梯形、等腰梯形、直角梯形等概念_等腰梯形的有关计算与证明
认识梯形及各部分名称;等腰直角梯形课件

平行四边形是两组对边分别平行的 四边形,其两组对边分别相等。
02
等腰直角梯形的特点
等腰直角梯形的定义
01
等腰直角梯形是具有等腰和直角 的四边形,其中两腰相等且与底 边形成直角。
02
等腰直角梯形是梯形的一种特殊 形式,其特点是两腰相等且与底 边形成直角。
等腰直角梯形的性质
等腰直角梯形的两腰相等,且与 底边形成直角。
04
练与思考
基础练习题
01
02
03
基础练习题1
请指出以下图形中哪些是 梯形,哪些不是,并说明 理由。
基础练习题2
请指出以下梯形的上底、 下底、腰和高分别是什么 。
基础练习题3
请计算以下梯形的周长和 面积。
进阶练习题
进阶练习题1
请判断以下哪些等腰直角 梯形是轴对称图形,并说 明对称轴的位置。
进阶练习题2
等腰直角梯形的一组对角相等, 即两个锐角和两个钝角的大小相
等。
等腰直角梯形的面积可以通过底 和高来计算,也可以通过两腰的
长度来计算。
等腰直角梯形的面积计算
面积计算公式:面积 = (上底 + 下底 ) ×高/ 2
面积也可以通过两腰的长度来计算, 即面积 = 腰1的长度 × 腰2的长度 / 2
03
梯形与等腰直角梯形的应用
请计算以下等腰直角梯形 的斜边长度。
进阶练习题3
请证明以下等腰直角梯形 的性质。
思考题
思考题1
请探究等腰直角梯形与其他几何 图形之间的关系,并给出证明。
思考题2
请研究等腰直角梯形的面积和周 长的变化规律,并给出数学表达
式。
思考题3
请设计一个实际应用等腰直角梯 形的场景,并给出具体应用方式
七年级数学梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定鲁教版知识精讲

七年级数学梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定某某教育版【本讲教育信息】一. 教学内容:梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定二. 学习重难点:运用梯形和等腰梯形的特征解决有关梯形的问题三. 知识要点讲解:同学们,前面我们研究了特殊的四边形——--平行四边形以及特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形。
今天我们研究另外一类特殊的四边形——梯形。
1、梯形的意义:①定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
②有关概念:平行的两边叫做底,不平行的两边叫做腰,夹在两底之间的垂线段叫做高。
注:较长的底叫做下底、较短的底叫做上底。
2、等腰梯形:定义:两腰相等的梯形叫做直角梯形。
探究:如图,在半透明的方格纸上,画一个等腰梯形ABCD,过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线,将等腰梯形ABCD沿直线EF对折。
你发现了什么?我们可以发现等腰梯形是一个轴对称图形,因而有以下特征等腰梯形的性质:①等腰梯形同一底边上的两个内角相等;②等腰梯形的两条对角线相等;③两腰相等;④是轴对称图形。
3、直角梯形——一条腰与底垂直的梯形叫做直角梯形。
4、梯形的研究方法:思考:你能应用梯形的研究方法得到等腰梯形的性质吗?探究:如图、四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,将腰AB平移到DE的位置。
(1)DE把四边形ABCD分成了怎样的两个图形?(2)图中有哪些相等的线段、相等的角?证明:∵AD∥BC,AB∥DE,∴四边形ABED是平行四边形,∠B=∠DEC,∴AB=DE ∵AB=CD,∴DE=CD ∴∠C=∠DEC,∴∠B=∠C注:利用全等三角形也可以证明等腰梯形的对角线相等,不妨试一试!做一做:在一个三角形中怎样画一条线段,可得到一个梯形?自己画一画.如图所示,在三角形中画一条线段得到一个梯形,并说明在不同情况下得到的分别是什么?由上面可知:(3)(4)还可以得到等腰梯形. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形吗?探究:在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,腰BA、CD的延长线相交于点E,则梯形ABCD是等腰梯形吗?证明:∵∠B=∠C ∴EB=EC,又∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B,∠C=∠EDA,∴∠EAD=∠EDA,∴EA=ED∴EB-EA=EC-ED,即:AB=CD,∴梯形ABCD是等腰梯形思考:利用平移的方法你能证明两底角相等的梯形是等腰梯形吗?分析:将腰AB平移到DE,则四边形ABED是平行四边形,AB∥DE,∠B=∠DEC ∵∠B=∠C,∴∠DEC=∠C,∴DE=DC,∵AB=DE,∴AB=CD∴四边形ABCD是等腰梯形。
人教版八年级数学讲义梯形及等腰梯形(含解析)(2020年最新)

