第二章__条件期望及现代观点下计量经济的

Chapter2 条件期望及现代观点下计量经济的基本理念和理论基础§1 问题的提出1、 从数据谈起模型、数据哪个是第一位的？传统观点是模型第一位，现代观点认为数据是第一位的，我们不应当假设数据满足模型的条件，而应当要求模型适应数据的特点，这是现代观点下计量经济的出发点。

a 、 如果手头有一些数据，12x x ……，它能告诉你什么？什么也没有！因为 我们不知道数据来源背景，从而不知道数据所表达的含义。

b 、 如果该数据是某人历次考试成绩的记录，它能告诉你什么？可以认 为，X 是某人的学习能力，称为总体（population ），12x x ……是学习能力的反映，它是取自总体X 中的样本，可建立模型：X=a+ε，a 是真值，是客观存在的能力，但不可观测。

于是，i 1x x N=∑就反映了该学生的学习能力水平，2i 1var(X)(x x)N 1=--∑就反映了该生学习能力的稳定性。

还可以用ˆx var X ±（）来预测考试的成绩，等等。

c 、但是，如果该数据是某企业的股票价格，那么就没有理由认为12x x ……是相互独立的，而是一个与时间有关联的序列，那么x var X 和（）就有可能不再有一个稳定的极限，例如，随机游走。

2101,(0,)tt t t i t i x x x N εεεσ-==+=+∑ 。

则，2ˆvar(),t X t t σ=→∞→∞，从而t x 显得不可预测，这样的数据可以认为是没有用的，但在现在的随机过程理论和计算机技术下，我们仍能从{}t X 中捕捉到“股票价值”X 的某些信息。

这里，我们看到，经济中数据的来源是非常复杂的，有的可以看成是服从某一分布的随机变量，有的则是某一特定的随机过程，甚至是不平稳过程。

d 、对于有相互关联的多组数据，111N k1kN 1N ,y y x x x x …………和……，同样我们首先要知道数据的来源，知道有关1N X X Y ……和的知识，这一点与传统观点是一致的，但传统观点的局限是，解释变量1k X X ……是确定性的，与误差项ε无关。

而这种要求的数据一般只在实验室中才能做到，大量经济数据一般事前无法安排，并且解释变量之间也存在关联性，解释变量与误差项之间也有关联性，另外，数据是不可重复的。

为此，现实经济要求我们把对数据的要求放宽。

假设：（1）我们关注的结果Y 是一个随机变量（视为一个总体）。

（2）我们认为影响结果Y 的原因是一个K 维随机变量，1K ()X X X ''=……。

（3）(,)Y X 的联合分布存在，且存在期望和方差。

（4）可以从(,)Y X 随机抽取观测样本（random sampling ）。

注：（1）(,)Y X 的联合分布、期望、方差存在，并不意味着已知。

（2）Y X 与的因果关系中，X 的分量i X 对Y 的影响既有轻重之分，又有可观测和不可观测之分，甚至有半不可观测，即Y 与X 的因果关系可以更加随意的设定。

例如，我们关注的是工资与教育的关系，但是影响工资的因素除了教育之外，根据劳动经济学的知识，还有工作经验和能力。

其中，工作经验可用工作年限表示，又由于工作经验有正外部性，故可设计工作经验的平方作为另一个解释变量，而能力则是不可观测，如chapter1的例1，虽仍可以放在因果关系中，但需要有特殊的处理。

（3）因果关系不一定是线性关系，从平均意义或期望意义上讲，我们要关注的是条件期望，(|)E Y X 含义是如果知道X ，平均意义上看Y 是什么？它包含有比从全体平均意义上看Y 是什么即EY 更多的信息。

并且希望能把(|)E Y X 表达出来，建立一个模型，称为总体模型（population model ）。

（4）随机抽取样本的最基本形式是截面数据（cross section data ），含义是给定一个固定的时间点或是时间段上，解释变量与因变量的数据是从母体中随机发生的，而是实验数据（experimental data ）的含义是实验者预先设定解释变量的实验值，然后观测因变量的结果值，传统观点下的样本设定为实验数据，ε是与实验数据无关的一切其他环境对结果的随机影响，数据与误差是分开的。

（5）随即样本的另外几种形式Pooled cross section data 在不同时间点样本独立，但不同分布（混同样本）。

Spatial correlation 在不同地区样本有相关性，不独立（空间相关性）。

Cluster sample 串样本，时间数据有分段特征（群集数据）。

Panel data 面板数据，数据有二元特征，特别是有时间特征，但时间不太长，有限。

这些特殊样本的处理，我们在后面的模型中再联系模型进行分析、介绍。

§2 有关理论现在提出的问题是，如果现实的数据来源是一类随机样本，假设()Y g X =是客观存在，但是未知或者部分未知，那么获取数据资料11111()()n k kn n x x x x y y ……，……，……，就应当反映这种客观存在的关系，(),1n i i Y g X i ==……，进一步，如果()Y g X =的函数关系不清楚，找一个什么样的函数关系是合理的？合理性的准确含义是什么？下面着手建立解决上述问题的一套基本理论，着手解决两个问题：1、合理性按均方误差标准，X 的什么关系g (X)来表达Y 是最优的，即：2()(())g X Min E Y g X ∀-，记成MSE(mean square error)。

