量纲分析法与无量纲化

n
[qj]
X, aij i
j1,2,,m
i1
定义量纲矩阵 A{aij}nm, 若ranAkr
线性齐次方程组 Ay0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
m
则 q ysj
s
j
j 1
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
-
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中 基本量纲 M, L, T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
导出量纲
万有引力常数 G 的量纲 [G] =M-1L3T-2
F()0
-
l
T 2 l
g
m
mg
单摆运动中 T, m, l, g 的一般表达式 f(T,m,l,g)0
T ml g y1 y2 y3 y4 y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
[T ] M 0 L0T 1
[
m
]
M
1L0T
0
[l]
M
0 L1T 0
[ g ] M 0 L 1T 2
Ty1M y2L y3 L T 2y4M 0L 0 T0
ML-1T-2, [] = ML-1T-1, [g] = LT-2
j 1,2, , m
A{aij}nm
m=6, n=3
0 0 1 1 1 0 M
A
1
0
1 1
3 0
1 2
1 1
1
2
L T
l v p g
-
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
f(q1,q2,,qm)0 (g,l,,v,s,f)0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
m
q ysj
s
j
j 1
y1 y2
(
(
1
/ 0
对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)
-
f
G
m1m2 r2
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
S(t)S0
vt
1at2 2
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例：求单摆运动周期 T 的表达式
设物理量 T, m, l, g 之间有关系式
f(T,m,l,g)0
假设等价于无量刚量关系式
m-r 个无量纲量
m
q ysj
s
j
j 1
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解
0 1 1
2
1
2
y
y1 ,
y2
,
y3
1 1
1 0
0
0
0 1 0 0 0 1
1 2
v 2 1 p lv 1
3
l 1v 2 g 1
-
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与
量纲分析法与 无量纲化
-
量纲分析法与无量纲化
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐 次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析， 可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。
M y 2 L y 3 y 4 T y 1 2 y 4 M 0 L 0 T 0
y2 0
y3
y4
0
y1
2
y4
0
基本解 y
( y1, y2 , y3, y4 )T
(1,
0,
1 2
,
1 2
)
T
-
Tl g
1 2
1 2
F(
)0
(T l ) g
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可以表示为
在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度 和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、 、J、和N；称为基本量纲。 任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
2 ,
,
1/ 2 2,
,0,1, 0, 0)T 0, 0,1, 0)T
y3 ( 1, 3, 1,0, 0,1)T
1 2
Fra Baidu bibliotek1 1
g 2l 2v l 2s
-
3
g l1 3
1
f
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与
f (q1, q2, , qm) =0 等价
m
q ysj
f (q1, q2, , qm) =0 等价
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (l,v,,p,,g) = 0 等价
m
q ysj
s
j
j 1
为得到差 p 的显式表达式
F=0 隐函数定理 1(2,3)
1
2
3
v 2 1 p lv 1 l 1v 2 g 1
pv2(2,3)v2(2, 3), 未定
n
[ q j ]
X ,aij i
i 1
j 1,2, , m
A{aij}nm
[g] = LT-2, [l] = L, [] = ML-3,
[v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = MLT-2
0 0 1 0 0 1
A
1
1 3 1
2
1
2 0 0 1 0 2
m=6, n=3
- g l v s f
R e 2 lv: R e y n o l d n u m b e r ; F r 3 v g l: F r o u d e n u m b e r
-
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
海水密度, 重力加速度g。
f(q1,q2,,qm)0 (g,l,,v,s,f)0
-
量纲分析示例： （水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差
管道两端 压强差 p
选取物理量 管道长l, 流速v, 粘性系数,
密度重力加速度g。
f(q1,q2,,qm)0 (l,v,,p,,g)0
n
[ q ] X ,aij
j
i
i 1
[l] = L, [v] =LT-1, [] = ML-3, [p] =