利用放缩法证明数列型不等式压轴题(最新整理)
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利用放缩法证明数列型不等式压轴题
摘要:纵观近几年高考数学卷,压轴题很多是数列型不等式,其中通常需要证明数列型不等式,它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法,而且还可以综合考查其它多种数学思想方法,充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算,利用不等式的传递性,其优点是能迅速地化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺度很难把握。对大部分学生来说,在面对这类考题时,往往无从下笔.本文以数列型不等式压轴题的证明为例,探究放缩法在其中的应用,希望能抛砖引玉,给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。
关键词:放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题主体:
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用
1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式
问题。裂项放缩法主要有两种类型:
(1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。
例1设数列的前项的和,。设,
{}n a n 1412
2333
n n n S a +=-⨯+1,2,3,n = 2n n n T S =,证明:。1,2,3,n = 13
2
n
i i T =<
∑证明:易得,12(21)(21),3n n
n S +=--11
32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----112231
1
131********
()()221212212121212121n
n i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑ =
113113(221212
n +-<--点评: 此题的关键是将裂项成,然后再求和,即可12(21)(21)n n n +--111
2121
n n +-
--达到目标。
(2)先放缩通项,然后将其裂成项之和,然后再结合其余条件进行(3)n n ≥二次放缩。
例2 已知数列和满足,,数列的{}n a {}n b 112,1(1)n n n a a a a +=-=-1n n b a =-{}n b 前和为,;
n n S 2n n n T S S =-
(I )求证:;1n n T T +>(II )求证:当时,。2n ≥2n S 711
12
n +≥
证明:(I )1111111()2322122n n T T n n n n n n
+-=
+++-++++++++ 11121221n n n =
+-
+++10(21)(22)
n n =>++∴.
1n n T T +>(II )112211
222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+ 12211
22n n T T T T S --=+++++ 由(I )可知递增,从而,又,n T 12222n n T T T --≥≥≥ 11217,1,212T S T =
==12211222n n n S T T T T S --∴=+++++ 21171711
(1)(1)112212
n n T T S n +≥-++=-++=
即当时,。
2n ≥2n S 711
12
n +≥点评:此题(II )充分利用(I )的结论,递增,将裂成
n T 2n S 的和,从而找到了解题的突破口。
1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+ 2、迭乘放缩法:放缩法与迭乘法的结合,用放缩法构造迭乘形式,相乘时消去中间
项。用于解决积式问题。
例3 已知数列的首项为点在直线上。
{}n a 13,a =()1,+n n a a )(03*
N n y x ∈=-若证明对任意的 ,不等式
3*3log 2(),n n c a n N =-∈*
n ∈N
恒成立.12111
(1)(1+)(1+)n
c c c +
⋅⋅> 证明: ,32n c n =-331313133131
(1+
)(323231332
n n n n n n c n n n n n --++=>⋅⋅=----所以3121114731
[(1)(1+)(1+)]311432
n n n c c c n ++
⋅⋅>⋅⋅⋅=+-
。12111
(1)(1+)(1+)n
c c c +
⋅⋅> 点评:此题是证明积式大于根式,由于左边没有根式,右边是三次根式,立方后比较更
容易处理。可以看成是三个假分式的乘积,保持其中一项不变,另两33131(1+
()32
n n c n -=-项假分数分子分母同时加1,加2,则积变小,3313133131
(323231332
n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=----而通项式为的数列在迭乘时刚好相消,从而达到目标。31
{
}32
n n +-3、迭代放缩法:通过放缩法构造递推不等关系,进行迭代,从而求解。
例4
已知数列满足,,
证明:{}n x 1111
,,*21n n
x x n N x +=
=∈+。1112
||()65
n n n x x -+-≤⋅证明:当时,,结论成立。1n =1211
||||6n n x x x x +-=-=当时,易知2n ≥11111
01,12,12
n n n n x x x x ---<<+<=
>
+111115
(1)(1)(1)212
n n n n n x x x x x ----∴++=+
+=+≥+1111||11|||
|11(1)(1)
n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=
++++211112122212
||()||(||()55565
n n n n n n x x x x x x ----≤
-≤-≤≤-= 点评:此题将目标式进行放缩得到递推不等关系,进行迭代,找到解题途径。
4、等比公式放缩法:先放缩构造成等比数列,再求和,最后二次放缩实现目标
转化。
例5已知数列的各项均为正数,且满足记
{}n a 111
122,
(),1n n
n n a a a n N a a *++-==∈-,数列的前项和为,且.2n n n b a a =-{}n b n n x 1
()2
n n f x x =
(I )数列和的通项公式;{}n b {}n a (II )求证:
.12231()()()
1()2()()()2
n n f x f x f x n n n N f x f x f x *+-<+++<∈ 略解:(I ) ,,。
2n
n b
=n a =()21n
n f x =-