln lim 2
1-→
解：
2
2
2
1121lim
ln 2lim 1
2lim
12x x x
x x x e e x xe x x e e
→→→-===
42.n
n m
m a x a x a x --→lim
解：
1
1lim lim m m n
n
x a m n x a m n
x a x a mx nx m a n
→--→---== 43.x
x x x 2
ln )32ln(lim 0-+→
解：
00ln(23)ln 2lim 2ln 23ln 3
23lim 1ln 2ln 32x x x x x x x
x x
→→+-++=+=
= 44.x
e x
e x x x 32lim ---∞→
解：
2lim
32
lim 323
x x x x x
x e x e x
e e →-∞→-∞---=-= 45.2
02
lim x e e x x x -+-→
解：
2
0002
lim lim
2lim 21
x x x x x
x x x
x e e x e e x
e e -→-→-→+--=+== 46.2lim x
x x e -→+∞
解：
22
lim lim
2lim 2lim 0
x
x x
x x x x x x e x e x e
e -→+∞
→+∞→+∞→+∞==== 47.x x
x cot ln lim 0+→
解：
（1分） （3分）
（2分）
（3分） （2分）
02
0202
0ln lim
cot 1lim csc sin lim lim
x x x x x x x x
x
x
x x ++++→→→→=-=-
=-= 48.)1
(cot lim 0x
x x -→
解：
000001lim(cot )cos 1lim()sin cos sin lim
sin sin lim
sin cos sin cos lim
2cos sin 0
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x x →→→→→-=--==++=-= 49.x
x x
-→111
lim 解：x
x x
-→111
lim
1
)1(1
1
1
)
11(lim ---→=-+=e
x x x
50.x
x x )11(lim 2+∞→ 解：x
x x
)
11(lim 2+∞→1
])11[(lim 0
1
22==+=∞→e x
x
x x 51.
求函数
()f x x =
解：
(1,).-+∞11x =-+
2
1(1)(1x x =+解得12,x =-
68.2
cos 2d x x ⎰ 解：2cos 2d x x ⎰ dx
x ⎰+=2cos 1C x x ++sin 2
1
21 69.dx x x
⎰+--)12
13(22 解：dx x x ⎰
+-
-)12
13(2
2
=
⎰⎰
+-dx x dx x
2211
2-11
3=
C
x x +arctan 2-arcsin 370.dx x x
⎰cos 2sin 解：dx x x
⎰cos 2sin =dx x
x
x ⎰
cos cos sin 2=dx x ⎰sin 2=c
x +cos 2-71.dx e e x
x ⎰+-11
2 解：dx e e x
x ⎰+-11
2 =dx e e e x
x x ⎰++-1)1)(1(=dx e x
⎰-)1(
=C x e x
+- 72.dx e b ax ⎰
+
解：dx e b ax ⎰
+
=
b dax e a b
ax +⎰+1=C e a
b ax ++1 73.dx x ⎰-6)54(
解：dx x ⎰
-6)54(=
7)54(35
1
-x - 74.dx x ⎰-3
311
解：dx x
⎰-3
311
=dx x ⎰
-3
1-
31）（=
C x +-32
312
1-）（ 75.dx x
x ⎰sin
解：dx x
x
⎰sin
=x d x ⎰sin 2=
C x +cos 2-
76.dx x x x ⎰)
ln(ln ln 1
解：dx x x x ⎰)ln(ln ln 1
=x d x x ln )ln(ln ln 1
⎰=C x x +ln ln ln
77.dx x x x ⎰+++3
21
2 解：dx x x x ⎰+++321
2
=
)32(321212
2++++⎰x x d x x =C x x +++)32ln(212 78.dx e x ⎰+11
解：dx e x
⎰+11 =dx e e e x
x x ⎰+-+11=C e x x ++-)1ln(
79.dx xe x ⎰-2
2 解：dx xe
x ⎰
-2
2
=222-4
1-2
x d e x ⎰-=
C e x +⎰-2
24
1-
80.dx x x ⎰+)12sin(2
2
222sin(21)1
sin(21)(21)41
cos(21)4x x dx x d x x C +=
++=++⎰
⎰ 81.
