北师大版八年级下第一章-三角形的证明练习题--培优训练
北师大版八年级下册数学第一章《三角形的证明》练习题精选汇编(含答案)
北师大版八年级下册数学第一章《三角形的证明》练习题精选汇编一、单选题1．若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．8或102．在ABC 中，若3,5,AB BC AC === ）A ．ABC 是锐角三角形B ．ABC 是直角三角形且90C ∠=︒ C ．ABC 是钝角三角形D ．ABC 是直角三角形且90B ∠=︒3．如图，用尺规作()Rt ABC AB AC >斜边BC 的垂直平分线，其中A Rt ∠=∠，现有以下结论： ①CD AD AB +=；①ADC EDC ≌；①ACD DBC ∠=∠；①290BCD ACD ∠+∠=︒．其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①4．如图所示，O 为直线AB 上一点，OC 平分①AOE ，①DOE =90°，则①①AOD 与①BOE 互为余角；①OD 平分①COA ；①若①BOE =56°40'，则①COE =61°40'；①①BOE =2①COD ．结论正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，ABC 中4AB cm =，5AC cm =，6BC cm =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，//DE AB ，C （）．DF AC，则DEF//A．9cm B．6cm C．5cm D．4cm6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）．A．在AC、BC 两边高线的交点处B．在AC、BC 两边垂直平分线的交点处C．在AC、BC 两边中线的交点处D．在①A、①B两内角平分线的交点处7．如图，①ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，且①DAE＝20°，则①BAC＝（）A．100°B．120°C．150°D．160°8．如图，在①ABC中，AB=AC，①BAC=60°，BC=2，AD①BC于D，点F是AB的中点，点E在AD边上，则BE+EF的最小值是( )A ．1BC ．2D 9．如图，在等腰Rt①ABC ，90ABC ∠=︒，O 是ABC 内一点，10OA =，OB =6OC =，O '为ABC 外一点，且CBO ABO '≅△△，则四边形AO BO '的面积为（ ）A ．10B ．16C ．40D ．8010．如图，在①ABC 中，AC=BC ，①ACB=90°，AD 平分①BAC ，BE 平分①ABC ，且AD ，BE 交于点O ，延长AC 至点P ，使CP=CD ，连接BP ，OP ；延长AD 交BP 于点F ．则下列结论：①BP=AD ：①BF=CP ：①AC+CD=AB ：①PO①BE ；①BP=2PF ．其中正确的是（ ）A ．①①①B ．①①①①C ．①①①①D ．①①①①①二、填空题 11．若一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则这个等腰三角形的周长是______cm ．12．如图，在①ABC中，①C＝90°，AD是①BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，AB=10cm,则S①ABD=______．13．如图，等腰①ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BD的垂直平分线交AB于点F，并且恰好经过点C，则①A＝_____°．14．如图，在①ABC中，ED//BC，①ABC和①ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝5，DC＝7，DE＝16，则FG＝_____．15．如图，已知OC是①AOB的平分线，P是OC上一点，PD①OA于点D，PD＝2，则点P到OB 的距离为_____．16．如图，直线3y x =-分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，点()0,1C 在y 轴上，点P 在x 轴上运动，PB +的最小值为_________．三、解答题17．如图：线段AD 与BC 相交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ．求证：OA=OB ．18．如图，①A ＝①B ，AE ＝BE ，点 D 在 AC 边上，①1＝①2，AE 和 BD 相交于点 O ．（1）求证：①AEC①①BED；（2）若①1＝36°，求①BDE 的度数．19．如图，为了丰富群众的娱乐活动，某镇准备新建一个文化娱乐站，要求娱乐站到三个村A、B、C的距离相等，请你用尺规作图的方法确定娱乐站的位置（不写作法，保留作图痕迹）20．如图，①ABC中，①ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF．求证：(1)DE=DF；(2)①EDF=90°．21．如图，在①ABC中，AB=AC，①B=40°，点D在线段BC(不含端点B、C上运动)，连接AD，作①ADE=40°，DE与线段AC相交于点E．(1)当①BDA=120°时，求①DEC的度数；(2)当CD=BA时，说明①ABD①①DCE；(3)在运动变化过程中，是否存在点D，使①ADE是等腰三角形，若存在，请求出①BDA的度数；若不存在，说明理由．22．如图1，平面直角坐标系中，直线34y x m =-+交x 轴于点(4,0)A ，交y 轴正半轴于点B ，直线AC 交y 轴负半轴于点C ，且BC AB =．（1）求ABC 的面积．（2）P 为线段．．AB （不含A ，B 两点）上一动点．①如图2，过点P 作y 轴的平行线交线段AC 于点Q ，记四边形APOQ 的面积为S ，点P 的横坐标为t ，当152S =时，求t 的值． ①M 为线段BA 延长线上一点，且AM BP =，在直线AC 上是否存在点N ，使得PMN 是以PM 为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接．．写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．已知：直线//m n ，点A ，B 分别是直线m ，n 上任意两点，在直线m 上取一点C ，使AC AB =，连接BC ，在直线BC 上任取一点E ，作AEF BAC ∠=∠，EF 交直线n 于点F ．（1）如图，当点E 在线段BC 上，目20BFE ∠=︒时，求BAE ∠的度数．（2）若点E 是线段BC 上任意一点，求证：EF AE =．（3）如图，当点E 在线段BC 的延长线上时，若90BAC ∠=︒，请判断线段EF 与AE 的数量关系，并说明理由．参考答案1．B解：当腰为4时，周长＝4＋4＋2＝10；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； ①这个三角形的周长是 10．2．D①22223534AB BC +=+=，2234AC ==，①222AB BC AC +=，①①ABC 是直角三角形，且①B=90︒．3．D①MN 是BC 的垂直平分线，①BD=CD①BD+AD=AB①CD+AD=AB故①正确；①在三角形ADC 与三角形EDC 中，已知：CD=CD ，A EDC ∠=∠，条件不足，无法证明全等， 故①错误；①①中无法证明全等，①ACD DBC ∠≠∠故①错误，①90B ACB ∠+∠=︒，BD=CD①B DCB ∠=∠①290BCD ACD ∠+∠=︒故①正确，4．B解：90DOE ∠=︒，90COD COE ∴∠+∠=︒，90EOB DOA ∴∠+∠=︒，故①正确； OC 平分AOE ∠，22AOE COE AOC ∴∠=∠=∠；1801802BOE AOE COE ∴∠=︒-∠=︒-∠， 90COD COE ∠=︒-∠，2BOE COD ∴∠=∠，90AOD BOE ∠=︒-∠， 故①不正确，①正确；若5640BOE ∠=︒'，180AOE BOE ∠+∠=︒，11(180)(1805640)614022COE BOE ∴∠=︒-∠=︒-︒'=︒'． 故①正确；∴①①①正确．5．B//DE AB ，//DF AC ，ABD BDE ∴∠=∠，ACD CDF ∠=∠，BD ∴平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，ABD DBE ∴∠=∠，ACD DCF ∠=∠，BDE DBE ∴∠=∠，CDF DCF ∠=∠，BE DE ∴=，CF DF =，DEF C DE EF DF =++BE EF CF =++BC =6cm =．6．B解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 可知超市应建在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处，故选：B ．7．A解：①DM 是线段AB 的垂直平分线，①DA ＝DB ，①①B ＝①DAB ，同理①C ＝①EAC ，①①B ＋①DAB ＋①C ＋①EAC ＋①DAE ＝180°，①①DAB ＋①EAC ＝80°，①①BAC ＝100°，故选：A．8．B解：连接CE，①在①ABC中，AB=AC，①BAC=60°，①①ABC为等边三角形，①AB=BC=2，①AD①BC，①AD垂直平分BC，①CE=BE，根据两点之间线段最短，BE+EF=CE+EF的最小值为CF，连接CF，①点F是AB的中点，①CF①AB，BF=AF=1，在Rt①CFB中，由勾股定理得：CF==即BE+EF，故选：B．．9．C解：如图，连结OO′．①①CBO①①ABO′， ①OB=O′B=42，OC=O′A=10，①OBC=①O′BA ，①①OBC+①OBA=①O′BA+①OBA ，①①O′BO=90°，①O′O 2=OB 2+O′B 2=32+32=64，①O′O=8．在①AOO′中，①OA=6，O′O=8，O′A=10，①OA 2+O′O 2=O′A 2，①①AOO′=90°，①S 四边形AO′BO =S ①AOO′+S ①OBO′=12×6×8+12×42×42=24+16=40． 10．C①AC=BC ，①ACB=①PCD=90°，CP=CD ，①()PBC DAC SAS ≅，则BP=AD ，故①正确；由PBC DAC ≅得①PBC=①DAC ，则90BFA BCP PFA ∠=∠=∠=︒， ①AD 平分①BAC ，①①BAF=①PAF ，BAF PBC ∠=∠∴，假设BF CP =，在BPC △和ABF 中，PBC BAFBCP AFB CP BF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BPC ABF AAS ∴≅，BC AF ∴=，AC BC =，AC AF ∴=，在Rt ACD △中，AD AC >，又AF AD DF AD =+>，AF AD AC ∴>>，与AC AF =相矛盾，则假设不成立，①错误；在APF 与ABF 中，PFA BFAAF AF PAF BAF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①()APF ABF ASA ≅，AB AP AC CP AC CD ∴==+=+，即AC CD AB +=，故①正确；由APF ABF ≅得BF=PF ，则2BP BF PF PF =+=，故①正确；BF PF =，AD 平分①BAC ，∴AF 为BP 的垂直平分线，∴OB=OP ，OBP ∴△为等腰三角形，,90AC BC ACB =∠=︒，45BAC ABC ∴∠=∠=︒， 又AD 平分①BAC ，BE 平分①ABC ，22.5OBC OAC ∴∠=∠=︒，22.5PBC OAC ∴∠=∠=︒，①45PBO PBC CBO ∠=∠+∠=︒，OBP ∴△为等腰直角三角形，且90POB ∠=︒，即PO BE ⊥，故①正确；综上，①①①①正确，11．22解：当4cm 为腰长时，三角形三边为4cm 、4cm 和9cm ， ①4+4＜9，所以不构成三角形，舍去；当9cm 为腰长时，三角形三边为9cm 、9cm 和4cm ， ①9+4＞9，所以可以构成三角形，周长为9+9+4=22cm，故答案为：22．12．15cm2解：过点D作DE①AB于E，①AD是①BAC的角平分线，①C＝90°，DE①AB ①DE=DC，①BC＝8cm，BD＝5cm，①DE=DC=3cm，①S①ABD=12·AB·DE=12×10×3=15(cm2)，故答案为：15cm2．13．36解：连接CD，①DE和CF分别是AC和BD的垂直平分线，①DA＝DC＝BC，①①DCA＝①A，①CDB＝①B，①①CDB＝①DCA+①A＝2①A，①①B＝2①A，①AB＝AC，①①ACB＝①B＝2①A，①①A+①B+①ACB＝180°，①①A+2①A+2①A＝180°①①A＝36°，故答案为：36．14．4解：①ED①BC，①①EGB＝①GBC，①DFC＝①FCB，①①GBC＝①GBE，①FCB＝①FCD，①①EGB＝①EBG，①DCF＝①DFC，①BE＝EG，CD＝DF，①BE＝5，DC＝7，DE＝16，①FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝16﹣5﹣7＝4，15．2解：作PE①OB于E，①OC 是①AOB 的平分线，PD ①OA ，PE ①OB ，①PE ＝PD ＝2，16．4解：过点P 作PD AB ⊥于D ，①直线3y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ， ①()0,3A -，()3,0B ，①3OA OB ==，90AOB ∠=︒AOB ∴是等腰直角三角形①45OAB OBA ∠=∠=︒，①PD AB ⊥，①45DPB ∠=︒，BDP ∴是等腰直角三角形①2DP DB PB ==，2PB PC PB ⎫+=+⎪⎪⎭)PC PD =+≥，当且仅当C ，P ，D PB +取得最小值，此时CD AB ⊥，PC PD +的值最小，最小值等于垂线段CD 的长，此时ACD △是等腰直角三角形， ①()0,1C ，①1OC =，①4AC OA OC =+=，在Rt ACD △中，=2CD AC ∴=①PC PD +的最小值为)PC PD +4=，PB +的最小值为4，故答案为：4．17解：在①ADC 和①BCD 中AC BDAD BC CD DC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，①①ADC①①BCD ，①①ADC=①BCD ，①CO=DO ，①AD=BC ，①AD －DO=BC －CO ，①OA=OB ．18．解：证明：（1）①AE 和BD 相交于点O ， ①①AOD=①BOE ．又在①AOD 和①BOE 中，①A=①B ， ①①BEO=①2．又①①1=①2，①①1=①BEO ，①①AEC=①BED ．在①AEC 和①BED 中，A BAE AE BEC BED∠=∠∠=∠⎧⎪=⎨⎪⎩①①AEC①①BED （ASA ）．（2）①①AEC①①BED ，①EC=ED，①C=①BDE．在①EDC中，①EC=ED，①1=36°，①①C=①EDC=72°，①①BDE=①C=72°．19．解：如图所示，点P为娱乐站所在的位置．【点睛】本题考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．20．证明：（1）①BC＝AC，①BCA＝90°，①①ABC是等腰直角三角形，①D为AB中点，①BD＝CD，CD平分①BCA，CD①AB．①①A＋①ACD＝①ACD＋①FCD＝90°，①①A＝①FCD，在①ADE和①CFD中，AE CF A FCD AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ADE①①CFD （SAS ），①DE ＝DF（2）由（1）知，①ADE①①CFD （SAS ），①①ADE ＝①CDF ．①①ADE ＋①EDC ＝90°，①①CDF ＋①EDC ＝①EDF ＝90°，即①EDF=90°．21．（1）①①B=40°，①ADB=120°，①①BAD=180°-①B -①ADB=180°-120°-40°=20°，①AB=AC ，①①C=①B=40°，①①EDC=180°-①ADB -①ADE=20°，①①DEC=180°-①EDC -①C=120°；（2）①①EDC+①EDA+①ADB=180°，①DAB+①B+①ADB=180°，①B=①EDA=40°， ①①EDC=①DAB ．①①B=①C ，DC=AB ，①①ABD①①DCE （ASA ）；（3）存在，当①BDA=110°或80°时，①ADE 是等腰三角形．①AB=AC ，①①B=①C=40°，①当AD=AE 时，①ADE=①AED=40°，①①AED ＞①C ，①此时不符合；①当DA=DE 时，即①DAE=①DEA=12（180°-40°）=70°， ①①BAC=180°-40°-40°=100°，①①BAD=100°-70°=30°；①①BDA=180°-30°-40°=110°；①当EA=ED 时，①ADE=①DAE=40°，①①BAD=100°-40°=60°，①①BDA=180°-60°-40°=80°；综合上述可得：当①BDA=110°或80°时，①ADE 是等腰三角形． 22．（1）把()4,0A 代入34y x m =-+得：3m =， 一次函数解析式为334y x =-+，令0x =，得3y =，①()0,3B ，在Rt AOB 中，222AB OA OB =+，①5AB =，①5BC AB ==，①(0,2)C -， ①11541022ABC S BC OA =⋅=⨯⨯=△． （2）①设3,34P t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ①P 在线段AB 上，①04t <<，设直线AC 的解析式为y kx b =+，代入()4,0A ，()0,2C -得 042k b b =+⎧⎨-=⎩， ①122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ①122y x =-， 又①PQ x 轴，则1,22Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ①315325424PQ t t t ⎛⎫=-+--=- ⎪⎝⎭， 1122AOP AOQ p Q APOQ S S S AO y AO y ∴=+=⋅+⋅△△四边形 12AO PQ =⋅ 154524t ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭5102t =-， 又①152S =， ①5151022t -=得1t =． ①如图所示，当N 点在x 轴下方时，①BP AM =，①BP AP AM AP AB +=+=，①5PM AB ==，①PMN 是以PM 为直角边的等腰直角三角形，当90NPM ∠=︒时，5PN PM ==，MN ==， 设1,22N a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 过P 点作直线M N ''∥x 轴，作MM M N '''⊥，NN M N '''⊥， ①MM OB '∥，①ABO PMM '∠=∠，在AOB 与PM M '△中90AOB PM M ABO PMM AB PM ''∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ① () AOB PM M AAS '△≌△，①3MM OB '==，4PM OA '==，①90NPN MPM ''∠+∠=︒，90NPN N NP ''∠+∠=︒， ①MPM N NP ''∠=∠，在PNN '△与MPM '△中，90N NP MPM PN N MM P PN PM '∠=∠'⎧⎪∠=∠==''︒⎨⎪⎩，①()PNN MPM AAS ''△≌△，①3PN MM ''==，4NN PM ''==，①7M N ''=，作MH NN '⊥，则1NH =， ①1,22N a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ①17,12M a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ①M 在直线AB 上， ①131(7)324a a -=-++ 121313244a a -=--+ 5544a =- 1a =-， ①15222a -=-， ①51,2N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 当N 点在x 轴上方时，点N '与51,2N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭关于(4,0)A 对称， 则524(1),02N ⎛⎫⎛⎫'⨯---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即59,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭，综上：存在一点51,2N⎛⎫--⎪⎝⎭或59,2⎛⎫⎪⎝⎭使PMN是以MN为直角边的等腰直角三角形．．23．（1）设AB与EF交于点O．∵//m n，①BAC ABF∠=∠，①AEF BAC∠=∠，①AEF ABF∠=∠．①AOE BOF∠=∠，180180OAE AEF AOE BFE ABF BOF∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠，，①20BAE BFE∠=∠=︒．（2）以E为圆心，BE为半径画弧交直线n于点M，连接EM，①EM EB =，①EMB EBM ∠=∠， ①//m n ，①ACB EBM ∠=∠． ①AC AB =，①∠=∠ACB ABC ， ①EMF ABC ∠=∠， 由（1）可知，EAB EFM ∠=∠，在EMF △和EBA △中，EMF EBA EFM EAB EM EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①EMF EBA AAS ≌（）， ①EF AE =．（3）在BF 上截取BN AB =，连接EN ，①AB AC =，①∠=∠ACB ABC ，①//m n ，①ACB NBC ∠=∠， ①ABC NBC ∠=∠，在ABE △和NBE 中，AB NB ABE NBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ABE NBE SAS ≌（）， ①AE EN EAB ENB =∠=∠，， ①90AEF BAC ∠=∠=︒，90BAC ABF ∠=∠=︒， ①180EAB EFB ∠+∠=︒， ①180ENB ENF ∠+∠=︒， ①EFB ENF ∠=∠， ①EF EN =，①EF AE =．。