第19讲梯形及等腰梯形知识定位讲解用时:3分钟A、适用范围:人教版初二,基础较好;B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初二新课,本节课我们要学习梯形及等腰梯形。
梯形和等腰梯形属于四边形章节,选择填空中会涉及到,也经常出现在几何大题中,是中考考查范围内的一个重要知识点,熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定,灵活运用并处理含梯形的综合类型题目.知识梳理讲解用时:20分钟梯形的认识1、定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(概念记清楚哦)一般梯形梯形标注:梯形是特殊的四边形,有且只有一组对边平行哦梯形的分类2、梯形的分类:一般梯形、特殊梯形(直角梯形、等腰梯形)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形直角梯形等腰梯形AB//CD AB//CDAD≠BC AD=BCAD⊥CD AD不平行BC梯形的中位线3、梯形的中位线:连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线. 梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半你知道怎么证明吗?EF//AB//CDEF=12(AB+CD)等腰梯形的性质和判定1、等腰梯形的性质定理性质定理1:等腰梯形同一底边上的两个角相等性质定理2:等腰梯形的两条对角线相等性质3:等腰梯形既是轴对称图形,只有一条对称轴(底边的垂直平分线)∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D2、等腰梯形的判定定理判定定理1:同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形判定定理2:对角线相等的梯形是等腰梯形判定3:利用定义课堂精讲精练【例题1】已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,AB=CD=6,∠B=60°,那么下底BC的长为.【答案】10【解析】首先过A作AE∥DC交BC与E,可以证明四边形ADCE是平行四边形,进而得到CE=AD=4,再证明△ABE是等边三角形,进而得到BE=AB=6,从而得到答案.解:如图,过A作AE∥DC交BC与E,∵AD∥BC,∴四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC=4,AE=CD,∵AB=CD=6,∴AE=AB=6,∵∠B=60°,∴△ABE是等边三角形,∴BE=AB=6,∴BC=6+4=10.故答案为:10.讲解用时:3分钟解题思路:此题主要考查了梯形,关键是掌握梯形中的重要辅助线,过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形.教学建议:利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形和等边三角形.难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:普陀区期中年份:2017【练习1.1】如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=30°,∠C=75°,AD=2,BC=7,那么AB= .【答案】5【解析】过点D作DE∥AB交BC于E,根据平行线的性质,得∠DEC=∠B=30°,根据三角形的内角和定理,得∠EDC=75°,再根据等角对等边,得DE=CE.根据两组对边分别平行,知四边形ABED是平行四边形,则AB=DE=CE=7﹣2=5,从而求解.解:过点D作DE∥AB交BC于E,∴∠DEC=∠B=30°.又∵∠C=75°,∴∠CDE=75°.∴DE=CE.∵AD∥BC,DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形.∴AD=BE=2.﹣BE=BC﹣AD=7﹣2=5.∴AB=DE=CE=BC故答案为:5.讲解用时:3分钟解题思路:此题综合考查了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质,解题的关键是作平行线构造平行四边形.教学建议:利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形进行求解.难度: 3 适应场景:当堂练习例题来源:潍坊三模年份:2016【例题2】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,如果AB=5,BC=4,CD=3,那么AD= .【答案】2【解析】试题分析:过点D作DE⊥AB于点E,后根据勾股定理即可得出答案.解:过点D作DE⊥AB于点E,如下图所示:则DE=BC=4,AE=AB﹣EB=AB﹣DC=2,AD==2.故答案为:2.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了梯形及勾股定理的知识,难度不大,属于基础题.教学建议:利用梯形和勾股定理的知识进行求解.难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:普陀区期末年份:2016【练习2.1】如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB中点,DE⊥EC.求证:(1)DE平分∠ADC;(2)AD+BC=DC.【答案】(1)DE平分∠ADC;(2)AD+BC=DC【解析】试题分析:(1)延长DE交CB的延长线于F,可证得△AED≌△BEF,根据三线合一的性质可得出CD=CF,推出∠CDF=∠F,由∠ADF=∠F即可证明;(2)由△AED≌△BEF,根据三线合一的性质可得出CD=CF,进而利用等线段的代换可证得结论;证明:(1)延长DE交CB的延长线于F,∵AD∥CF,∴∠A=∠ABF,∠ADE=∠F.在△AED与△BEF中,,∴△AED≌△BEF,∴AD=BF,DE=EF,∵CE⊥DF,∴∠CDF=∠F,∵AD∥CF,∴∠ADE=∠F,∴∠ADE=∠CDF,∴ED平分∠ADC.(2)∵△AED≌△BEF,∴AD=BF,DE=EF,∵CE⊥DF,∴CD=CF=BC+BF,∴AD+BC=DC.讲解用时:4分钟解题思路:本题考查梯形、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是因为点E是中点,所以应该联想到构造全等三角形,这是经常用到的解题思路,同学们要注意掌握.教学建议:学会运用梯形、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质进行解题.难度: 4 适应场景:当堂练习例题来源:松江区期末年份:2017【例题3】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线BD与中位线EF交于点G,若AD=2,EF=5,那么FG= .【答案】4【解析】试题分析:根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC,推出DG=BG,则EG 是△ABD的中位线,即可求得EG的长,则FG即可求得.解:∵EF是梯形ABCD的中位线,∴EF∥AD∥BC,∴DG=BG,∴EG=AD=×2=1,∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4.故答案是:4.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了梯形的中位线,三角形的中位线的应用,主要考查学生的推理能力和计算能力.教学建议:熟练掌握梯形的中位线、三角形的中位线知识并灵活运用.难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习3.1】边长为8的正方形ABCD中,E、F是边AD、AB的中点,连接CE,取CE中点G,那么FG= .【答案】6【解析】试题分析:根据题意,正方形ABCD的边长为8,E边AD的中点,可得出AE、BC的长;又由点F、G分别是AB、CE的中点,根据梯形的中位线定理,可得出FG的长;解:如图,∵正方形ABCD的边长为8,E、F是边AD、AB的中点,∴AE=4,BC=8,又∵点G是CE的中点,∴FG为梯形ABCE的中位线,∴EF==×(4+8)=6.故答案为:6.讲解用时:3分钟解题思路:本题主要考查了梯形的中位线定理,熟练掌握梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.教学建议:学会应用梯形的中位线定理.难度: 3 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题4】在梯形ABCD中.AB∥CD,EF为中位线,则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是.【答案】1:4【解析】试题分析:过A作AG⊥BC于G,交EF于H,再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可.解:过A作AG⊥BC于G,交EF于H,∵EF是梯形ABCD的中位线,∴AD+BC=2EF,AG=2AH,设△AEF的面积为xcm2,即EF?AH=xcm2,∴EF?AH=2xcm2,∴S梯形ABCD=(AD+BC)?AG=×2EF×2AH=2EF?AH=2×2xcm2=4xcm2.∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为:1:4.故答案为:1:4.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了梯形的中位线定理,比较简单,注意掌握梯形的中位线定理即是梯形的中位线等于上下底和的一半.教学建议:学会应用梯形的中位线定理.难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:六安期末年份:2013【练习4.1】在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是边AB、CD的中点.如果AD=5,EF=11,那么BC= .【答案】17【解析】试题分析:根据梯形中位线定理“梯形的中位线长是上下底和的一半”,进行计算.解:根据梯形中位线定理,得EF=(AD+BC),则BC=2EF﹣AD=2×11﹣5=17.讲解用时:2分钟解题思路:考查了梯形的中位线定理.教学建议:熟练掌握并应用梯形的中位线定理.难度: 2 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题5】已知:如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC=2,BD平分∠ABC,∠A=60°.求:梯形ABCD的周长.【答案】10【解析】试题分析:由等腰梯形的性质得出∴∠ABC=∠A=60°.周长∠ABD=∠CBD=30°,∠ADB=90°,由直角三角形的性质得出AD=AB.AB=2AD=4.证出∠CDB=∠CBD.得出CD=BC=2.即可求出梯形ABCD的周长.解:在梯形ABCD中,∵DC∥AB,AD=BC=2,∠A=60°.∴∠ABC=∠A=60°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=30°,∴∠ADB=90°,∴AD=AB.∴AB=2AD=4.又 DC∥AB,∴∠CDB=∠ABD,又∠ABD=∠CBD,∴∠CDB=∠CBD.∴CD=BC=2..∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=4+2+2+2=10讲解用时:3分钟解题思路:本题主要考查对等腰梯形的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,角平分线的性质等知识点的理解和掌握,能求出DC=BC是解此题的关键.教学建议:掌握等腰梯形的性质和判定并灵活运用.难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习5.1】已知:如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC=2,∠A=60°,对角线BD平分∠ABC.(1)求对角线BD的长;(2)求梯形ABCD的面积.【答案】(1)2√3;(2)3√3【解析】试题分析:(1)根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等,即可求得∠B的度数,根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形,利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解;(2)过点D、C分别作DH⊥AB,CG⊥AB,垂足为点H、G,在直角△ADB中求得DH和AH的长,则AB即可求得,然后利用梯形的面积公式求解.解:(1)∵DC∥AB,AD=BC,∴∠A=∠ABC.∵BD平分∠ABC,∠A=60°,∴∠ABD=∠ABC=30°.∴∠ADB=90°.∵AD=2,∴AB=2AD=4.∴BD=.(2)过点D、C分别作DH⊥AB,CG⊥AB,垂足为点H、G.∵DC∥AB,BD平分∠ABC,∴∠CDB=∠ABD=∠CBD.∵BC=2,∴DC=BC=2.在RT△ADH和RT△BCG中,,∴RT△ADH≌RT△BCG.∴AH=BG.∵∠A=60°,∴∠ADH=30°.∴AH=AD=1,DH=.∵DC=HG=2,∴AB=4.∴.讲解用时:3分钟解题思路:本题主要考查对等腰梯形的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,角平分线的性质等知识点的理解和掌握,能求出DC=BC是解此题的关键.教学建议:掌握等腰梯形的性质并灵活应用.难度: 4 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题6】如图,在等腰梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC=2,BD平分∠ABC.∠A=60°,求对角线BD的长和梯形ABCD的面积.【答案】3√3【解析】根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等,即可求得∠B的度数,根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形,利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解,过点D、C分别作DH⊥AB,CG⊥AB,垂足为点H、G,在直角△ADB中求得DH和AH的长,则AB即可求得,然后利用梯形的面积公式求解.解:∵DC∥AB,AD=BC,∴∠A=∠ABC.∵BD平分∠ABC,∠A=60°,∴∠ABD=∠ABC=30°.∴∠ADB=90°.∵AD=2,∴AB=2AD=4.∴BD=.过点D、C分别作DH⊥AB,CG⊥AB,垂足为点H、G.∵DC∥AB,BD平分∠ABC,∴∠CDB=∠ABD=∠CBD.∵BC=2,∴DC=BC=2.在Rt△ADH和Rt△BCG中,,∴Rt△ADH≌Rt△BCG.∴AH=BG.∵∠A=60°,∴∠ADH=30°.∴AH=AD=1,DH=.∵DC=HG=2,∴AB=4.∴梯形ABCD的面积=.讲解用时:4分钟解题思路:本题主要考查对等腰梯形的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,角平分线的性质等知识点的理解和掌握,能求出DC=BC是解此题的关键.教学建议:熟练地运用等腰梯形、平行线、等腰三角形的性质进行解题.难度: 4 适应场景:当堂例题例题来源:无年份:2018【练习6.1】已知:如图,等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6cm,对角线BD平分∠ADC,下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm,求上底AD的长.【答案】4cm【解析】试题分析:由等腰梯形的性质得出AB=DC,AD∥BC,得出∠ADB=∠CBD,,由已知再由已知条件得出BC=DC=AB,由梯形中位线定理得出AD+BC=2EF=12cm条件求出BC,即可得出AD的长.解:∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,∴∠CBD=∠CDB,∴BC=DC=AB,∵EF是等腰梯形的中位线,,∴AD+BC=2EF=12cm∵下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm,﹣20,∴BC=AB+BC+CD+AD即BC=AB+DC﹣8,∴BC=8cm,∴AD=4cm.讲解用时:3分钟解题思路:本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定、梯形中位线定理;熟练掌握等腰梯形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.教学建议:利用等腰梯形、等腰三角形的判定、梯形中位线等知识点进行解题.难度: 3 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题7】已知:如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点E为边BC上一点,且AE=DC.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)当∠B=2∠DCA时,求证:四边形AECD是菱形.【答案】(1)四边形AECD是平行四边形;(2)四边形AECD是菱形【解析】试题分析:(1)由等腰梯形的性质(等腰梯形同一底上的角相等),可得∠B=∠DCB,又由等腰三角形的性质(等边对等角)证得∠DCB=∠AEB,即可得AE∥DC,则四边形AECD为平行四边形;(2)根据平行线的性质,易得∠EAC=∠DCA,又由已知,由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA,根据等角对等边,即可得AE=CE,则四边形AECD为菱形.证明:(1)∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∴∠B=∠DCB,∵AE=DC,∴AE=AB,∴∠B=∠AEB,∴∠DCB=∠AEB,∴AE∥DC,∴四边形AECD为平行四边形;(2)∵AE∥DC,∴∠EAC=∠DCA,∵∠B=2∠DCA,∠B=∠DCB,∴∠DCB=2∠DCA,∴∠ECA=∠DCA,∴∠EAC=∠ECA,∴AE=CE,∵四边形AECD为平行四边形,∴四边形AECD为菱形.讲解用时:3分钟解题思路:此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是仔细识图,应用数形结合思想解答.教学建议:利用等腰梯形、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点进行解题.难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:连云港校级模拟年份:2010【练习7.1】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BA=AD=DC,点E在边CB的延长线上,并且BE=AD,点F在边BC上.(1)求证:AC=AE;(2)如果∠AFB=2∠AEF,求证:四边形AFCD是菱形.【答案】(1)AC=AE;(2)四边形AFCD是菱形【解析】试题分析:(1)由已知条件可判定四边形ABCD是等腰梯形,利用等腰梯形的性质以及给出的条件利用SAS可判定△ABE≌△ADC,从而可证得结论;,所以四边形AFCD是菱形.(2)由(1)和外角和定理可证得AD=DC=AF=CF证明:(1)∵AD∥BC,BA=AD=DC,∴梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠DCE,∵∠ABE+∠ABC=180°,∠DCE+∠D=180°,∴∠D=∠ABE,又∵BE=AD,∴△ABE≌△ADC,∴AC=AE.(2)∵∠AFB=∠CAF+∠FCA,∠AFB=2∠E,∴2∠E=∠CAF+∠FCA,∵∠E=∠DAC=∠DCA,又∵AD∥BC,∴∠DAC=∠FCA,,∴AD=DC=AF=CF∴四边形AFCD是菱形.讲解用时:3分钟解题思路:此题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用,难度较大,解答此类综合题目还需从基本做起,掌握一些基本性质是解答此类题目必备的.教学建议:利用等腰梯形的性质、全等三角形的判定等知识点进行解题.难度:4 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018课后作业【作业1】如果梯形的中位线长为6,一条底边长为8,那么另一条底边长等于.【答案】4【解析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”,进行计算.解:根据梯形的中位线定理,得另一底边长=中位线×2﹣一底边长=2×6﹣8=4.故答案为:4难度:2 适应场景:练习题例题来源:金山区二模年份:2018【作业2】如图,等腰梯形ABCD的面积为144,AD∥BC,AB=DC,且AC⊥BD.求等腰梯形ABCD的高.【答案】12【解析】过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E,DF⊥BC,垂足为点F,将等腰梯形的面积转化为△DBE的面积,从而求得三角形的高即可得到等腰梯形的高.解:过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E,DF⊥BC,垂足为点F.∵AD∥BC,∴四边形ACED是平行四边形.∴AD=CE,AC=DE.又∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=BD.∴BD=DE.∴BF=FE.∵AC⊥BD,∴∠BGC=∠BDE=90°.∴.又∵AB=CD,∴△ADB≌△CED.∴S△BED=S梯形ABCD=144,∵BE?DF=144,∴×2DF2=144∴等腰梯形ABCD的高等于12.难度: 3 适应场景:练习题例题来源:普陀区期末年份:2014【作业3】如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AC、BD是对角线,△ABD≌△ABE.求证:四边形AEBC是平行四边形.【答案】四边形AEBC是平行四边形【解析】根据等腰梯形的对角线相等,易得AC=BD,又由△ABD≌△ABE,易得AD=AE,BD=BE,则可证得AE=BC,AC=BE,根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可证得四边形AEBC是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AD=BC,AC=BD,又∵△ABD≌△ABE,∴AD=AE,BD=BE,∴AE=BC,AC=BE,∴四边形AEBC是平行四边形.难度: 3 适应场景:练习题例题来源:香坊区期末年份:2011。
第二十五讲--梯形

