第4章--变形率和旋率

第4章 变形率和旋率

有限变形：与t 有关，t 作为参变量。——变形几何学 现在把时间考虑进去，研究变形的速度问题。

对时间求导数：两种描述法对时间求导数有区别，速度是求物质导数，固定K X ，对时间求偏导数——变形运动学。

§4.1 物质变形梯度的物质导数

Lagrange 描述法：

),(t X x x K k k =

（物质）变形梯度张量：

Grad k

k K

K

x X ∂=⊗∂∂=

=∂F i I x

F x X

物质导数：

()|K

X t

∂=∂F F & （“K X |”表示保持K X 不变） 2(,)

(Grad t t t t ∂∂=

∂∂∂∂∂==

∂∂∂∂∂==∂X

x X X

x x

X X v v X

§4.2 速度梯度张量

变形梯度张量的物质导数

∂∂∂===⋅∂∂∂v v x F

G F X x X

& （1） 定义：∂=

∂v

G x

称为速度梯度张量 grad =v

l k kl v G ,=

由（1），可得：1

-=⋅G F

F & ,k l k l v =⊗

G e e 速度梯度张量

ⅢX

ⅠX

ⅡX

1

d X

0=t

G 比F

&用处更大。 §4.3 线元d x 的物质导数

初始构形中的线元d X ， 现时构形中的线元 d x

d d =x F X

求：d x 对时间的物质导数：

(d )(d )d d x F X F X G F X ===⋅⋅g g &

则(d )d x G x =⋅g

反映了线元的变化速度。

空间线元的物质导数等于速度梯度与空间线元的点积。

§4.4 G 的加法分解

F 用极分解，1-F Q 存在

而G 用加法分解，1

-G Q 不一定存在

=+G D Ω 分解对称部分和反对称部分

T 1()2=+D G G T 1

()2=-ΩG G

)(21,,k l l k kl v v D += )(2

1

,,k l l k kl v v -=Ω

变形率张量：D

整旋率张量：Ω （物质旋率）

(d )d d =+⋅x D x Ωx &

1．变形率张量D 。二阶对称张量，有三个相互垂直的主方向 (1,2,3)αα=n ，主值αD

(a D α)α=⋅⊗D n n

((d d d D x D x α)ααββα)αα⋅=⊗⋅=⋅D x n n n n

由上式看出，D 为变形率张量，αD 为αn 方向变形速率，αn 为变形率标架。

2．旋率张量Ω，反对称张量，只有三个独立的分量

*

d d d ⋅==⨯Ωx x ωx 写为

只要：321Ω=ω，132Ω=ω，21Ω=3ω，则上式成立。

ω称为轴矢量，转动角速度。

§4.5 变形速度张量

Euler 描述法：

222)d (d d )d ()d (L x x L l l k kl -=-δ

求物质导数：

l

k kl l k kl l k kl x x x x x x t

l t L l t &&d d d d )

d d (d d

)d (d d )d d (d d 222δδδ+===- ,d d k k K K x x X =Q

,,,,,d d d d d k k K K k K K k l l K K k l l

x x X v X v x X v x ====&&

则 22,,T d

(d d )()d d d 1

2d d (())2

2d d k l l k k l kl k l l L v v x x t

D x x -=+==

+=D G G xD x

Q 或写成 )(2

1

,,k l l k v v +称为Euler 变形速度张量。D （前面称为变形率张量）

，有了Euler 变形速度张量便可知)d d (d d 2

2L l t

-。

线元l d 的伸长率：

l k kl x x D l t l l t d d 2)d (d d

d 2)d (d d 2=⋅= 除以2

)d (2l ，则：l k kl l k kl n n D l

x l x D l l t =⋅=d d d d d )

d (d d

（其中k n ，l n 分别为l d 在k 和l 方向的方向余弦）

知道D 后，任何d x 的单位长度的变化率可用D 表示出来。 Lagrange 描述法：

2T d

(d )2d d d 2d d (d d )

l t

===xD x

XF DF X x F X Q （*）

∴Larange 变形速度张量为：

T =⋅⋅E

F D F & 另推：Green 变形张量：C

2222d d d d d d d (dl d )d d d d d KL K L KL K L

KL K L

l L C X X X X L C X X t

-=-δ-=⋅=⋅⋅X C X

&& （**）

比较（*）与（**）式，Green 变形张量的物质导数

T 22==⋅⋅C

E F D F && §4.6 应变速度张量

Lagrange 描述法： Green 应变张量：1

()2

=

-E C I 求物质导数：T 12

==⋅⋅E

C F

D F &

& Lagrange 应变速度张量：=Lagrange 变形速度张量。

另推：T T T 111()()222

==⋅=+⋅E C F F F F F F &&&&&

T T

T T T T 1 ()21

()2

=

⋅⋅+⋅⋅=+=⋅⋅F G F F G F F G G F F D F

Euler 描述法： Euler 型应变张量：11

()2

-=

-e I B （Almansi 应变张量） （前面：1

-B 称为Cauchy 变形张量）

11T 1()()---=B F F Q

求物质导数：1-T 1-T 111

()[()()]22

-⋅⋅--⋅=-=-+e

B F F F F & 1-=FF I Q ，则 110--+⋅=FF

F F && 则 11--=-⋅F

F G & 同样：T

T

T

-=-⋅F

G F &