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明-测试卷附答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明评卷人得分一、单选题1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．182．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D3．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=b，则|a|=|b|4．如图一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．76．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是A．射线OE是∠AOB的平分线B．△COD是等腰三角形C．C、D两点关于OE所在直线对称D．O、E两点关于CD所在直线对称7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB ＝7，则AC长是（）A．3B．4C．6D．58．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A．11cm B．C．（）cm D．（cm评卷人得分二、填空题9．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为_______.10．用反证法证明“一个三角形不可能有两个直角”时，第一步应假设：_______________________；11．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝6cm，则CD的长为________cm.12．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为___cm．13．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC 于点E，F，连接CE，则CE的长为________．14．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=时，△POQ是等腰三角形．评卷人得分三、解答题15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．16．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若∠BAC=60 ，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．17．如图，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC全等吗？请说出你的理由；(2)试说明AE∥BC.18．如图，在△ABC中，∠A=90º，∠B=30º，AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作EF//AC交AB于点F；（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？（3）求证：DC=EF；参考答案1．B【解析】试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B．考点：等腰三角形的性质．2．C【解析】试题分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定：A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意．故选C．3．C【解析】【分析】先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：A．逆命题为：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B．逆命题为：相等的角是直角，是假命题；C．逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题；D．逆命题为：若|a|=|6|，则a=6，是假命题．故选C．【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．B【解析】【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．【详解】由题意得∠ABC=60°，AB=BC=40∴△ABC是等边三角形∴AC=AB=40海里．故选B．5．D【解析】【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不能大于6．≤≤∴3PA6故选D．6．D【解析】试题分析：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．∵在△EOC与△EOD中，OC=OD，CE=DE，OE=OE，∴△EOC≌△EOD（SSS）．∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．B、根据作图得到OC=OD，∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意．C、根据作图得到OC=OD，又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线．∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意．D、根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．故选D．7．D【解析】【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB＋S△ADC ＝S△ABC得到12×4×7＋12×4×AC＝24，然后解一次方程即可．【详解】作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4，∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，∴12×4×7＋12×4×AC＝24，∴AC＝5，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．B【解析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6cm，∴AB=故选B..9．40°【解析】∵等腰三角形的一个底角为70°∴顶角=180°−70°×2=40°.故答案为40°10．在一个三角形中，有两个角是直角【解析】【详解】用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为直角”时，应假设“在一个三角形中，可以有两个内角为直角”．故答案为：在一个三角形中，可以有两个内角为直角．【点睛】反证法：第一步应假设假设结论不成立.11．6cm【解析】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC；又∵CD∥OB，∴∠C=BOC，∴∠C=∠AOC；∴CD=OD=6cm.故答案为6cm.点睛：本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，角平分线的定义，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边，出现角平分线和平行线容易出现等腰三角形. 12．6【解析】【详解】∵l垂直平分BC，∴DB=DC．∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm13．13 6【解析】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．所以△AOE≌△COE．设CE为x．则DE=AD-x，CD=AB=2．根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22解得CE=13/6．14．103s@10s【解析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP=OC﹣CP=OQ，即10﹣2x=x，解得，x=103s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，有OQ=OP，即2（x﹣5）=x，解得，x=10s故填103s或10s．15．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 10===，∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=.16．（1）见解析；（2）14DO AD =【解析】试题分析：（1）由AD 为△ABC 的角平分线，得到DE=DF ，推出∠AEF 和∠AFE 相等，得到AE=AF ，即可推出结论；（2）由已知推出∠EAD=30°，得到AD=2DE ，在△DEO 中，由∠DEO=30°推出DE=2DO ，即可推出结论．试题解析：（1）∵AD 为△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF ，∠AED=∠AFD=90°，∴∠DEF=∠DFE ，∴∠AEF=∠AFE ，∴AE=AF ，∴点A 、D 都在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ．（2）14DO AD =，理由：∵∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=30°，∴AD=2DE，∠EDA=60°，∵AD⊥EF，∴∠EOD=90°，∴∠DEO=30°∴DE=2DO，∴AD=4DO，∴14 DO AD.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是（1）证AE=AF和DE=DF；（2）证AD=2DE和DE=2DO．17．(1)△DBC和△EAC全等，理由见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)要证两个三角形全等，已知的条件有AC=BC，CE=CD，我们发现∠BCD和∠ACE都是60°减去一个∠ACD，因此两三角形全等的条件就都凑齐了(SAS)；(2)要证AE∥BC，关键是证∠EAC=∠ACB，由于∠ACB=∠ACB，那么关键是证∠EAC=∠ACB，根据(1)的全等三角形，我们不难得出这两个角相等，也就得出了证平行的条件．【详解】解：(1)△DBC和△EAC全等．理由：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.故答案为：(1)△DBC和△EAC全等，理由见解析；(2)见解析.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质．18．（1）当t为2时，△DEC为等边三角形；（2）当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形；（3）见解析【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得到EC=DC，列方程得到t=2；(2)根据直角三角形的性质得到CE=12DC，列方程得到t=1.2，根据直角三角形的性质还可得到12CE＝DC，列方程得到t=3；(3)根据直角三角形的性质得到BC=12cm，于是得到DC=(6-t)cm，BE=(12-2t)cm，根据平行线的性质得到∠A=∠BFE=90°，由直角三角形的性质得到EF=12BE=12(12-2t)=(6-t)cm，即可得到结论；【详解】解：由题意得AD＝t cm，CE＝2t cm.(1)若△DEC为等边三角形，则EC＝DC，∴2t＝6－t，解得t＝2，∴当t为2时，△DEC为等边三角形．(2)若△DEC为直角三角形，当∠CED＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CE＝12DC，∴2t＝12(6－t)，解得t＝1.2；当∠CDE＝90°时，同理可得∠CED＝30°，∴12CE＝DC，∴12×2t＝6－t，∴t＝3，∴当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形．(3)证明：∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，∴BC＝12cm，∴DC＝(6－t)cm，BE＝(12－2t)cm.∵EF∥AC，∴∠BFE＝∠A＝90°.∵∠B＝30°，∴EF＝12BE＝12(12－2t)＝(6－t)cm，∴DC＝EF.故答案为(1)2；(2)1.2或3；(3)证明见解析【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质.。
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章：三角形的证明 培优达标卷
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明培优达标卷一、单选题1．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．4，6，8B ．3，4，5C ．5，12，14D ．23，22，252．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．63．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm4．如图，△ABC 的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55．在等边三角形ABC 中，D E ，分别是BC AC ，的中点，点P 是线段AD 上的一个动点， 当PC PE +的长最小时，P 点的位置在（ ）A ．A 点处B ．AD 的中点处C ．ABC ∆的重心处D ．D 点处6．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB,若BE=2，则AE 的长为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．27．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM+CN=7，则MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知三条不同的射线OA 、OB 、OC 有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC=12∠AOB ，其中能确定OC 平分∠AOB 的有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个 9．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④αCE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（ ）A ．α3B ．α2C ．α302︒-D ．45α︒-11．如图，在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点F ，CD ⊥BD ，垂足为D ，交BA 的延长线于点E ，AH ⊥BC 交BD 于点M ，交BC 于点H ，下列选项不正确的是（ ）A ．∠E ＝67.5°B ．∠AMF ＝∠AFMC ．BF ＝2CD D ．BD ＝AB +AF12．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．72964二、填空题 13．一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则它的周长为______cm ．14．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____15．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，Р是射线C 上一点，PD OA ⊥于点,6D DP =，若E 是射线OB 上一点，4,OE =则OPE 的面积是_______________________．18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =6，AD 平分∠BAC ，CD =2，DE ⊥AB 于E ，则ABD S 等于_____________．19．如图，在ABC ∆中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H ，下列结论：①∠DBE=∠F ；②2∠BEF=∠BAF+∠C ；③()12F BAC B ∠=∠-∠；④∠BGH=∠ABE+∠C ．其中正确的是_________ ．20．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第4个三角形中以A 4为顶点的底角度数是_____．第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是_____．三、解答题21．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且18a =，32b =，50c =．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与ABC 的面积相等时，求这个正方形的边长．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC =，13AB =，点D 是Rt ABC ∆外一点，连接DC ，DB ，且4CD =，3BD =．（1）求证：90D ∠=︒（2）求：四边形ABDC 的面积．23．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 24．已知：如图，在ABC 中，AB AC >，45B ∠=，点D 是BC 边上一点，且AD AC =，过点C 作CF AD ⊥于点E ，与AB 交于点F（1） 若CAD α∠=，求：①BAC ∠的大小；②BCF ∠的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC FC =25．