1.在梯形的证明和计算中,常见的添辅助线方法有:①平移腰; ②平移对角线;③作中位线;④作高线;⑤延长两腰交于一 点等。
例5.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD:BC=1:3, 对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AE 恰好过BD的中点F,∠FBE=300。
(1)求证:△AOF是正三角形;
例题:
例1.(1)下列三种说法: ①任意四边形两组对边中点的连线互相平分;
②任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相 平分;③梯形的两条对角线可能互相平分。
其中正确的有( B)
(A)①②③;(B)①②;(C)①③;(D)②③。
(2)如图,AD∥BC,S△AOD:
S△COB=1:4,则AD:CB=( D)
例4.如图,已知,四边形ABCD中,AB=CD,AC=BD, AD≠BC。求证:四边形ABCD是等腰梯形。
证明:由已知AD≠BC,过A
A
D
作AE∥CD,交BC于E。因
为AB=CD,AC=BD,
BC=BC,所以
△ABC≌△DCB。所以
∠ABC=∠DCB=∠AEB
B
E
C
所以,AE=CD,所以四边形AECD是平行四边形,即AD∥CE 所以,四边形ABCD是等腰梯形。
A.两条对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B.顺次连结等腰梯形四边中点所得到的四边形是菱形 C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.一组对边平行且一组邻角相等的四边形是等腰 梯形
2.顺次连结四边形各边中点得到的四边形 是正方形, 则原四边形的对角线需満足的条件是(C ) A.相等;B.垂直;C.相等且垂直; D.一条对角线平分另一条对角线。
A
21
D
等腰梯形的性质

