三角恒等变换导学案

三角恒等变换导学案

基础知识回顾：

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

=±)cos(βα =±)sin(βα

=±)tan(βα

2. 二倍角公式：

=α2sin =α2cos

=α2tan

3. 降幂公式：

=2cos 2α =2

sin 2α 4. 辅助角公式：

=+x b x a cos sin

典型例题

例1. 3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ 。 例2. ⑴cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-= ，⑵=+ 15sin 225cos 15cos 45sin 。 ⑶=+-

15

tan 3115tan 3 ，⑷=-+ 15tan 115tan 1 ，⑸=+- 15sin 15cos 15sin 15cos 。 例3. 已知54)4sin(=+πα，且4

34παπ<<，则=αcos 。 例4. βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5

αβ+=-，则βsin 的值是 。

例5. tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒+的值为 。

例6. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为 。

例7. 已知向量1(sin ,1),,),2a x b x →→

=-=-函数()()2f x a b a →→→=+⋅- ⑴求函数()f x 的最小正周期T ；⑵求单调递增区间；⑶求函数)(x f 在区间]4

,4[ππ-

上的最大值和最小值。

同步练习题：

1. 若51cos =α，且α是第四象限角，则=+)2

cos(πα 。 2. 若54sin -=α，α是第一象限的角，则=+)4

sin(πα 。 3. 计算：⑴=+ 105sin 15cos 75cos 15sin ；⑵=+

167cos 43sin 77cos 43cos ； ⑶

=+- 75tan 375tan 31 。

4. 已知3tan =α，求下列各式的值： ①

α

αααcos 9sin 4cos 3sin 2--，②1cos sin 3sin 2+-ααα， 5. 已知α是第三象限的角，532cos -=α，则=+)24

tan(απ 。 6. 设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根，则tan()αβ+的值为 。

7. 已知54cos =α，53)cos(=+βα，且βα,都是锐角，则βsin 的值是 。 8. 已知135)6cos(=+

πθ，30πθ<<，则=θcos 。 9. 已知),43(,ππβα∈，53)sin(-=+βα，1312)4sin(=-πβ，则=+)4

cos(πα________． 10. 已知函数a x x f ++

=)6

2sin(2)(π(其中a 为常数)。 ⑴求)(x f 的单调区间；⑵当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，)(x f 的最大值为4，求a 的值。 11. 已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x π

π

--，x R ∈.

⑴求函数()f x 的最小正周期；⑵求单调递增区间。

12. 已知向量R x x x x ∈=-=),2cos ,sin 3(),2

1,(cos ，设函数x f ⋅=)(。

⑴求)(x f 的最小正周期； ⑵求)(x f 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。 13. 下列函数中，周期为π，且在]2,4[

ππ上为减函数的是（ ） A ．)22sin(π

+=x y B ．)22cos(π

+=x y C. )2sin(π

+=x y D. )2cos(π

+=x y

14. 下列函数中同时具有①最小正周期是π；②图象关于点)0,6(

π对称这两个性质的是（ ） A. )62cos(π+

=x y B. )62sin(π+=x y C. )62sin(π+=x y D. )6

tan(π+=x y