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且,//,AD AB AE BC BAD CAE =∠=∠，连接,DE 交AC 于点F ．（1）若65B ∠=︒，求C ∠的度数．（2）若AE AC =，则AD 平分BDE ∠是否成立？判断并说明理由．26．如图，AE 、BD 是ABM 的高，AE ，BD 交于点C ，且AE BE =．（1）求证；AME BCE ≌△△；（2）当BD 平分ABM ∠时，求证：2BC AD =；（3）求MDE ∠的度数．27．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．28．（1）如图①，D 是等边ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边，在BC 上方作等边DCE ，连接AE ，你能发现AE 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AE 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）如图③，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边DCE 和等边DCE '，连接AE ，BE '，探究AE ，BE '与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论．参考答案1．DA. 4，6，8，468<<，∴2224+6=16+36=5264=8<，∴A 选项不能够作为直角三角形的三边长； B. 3，4，5，345<<，∴2223+4=3+4=75=5>，∴B 选项不能够作为直角三角形的三边长；C. 5，12，14， 51214<<，∴2225+12=25+144=169196=14<，∴C 选项不能够作为直角三角形的三边长；D. 23，22，25，222325<<，∴()()()22222+23=8+12=20=25， ∴D 选项不能够作为直角三角形的三边长，2．C连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒，∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=， ∴8BE BC CE =-=；3．A解：作MN ⊥AD 于N ，如图，∵∠B ＝∠C ＝90°，∠ADC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥CD ，MN ⊥AD ，∴MC ＝MN ，∵M 点为BC 的中点，∴MC ＝MB=12BC=12×20=10cm ， ∴MN ＝MB ，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，4．C过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=6，BC=9，AC=12，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，故选C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．5．C解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上时，又∵BE为中线，∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的重心，6．B∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,又∵∠B=30°，BE=2,∴∠ECD=30°,CE=2,DE=12BE=1,又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵在△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，∴AE＝12CE＝1；7．B【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN，∵BM+CN=7，∴MN=7，8．D【解析】如图，根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；如图，此时，∠AOB=2∠BOC ，∠BOC=12∠AOB ，但OC 不是∠AOB 的平分线； 由于∠AOC+∠COB=∠AOB ，但是∠AOC 与∠COB 不一定相等，所以OC 不一定是∠AOB 的平分线. 所以只有①能说明OC 是∠AOB 的角平分线.9．C选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= 10．B解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图， DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，αEAM 902∠∴=︒-， AE ∴平分MAD ∠，EM EN ∴=，CE 平分ACB ∠，EM EH ∴=，EN EH ∴=，DE ∴平分ADB ∠，11ADB 2∠∠∴=， 由三角形外角可得：1DEC 2∠∠∠=+，12ACB 2∠∠=，11DEC ACB 2∠∠∠∴=+， 而ADB DAC ACB ∠∠∠=+， 11DEC DAC α22∠∠∴==， 故选：B ．11．D【详解】解：∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∵BD ⊥CD ，∴∠E ＝67.5°，故选项A 正确，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABF+∠AFB ＝90°，∠CBF+∠BMH ＝90°，∴∠AFB ＝∠BMH ，∴∠AFM ＝∠BMH ＝∠AMF ，故选项B 正确，∵CD ⊥BD ，∴∠BDE ＝∠BAC ＝90°，∴∠E+∠EBD ＝90°，∠E+∠ACE ＝90°，∴∠EBD ＝∠ACE ，在△ABF 和△ACE 中，BAC CAE AB ACABF ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE （ASA ），∴AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴AB+AF ＝AB+AE ＝BE ，∵Rt △BED 中，BE ＞BD ，∴AB+AF ＞BD ，故选项D 错误，在△EBD 和△CBD 中，EBD CBD BD BDBDC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BF ＝CE ＝2CD ，故选项C 正确，12．C【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．13．17【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm ；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm ．故答案为：17．解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．15．32解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴3∠ABP+24°+60°＝180°，解得：∠ABP＝32°，16．8cm解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm17．12【详解】解：作PH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，∴△OPE的面积=12×OE×PH=12×4×6=12，故答案为：12．18．6解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，∵AB=6，∴16262ABDS=⨯⨯=．故答案为：6．19．①②③④①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C ，∴2∠BEF=∠BAF+∠C ，故②正确；③∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ， ∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12（∠BAC ﹣∠C ），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=∠FEB ，∴∠BGH=∠ABE+∠C ，故④正确．20．758 11()752n -⨯︒ 【详解】在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1118030752BAC BCA ︒-︒∠=∠==︒， 又∵121A A A D =,1BA C ∠是12A A D 的外角． ∴21211117522DA A A DA BAC ∠=∠=∠=⨯︒． 同理可得：2323221111175()752222EA A A EA DA A ∠=∠=∠=⨯⨯︒=⨯︒， 34343321175()75228FA A A FA EA A ︒∠=∠=∠=⨯︒=， 综上可知规律：第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()752n -⨯︒ 故答案为758，11()752n -⨯︒． 21．解：（1）在ABC <<222250a b +=+=，2250c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为x ，∵一个正方形的面积与ABC 的面积相等，∴212x =，解得：x =±0x ，x ∴=答：这个正方形的边长为x =22．解：（1）在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC 2=AB 2-AC 2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD 2+BD 2=42+32=25，∵BC=5，即BC 2=25，∴CD 2+BD 2=BC 2，∴△DBC 是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC 是直角三角形，且∠D=90°， ∴1134622S ∆=⨯=⨯⨯=DBC BD DC ， ∵在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴115123022S ∆=⨯=⨯⨯=ABC BC AC ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △DBC =30+6=36．23．．证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ． 24．（1）解：①AD AC =，CAD α∠=， 11(180)9022BCA ，②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图所示：90DAG ADG ∴∠+∠=︒，1122CAG DAG CAD ，CF AD ⊥于点E ，90DCE ADG ， 1122DCE DAG CAD ，即12BCF ； （2）证明：45B ∠=︒，AG BC ⊥，45BAG =∴∠︒，45BAC CAG ，45AFC DCE ，DCE DAG ，CAG DAG ∠=∠，BAC AFC ，AC FC ．25．解：（1）∵∠B=65°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=65°，∵∠B+∠BAD+∠BAD=180°，∴∠BAD=50°，∵∠CAE=∠BAD ，∴∠CAE=50°，∵AE ∥BC ，∴∠C=∠CAE=50°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，即∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，ABADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B=∠ADE ，∵∠B=∠ADB ，∴∠ADE=∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．26．（1）证明：∵AE 、BD 是ABM 的高，∴90ADB AEB AEM ∠=∠=∠=︒，∵ACD ECB ∠=∠，180MAE ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180CBE ECB CEB ∠+∠+∠=︒，∴MAE CBE ∠=∠，在AME △和BCE 中，MAE CBE AE BE AEM BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AME B ASA CE ≌．（2）∵BD 平分ABM ∠，BD 是高，∴ABD MBD ∠=∠，90ADB MDB ∠=∠=︒，∵在ABD △和MBD 中，ADB MDB BD BD ABD MBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD MBD ASA ≌△△， ∴12AD DM AM ==， ∵AME BCE ≌△△，∴AM BC =，∴2BC AD =．（3）∵45MDE ∠=︒，过点E 作EF ED ⊥交BC 于点F ，∵DEF AEB ∠=∠，∴DEA BEF ∠=∠；∵MAE CBE ∠=∠，且AE BE =，∴AED BEF △≌△；∴ED EF =，∴45EDF EFD ∠=∠=︒；∵90BDM ∠=︒，∴45MDE ∠=︒．27．证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ，5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =，1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．28．（1）AE=BD ．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ BC=AC ，∠BCA=60︒，DC=CE ，∠DCE=60︒，∴ ∠BCA −∠DCA=∠DCE −∠DCA ，即 ∠BCD=∠ACE ， 在△BCD 和△ACE 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BCD ≌△ACE ，∴ AE=BD ；（2）AE=BD 仍然成立．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴CB=CA ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60︒， ∴ ∠BCA+∠DCA=∠DCE+∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴ AE=BD ；（3） AE+BE ′=AB ．证明：由（1）知：△BCD ≌△ACE ， 则 BD=AE ，在△BCE ′和△ACD 中，BC AC BCE ACD E C DC =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BCE ′≌△ACD （SAS ），则 BE ′=AD ，又∵BD=AE ，∴ AE+BE ′=BD+AD=AB ，即 AE+BE ′＝AB ．。
北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题一(含答案)
北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题一（含答案）1．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，D 为BC 的中点，EF =3，BC =8，则△DEF 的周长是 （ ）A ．7B ．10C ．11D ．142．如下图，已知△ABC （AB<BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，使PA+PB=BC 。
则下面四种不同方法作图中准确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知OC 平分∠AOB,CD//OB，若OD=3 cm ，则CD 等于：（ ）A ．1.5cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．已知,A,B,C ABC a ∠∠∠中的三边、b 、c 是三角形的三边长，由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）A ．ABC ∠+∠=∠ B ．A B C ∠∠∠：： 1:2:3= C ．222a c b =-D ．a : b : c =4:5:65．一个等腰三角形的一个内角为500，那么这个等腰三角形的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A ．250 B ．400 C ．250 或400 D ．无法确定6．如图，∠POQ=30°，点A 在OP 边上，且OA=6，试在OQ 边上确定一点B ，使得△AOB 是等腰三角形，则满足条件的点B 个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，那么作法的合理顺序是（ ）①作射线OC ； ②在射线OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD =OE ；③分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径在∠AOB 内作弧，两弧交于点C ．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③①②8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（ ）A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个9．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 ．10．一个角的余角是30º，则这个角的大小是______.11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数是_____________．12．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________。
北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题二(含答案)
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（ ）
A．BD=ADB．BD=CDC．∠B=∠CD．∠BAD=∠CAD
4．如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（ ）
11．到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个角为90°的平行四边形为矩形
解:由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC，
而OD=OB，
所以四边形ABCD为平行四边形，
而∠ABC=90°，
所以四边形ABCD为矩形．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，试求EF的长．
20．尺规作图：如图，在△ABC中，AB=AC，试作出下列图形：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）△ABC的角平分线AD；
（2）AC边的中点E．
21．为了应对人口老龄化问题，国家大力发展养老事业．某养老机构定制轮椅供行动不便的老人使用．图①是一种型号的手动轮椅实物图，图②为其侧面示意图，该轮椅前后长度为120cm，后轮半径为24cm，CB=CD=24cm，踏板CB与CD垂直，横档AD、踏板CB与地面所成的角分别为15°、30°．求：
14．如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是∠CAB的平分线,CM=1.5cm,若AB=6cm,则S△AMB=________cm2.