A
HD
如图7, 延长等腰梯形的两腰 相交于点E,
由∠B=∠C,AD∥BC,可知
△EBC和△EAD都是等腰三角形。
B
图7 F
C 因此从点E作两底的垂线必平分两 底。根据等腰三角形是轴对称图形,
可得等腰梯形也是轴对称图形。过
这也是研究梯形常用的
两底中点的直线是它的对称轴。
辅助线作法,即延长梯
形的两腰交于一点,得
∴ ∠DEC=∠B
∴ ∠B=∠C
等腰梯形的性质1:等腰梯形在同一底上的两个内角相等。
A
D
已知:如图6,在梯形ABCD中,AD∥BC,
AB=DC。
BE
F
图6
求证:∠B=∠C 。
C 证明:过A、D分别作AE⊥BC,DF⊥BC , 垂
足分别为E、F ∴AE∥DF,∠AEB= ∠DFC=900 ∵ AD∥BC
梯形的性质
上面的几幅图中有你熟悉的图形吗?
两组对边分别平行
四边形 只有一组对边平行
平行四边形 梯形
一、梯形 1、梯形的定义:
一组对边平行而另一组对边不平 行的四边形叫做梯形。
梯形
平行四边形
底角 上底
认识梯
腰高
腰
形
下底 底角
一组对边平行,另一组对边 不平行的四边形,叫做梯形。
2、梯形的有关概念:
2.等腰梯形有哪些性质?.
1)等腰梯形的一组对边平行,两腰相等。 2)等腰梯形同一底上的两个底角相等,对角线相等。
3)等腰梯形为轴对称图形,对称轴是连接两底中 心的直线。
3.今天我们在研究梯形问题时,用了哪些方法将梯形问 题转化为其他图形问题? 常用方法有平移一腰、作两高线、延长两腰。
梯形的定义、性质及判定知识梳理总结

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定义
梯形:一组对边平行,另一组对边不平行的四边 形.
示例剖析 梯形 ABCD 中, AD ∥ BC
等腰梯形:两腰相等的梯形.
梯形 ABCD 中, AD ∥ BC 且 AB CD
A
D
直角梯形:有一个角是直角的梯形.
相关概念 梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底; 较短的底叫做上底,较长的底叫做下底(与位置 无关); 梯形的腰:梯形中不平行的两边叫做腰; 梯形的高:两底间的距离叫做高.
底之和的三角形
( △BDE )
梯形的中
位线证
连 接 AM 并 延 长 交 BC
将梯形切割拼接成一个 明;
延长线于 E
与它面积相等的三角形 梯形拼接
E (倍长类中线)
( △ABE )
成三角形
或四边形
2Leabharlann A BE D C分别延长 BA 、CD 交于 点 E (补成三角形)
把梯形补全为 △EBC
梯形中构 造特殊三 角形
与
对
A
D
角
线
B
O
有
C
关
与
腰
的
A
D M
中
B
点
C
有
关
把梯形转化为一个平行
过 D 作 DE ∥ AC 交 BC 四边形( ADEC )和一个 集中对角
延长线于 E E (平移对角线)
集中两条对角线与上下 线
1
模块二 梯形中的常见辅助线
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类 图形
型
与
A
D
高
有
关
B
E
FC
A
等腰梯形和直角梯形及其性质

艺术创作
在绘画、雕塑等艺术创作 中,等腰梯形和直角梯形 的组合可以创造出独特的 视觉效果和艺术美感。
建筑设计
在建筑设计中,等腰梯形 和直角梯形的组合可以用 于构建独特的外观和结构, 如塔楼、拱门等。
THANK YOU
感谢聆听
详细描述
等腰梯形具有轴对称性,即沿一条经 过两腰中点的直线对折,两侧能够完 全重合。此外,等腰梯形的两个底角 相等,并且两条腰也相等。
面积计算
总结词
等腰梯形的面积可以通过上底、下底和高的长度来计算。
详细描述
等腰梯形的面积可以用公式 `(上底 + 下底) * 高 / 2` 来计算 。这个公式基于梯形面积的一般定义,即“上底加下底后乘 高再除以2”。
02
直角梯形
定义
直角梯形:一个四边形,其中一对相对边是平行的,并且另一对相对边是垂直的 。
定义中的关键词:平行、垂直。
性质
相对边平行
直角梯形的一组对
只有一个直角
直角梯形中只包含一个直角。
面积计算
面积公式
上底
下底
高
面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。
直角梯形在生活中的应用
楼梯设计
直角梯形可以作为楼梯的形状 ,利用其斜边作为踏步,提供 平稳的上下楼梯体验。
斜坡
直角梯形可以作为斜坡的形状 ,用于车辆或人员上下坡的通 道。
排水系统
在排水设计中,直角梯形可以 用于设计沟渠和下水道,以实 现顺畅的排水效果。
等腰梯形与直角梯形的综合应用
01
02
03
机械零件
梯形知识点及典型例题

一、相关概念定理1.定义:四边形中还有一类特殊的四边形,它们的一组对边平行而另一组对边不平行,这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类:等腰梯形和直角梯形.A B C D A B C D A D B C ⎫⇒⎬⎭∥ 叫做梯形. C B A D底角腰底高2.等腰梯形A B C D A D B C A D B C ⎫⎪=⇒⎬⎪⎭∥峛.A B C D D A B C B AA D CBCD A C B D∠=∠∠=∠=是等腰梯形,,, B CA D3. 直角梯形A B C D C B A B A B CD A D B C ⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭∥ 是直角梯形. CA B D4.平行线等分线段定理1234l l l l A B B C C D⎫⇒⎬==⎭∥∥∥11111A B B C C D ==.l 4l 3l 2l1D 1C 1B 1A 1DC B A5.中位线定理⑴ 三角形中位线定理 ABC ∆中:1122AM BM MN BC MN BC AN CN =⎫⇒=⎬=⎭∥,. BN C MA⑵ 梯形中位线定理 梯形ABCD 中:梯形AB CD AM DM BN CN ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭∥()12MN AB CD MN AB CD =+∥∥,B NC A MD二、等腰梯形1. 等腰梯形的性质①等腰梯形同一底边上的两个角相等; ②等腰梯形的两条对角线相等.③等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,底边的垂直平分线是它的对称轴;2. 等腰梯形的判定①同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形. ②对角线相等的梯形是等腰梯形.三、梯形中常见的辅助线我们可以看到,梯形本身的性质并不多,所以实际解梯形的问题时,往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形,三角形是最简单的直线形,而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.1. 作梯形的高:一般是过梯形的一个顶点作高,其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形,从而可以用勾股定理,如果过梯形的两个顶点分别作高,则会出现矩形.2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线:这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形,这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中,并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差,从而将问题集中到三角形中.3. 延长梯形的两腰交于一点:这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线:可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边:可以将梯形等积变换成一个三角形. 常见的辅助线添加方式如下:梯形中的辅助线较多,其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理.解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线.1、掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等有关概念,并了解它们之间的关系.2、探索等腰梯形的有关性质和常用判别方法,并能运用它们进行有关的证明和计算.3、通过对梯形辅助线的探索,学会将未知问题转化为已知问题,培养化归意识.一、特殊梯形的性质和判定【例1】 已知: 如图, 在梯形ABCD 中,AD BC ∥, AB CD =, E 是底边BC 的中点, 连接AE DE ,. 求证:ADE ∆是等腰三角形.DE CAB【例2】 如图,等腰梯形ABCD 中,AB CD ∥,60DAB ∠=︒,AC 平分DAB ∠,且AC =则梯形ABCD 的周长等于________.DCBA【例3】 如图,在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥,BC =4AD=,B ∠=45°.直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动,一直角边始终经过点A ,斜边与CD 交于点F .若ABE △为等腰三角形,则CF 的长等于 .【例4】 如图,某校有一呈梯形状的运动场,现只测量出CDE ∆的面积为m ,ABE ∆的面积为n ,则梯形状运动场的面积为【例5】 如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 相交于点O ,以下四个结论:①DCB ABC ∠=∠ ,②OA =OD ,③BDC BCD ∠=∠,④S AOB ∆=S DOC ∆,其中正确的是( )A .①②B .①④C .②③④D .①②④ODCBA【例6】 有一水库大坝的横截面是梯形ABCD ,AD BC ∥,EF 为水库的水面,点E 在DC 上,某课题小组在老师的带领下想测量水的深度,他们测得背水坡AB 的长为12米,迎水坡上DE 的长为2米,135120BAD ADC ∠=︒∠=︒,,求水深.(精确到0.11.414 1.73=)【例7】 在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥, 3cm 4cm 60AD AB B ==∠=︒,, , 则下底BC 的长为 cm .【例8】 如图,在直角ABC ∆中, 90ABC ∠=︒,60C ∠=︒,2BC =,D 为AC 的中点,从D 作DE AC⊥与CB 的延长线相交于E ,以AB 、BE 为邻边作长方形ABEF ,连接DF ,则DF 的长为_________.ABC DEF【例9】 如图,在梯形ABCD 中,AD BC AB AD DC AC AB ==⊥∥,,,延长CB 至F ,使BF CD =.⑴求ABC ∠的度数⑵求证:CAF ∆为等腰三角形。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明(最全)word资料