2、如果用线性关系Y X β'来表达，具备什么条件才能满足1、的**()g X X β'=，即2()(())g X Min E Y g X ∀-与2()Min E Y X ββ∀'-等价。

定理1：用条件期望(|)E Y X 来表达Y ，则MSE 最小，即：2*()(|)arg (())()g X E Y X Min E Y g X g X ∀=-=， arg 表示满足最小值条件的g(X)。

首先复习一下条件期望的概念及性质。

随机变量（X ，Y ）有联合分布F(x ，y)和联合分布密度f （x ，y ），不妨设f （x ，y ）≥0。

则：X 的边际分布密度()(,)x Yf X f x y dy =⎰Y 的边际分布密度()(,)y Xf Y f x y dx =⎰给定X 的条件下，Y 的条件分布密度|(,)(,)(|)()(,)Y X X Yf x y f x y f y x f x f x y dy=⎰给定X 的条件下，Y 的条件数学期望：(,)(|)()()X Yf x y E Y X ydy g X f x =⎰ [](,)(())(|)()()(,)()()(,)()()X X X Y X X Y X Y X Y Yf x y Eg X E E Y X y dy f x dxf x f x y y f x dx dyf x y f x y dx dy yf y dyE Y ⎡⎤∴==⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质1：[](|)()E E Y X E Y =，直观含义是分段平均再平均等于直接平均。

又由定义，[]()(,())()|()()()X G X f x g X E g X X g x dg x f x =⎰，做变量代换，()y g x =，则：(,)(|)()X Yf x y ydy E Y X f x =⎰ 性质2：[](|)|(|)E E Y X X E Y X =，见书上2.19式。

[]()|)()E g X X g X =的直观含义更明显，当X=x 给定，它是常数的期望值等于常数的推广。

证明：设：022*******()(|),()(())(()()())(())(()())2(()())(())g X E Y X MSE g E Y g X E Y g X g X g X E Y g X E g X g X E g X g X Y g X ==-=-+-=-+-+--那么[]{}[]{}[]{}000000002200(()())(())(()())(())|(()())(())|(()())(|)()0()(())(()())()()E g X g X Y g X E E g X g X Y g X X E g X g X E Y g X X E g X g X E Y X g X MSE g E Y g X E g X g X g X g X --=--=--=--=∴=-+-=注意到，取，则MSE(g)最小,证毕!注：这个定理很重要，它奠定了条件期望在均方误标准下的最优地位，问题是当Y 与X 的联合分布很复杂，E(Y|X)实质上仍然是不清楚的。

例：随机参数过程设012()Y X βββηη=+++，其中η与X 独立，且2()0,var()E ηηησ==，则，01201201201(|)(()|)(()|)(|)(|)(|)X =E Y X E X X E X X E X X XE X E X Xβββηηβββηηβββηηηββ=+++=+++=++++因为与独立，所以220120122222222var(|)((|))|(())|()|(1)|(1)(|)(1)Y X E Y E Y X X E X X X E X X E X X X E X X ηβββηηββηβηηββηβσ⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤=+++--⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=+=+注：我们也可以将模型看成，01Y X ββμ=++，但是1(1)X μβη=+，于是u 就与X 相关，从而E(X | u)≠0，var(|)u X 也与X 相关，大量的计量经济模型都是由于环境既影响结果又影响原因，从而内生性往往是不可避免的，传统观点假定X 与u 无关的要求不符合实际。

一般情况下，E(Y|X)很复杂，甚至是未知的，所以，尽管我们知道E(Y|X)在均方误标准下表达Y 是最优的，但是我们需要一种方法，用其他的合理方式来取代E(Y|X)，取代的方式取决于不同的目的，这就是问题（2）。

如果目的是预测、是趋势、可采用非参数估计方法，这超出本书的范围，请参阅相关非参数估计的书。

如果目的是政策评价，验证理论是否正确，一般采用参数估计方法，参数估计方法就是线性投影。

设X 是影响Y 的一切原因集，012ββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 是一个k+1维的参数空间，i R β∈，是未知的。

1(1,)k X X X '=……是取自X 中的k+1维向量，并且线性无关，例如2X X 2与线性无关，但lnX 和lnX 线性相关。

定义：{}{}0111()(),k k k A g X X X g X X R Fβββββ+==+++'==∈⊂注：我们只要求g(X)关于β是线性的，对X 不做任何要求，A 的直观含义是从母体X 中提取部分1l X X ……外加常数构成k+1维向量X ，把X 与β做内积，构成β的线性函数集A ，于是我们可以把求(|)E Y X 的问题转化为求未知参数向量β的问题，即：122()min (())min ()k g X ARE Y g X E Y X ββ+∈∈'-=-当然，A 中的函数要比F 中的少，A 包含于F ，但是限制在A 中，却使问题变得可以求解了。