15．如图，等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=6，则EP+CP的最小值为_____．
16．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=50°，则∠BOD的度数是__________．
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明练习(包含答案)
第一章三角形的证明一、单选题1．已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为：（）A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°2．等腰三角形的两条边长分别为9cm和12cm，则这个等腰三角形的周长是()A．30cm B．33cm C．24cm或21cm D．30cm或33cm 3．如图所示，V ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15︒，则∠2的度数为（）A．15︒B．30°C．30°D．60︒4．下列各组线段能构成直角三角形的是（）A．1,2,3B．7,12,13C．5,8,10D．15,20,255．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．76．如图，在V ABC中，∠A=90︒,∠C=30︒,PQ垂直平分BC，与AC交于点P,下列结论正确的是（）． ∠ △°A ． PC < 2P AB ． PC > 2P AC ． AB < 2P AD ． AB > 2P A7．在联欢会上，有 A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在 ∆ABC 的（）A ．三边中垂线的交点C ．三条角平分线的交点B ．三边中线的交点D ．三边上高的交点8 如图所示，Rt△ABC 中， C 90° △AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D ，交 AB 于点 E .当∠B 30时，图中一定不相等的线段有()△A ．AC △AE BEC ．△CD DEB ．AD △BDD ．AC △BD9．如图，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 A B 、AC于 D 和 E ，再分别以点 D 、E 为圆心，大于二分之一 DE 为半径作弧，两弧交于点 F ，连接AF 并延长交 BC 于点 G ，GH ⊥AC 于 H ，GH ＝2，则△ABG 的面积为（ ）A．4B．5C．9D．1010．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④二、填空题11．如图，已知在∆ABC中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条件，这个条件是_____________________．（只需填上一个正确的条件）12．如图是一块菜地，已知AD=8米，CD=6米，∠D=90︒,AB=26米，BC=24米．则这块菜地的面积是_____．13．如图，在V ABC中，AC=BC，分别以点A和点C为圆心，大于1AC长为半径画2弧，两弧相交于点M、N，连接MN分别交BC、AC于点D、E，连接AD．若∠B=70︒，则∠BAD的度数是_____度．14．如图，∆ABC中，∠BAC=90︒，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG 平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠EBC=∠C；③AE=AF；④FG//AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是______．三、解答题15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD．（1）若∠BAD＝△45°，求证：ACD为等腰三角形；（△2）若ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．16．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120︒，求∠BDC的度数．17．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m．（1）求OB的长度；（2）如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？△18．如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、△OC，若OBC的周长为13cm，求OA的长．19．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN.(1)求证：MN＝BM＋NC；(2)△求AMN的周长．答案1．D 2．D 3．D 4．D 5．D 6.C.△， ，△， △﹣ △， △﹣ ﹣ △，△， △，△， △﹣ ﹣ △﹣ ﹣ 7．A8．D9．B10．C11．AD ⊥BC12．96△△△13．3014．①③④15．（1） AB=AC B=30°B= C=30°BAC=180°30°﹣30°=120°， BAD=45°CAD= BAC BAD=120° 45°=75°△， ADC= B+ BAD=75° ADC= CADAC=CD△即 ACD 为等腰三角形；（2）有两种情况： △当 ADC=90°△时，B=30°BAD= ADC B=90° 30°=60°；△当 CAD=90°△时， BAD= BAC CAD=120° 90°=30°；△即 BAD 的度数是 60°或 30°．⎨∠BAO = ∠CAD16．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°∵AO=OD ，∴△AOD 是等边三角形∴ ∠BAC = 60︒ ， AB = AC∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC∴∠BAC=∠OAD ，∴∠BAO+△OAC=△OAC+△CAD△∴∠BAO= CAD在△BAO 和△CAD 中⎧ AO = AD ⎪⎪ ⎩AB = AC∴ ∆ABO ≌ ∆ACD∴ ∠AOB = ∠ADC = 120︒△ ∠BDC = ∠ADC - ∠ADO = 60︒17.（1）解：在 Rt ∆AOB 中，由勾股定理OB 2 = AB 2 - AO 2= 2.52 - 2.4 2= 0.49∴ OB = 0.49 = 0.7（2）设梯子的 A 端下移到 D ， OC = 0.7 + 0.8 = 1.5∴在Rt∆OCD中，由勾股定理∴OD2=CD2-DC2=2.52-1.52=4∴OD=4=2∴顶端A下移了：2.4=2=0.4m18.解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周长5，∴AD+DE+EA＝5，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；（△2）∵OBC的周长为13，∴OB+OC+BC＝13，∵BC＝5，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．19.解：(1)∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，由SAS△可证BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠FDM＝∠BDM＋∠CDN＝60°，由SAS△可证DMN≌△DMF，∴MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN(2)由(1)知MN＝MB＋CN，∴△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6。
北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明单元培优测试题4(附答案)
北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明单元培优测试题4（附答案）1．如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，若BC ＝10，AC ＝6，则△ACD 的周长是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．202．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处，测得小岛C 位于轮船北偏东60︒方向上，继续向东航行10 n mile ，到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15︒方向上，此时轮船与小岛C 的距离为（ ）n mile.（结果保留根号）A ．10B ．52C ．5D ．533．以下四组数中的三个数作为边长，不能构成直角三角形的是（ ）A ．1，2，3B ．5，12，13C ．32，42，52D ．8，15，17. 4．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）A ．1，3，2B ．3，4，5C ．5，11，12D ．9，15，17 5．如图，ABC ∆中，AD BC ⊥交BC 于D ，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，F 为BC 延长线上一点，FG AE ⊥交AD 的延长线于G ，AC 的延长线交FG 于H ，连接BG ，下列结论：①DAE F =∠∠；②∠AGH=∠BAE+∠ACB ；③::AEB AEC S S AB AC ∆∆=，其中正确的结论有（ ）个.A ．0B ．1C ．2D ．36．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∠A ＝30°，BD ＝1，则AB的值是（）.A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE 的周长为10，且BC=4，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．68．如图是由8个全等的长方形组成的大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果点P是某个小长方形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰．．三角形的点P的个数是A．3个B．4个C．5个D．6个9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若CD=4，则D到斜边的距离为（）A．4.5 B．4 C．3.5 D．310．如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是( )A．55°B．45°C．35°D．65°11．如图，△ABC中，AE⊥BC于E，点D在∠ABC的平分线上，AC与BD交于F，连CD，∠ACD+2∠ACB=180°，AB=2EC，BD=214，BE=3，则AF=______．12．如图，我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是20，小正方形的面积是8，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为______．13．如图, 等腰△ABC中，AB=AC, ∠A=20°, 线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC= __________度.14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，若AB=10，AC=8，则△AEF的周长是_______________。
北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明附习题及答案
第一章 三角形的证明班级：___________________________姓名：___________________________作业导航1.等腰、等边、直角三角形的性质2.反证法一、填空题1.在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________.2.由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________.3.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.4.一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________.5.等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________.6.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________.7.如图1，D 在AC 上，且AB =BD =DC ，∠C =40°，则∠A =_________，∠ABD =_________.图1 图28.如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AB 上，且AD =AC ，若∠A =40°，则 ∠ACD =_________，∠DCB =_________，若∠A =α，则∠BCD =_________，由此我们可得出∠BCD 与∠A 的关系是∠BCD =_________.9.△ABC 中，若∠A =∠B =21∠C ，则此三角形为_________三角形. 10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠CAB =60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离是3.8 cm ，则BC =_________ cm.11.△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AD ⊥BC 于D ，AE 是斜边上的中线，若DB =4，则AB =_________，BC =_________.二、选择题12.给出下列命题，正确的有（ ）①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形A.1个B.2个C.3个D.4个13.若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是（ ）A.α＜45°B.α＜90°C.0°＜α＜90°D.90°＜α＜180°14.下列命题，正确的有（ ）①三角形的一条中线必平分该三角形的面积；②直角三角形中30°角所对的边等于另一边的一半；③有一边相等的两个等边三角形全等；④等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个15.若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角度为（ ）A.30°B.45°C.60°D.无法确定16.如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形17.△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ， 若 ∠E =51°，则∠B 等于（ ）A.60°B.52°C.51°D.78°18.在△ABC 中∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，CD ⊥AB 于D 点，AB =a ，则BD 的长为（ ）A.2aB.3aC.4aD.以上都不对19.在直角三角形中，一条边长为a ，另一条边长为2a ，那么它的三个内角的比为（ ）A.1∶2∶3B.2∶2∶1C.1∶1∶2D.以上都不对三、解答题20.如图3，在AB =AC 的△ABC 中，D 点在AC 边上，使BD =BC ，E 点在AB 边上，使AD =DE =EB ，求∠ED B.图321.如图4，AB =CD ，AD =BC ，EF 经过AC 的中点O ，分别交AB 和CD 于E 、F ，求证：OE =OF .图422.如图5，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 是垂足，ED 的延长线交CA 的延长线于点F ，求证：AD =AF .图523.你以前证过的结论，有的是否可以用反证法证明，试试看.参考答案三角形的证明一、1.70° 80° 2.大角 大边 3.17 cm 4.3条 5.27 +3 6.60° 7.80° 20° 8.70° 20° 2 21∠A 9.等腰直角 10.11.4 11.8 16 二、12.B 13.C 14.C 15.D 16.B 17.B 18.C 19.D三、20.解：设∠BDE =x ∵BE =DE ∴∠EBD =∠EDB =x则∠AED =∠EDB +∠EBD =2x又∵AD =DE ∴∠A =∠AED =2x又∠BDC =∠A +∠ABD =3x又∵BD =BC ，∴∠C =∠BDC =3x又∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C =3x根据三角形内角和定理3x +3x +2x =180°∴x =22.5°21.证明：在△ABC 和△CDA 中∵AB =CD ，BC =AD ，AC =AC∴△ABC ≌△CDA ，∴∠1=∠2在△AOE 和△COF 中∵∠1=∠2，OA =OC ，∠3=∠4∴△AOE ≌△COF ，∴OE =OF .22.证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴EF ⊥BC ，∴∠FEB =∠FEC =90°， ∴∠B +∠BDE =∠C +∠F =90°，∴∠BDE =∠F ，∵∠BDE =∠FDA∴∠F =∠FDA ，∴AD =AF .23.略。