等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明西麓中学吴九成教学目标:知识目标:理解和掌握等腰梯形的性质定理的内容及简单的应用;能力目标:通过动手操作,探索等腰梯形的性质及其证明方法,初步培养学生探索问题和研究问题的能力;情感目标:营造一个相互协作的课堂气氛,引领学生自主探究、集体讨论,激发学生的学习热情;教学重点与难点:1、等腰梯形性质的探究及证明;2、等腰梯形性质定理的简单应用。
教学过程:1、复习旧知,引入新课填空(1)的四边形是平行四边形;(2)的四边形是平行四边形;(3)的四边形是平行四边形;(4)的四边形是平行四边形;(5)的四边形是平行四边形;(6)一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形;用举反例的方法举出有一组对边平行,一组对边相等但并不是平行四边形的图形即等腰梯形,从而由这个错误的判定引出梯形、等腰梯形、直角梯形的定义;我们这节课就来研究等腰梯形的性质。
2、自主探索、提出猜想把学生分成以四个人一组的若干小组,提供给每个小组一个等腰梯形的模型,让同学们用各种数学工具通过各种数学方法,如翻折、旋转等来探索等腰梯形有哪些性质?同学们可能会得出下面一些结论:(1)两腰相等;(2)两个底角相等;(3)等腰梯形是轴对称图形,不是中心对称图形;(4)两条对角线相等;…………结论(1)由等腰梯形的定义可以得到而不用证明;结论(2)的证明探索:的两种思路:)一是把两个角转化到同一个三角形中,用“等边对等角C二是把两个角转化到两个全等三角形中,用“全等三角形的对应角相等”证明;完善结论后得到:等腰梯形的性质定理 等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。
结论(3):观察翻折、旋转的动画演示后,由轴对称图形和中心对称图形的定义可以直接得到:等腰梯形是轴对称图形,经过两底中点的直线是它的对称轴。
等腰梯形不是中心对称图形!结论(4)的证明可以让学生独立完成,请一个同学上黑板板书,其他同学自己在课堂练习本上完成。
梯形知识点总结

梯形知识点总结【篇一:梯形知识点总结】1.定义:只有一组对边平行的四边形叫做梯形.两腰相等的梯形叫做等腰梯形;有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.分类:梯形分为一般梯形和特殊梯形,特殊梯形包括等腰梯形和直角梯形.等腰梯形:(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形。
(2)性质:等腰梯形的腰相等,同一底上的两个内角相等,等腰梯形的对角线相等。
(3)判定方法:①两腰相等的梯形是等腰梯形;②同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;③对角线相等的梯形是等腰梯形.二、三角形、梯形的中位线:三角形中位线(1)定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(2)定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
梯形中位线(1)定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
(2)定理:梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
三、研究梯形问题的主要方法:将梯形问题通过作辅助线转化成三角形、平行四边形或矩形来解决。
与些同时,学生应当理解并掌握梯形常用的七种辅助线:1.平移一腰;2.过顶点作高;3.平行一条对角线;4.延长两腰相交于一点;5.过一腰中点和顶点作直线;6.过一腰的中点作另一腰的平行线;7.作梯形的中位线。
常见考法(1)考查梯形的有关概念,梯形的一些有关计算(如求梯形的角、高以及面积);(2)考查梯形中位线、梯形的对角线,以及梯形的常见辅助线的添法;(3)有关梯形的拼图问题以及梯形为背景的实际问题在段考、中考中也有体现。
误区提醒(1)误认为梯形只有等腰梯形与直角梯形两种,而实质上这两种只是梯形的一个特殊情况;(2)对等腰梯形判定定理把握不准,忽视了同一底这一前提条件。
【典型例题】(2010年安徽省模拟)如图,在梯形abcd中ad//bc,bd=cd,且abc为锐角,若ad=4 ,bc=12,e为bc上的一点,当ce分别为何值时,四边形abed是等腰梯形?直角梯形?写出你的结论,并加以证明。
解:当ce=4时,四边形abcd是等腰梯形在bc上截取ce=ad,连接de、ae.又∵ad//bc, 四边形aecd是平行四边形ae=cd=bd∵be=12-4=8>4, 即be>adab不平行于de 四边形abed是梯形在△abe和△deb中ae=db, aeb= dbe,be=eb△abe≌△deb(sas) , ab=de四边形abed是等腰梯形当ce=6,四边形abed是直角梯形在bc上取一点e,使得ec=be=bc=6,连接de,∵bd=cd, de bc又∵be ad,ad//be, ab不平行于de四边形abde是直角梯形。
梯形