dx x x ⎰+2
1 解：
dx x x
⎰
+2
1
22
11
21
dx x ⎰+=
C x ++=21
82.dx x x ⎰+1
1
2
2
解： 设tan x t =则
2sec dx tdt =
22222tan sec tan sec sec tan cos sin 1
sin sin 1sin t t dt t t
t dt t t
dt t d t t
C t ======-+⎰⎰⎰⎰
tan sin sec t t t ==
所以
C = 83.dx x x ⎰-91
2
2
解：
dx x x
⎰-91
2
2
设3sec x t =
2
2
1
(3sec )9sec (3tan )3sec tan 9sec (3tan )19sec 1
cos 91
sin 9
d t t t t t dt t t dt t tdt t C =====+⎰⎰⎰⎰
tan 3sin sec 3
t
t x t
=
==
dx
x x
⎰-9
1
2
2
=
C + 84.22411()x dx x +⎰
解：
2
241
32311()133218
|x dx x x x +
=+-=⎰
85.
4
dx ⎰
解：
4
4
3922
4)21322716
|dx
x dx
x x +==+=⎰
⎰
86.
20sin x dx π
⎰
解:20
sin x dx π
⎰ xdx
xdx sin sin 2
⎰⎰-=πππ||2
cos cos π
π
πx x +-=
4=87.ln 3
1x
x
e dx e
+⎰
解：
ln3
0ln30ln30
11(1)1ln(1)ln 2
|x
x x x x e dx e d e e e +=++=+=⎰⎰ 88.1
x xe dx -⎰
；
x
xde -⎰-=1
……3分 dx e xe
x
x -⎰
+=10
1
|
111+-=-e e
89.用分部积分法求
dx x x ⎰4sin
sin 41
cos 441(cos 4cos 4)
411cos 4sin 4416
x xdx
xd x x x xdx x x x C
=-
=--=-++⎰⎰⎰90.用分部积分法求
dt te
t
⎰2
解：
222222121()211
24t t
t t
t t te dt
tde te e dt te e C =
=-=-+⎰⎰
⎰ 91.用分部积分法求
dx x x ⎰ln 3
解：
34
4444434
44
4ln 1ln 41
(ln ln )411
(ln )41
(ln )41(ln )441ln 416x xdx
xdx x x x d x x x x dx x x x x dx x x x C x x x C =
=-=-=-=-+==-+⎰⎰⎰⎰⎰ 92.用分部积分法求
dx xe
x
⎰-
解：
x x x x xe x x e xe e x
-----=-+⎰⎰⎰d d d x x xe e C --=--+
93.用分部积分法求
dx x ⎰ln cos
解：
1
cosln cosln sinln cosln sinln xdx x x x x dx x x xdx x =+⋅=+⎰⎰⎰
cosln sin ln x x x x x x =+-⎰94.用分部积分法求dx x ⎰arctan
(cos ln sin ln ).
2x x x C =++(3分)
(2分)
(2分) (3分)
(2分)
解：
21dx x x =+⎰
C =95.x ⎰解：2122x x x =⎰
212x =11)284x x =- 212x =96.x
⎰3
解：3
1ln 4x x -⎰⎰ 14x =14x =97.1⎰解：31=⎰31=31=98.1
0⎰解：⎰=10x e e -=1--=e e 99.1
20⎰解：1
20
⎰
x = )arcsin 2x x -= x =12-=π1.b a >)(1b a nb n -()f x =()f x 在导 则至少存在一点使得
()f a - 即n a b -又b ξ<)(1b a nb n -2.