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明-测试卷含答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明评卷人得分一、单选题1．如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，则PC 与PD 的大小关系是（）A ．PC ＞PDB ．PC ＝PD C ．PC ＜PD D ．不能确定2．如图，已知在△ABC ，AB ＝AC ．若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（）A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．∠EBC ＝∠BACD ．∠EBC ＝∠ABE3．已知ABC ∆三边的垂直平分线的交点在ABC ∆的边上，则ABC ∆的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．如图,点C 是△ABE 的BE 边上一点,点F 在AE 上,D 是BC 的中点,且AB=AC=CE,给出下列结论:①AD ⊥BC;②CF ⊥AE;③∠1=∠2;④AB+BD=DE,其中正确的结论有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，则∠1与∠B 的关系是（）A．互余B．互补C．相等D．不确定6．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．187．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）A32B．2cm C．3cm2D．4cm28．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm9．在等边三角形所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形，这样的点一共有（）A．1个B．4个C．7个D．10个10．如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE 的周长等于（）A．8B．4C．12D．16评卷人得分二、填空题11．已知等腰三角形的一个外角是70°，则它顶角的度数为．12．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线DE 交AC 于点E ，D 为垂足，若∠ABE ：∠EBC=2：1，则∠A=__________．13．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，∠BAD=36°，则∠BAC 的度数为________，∠C 的度数为________．14．如图所示，AB=AD ，AD ∥BC ，∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB ，则∠ADB 等于________度．15．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则ABO S ：BCO S ：CAO S 等于__________．16．在等腰△ABC 中，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，若AD =12BC ，则△ABC 的顶角的度数为_____．17．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=6，则PD 等于________.18．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为________cm．评卷人得分三、解答题19．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．20．如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．21．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD=OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．22．如图：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接E、F，求证：AD 是EF 的垂直平分线．23．如图所示，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的角，角的两边交AB 、AC 于M 、N ，连结MN ，求AMN ∆周长.24．如图，在△ABC 中，点D 是AB 的中点，点F 是BC 延长线上一点，连接DF ，交AC 于点E ，连接BE ，∠A=∠ABE ．（1）求证：DF 是线段AB 的垂直平分线；（2）当AB=AC ，∠A=46°时，求∠EBC 及∠F 的度数．25．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 边的中线，过点C 作CF ⊥AE ，垂足为点F ，过点B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D ．（1）试证明：AE=CD ；（2）若AC=12cm ，求线段BD 的长度．26．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE．（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=6，求PQ的长．27．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB中点，设点P在线段BC 上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动.（1）若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后△BPD与△CQP 是否全等，并说明理由；（2）若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有△BPD与△CQP全等？（3）若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是逆时针沿△ABC的三边上运动，经过多少时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？参考答案1．B【解析】主要应用到全靠等三角形的判定、性质及应用．通过AAS来证明△OCP和△ODP全等即可．证明：∵OP平分∠AOB∴∠AOP=∠BOP∵PC⊥OA于C，PD⊥OB于D∴∠OCP=∠ODP=90°又∵OP=OP∴△OCP≌△ODP(AAS)∴PC＝PD点评：此题主要考查学生对全等三角形判定的应用，及对角平分线的理解．2．C【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=∠EBC．故选C．点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．3．B【解析】【分析】根据三角形三边垂直平分线概念即可解题.【详解】解,由三角形的垂直平分线可知,锐角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的内部,直角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的斜边上,钝角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的外部.故选B.【点睛】本题考查了三角形垂直平分线的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.4．B【解析】【分析】根据所给条件利用三线合一性质即可证明①正确,进而证明④正确,即可解题.【详解】①∵D是BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，故①正确；②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC=CE，∴无法证明CF⊥AE，故②错误；③无法证明∠1=∠2，故③错误；④∵D是BC的中点，∴BD=DC，∵AB=CE，∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正确．故其中正确的结论有①④．故选B.【点睛】本题考查三角形的性质和证明,中等难度,找到等腰三角形利用三线合一性质是解题关键. 5．C【分析】根据直角三角形得∠A+∠B=90°,根据CD ⊥AB ，得∠1+∠A=90°,利用同角的余角相等即可得到∠1=∠B.【详解】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°,∵CD ⊥AB ，∴∠1+∠A=90°,∴∠1=∠B （同角的余角相等）,故选C【点睛】本题考查了三角形的证明,用到了同角的余角相等,属于简单题,熟悉直角三角形的性质是解题关键.6．B【解析】试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B ．考点：等腰三角形的性质．7．A【解析】【分析】根据等边三角形面积公式S=23a 4,即可解题.解：∵△ABC为等边三角形,边长=2,,∴S=224故选A【点睛】本题考查求等边三角形的面积,属于简单题,熟悉等边三角形面积公式是解题关键.8．C【解析】试题分析：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故选C．考点：线段垂直平分线的性质．9．D【解析】解：如图，①内部一个，是三角形的中心P，②外面有九个，在直线AP上有三个点，，，满足A=AB，A=AB，B=AB，同理，在直线BP上有三个点，在直线CP上有三个点，满足条件．共有10个点．故选D．10．A【解析】∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故选A．11．110°【解析】试题分析：三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，110°只可能是顶角．解：等腰三角形一个外角为70°，那相邻的内角为110°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以110°只可能是顶角．故答案为110°．考点：等腰三角形的性质．12．45°【解析】∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵E在线段AB的垂直平分线上，∴EA=EB，∴∠ABE=∠A=2∠EBC，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠A+12∠A，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2(∠A+12∠A)=180°，∴∠A=45°，故答案为：45°. 13．72°54°【解析】根据已知证明△ABC为等腰三角形,利用三线合一性质即可解题.【详解】解：∵AB=AC，D为BC中点，∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC（三线合一）,∵∠BAD=36°，∴∠BAC=72°,∠C=90°-36°=54°.【点睛】本题考查三角形的证明,三线合一的性质,属于简单题,熟悉三线合一的性质是解题关键. 14．30【解析】【分析】根据已知证明三角形ABD为等腰三角形,利用AD∥BC得∠ABD=∠ADB=∠DBC,根据∠BDC=90°得到∠DCB与∠DBC互余,等量代换角即可解题.【详解】解：∵AB=AD，AD∥BC，∴∠ABD=∠ADB=∠DBC,又∠ABC=∠DCB，∴∠DCB=2∠DBC,∵∠BDC=90°，即∠DCB+∠DBC=90°,∴∠DBC=30°,∴∠ADB=30°.【点睛】本题考查了简单的三角证明,平行线性质,直角三角形性质,中等难度,等量代换角是解题关键. 15．2：3：4.【解析】【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．解：过点O 作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，∵O 是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF ，∵AB=20，BC=30，AC=40，∴ABO S ：BCO S ：CAO S =2：3：4．故答案为2：3：4．16．30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC 为腰，②BC 为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD =30°，然后分AD 在△ABC 内部和外部两种情况求解即可．解：①BC 为腰，∵AD ⊥BC 于点D ，AD =12BC ，∴∠ACD =30°，如图1，AD 在△ABC 内部时，顶角∠C =30°，如图2，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB =180°﹣30°=150°，②BC 为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．17．3【解析】【详解】试题分析：过P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，在求得∠BCP=30°，在Rt△ECP中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求得PD的长．试题解析：过P作PE⊥OB于E，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∠AOP=∠BOP=15°，∴∠BOA=30°，PE=PD，∵PC∥OA，∴∠BOA=∠BCP=30°，又△ECP为直角三角形，且PC=6，∴PE=3，PD=3．考点：角平分线的性质；特殊直角三角形的性质．18．4【分析】根据角平分线的定义可得1AOP AOB 302∠== ，再根据直角三角形的性质求得1PD OP 42==，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到答案．【详解】P 是AOB ∠角平分线上的一点，AOB 60 ∠=，1AOP AOB 302∠∠∴== ，PD OA ⊥ ，M 是OP 的中点，DM 4cm =，OP 2DM 8∴==，1PD OP 42∴==， 点C 是OB 上一个动点，PC ∴的最小值为P 到OB 距离，PC ∴的最小值PD 4==，故答案为4．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．19．利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，然后证明△ABD ≌△ACE 即可证得结论．【解析】分析：证明：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ．在△ABD 与△ACE 中，∵AB AC{B C BD EC=∠=∠=，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）．∴AD=AE ．20．详见解析.【解析】根据已知条件证明AB=CD,AF=CF ，证明Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ）,得BF ＝DE,进而证明△BFG ≌△DEG （AAS ），即可证明.【详解】证明∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEG ＝∠BFE ＝90°,∵AE ＝CF ，AE ＋EF ＝CF ＋EF,即AF ＝CE ．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB=CD,AF=CF ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ），∴BF ＝DE ．在△BFG 和△DEG 中，∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE ，BF=DE∴△BFG ≌△DEG （AAS ），∴FG ＝EG ，即BD 平分EF【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质,中等难度,将中点问题转化成证明全等问题是解题关键.21．△ADO ≌△AEO ，△DOC ≌△EOB ，△COF ≌△BOF ，△ACF ≌△ABF ，△ADB ≌△AEC ，△BCE ≌△CBD ．理由见解析.【解析】试题分析：△ADO ≌△AEO ，△DOC ≌△EOB ，△COF ≌△BOF ，△ACF ≌△ABF ，△ADB ≌△AEC ，△BCE ≌△CBD ，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．试题解析：△ADO ≌△AEO ，△DOC ≌△EOB ，△COF ≌△BOF ，△ACF ≌△ABF ，△ADB ≌△AEC ，△BCE ≌△CBD ．理由如下：在△ADO 与△AEO 中，∠ADO =∠AEO =90°，OA OA OD OE =⎧⎨=⎩，∴△ADO ≌△AEO （HL ），∴∠DAO =∠EAO ，AD =AE ，在△DOC 与△EOB 中，90ODC OEB OD OE DOC EOB∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DOC ≌△EOB （ASA ），∴DC =EB ，OC =OB ，∴DC +AD =EB +AE ，即AC =AB ，∵∠DAO =∠EAO ，∴AM ⊥BC ，CM =BM ，在△COF 与△BOF 中，∠OMC =∠OMB =90°，OC OB OM OM=⎧⎨=⎩，∴△COF ≌△BOF （HL ），在△ACF 与△ABF 中，∠AFC =∠AFB =90°，AC ABAM AM =⎧⎨=⎩，∴△ACF ≌△ABF （HL ），在△ADB 与△AEC 中，AD AEDAB EAC AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△AEC （SAS ），在△BCE 与△CBD 中，∠BEC =∠CDB =90°，BC CB BE CD=⎧⎨=⎩，∴△BCE ≌△CBD （HL ）．