梯形导读:本文是关于梯形,希望能帮助到您!教学建议知识结构梯形知识归纳1.梯形的定义及其有关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.平行的两边叫做梯形的底,其中长边叫下底;不平行的两边叫腰;两底间的距离叫梯形的高.一腰垂直于底的梯形叫直角梯形,两腰相等的梯形叫等腰梯形.2.梯形的性质及其判定梯形是特殊的四边形,它具有四边形所具有的一切性质,此外它的上下两底平行.一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形,但要判断另一组对边不平行比较困难,一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断.3.等腰梯形的性质和判定性质:等腰梯形在同一底上的两个角相等,两腰相等,两底平行,两对角钱相等,是轴对称图形,只有一条对称轴,底的中垂线就是它的对称轴.判定:两腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;对角钱相等的梯形是等腰梯形.梯形重难点分析本节的重点是等腰梯形的性质和判定.梯形仍是具有特殊条件的四边形,它与平行四边形同属于特殊的四边形,它只有一组对边平行,而另一组对边不平行,但平行四边形两组对边分别平行.而等腰梯形又是特殊的梯形,它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性.本节的难点也是等腰梯形的性质和判定.由于等腰梯形又是特殊的梯形,它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性,虽然学生在小学时已经接触过等腰梯形,在认识和理解上有一定的基础,但还是容易同特殊的平行四边形混淆,再加上梯形问题往往要转化成平行四边形和三角形来处理,经常需要添加辅助线,学生难免会有无从下手的感觉,往往会有对题目一讲就明白但自己不会分析解答的情况发生,教师在教学中要加以注意.梯形的教学建议1.关于梯形的引入生活中有许多梯形的例子,小学又接触过梯形内容,学生对梯形并不陌生,梯形的引入可从下面几个角度考虑:①从生活实例引入,如防洪堤坝、飞机机翼,别致窗户、音箱外形等等;②从小学学习过的旧知识复习引入;③从发现的角度引入,比如给出一组图形,告诉学生这就是梯形,然后寻找这些图形的共同点,根据共同点对梯形进行定义以及性质、判定的研究;④可用问题式引入,开始时设计一系列与梯形概念相关的问题由学生进行思考、研究,然后给出梯形的定义和性质.2.关于梯形的概念梯形的相关概念小学就已经接触过,但并不深入,在研究梯形的概念时可设计如下问题加深对梯形相关概念的理解:①一组对边平行的四边形是不是梯形?②一组对边平行一组对边相等的图形是不是梯形?③一组对边相等的图形是不是梯形?④一组对边相等一组对边不相等的图形是不是梯形?⑤对角线相等的图形是不是梯形?⑥有两个角是直角的梯形是不是直角梯形?⑦两个角相等的梯形是不是等腰梯形?⑧对角线相等的梯形是不是等腰梯形?一、教学目标1. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念.2. 掌握等腰梯形的两个性质:等腰梯形同一底上的两个角相等;两条对角线相等.3. 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算,进一步培养学生的分析能力和计算能力.4. 通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题,使学生体会图形变换的方法和转化的思想二、教法设计小组讨论,引导发现、练习巩固三、重点、难点1.教学重点:等腰梯形性质.2.教学难点:解决梯形问题的基本方法(将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线).四、课时安排1课时五、教具学具准备多媒体,小黑板,常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入,学生阅读课本;学生在教师引导下探索等腰梯形的性质,归纳小结梯形转化的常见的辅助线七、教学步骤【复习提问】1.什么样的四边形是平行四边形?平行四边形有什么性质?2.小学学过的梯形是什么样的四边形.(让学生动手画一个梯形,并找3名同学到黑板上来画,并指出上、下底和腰,然后由学生总结出梯形的概念).【引入新课】(板书课题)梯形同样是一个特殊的四边形,与平行四边形一样,它也有它的特殊性,今天我们就重点来研究这个问题.1.梯形及梯形的有关概念(l)梯形:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(2)底:平行的一组对边叫做梯形的底(通常把较短的底叫上底,较长的底叫下底).(3)腰:不平行的一组对边叫做梯形的腰.(4)高:两底间的距离叫做梯形高.(5)直角梯形:一腰垂直于底的梯形.(6)等腰梯形:两腰相等的梯形.(以上这一过程借助多媒体或投影仪演示)提醒学在注意:①梯形与平行四边形同属于特殊的四边形,因为它们具有不同的特殊条件,所以必然有不同的性质.②平行四边形的对边平行且相等,而梯形中,平行的一组对边不能相等(让学生想一想,为什么不能相等).③上、下底的概念是由底的长短来定义的,而并不是指位置来说的.2.等腰梯形的性质例1 如图,在梯形中,,,求证:.分析:我们学过“等腰三角形两底角相等”,如果能将等腰梯形在同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角,问题就容易解决了.证明:(略)由此得出等旧梯形的性质定理:等腰梯形在同一高上的两个角相等.例2 如图,求证:等腰梯形的两条对角线相等.已知:在梯形中,,,求证:.分析:要证,只要用等腰梯形的性质定理得出,然后再利用,即可得出.证明过程:(略).由此得到多腰梯形的第一条性质:等腰梯形的两条对角线相等.除此之外,等腰梯形还是轴对称图形,对称轴是过两底中点的直线.3.解决梯形问题常用的方法在证明梯形性质定理时,我们采取的方法是过点作交于,从而把梯形问题转化成三角形来解,实质上是相当于把采取平行移动到的位置,这种方法叫做平行移动(也可移对角线),这是解决梯形问题常用的方法之—(让学生想一想,还可以用什么样的方法作辅助线来解决梯形问题,多找几名学生回答,然后教师总结,可借助多媒体演示见图).(1)“作高”:使两腰在两个直角三角形中.(2)“移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中.(3)“延腰”:构造具有公共角的两个等腰三角形.(4)“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形.综上所述:解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线,把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决.【总结、扩展】小结:(以提问的方式总结)(1)梯形的有关概念.(2)梯形性质(①-③).(3)解决梯形问题的基本思想和方法.(4)解决梯形问题时,常用的几种辅助线.八、布置作业教材P179中2、3、4九、板书设计十、随堂练习教材P176中1、3。
小学五年级数学知识点:梯形知识点

小学五年级数学知识点:梯形知识点知识点对朋友们的学习专门重要,大伙儿一定要认真把握,我们为大伙儿整理了梯形知识点,让我们一起学习,一起进步吧!梯形的面积=(上底+下底)x高÷2用字母表示:S=(a+b)h÷21.定义:只有一组对边平行的四边形叫做梯形.两腰相等的梯形叫做等腰梯形;有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.2.分类:梯形分为一样梯形和专门梯形,专门梯形包括等腰梯形和直角梯形.3.等腰梯形:(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形。
(2)性质:等腰梯形的腰相等,同一底上的两个内角相等,等腰梯形的对角线相等。
(3)判定方法:①两腰相等的梯形是等腰梯形;②同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;③对角线相等的梯形是等腰梯形.【练习题】(1)13.6公顷=( )平方米67000平方米=( )公顷650平方厘米=( )平方分米0.48平方米=( )平方分米4.8平方米=( )平方分米62平方厘米=( )平方分米1.2公顷=( )平方米1.2平方千米=( )公顷650平方分米=( )平方米35000平方米=( )公顷(2)两个( )的梯形能够拼成一个平行四边形,那个平行四边形的底等于宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。
事实上“教谕”在明清时还有学官一意,即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间,专门是汉代以后,关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合,比如书院、皇室,也称教师为“院长、西席、讲席”等。
宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。
有关梯形的概念等腰梯形的性质判定及应用

有关梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及应用一. 教学内容:梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及中位线的应用 二. 重点、难点重点:等腰梯形的性质与判定定理。
难点:等腰梯形的性质与判定定理的应用。
三. 具体过程(一)梯形的有关概念1. 梯形:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形 注:(1)梯形是特殊的四边形 (2)有且只有一组对边平行。
2. 梯形中平行的两边叫做梯形的底,短边为上底,长边为下底,与位置无关,不平行的两边叫做梯形的腰,梯形两底之间的距离叫做梯形的高,它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。
3. 梯形的分类梯形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形(1)直角梯形:有一个角为直角的梯形为直角梯形(2)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形 (二)梯形的性质 1. 一般梯形的性质 在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,则∠A+∠B=︒180,∠C+∠D=︒180 2. 直角梯形具有的特征 在直角梯形ABCD 中,若AD ∥BC ,∠B=︒90,则∠A=︒90,∠C+∠D=︒180 3. 等腰梯形具有的性质 (1)等腰梯形同一底上的两个内角相等(2)等腰梯形的两条对角线相等(3)等腰梯形是轴对称图形,但不是中心对称图形,等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。
4. 等腰梯形的判定 (1)利用定义: (2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 (3)对角线相等的梯形是等腰梯形二梯形题目的转化策略常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化,变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形.【例1】已知:如图2,在梯形ABCD中,.求证:.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求EF .2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题.【例3】.如图,在梯形中, , ,梯形的面积与梯形的面积相等.求证: .3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形.然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题.【例4】.如图,在梯形中,.求证:.4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决.【例5】.如图,等腰梯形中, , ,且 ,是高,是中位线,求证:.【例6】.已知:如图,在梯形中, .求证:梯形是等腰梯形.5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题.【例7】.已知:如图4,在梯形中,是的中点,且 .求证:..【例8】.已知:梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且AD+BC=DC , 求证:DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.证法2:延长CE与DA延长线交于一点F,过程略.证法3:在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、EF解决.6.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.【例9】.已知:如图5,在梯形ABCD 中, M、N分别是BD 、AC 的中点.求证:.取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形.【例10】.如图,梯形中, ,、分别平分和 ,为中点,求证:.分析:要证明 ,可以利用为中点,延长与的延长线交于 ,,得到,再证明即可..【例11】.已知:如图,在梯形中,是CD的中点.求证:..说明:在图5中,相当于由绕点E旋转得到;在图6中,是由绕点E旋转得到.【例12】.如图,梯形中, ,为腰的中点,求证:.巩固练习例1. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,对角线AC 平分∠BAD ,∠B ︒=60,CD=2cm ,则梯形ABCD 的面积为A. 2cm 33B. 2cm 6C. 2cm 36D. 2cm 12例2. 如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,点E 是AD 延长线上一点,DE=BC ,(1)求证:∠E=∠DBC (2)判断△ACE 的形状例3. 如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD=1,BC=4,AC=3,BD=4,求ABCD S 梯形。
等腰梯形及直角梯形