=)(x f 在2=x 解：则2lim (x f x c →+而
(2)()x x c -+=则有c =()f x 在2=x 处得
2()3(2)1f x f b ===+2b = 确定b a ,使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,1sin 0,0,sin )(x b x x x a x x x
x 0=x 处连续． 00sin ()lim 1x x f x x --→==，
001()lim(sin )x f x x b b
x
++→=+= ()f x 在0x =处 00()lim ()(0)x f x f x f -+
→==1b =，1a = 2,2
(),2x x x f x ax b x ⎧+≤=⎨+>⎩,,b 为何值时,()f x 在
2=处可导
2(2)215x f x -='=+=
(2)a +'= ()f x 在2x =处(2)(2)f f -+''= 5a =
222()lim()6x f x x x --
→=+=
22()lim()2x f x ax b a b +
+
→=+=+， ()f x 在2x =处连
22()lim ()x f x f x -+
→= 4b =- sin ,0()ln(1),0
x x x x x <⎧=⎨
+≥⎩,（4分
（3分）
求(0)f -'及+(0)f ',又
(0)f '是否存在？
解：(0)0f =
0sin 0
(0)lim 1x x f x
--→-'==
0ln(1)0(0)lim 1
x x f x
-
+→+-'==
由于(0)(0)f f -+''= 则(0)f '存在
6.求函数的间断点和类型
1sin ,110,0()sin ,011,1⎧<-⎪+⎪
=⎪=⎨⎪<≤⎪⎪>⎩
x x x f x x x x x
解：
1
1
1lim ()lim sin
1
x x f x x --→-→-=+不存在
1x =-为第二类间断点
0sin lim ()lim
10
x x x
f x x
→→==≠
0x =为可去间断点 11sin lim ()lim sin11x x x
f x x --→→==≠1x =为跳跃间断点
7.设5)(2
++=bx ax x f ,
且
38)()1(+=-+x x f x f ,求b a ,的值.
解：
22
(1)(1)(1)5(2)5f x a x b x ax a b x a b +=++++=+++++ (1)()(2)55283
f x f x ax a b x a b ax bx ax a b x +-=+++++---=++=+
则28,3a a b =+= 故4a =，1b =- 8.设
2()
,0(),0f x x F x ax bx c x ≤⎧=⎨++>⎩二阶可导,求c b a ,,.
解：
(0)(0),(0)2(0)x F f F ax b
b b f --+=-''''==+=⇒=
(0)(0)(0),(0)22
f F f F a a ---+''''''''==⇒=
00lim ()(0)lim ()
x x F x f F x c c f -+
→→===⇒=9.确定b a ,使⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>+=<=0
,)1(0,30,sin )(1
x bx x x x ax x f x 在0=x 连续。

解：00sin lim ()lim x x ax f x a x --
→→== (0)3a f ==
1
00lim ()lim(1)(0)3b x
x x f x bx e f ++
→→=+===
ln3b =
10.
2,2(),2x x x f x ax b x ⎧+≤=⎨+>⎩
，
b a ,为何值时，2)(=x x f 在处可导
证明：
()ln ,()1
()()(),..............................................3ln ln ln ..............................................f x x f x f b f a b a a b b a b a b a b a b a b b a b a a ξξ
=-<<--<-<
--∴<<显然在区间[a,b]上连续且可导 ，....2分满足拉格朗日中值定理。

有
-=分
故：............2分
11.应用拉格朗日中值定理的推论证明
arcsin arccos (11)
2
x x x π
+=
-≤≤恒成立.
证明：设
()arcsin arccos f x x x =+,
],1,1[-∈x
,01111)(2
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-'x x x f
∴,)
(C x f ≡].1,1[-∈x 又
,2200arccos 0arcsin )0(ππ=+=+=f 即.2π=C ∴arcsin +x 12.证明下列不等式当0>x 时,)1ln(x x +>. 证明：设
()ln(1)f x x x =-+
1'()111x f x x x =-=++
当0x >时，'()0f x >
所以：()ln(1)f x x x =-+在0x >时是增函数。

(0)0ln(10)0f =-+= ()(0)f x f >
ln(1)0ln(1)
x x x x -+>>+
13.证明下列不等式
时当 0 >x ,x x sin >. 证明：设()sin f x x x =-
'()1cos 0f x x =->=
'()0f x =的点是离散的 所以：()sin f x x x =-在0x >时是增函数。

(0)0sin 00f =-= ()(0)f x f > sin 0
sin x x x x
->>
14.如果下0<a<b,证明
ln .b a b b a
b a a
--<< 证明：
（2分）
（2分） （3分） （2分） （2分）
（3分） （3分）
ξx ====f 分
分分
2.223)52==++=b a a bx f f x 分
分分
.......2..........2........3..........3e x
[⎰
00
000()()()..........3()()..............22()..............................2a a a a a a
a
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx --=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰分(因为是偶分分20.证明：当()f x 在[,]a a -上连续,且有()
f x 为奇函数,则()0a a
f x dx -=⎰. 证明： 0000()()()..........3-()()..............20..............................2a
a
a a a a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx --=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰分 (因为是奇分分。