22．详见解析.【解析】【分析】根据垂直证明Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ），即可解题.【详解】证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF ，∠AED=∠AFD=90°，在Rt △AED 和Rt △AFD 中∵AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ），∴AE=AF ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 是EF 的垂直平分线【点睛】本题考查了全等三角形的判定,属于简单题,将垂直平分线问题转换为全等问题是解题关键.23．△AMN 的周长为2．【解析】【分析】根据已知条件得△CDE ≌△BDM ，再利用DE=DM ，MDE EDN 60∠∠==︒证明△DMN ≌△DEN ，得到对应边相等即可解题.【详解】如图，延长NC 到E ，使CE=BM ，连接DE ，∵△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE ，BD=CD ，∴△CDE ≌△BDM ，∴∠CDE=∠BDM ，DE=DM ，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC ﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN 和△DEN 中，60DM DE MDE EDN DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△DMN ≌△DEN ，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN ，∴△AMN 的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN 的周长为2．【点睛】本题考查等边三角形的性质与应用,截长补短的数学方法,中等难度,作辅助线证明全等是解题关键.24．（1）见解析；（2）∠EBC =21°，∠F=23°．【解析】试题分析：(1)、根据题意得出AE=BE ，然后结合AD=BD 得出答案；(2)、根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=67°，根据∠EBC=∠ABC ﹣∠ABE 和∠F=90°﹣∠ABC 得出角度．试题解析：(1)、证明：∵∠A=∠ABE ，∴EA=EB ，∵AD=DB ，∴DF 是线段AB 的垂直平分线；(2)、解：∵∠A=46°，∴∠ABE=∠A=46°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠EBC=∠ABC ﹣∠ABE=21°，∠F=90°﹣∠ABC=23°．25．（1）证明见解析（2）BD=6cm ．【解析】【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE 和CD 分别在三角形AEC 和三角形CDB 中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答；（2）由（1）得BD=EC=12BC=12AC ，且AC=12cm ，即可求出BD 的长．【详解】（1）∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°，∴∠D=∠AEC ，又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ），∴AE=CD ；（2）因为△ACE ≌△CBD ，所以BD =CE ，因为CE=12BC=12AC=12×12=6cm ，所以BD =6cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．26．（1）详见解析；（2）PQ=8.【解析】【分析】（1）根据等边三角形得∠ACD=∠BCE,即可证明△ACD ≌△BCE （SAS ）,（2）过C 作CH ⊥BQ ，垂足为H ，由角平分线得到∠CAD=12∠BAC=30°,通过（1）得∠CAD=∠CBH=30°,根据30°角所对直角边等于斜边一半求出CH=3,勾股定理得HQ=4,三线合一性质即可求出PQ=8.【详解】（1）证明：∵△ABC,△CDE 均为等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO,即∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）（2）解：∵等边△ABC 中，AO 平分∠BAC ，∴∠CAD=12∠BAC=30°.如下图，过C 点作CH ⊥BQ ，垂足为H ，由（1）知△ACD≌△BCE,则∠CAD=∠CBH=30°,∴CH=12BC=3,∴在Rt△CHQ中，HQ=4(勾股定理)，又∵CP=CQ，CH⊥PQ，∴PH=HQ（三线合一）∴PQ=8.【点睛】本题主要考查三角形的证明,包括特殊直角三角形,等腰三角形的性质,中等难度,熟悉特殊三角形的性质是解题关键.27．（1）详见解析；（2）154cm/秒；（3）803秒在AB边相遇.【解析】【分析】（1）求出BD,CP,根据全等三角形的判定即可,（2）由全等推出时间t,在利用CQ=BD求出Q的速度即可,（3）求出Q的运动路程,根据△ABC的三边长度即可确定Q的位置.【详解】（1）解：∵t=1秒，∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，BC BD B C BP CQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）解：∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间t=BP433=秒，∴v Q=CQ5154t43==cm/秒；（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得154x=3x+2×10，解得x=803．∴点P共运动了803×3=80cm．∴80=56+24=2×28+24，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．【点睛】本题考查了全等三角形中的动点问题,难度较大,证明三角形全等,利用全等三角形的性质是解题关键.。
北师大版数学八下第一章《三角形的证明》各节练习题含答案
北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明1.1.等腰三角形的性质同步课时练习题1．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是( )A．AB＝DC，AC＝DBB．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠DD．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB2．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是( )A．5 B．4 C．3 D．23. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )A．35° B．40° C．45° D．50°4. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD等于( )A．36° B．54° C．18° D．64°5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC等于( )A．40° B．45° C．60° D．70°6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是( )A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )A．35° B．45° C．55° D．60°8. 如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )A．44° B．66° C．88° D．92°9. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是( )A．AB＝AC B．AD平分∠BAC C．AB＝BC D．∠BAC＝90°10. 如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°11. 如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝____．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.(1)若∠BAC＝80°，则∠BAD＝____；(2)若AB＋CD＝12 cm，则△ABC的周长为____ cm.13. 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE.14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在边AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB.AE＝CE，求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.16. 如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD.1.1参考答案：1---10 DAABA CCDCD 11. 312. (1) 40° (2) 2413. 证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴AD ＝AE14. 证明：∵AM ＝2MB ，AN ＝2NC ，∴AM ＝23AB ，AN ＝23AC.又∵AB ＝AC ，∴AM ＝AN.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD. 在△AMD 和△AND 中，AM ＝AN ，∠MAD ＝∠NAD ，AD ＝AD ， ∴△AMD ≌△AND (SAS )，∴DM ＝DN15. 解：(1)∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠DFC ＋∠DCF ＝90°，∠B ＋∠DCF ＝90°，∴∠B ＝∠DFC ，又∵∠DFC ＝∠EFA ，∴∠B ＝∠EFA.在△AEF 和△CEB 中，∠EFA ＝∠B ，∠FEA ＝∠BEC ＝90°，AE ＝CE ，∴△AEF ≌△CEB (AAS )(2)∵△AEF ≌△CEB ，∴AF ＝BC.∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴BC ＝2CD ，∴AF ＝2CD16. 证明：连接AC ，AD ，在△ABC 和△AED 中，AB ＝AE ， ∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED (SAS )， ∴AC ＝AD.又∵点F 是CD 的中点，∴AF ⊥CD1.2 直角三角形同步练习题1．如图，在平行线a、b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A、B分别在直线a、b上，则∠1＋∠2的值为()A．90° B．85°C．80° D．60°2．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠E等于()A．70° B．80°C．90° D．100°3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是()A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5 4．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是()A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶55．下列说法中，正确的是()A．每个命题都有逆命题B．每个定理都有逆定题C．真命题的逆命题是真命题D．假命题的逆命题是假命题6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC 的长为()A ．5B ．6C ．8D ．107．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为( )A ．60海里B ．45海里C ．203海里D ．303海里8．如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53B.52 C ．4D ．59．下列命题中，其逆命题成立的是 (只填写序号)①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a 、b 、c (c 为最长边)满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．10．已知c －10＋|a －6|＋(b －8)2＝0，则以a 、b 、c 为三边的三角形是 .11．在△ABC 中，AB ＝13cm ，AC ＝20cm ，BC 边上的高为12cm ，则△ABC 的面积为 cm 2.12．如图所示，某公路一侧有A 、B 两个送奶站，C 为公路上一供奶站，CA 和CB 为供奶路线，现已测得AC ＝8km ，BC ＝15km ，AB ＝17km ，∠1＝30°，若有一人从C 处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h ，问：多长时间后这个人距B 送奶站最近？13．如图，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13.求四边形ABCD的面积．14．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3.求EF长．1.2答案：1---8 ACDCA CDC 9. ①④ 10. 直角三角形 11. 126或6612. 解：过B 作BD ⊥CD 于D ，在△ABC 中，AC ＝8，BC ＝15，AB ＝17，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，∵∠1＝30°，∴∠BCD ＝60°，∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝12BC ＝7.5km ，∴时间为7.5÷2.5＝3h.13. 解：连接AC .∵∠B ＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝5，在△ACD 中，AC 2＋CD 2＝52＋122＝169.AD 2＝132＝169，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴∠ACD ＝90°，∴S四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ＋12AC ·CD ＝12×3×4＋12×5×12＝36.14. 解：连接BD .∵△ABC 是等腰直角三角形，D 是AC 边上的中点，∴∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ＝45°，∴AD ＝BD ，∵AD ＝DC ，∴BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝90°，∵DE ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠ADB ＝90°，∴∠ADE ＝∠BDF ，∴△ADE ≌△BDF ，∴AE ＝BF ＝4，同理BE ＝CF ＝3，在Rt △BEF 中，EF ＝BE 2＋BF 2＝5.1．3 线段的垂直平分线同步训练题1．如图，已知线段a、h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD ＝h.张红的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC 相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB、AC，则△ABC为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是()A．①B．②C．③D．④2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为()A．4cm B．3cmC．2cm D．1cm3．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是.4．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，边AC、AB的垂直平分线交于点O，交AC、AB于点D、E，则∠BOC等于.5．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于.6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在()A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处7．如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝DF.求证：AD 垂直平分EF.8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.若BF＝3cm.求BC.10. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.求∠ECD的度数；11．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离.12．如图，已知线段AB.