证明:过点D作DE∥AB,交BC于点E
∵AD∥BC ∴AD∥BE 又∵DE∥AB ∴四边形ABED是平行四边形 你还有其它方法吗? ∴AB=DE
又AB=CD
B ∵DE∥AB ∴∠B=∠DEC ∴∠B=∠C ∵AD∥BC
E
C
∴DE=CD ∴∠DEC=∠C
∴∠A+∠B=180°,∠ADC+∠C=180° ∴∠A=∠ADC
练 习 4
已知:如图,四边形 是等腰梯形, 已知:如图,四边形ABCD是等腰梯形,AD=BC, 是等腰梯形 , AD=5,CD=2,AB=8,求梯形 的面积. , , ,求梯形ABCD的面积. 的面积 D C A D
A
C E B F 已知:如图,等腰梯形ABCD,AD∥BC,对角线 已知:如图,等腰梯形 , ∥ , AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm. 求梯形的面积. ⊥ , , . 求梯形的面积. E F
梯
形
——等腰梯形与直角梯形 ——等腰梯形与直角梯形
梯形与我们以前学过的平行四边形有哪些相同点和不同点?
平行四边形
相同点: 它们都是四边形,都有一组对边 平行 梯形只有一组对边平行,而平行 不同点: 四边形有两组对边平行
梯形的定义: 一组对边平行,另一组对边不平行 的四边形叫做梯形
A
上底
D
腰
B
腰 下底
1、等腰梯形同一底上的两个角相等
如图,四边形ABCD是等腰梯 形,AD∥BC,AB=DC. 求证:∠B=∠C,∠A=∠D 分析:作高AE,DF
B A D
E
F
C
等腰梯形的两条对角线相等. 等腰梯形的两条对角线相等.
已知:在等腰梯形ABCD中 AD∥BC,AB=DC, 已知:在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC, ABCD 求证: 求证:AC=BD D A
认识梯形及各部分名称;等腰、直角梯形精品课件

认识梯形及各部分名称;等腰、直角梯形精品课件一、教学内容本节课,我们将在教材第十章第一节中,深入认识梯形及其各部分名称。
具体内容包括梯形定义、分类,特别是等腰梯形和直角梯形特点和性质。
我们将通过具体例题和随堂练习,让学生在实际操作中掌握梯形辨识和应用。
二、教学目标1. 理解并掌握梯形定义,能够识别不同类型梯形。
2. 学会区分等腰梯形和直角梯形,解它们性质。
3. 能够运用梯形性质解决实际问题。
三、教学难点与重点重点:梯形定义和性质,等腰梯形与直角梯形辨识。
难点:如何将梯形性质应用于解题过程中。
四、教具与学具准备1. 教具:梯形模型、多媒体课件、黑板。
2. 学具:直尺、量角器、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入:通过展示生活中梯形实例,如梯子、桥梁等,引发学生对梯形直观认识。
分组讨论:让学生举例说明生活中梯形,并讨论其特点。
2. 例题讲解:展示等腰梯形和直角梯形例子,引导学生观察其特征。
通过梯形模型和多媒体课件,讲解等腰梯形和直角梯形性质。
3. 随堂练习:让学生运用直尺和量角器,在练习本上绘制等腰梯形和直角梯形。
指导学生通过计算和观察,验证梯形性质。
4. 知识巩固:通过选取一些典型题目,让学生在黑板上解题,检验他们对梯形性质理解。
针对学生解答,进行点评和指导,纠正错误,强化正确解题思路。
六、板书设计1. 梯形定义和分类。
2. 等腰梯形和直角梯形性质。
3. 典型题目解答步骤。
4. 解题中需要注意要点。
七、作业设计1. 作业题目:绘制一个等腰梯形和一个直角梯形,并标出各部分名称。
(1)上底为5cm,下底为12cm,高为7cm等腰梯形。
(2)上底为8cm,下底为10cm,高为6cm直角梯形。
2. 答案:面积计算公式:梯形面积 = (上底 + 下底) × 高÷ 2。
周长计算:等腰梯形周长 = 上底 + 下底+ 2 × 等腰腰长;直角梯形周长 = 上底 + 下底 + 斜边长。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明

1.5梯形(1)枳沟初中袁法红知识目标:1掌握梯形的有关定义;2理解和掌握等腰梯形的性质定理的内容及简单的应用能力目标:通过动手操作,探索等腰梯形的性质及其证明方法,初步培养学生探索问题和研究问题的能力;情感目标:营造一个相互协作的课堂气氛,引领学生自主探究、集体讨论,激发学生的学习热情;教学重点与难点:1、等腰梯形性质的探究及证明;2、等腰梯形性质定理的简单应用。
教学过程:一、课前延伸填空(1)的四边形是平行四边形;(2)的四边形是平行四边形;(3)的四边形是平行四边形;(4)的四边形是平行四边形;(5)的四边形是平行四边形;(6)一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形;用举反例的方法举出有一组对边平行,一组对边相等但并不是平行四边形的图形即等腰梯形,从而由这个错误的判定引出梯形、等腰梯形、直角梯形的定义;我们这节课就来研究等腰梯形的性质。
二、课内探究(一)动手操作、自主探究把学生分成以四个人一组的若干小组,提供给每个小组一个等腰梯形的模型,让同学们用各种数学工具通过各种数学方法,如翻折、旋转等来探索等腰梯形有哪些性质?同学们可能会得出下面一些结论:(1)两腰相等;(2)两个底角相等;(3)等腰梯形是轴对称图形,不是中心对称图形;(4)两条对角线相等;…………(二)合作交流、共同论证(三)精讲点拨CE C(四)巩固检测1、有效训练2、课堂小结通过本节课的学习:我掌握了:一个定理…我学会了:一种数学方法…我经历了:一次探索研究…我发现了:…解决梯形问题常用的方法(1)“移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中.(2)“延腰”:构造具有公共角的两个等腰三角形.……………三、课后提升(分层作业,自主发展)1、配套练习册2、思考题:你能把上底与两腰的长度都为2,下底为4的等腰梯形(如下图)分成四个全等的等腰梯形吗?C(3)分别延长、交于点,则与都是等腰三角形,所以可得.由此我们想到梯形的性质定理:等腰梯形在同一高上的两个角相等.例2 如图,求证:等腰梯形的两条对角线相等.已知:在梯形中,,,求证:.分析:要证,只要用等腰梯形的性质定理得出,然后再利用,即可得出.解决梯形问题常用的方法在证明梯形性质定理时,我们采取的方法是过点作交于,从而把梯形问题转化成三角形来解,实质上是相当于把采取平行移动到的位置,这种方法叫做平行移动(也可移对角线),这是解决梯形问题常用的方法之—(1)“作高”:使两腰在两个直角三角形中.(2)“移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中.(3)“延腰”:构造具有公共角的两个等腰三角形.(4)“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形.二是把两个角转化到两个全等三角形中,用“全等三角形的对应角相等”证明; 完善结论后得到:等腰梯形的性质定理 等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。
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1 2
AO·BD
S△BCD=12 CO·BD
• S梯形ABCD=S△ABD+S△BCD
A
D
•
=1
2
AO·BD+ 1
2
CO·BD
O
•
= 1(AO+CO)·BD
B
C
•
2
即S梯形ABCD=
1 2
AC·BD=
1 2
×4×3.4=6.8
• 答:梯形的面积为6.8。
• 误点剖析 要注意灵活应用梯形面积的求 法。
C
• ∴BM=CM
• 误点剖析:对等腰梯形的定义理解不深刻, 只认为是判定用,因而得不出AB=CD,故 本题的证明难于着手。
• 评注:等腰梯形是轴对称图形,本题也可 利用轴对称的性质来解。
• 本题中题设AB=DC与结论BM=CM交换,其 他条件不变,命题仍成立。
• 例3. 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD
1 2
12(AB+CD)×AE (5+8+ 3 )×3
•A
B
•
DE
= 3 (13 3) 39 3 3
C2
22
F
• 误点剖析 本例的误点就是不能作出辅助线 AE与BF,因此,能否利用过上底的端点向下 底作垂线,将梯形分割为一个矩形和两个直 角三角形是问题获解的关键。
• 评注:作梯形的高构造直角三角形,再利 用勾股定理求出有关线段的长度,这是常 见的题型。
• 例8. 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A +∠B=90°,E、F分别是AB、CD的中
D EC
• 点,求证EF= 1(AB-CD)
2
A
12
B
M FN
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知识点:梯形、等腰梯形、直角梯形等概念,等腰梯形的有关计算与证明(1)(2008年山东省潍坊市)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,则∠C=( C )A.80°B.70°C.75°D.60°(2)(2008年浙江省绍兴市)如图,沿虚线将剪开,则得到的四边形是(A )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形(3)(2008山东东营)如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD,DA运动至点A停止.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是(D )A.10B.16C.18D.20(4)(2008湖北襄樊)顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是(D )A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形(5)(2008浙江义乌)如图,直角梯形纸片ABCD,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,点E、F分别在线段AB、AD上,将△AEF沿EF翻折,点A的落点记为P.(1)当AE=5,P落在线段CD上时,PD= 2 ;(2)当P落在直角梯形ABCD内部时,PD的最小值等于:.(6)(2008桂林市)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AC⊥BD,AD=6,BC=8,则梯形的高为7。
(7)(2008年陕西省)如图,梯形中,,,且,分别以为边向梯形外作正方形,其面积分别为,则之间的关系是:.(8)(2008泰安) 若等腰梯形的上、下底之和为4,并且两条对角线所夹锐角为,则该等腰梯形的面积为:(结果保留根号的形式).(9)(2008 河南实验区)某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图),各边的中点分别是E、F、G、H,用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm,则对角线AC= 20 cm(10)(2008山西太原)在梯形ABCD中,,AB=DC=3,沿对角线BD翻折梯形ABCD,若点A恰好落在下底BC的中点E处,则梯形的周长为15 。
(11)(2008江苏盐城)梯形的中位线长为3,高为2,则该梯形的面积为 6 .(12)(08山东省日照市)在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点.求证:CE⊥BE.证明: 过点C作CF⊥AB,垂足为F∵在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,∴∠D=∠A=∠CF A=90°∴四边形AFCD是矩形AD=CF, BF=AB-AF=1在R t△BCF中,CF2=BC2-BF2=8,∴CF=.∴AD=CF=∵E是AD中点,∴DE=AE=AD=在R t△ABE和R t△DEC中,EB2=AE2+AB2=6,EC2= DE2+CD2=3,EB2+ EC2=9=BC2.∴∠CEB=90°∴EB⊥EC(13)(2008山东威海)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.(1)求梯形ABCD的面积;(2)求四边形MEFN面积的最大值.(3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.解:(1)分别过D,C两点作DG⊥AB于点G,CH⊥AB于点H.∵AB∥CD,∴DG=CH,DG∥CH∴四边形DGHC为矩形,GH=CD=1∵DG=CH,AD=BC,∠AGD=∠BHC=90°∴△AGD≌△BHC(HL).∴AG=BH==3∵在Rt△AGD中,AG=3,AD=5∴DG=4.∴(2)∵MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB∴ME=NF,ME∥NF∴四边形MEFN为矩形∵AB∥CD,AD=BC∴∠A=∠B∵ME=NF,∠MEA=∠NFB=90°∴△MEA≌△NFB(AAS)∴AE=BF.设AE=x,则EF=7-2x∵∠A=∠A,∠MEA=∠DGA=90°∴△MEA∽△DGA∴∴ME=∴当x=时,ME=<4,∴四边形MEFN面积的最大值为(3)能由(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=若四边形MEFN为正方形,则ME=EF即7-2x.解,得∴EF=<4∴四边形MEFN能为正方形,其面积为(14)(2008年四川巴中市)已知:如图9,梯形中,,点是的中点,的延长线与的延长线相交于点.(1)求证:.(2)连结,判断四边形的形状,并证明你的结论.(1)证明:点是中点又,在延长线上,,在与中(2)四边形是平行四边形.理由如下,四边形是平行四边形.(15)(2008年成都市) 已知:在梯形ABCD中,AD∥BC,AB = DC,E、F分别是AB和BC边上的点.(1)如图①,以EF为对称轴翻折梯形ABCD,使点B与点D重合,且DF⊥BC.若AD =4,BC=8,求梯形ABCD的面积的值;(2)如图②,连接EF并延长与DC的延长线交于点G,如果FG=k·EF(k为正数),试猜想BE与CG有何数量关系?写出你的结论并证明之.解:由题意,有△BEF≌△DEF∴BF=DF如图,过点A作AG⊥BG于点G则四边形AGFD是矩形∴AG=DF,GF=AD=4在Rt△ABG和Rt△DCF中∵AB=DC,AG=DF∴Rt△ABG≌Rt△DCF (HL)∴BG=CF∴BG===2∴DF=BF=BG+GF=2+4=6∴S梯形ABCD=(2)猜想:CG=(或)证明:如图,过点E作EH∥CG,交BC于点H则∠FEH=∠FGC又∠EFH=∠GFC∴△EFH∽△GFC∴而FG=k EF,即∴即∵EH∥CG, ∴∠EHB=∠DCB.而ABCD是等腰梯形,∴∠B=∠DCB.∴∠B=∠EHB.∴BE=EH∴CG=(16)(2008年乐山市) 题甲:如图(13),梯形ABCD中,AD∥BC,点E是边AD的中点,连结BE交AC于点F,BE的延长线交CD的延长线于点G。
(1)求证:(2)若GE=2,BF=3,求线段BF的长(1)证明:又(2)解:由(1)知,设,则,则有即,解得:或,经检验,或都是原方程的根,但不合题意,舍去.故的长为1(17)(2008年江苏省苏州市)如图,在等腰梯形中,,,,.动点从点出发沿以每秒1个单位的速度向终点运动,动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动.两点同时出发,当点到达点时,点随之停止运动.(1)梯形的面积等于;(2)当时,点离开点的时间等于秒;(3)当三点构成直角三角形时,点离开点多少时间?解:(1)36;(2)秒;(3)当三点构成直角三角形时,有两种情况:①当时,设点离开点秒,作于,.,,.当时,点离开点秒.②当时,设点离开点秒,,.....当时,点离开点秒.由①②知,当三点构成直角三角形时,点离开点秒或秒(18)(2008年江苏省连云港市)如图,在直角梯形纸片中,,,,将纸片沿过点的直线折叠,使点落在边上的点处,折痕为.连接并展开纸片.(1)求证:四边形是正方形;(2)取线段的中点,连接,如果,试说明四边形是等腰梯形.证明:(1),,由沿折叠后与重合,知,四边形是矩形,且邻边相等四边形是正方形(2),且,四边形是梯形四边形是正方形,,又点为的中点,.连接在与中,,,,,,,四边形是平行四边形....四边形是等腰梯形注:第(2)小题也可过点作,垂足为点,证(19)(2008广东深圳)如图5,在梯形ABCD中,AB∥DC,DB平分∠ADC,过点A作AE∥BD,交CD的延长线于点E,且∠C=2∠E.(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形.(2)若∠BDC=30°,AD=5,求CD的长.(1)证明:∵AE∥BD, ∴∠E=∠BDC∵DB平分∠ADC ∴∠ADC=2∠BDC又∵∠C=2∠E∴∠ADC=∠BCD∴梯形ABCD是等腰梯形(2)解:由第(1)问,得∠C=2∠E=2∠BDC=60°,且BC=AD=5 ∵在△BCD中,∠C=60°, ∠BDC=30°∴∠DBC=90°∴DC=2BC=10(20)(2008年湖南省邵阳市)学生在讨论命题:“如图(十二),梯形中,,,则.”的证明方法时,提出了如下三种思路.思路1:过一个顶点作另一腰的平行线,转化为等腰三角形和平行四边形;思路2:过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线,转化为直角三角形和矩形;思路3:延长两腰相交于一点,转化为等腰三角形.请你结合以上思路,用适当的方法证明该命题.解:过点作交于点,,又,四边形为平行四边形,.(答案不唯一)(21)(2008广州市)如图7,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E,求证:四边形AECD是等腰梯形.提示:得,由DC//AE,AD不平行CE得证。