(1)用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)中所作的直线l上任意取的两点M、N(在线段AB的上方)，连接AM、AN、BM、BN.求证：∠MAN＝∠MBN.答案:1. C2. C3. 50°4. 120°5. 70°或20°6. D7. 证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＝∠AFD ＝90°，∵DE ＝DF ，AD ＝AD ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴AE ＝AF ，∴AD 垂直平分EF.8. 证明：∵E 是BD 垂直平分线上一点，∴EB ＝ED ，∴∠B ＝∠D ，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°－∠B ，∠CFD ＝90°－∠D ，∵∠B ＝∠D ，∴∠CFD ＝∠A ，∵∠AFE ＝∠CFD ，∴∠AFE ＝∠A ，∴EF ＝EA ，∴点E 在AF 的垂直平分线上． 9. 解：连接AF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°，∵EF 垂直平分AB ，∴BF ＝AF ，∴∠B ＝∠BAF ＝30°，∴∠CAF ＝∠BAC －∠BAF ＝120°－30°＝90°，在Rt △ACF 中，∠C ＝30°，∴AF ＝12CF ，∴CF ＝2AF ，∵AF ＝BF ，∴CF＝2BF.∴BC ＝3BF ＝3×3＝9(cm)． 10. 解：∠ECD ＝36° 11. 相等12. 解：(1)画图略 (2)∵点M 、N 在线段AB 的垂直平分线上，∴MA ＝MB ，NA ＝NB ，∴∠MAB ＝∠MBA ，∠NAB ＝∠NBA ，∴∠MAB －∠NAB ＝∠MBA －∠NBA ，∴∠MAN ＝∠MBN.1.４角平分线同步测试题1. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA ＝2，则PQ的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC等于( )A. 3 B．2 C．3 D.3＋23．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，垂足为E，若OE＝2 cm，则AB与CD间的距离为( )A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm4. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°5. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为( )A．2 B．2 3 C. 3 D．36．在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为( )A．2 cm，2 cm，2 cm B．3 cm，3 cm，3 cmC．4 cm，4 cm，4 cm D．2 cm，3 cm，5 cm7．如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠COF D．AD＝AE 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，交BC于点D，垂足为E.则下列结论错误的是( )A．DE＋BD＝BC B．BD＝2CD C．BE＋DE＝BC D．BE＋AC＝AB 9．如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是( )A．OD＞OE B．OD＝OE C．OD＜OE D．无法确定10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD ＝3∶2，则点D到线段AB的距离为____．11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝____．12．如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，若∠EAN ＝25°，则∠ADB＝____．13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，则∠ADC的度数为____．14. 如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3.若△ABC 的周长是22，则△ABC的面积是____．15. 如图，AB＝AC，PB＝PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D，E.求证：PD＝PE.16. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB ＝4，求AC的长．1.4参考答案：1---9 BCCCC ABCB10. 411. 812. 40°13. 137°14. 3315. 证明：连接AP，∵AB＝AC，PB＝PC，AP＝AP，∴△ABP≌△ACP(SSS)，∴∠BAP＝∠CAP，又∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)16. 解：过点D作DF⊥AC，∵AD是∠BAC平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∵S△ABD＝4×22＝4，∴S△ACD＝7－4＝3，∴2AC2＝3，即AC＝3。
北师大版八年级数学下册第第一章《三角形的证明》培优过关训练试卷
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》培优过关训练试卷一、单选题1．等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．60°D ．120°2．在下列四个条件：①222AB BC AC +=，②90A B ∠=︒-∠，③12A B C ∠=∠=∠，④5:::3:2A B C ∠∠∠=中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ）．A ．①③B ．①②③C ．①②④D ．①②③④3．如图，DE 是AC 的垂直平分线，CE =5，△BDC 的周长为15，则△ABC 的周长是（ ）A ．15B ．20C ．25D ．304．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm5．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（ ）A ．30°B ．32°C ．36°D ．42°6．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（ ）A ．PC PD =B ．OC OD = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC PE =7．如图，△ABC 是等边三角形，AQ = PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR =PS ，则四个结论：①点P 在∠A 的平分线上；②AS=AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP ，正确的结论是（ ）．A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．③④ 8．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形9．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，△ABD 与△ACE 都是等边三角形，AB ≠AC ，下列四个结论，①BE=CD ；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO ；④若∠BAC=90°，且DA ∥BC ，则BC ⊥CE ．其中正确的个数有（ ）A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 11．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，AB =6，AC =14，∠ABC =3∠C ，则BE =____．12．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．13．如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，3BE =，则EC 的长为_____．14．如图，已知ABC 的周长是8，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC 于D ，且3OD =，ABC的面积是______．15．如图，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =.若点P '是ABC 外的一点，且P AB PAC '≌△△，则APB ∠的度数为_____．16．如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________17．若ABC 的三边长是a 、b 、c ，且222a b c ab bc ac +=++＋，则这个三角形形状是_________角形．三、解答题18．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，CBE 45∠=︒，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ，若AB 13,BC 10==，求AF 的长度．19．如图，点A 、B 、C 的坐标分别是()1,3A -、()5,1B -、()0,1C ．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）点P 是x 轴上的一动点，求出使得PA PB +的值最小时点P 的坐标．20．如图，AD 是ABC 的高，AD 垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ．()1求证：1B AED 2∠∠=． ()2若DE 1=，求AB 的长．21．如图，BD //GE ，150AFG ∠=∠=︒，AQ 平分FAC ∠，交BD 的延长线于点Q ，交DE 于点H ，15Q ∠=︒，求CAQ ∠的度数．22．在ABC 中，AB AC =，在ABC 的外部作等边三角形ACD △，E 为AC 的中点，连接DE 并延长交BC 于点F ，连接BD ．（1）如图1，若100BAC ∠=︒，求ABD ∠和BDF ∠的度数；（2）如图2，ACB ∠的平分线交AB 于点M ，交EF 于点N ，连接BN ．①补全图2；②若BN DN =，求证：MB MN =．23．已知：如图，BD 为ABC △的角平分线，且BD BC =，E 为BD 延长线上的一点，BE BA =，过E 作EF AB ⊥，F 为垂足．求证：（1）AD AE EC ==．（2）2BA BC BF +=．24．如图①，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图①中的三角板OMN 摆放成如图②所示的位置，使一边OM 在∠BOC 的内部，当OM 平分∠BOC 时，∠BO N= ；（直接写出结果）（2）在（1）的条件下，作线段NO 的延长线OP （如图③所示），试说明射线OP 是∠AOC 的平分线；（3）将图①中的三角板OMN 摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC 与∠AOM 之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）参考答案1．A解：∵等腰三角形中，一个内角为120°，而三内角的和为180°，∴该内角为顶角，设顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则有∠B=∠C ，∵∠A=120°，∴∠B=∠C=()1180-1202︒︒=30°， 故选：A ．2．D①．222AB BC AC +=，由勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故①能确定． ②．∵90A B ∠=︒-∠，即90A B ∠+∠=︒，∴180()90C A B ∠=︒-∠+∠=︒．∴ABC 是直角三角形，故②能确定． ③．∵12A B C ∠=∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=︒， ∴2180C ∠=︒，即90C ∠=︒．∴ABC 是直角三角形，故③能确定．④．5:::3:2A B C ∠∠∠=，设5A x ∠=，则3B x ∠=，2C x ∠=，∵180A B C ∠+∠+∠=︒，即532180x x x ++=︒，解得18x =︒，∴51890A ∠=⨯︒=︒，∴ABC 是直角三角形，故④能确定．故选：D ．3．C 解： DE 是AC 的垂直平分线，5CE =，,5DA DC AE CE ∴===，10AC ∴=，15BDC C BD BC DC =++=，15BD AD BC AB BC ∴++=+=，151025.ABC C AB BC AC ∴=++=+=4．B如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ，∵AO 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥AC ，OE ＝3cm ， ∴OM ＝OE ＝3cm ，∵CO 是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，∴ON ＝OE ＝3cm ，∴MN ＝OM ＋ON ＝6cm ，即AB 与CD 之间的距离是6cm ，5．B由题意得：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，∵DM 垂直平分AB ，∴AD=BD ，∴∠A=∠ABD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=180︒，∠C ＝84°，∴∠A=32︒，6．D∵OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ， ∴PC=PD ，故A 选项正确；∵∠ODP=∠OCP=90︒，又∵OP=OP ，PC=PD ，∴Rt △OPC ≌Rt △OPD ，∴OC=OD ，故B 选项正确；∵△OPC ≌△OPD ，∴CPO DPO ∠=∠，故C 选项正确；∵∠PDE=∠PCF=90︒，PD=PC ，∠DPE=∠CPF ，∴△DPE ≌△CPF ，∴PE=PF ，∵PF>PC ，∴PE>PC ，故D 选项错误；故选：D ．7．A解：∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR=PS ， ∴P 在∠A 的平分线上，∴①正确；由①可知，PB=PC ，∠B=∠C ，PS=PR ，∴△BPR ≌△CPS ，∴CS=BR∴AS=AR ，②正确；∵AQ=PQ ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，③正确；由③得，△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，又由②可知，④△BRP ≌△QSP ，④也正确 ∵①②③④都正确，8．D解：∵222()()()0,a b a c b c -+-+-=，∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，∴a=b ，a=c ，b=c ，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形；故选：D ．9．A解：由题意得，当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，∴AD =AE =3，∵BC ∥OM ，∴∠DOA =∠B ，∵A 为OB 中点，∴AB =AO ，在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，10．C解：设CD 与AB 交于点F∵ABD △与AEC 都是等边三角形 ∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60° ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC 即∠DAC=∠EAB∴DAC BAE ≌△△∴BE CD =，①正确；∵DAC BAE ≌△△∴∠ADO=∠ABO∵∠AFD=∠BFO∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确； ∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC ≠∠AEB ∴∠BDA-∠ADC ≠∠CEA-∠AEB ∴BDO CEO ∠≠∠，③错误； ∵//DA BC∴∠DAC+∠BCA=180°∵∠DAB=60°，90BAC ︒∠=∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°∵∠ACE=60°∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°∴BC CE ⊥，④正确11．4.解：如图，延长BE ， 交AC 于G ，AD 平分∠BAC ，,GAE BAE ∴∠=∠,BE AD ⊥90AEG AEB ∴∠=∠=︒，,AGB ABG ∴∠=∠6AG AB ∴==，,GE BE = 14AC =，8CG ∴=，,AGB C CBG ∠=∠+∠2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠3,ABC C ∠=∠32,C C CBG ∴∠=∠+∠,C CBG ∴∠=∠8BG CG ∴==， 1 4.2BE BG ∴== 12．25°∵90,50ACB B ︒︒∠=∠=，∴∠A=40°， ∵BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，∴∠E=∠B=50°，∵//CE AB ，∴∠ADE=∠E=50°，∴∠BDC=∠EDC=（180°-50°）÷2=65°，∴∠ACD=∠BDC-∠A=65°-40°=25°，13．6解：连接AE ，∵ AB=AC ，∠A=120︒ ，∴ ∠B=∠C=()1180120302︒-︒=︒， ∵ED 垂直平分AB ，∴AE=BE ，∠EAD=30︒ ，∵BE=3，∴DE=1322BE = ∴2233BD BE DE =-= ∴AB=AC=2BD=33，∵ ∠A=120︒ ，∴ ∠EAC=90︒ ， ∴22366CE AC AE =+==，故答案为：6．14．12解：连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵OB ， OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，OD=3，∴OE=OD=3，OF=OD=3，∵△ABC 的周长是8，∴AB+BC+AC=8，∴△ABC 的面积S=S △ABO +S △BCO +S △ACO =12×AB ×OE+12×BC ×OD+12×AC ×OF =12×AB ×3+12×BC ×3+12×AC ×3 =12×3×（AB+BC+AC ） =12×3×8=12，15．150°连接PP ′，∵P AB PAC '≌△△，∴PA ＝P ′A=6，∠P ′AB ＝∠PAC ，BP ′=CP=10，∴∠P ′AP ＝∠BAC ＝60°，∴△APP ′为等边三角形，∴PP ′＝AP ＝AP ′＝6，又∵8PB =，∴PP ′2＋BP 2＝BP ′2，∴△BPP ′为直角三角形，且∠BPP ′＝90°∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，16．110°或80°∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝40°，∴∠B ＝∠C=40°∴∠BAC ＝100°，①AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝40°，∴∠DAE ＝100°，此时，点D 与点B 重合，不符合题意舍去，②AD ＝ED 时，∠DAE ＝∠DEA ，∴∠DAE ＝12（180°−40°）＝70°， ∴∠BAD ＝∠BAC −∠DAE ＝100°−70°＝30°，∴∠BDA ＝180°−∠B −∠BAD ＝110°，③当AE ＝DE 时，∠DAE ＝∠ADE ＝40°，∴∠BAD ＝100°−40°＝60°，∴∠BDA ＝180°−40°−60°＝80°，综上所述：∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，17．等边∵222a b c ab bc ac ++=++，∴222222222a b c ab bc ac ++=++，∴2222222220a b c ab bc ac ++---=，∴222()()()0a b a c b c -+-+-=，∵222()0,()0,()0a b a c b c -≥-≥-≥，∴222()0,()0,()0a b a c b c -=-=-=，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形，18．7AF =解：AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=，10BC =，5BD ∴=，Rt ABD 中，13AB =，222213512AD AB BD ∴=-=-=，Rt BDF 中，45CBE ∠=，BDF ∴是等腰直角三角形，5DF BD ∴==，1257AF AD DF ∴=-=-=．19．解：（1）直角三角形，理由如下如下图所示，用长方形DEOF 将△ABC 框住，∵()1,3A -、()5,1B -、()0,1C∴AF=1，DE=OF=3，DF=OE=BC=5，BE=1，OC=1∴AD=DF －AF=4，DB=DE －BE=2，FC=OF －OC=2∴AB 2= AD 2＋DB 2=20，AC 2= AF 2＋FC 2=5，BC 2=25∴AB 2＋AC 2= BC 2∴△ABC 为直角三角形；（2）作点B 关于x 轴的对称点B '，连接AB '交x 轴于点P ，如下图所示由轴对称性质可得，BP=B P '，点B '的坐标为（-5，-1）∴此时PA PB +=PA B P +'=AB '，根据两点之间线段最短，此时PA PB +最小设直线AB '的解析式为y=kx ＋b将点A 和点B '的坐标分别代入，得153k b k b-=-+⎧⎨=-+⎩ 解得：14k b =⎧⎨=⎩∴直线AB '的解析式为y=x ＋4将y=0代入y=x ＋4中，得x ＋4=0解得：x=-4∴点P 的坐标为（-4，0）．20．解：（1）EF 是AD 的中垂线，90AH DH AHE DHE ∠∠∴===︒，，在AEH △和DEH △中，AH DH AHE DHE EH EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AHE ∴≌()H D E SAS ，AEH DEH AE DE ∠∠∴==，， AD 是ABC 的高，//EF BC ∴，AEH B ∠∠∴=，12B AED ∠∠∴=； （2）由（1）得：//EF BC AE DE =，，HED EDB ∠∠∴=， 又12AEH HED B AED ∠∠∠∠==，， B EDB ∴∠=∠，BE DE ∴=，22212AB BE DE ∴===⨯=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质和判定等知识．21．解：∵∠EHQ 是△DHQ 的外角，∴∠EHQ ＝∠1+∠Q ＝65°，∵BD ∥GE ，∴∠E ＝∠1＝50°，∵∠AFG ＝∠1＝50°，∴∠E ＝∠AFG ，∴DE ∥AF ，∴∠FAQ ＝∠EHQ ＝65° ，∵AQ 平分∠FAC ，∴ ∠CAQ ＝∠FAQ ＝65°．22．（1）∵AB AC =，ACD △为等边三角形，∴AB AD =，ABD ADB ∠=∠，60ADC DAC ∠=∠=︒，∵100BAC ∠=︒，∴160DAB DAC BAC ∠=∠+∠=︒，∴()180160210ABD ADB ∠=∠=︒-︒÷=︒，又∵E 为AC 的中点， ∴由“三线合一”知，1302ADE ADC ∠=∠=︒， ∴301020BDF ADE ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）①如图所示：利用尺规作图的方法得到CP ，交AB 于点M ，交EF 于点N ；②如图所示，连接AN ，∵CM 平分ACB ∠，∴设ACM BCM α∠=∠=，∵AB AC =，∴2ABC ACB α∠=∠=，在等边三角形ACD ∆中，∵E 为AC 的中点，∴DN AC ⊥，∴NA NC =，∴NAC NCA α∠=∠=，∴60DAN α∠=︒+，在ABN ∆和ADN ∆中，AB AD BN DN AN AN =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()ABN ADN SSS ∆∆≌，∴30ABN ADN ∠=∠=︒，60BAN DAN α∠=∠=︒+，∴602BAC α∠=︒+，在ABC ∆中，180BAC ACB ABC ∠+∠+∠=︒，∴60222180ααα︒+++=︒，∴20α=︒，∴10NBC ABC ABN ∠=∠-∠=︒，∴30MNB NBC NCB ∠=∠+∠=︒，∴MNB MBN ∠=∠，∴MB MN =．23．解：证明：（1）∵BD 为ABC 的角平分线，∴ABD CBD ∠=∠，∴在ABD 和EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ≌()EBC SAS ，∴BCE BDA ∠=∠，∵BCE BCD DCE ∠=∠+∠，BDA DAE BEA ∠=∠+∠，BCD BEA ∠=∠，∴DCE DAE ∠=∠，∴ACE 为等腰三角形，∴AE EC =，∵ABD ≌EBC ，∴AD EC =，∴AD EC AE ==．（2）过点E 作EG BC ⊥于点G ，∵E 是BD 上的点，EF AB ⊥，EG BC ⊥，∴EF EG =，∵在Rt BEG 和Rt BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt BEG ≌()Rt BEF HL ，∴BG BF =，∵在Rt CEG 和Rt AFE 中，EF EG AE CE =⎧⎨=⎩， Rt CEG ≌Rt AFE ，∴AF CG =，∴BA BC BF FA BG CG +=++-，BF BG BF =+=∠，∴2BA BC BF +=．24．(1)根据角平分线的定义与角的和差关系计算；(2)计算出∠AOP 的度数，再根据角平分线的定义判断；(3)根据∠AOC ，∠AON ，∠NOC ，∠MON ，∠AOM 的和差关系即可得到∠NOC 与∠AOM 之间的数量关系．解：(1)如图②，∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，又∵OM 平分∠BOC ，∴∠BOM=30°，又∵∠NOM=90°，∴∠BOM=90°﹣30°=60°，故答案为60°；(2)如图③，∵∠AOP=∠BOM=60°，∠AOC=120°，∴∠AOP=12∠AOC ， ∴射线OP 是∠AOC 的平分线；(3)如图④，∵∠AOC=120°，∴∠AON=120°﹣∠NOC ，∵∠MON=90°，∴∠AON=90°﹣∠AOM ，∴120°﹣∠NOC=90°﹣∠AOM，即∠NOC﹣∠AOM=30°．。
北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明单元培优测试题(附答案)
北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明单元培优测试题（附答案）1．如图，DE ∥GF ，A 在DE 上，C 在GF 上△ABC 为等边三角形，其中∠EAC ＝80°，则∠BCG 度数为（ ）A ．20°B ．10°C ．25°D ．30°2．如图，已知∠COB =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =200，则∠AOB =（ ）A ．400B ．600C ．1200D ．13503．如图，等腰三角形ABC 的周长为21，底边BC =5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．164．如图，在ABC ∆中，AB ，AC 的垂直平分线DF ，EG 交于点M ，点F ，G 在BC 上.若46GAF ∠=︒，则M ∠的度数为( )A ．67°B ．65°C ．55°D ．45°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则P 点到AB 的距离为( )A．1 B．2 C．3 D．46．在△ABC中，AB=AC，∠C=75°，则∠A的度数是（）A．30°B．50°C．75°D．150°7．等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（）A．120°B．150°C．60°D．90°8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AC=4，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交BC于点D，则D到AB的距离为（）A．2B．4C．43D．239．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P若点P的坐标为（﹣2a，4a﹣6），则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣210．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）A ．10-15 B ．10-5C ．5-5D ．20-10 11．如图，直线12l l ∕∕，点A 在直线2l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12,l l 于点,C B ，连接,AC BC . 若54ABC ∠=︒，则1∠的度数为____________.12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是 13．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，若BC=5cm,则BD+DE=______.14．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________15．如图所示，点O 是直线AB 上的点，OC 平分∠AOD ，∠BOD=40°，则∠AOC=________ °．16．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A ，BC ＝4cm ，AB ＝_____cm ．17．在Rt △ABC 中，∠C=900 ,∠B=600 ,BC=2㎝ ，则AB=______㎝.18．如图，在ABC ∆中，060A ∠=，D 为ABC ∆内一点，且030DBC DCB ∠=∠=，长CD 交AB 于点E ，延长BD 交AC 于点F ，过点D 作DH BC ⊥于点H ，当82DF DE +=时，DH =_________．19．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，若△ABC 的周长为36，BC ＝13则△BCD 周长为_______.20．如图，已知：△ABC 中，∠C=90°，AC=40，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，AD ：DC=5：3，则D 点到AB 的距离是_____．21．如图，四边形ABCD 中，2,60,13,3AB AD A BC CD ==∠=︒==.(1)求ADC ∠的度数;(2)求四边形ABCD 的面积= . (第二问直接写答案)22．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =∠C =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠DEC =______°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变______（填“大”或“小”）；（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数．若不可以，请说明理由．23．已知a ，b 满足|a ﹣7|+5b -+（c ﹣42）2＝0．（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．24．如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥CD 交BC 的延长线于点F ，连接CD ． （1）求证：DE ＝CF ；（2）求EF 的长．25．在ABC ∆中，已知A α∠=.（1）如图1，ABC ACB ∠∠、的平分线相交于点D ．①当80α=o 时，BDC ∠度数= 度（直接写出结果）；②BDC ∠的度数为 （用含α的代数式表示）；（2）如图2，若ABC ∠的平分线与ACE ∠角平分线交于点F ,求BFC ∠的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将FBC ∆以直线BC 为对称轴翻折得到GBC ∆，GBC ∠的角平分线与GCB ∠的角平分线交于点M （如图3），求BMC ∠的度数（用含α的代数式表示）．26．已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上（I）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE=CN；②求CN的长；（II）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长。
(完整word版)北师大版八年级下第一章-三角形的证明练习题--培优训练
第一章培优训练1．在△ ABC中，∠ BAC=130°，假设 PM、QN分垂直平分AB和 AC，那么∠ PAQ=度．A AM NFEB CB D CP Q(1)(2)2．在等腰三角形 ABC中，AB=AC=5，BC=6，D 是 BC上一点，作 DE⊥AB，DF⊥AC， DE+DF=．3．如，一直角三角形的片，象中那折叠，使 A 与 B 重合，∠ B=30°， AC= 3 ，折痕DE等于．4．如，△ ABC≌△ ADE， BC的延交DE于 F，∠ B=∠D=25°，∠ ACB=∠E=105°∠ DAC=10° ∠ DFB=．BDEA FD E CD FC A(B)B E G CA B(3)(4)(5)5.如所示，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=1200，D、 F 分 AB 、AC 的中点，DEAB，FG AC ，E、 G 在 BC 上， BC=15cm ，求 EG 的度6、如，∠ AOB是一架，且∠ AOB=10°，了使架更加牢固，需在其内部添加一些管EF、FG、GH⋯⋯添加的管度都与OE相等，最多能添加的管根。
7．两个三角形如果具有以下条件：①三相等；②两和其中一上的中相等；③两和第三上的高相等；④三个角相等；⑤两和一个角相等；其中一定全等的有()个A． 2B．3C．4D．58．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD中，∠ B=∠ C=90°， M是 BC 的中点， DM平分∠ ADC，∠ CMD=35°，那么∠ MAB是多少度？〞大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出D C了正确结论，你知道他说的是()A． 20°B． 35°C． 55°D． 70°MA B 9．从边长为 1 的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为()A．3C ．2D． 2 2AB ．2 32D10．如图，在等边三角形ABC的三边上有三点D、 E、 F，且△ DEF也是等边三角F 形，其中 BD=3， CF=1，那么△ ABC的高等于 ()B CEA． 3B．23C．10D． 4(10题图 )11．在四边形ABCD中， AC平分∠ BAD，过 C 作 CE⊥AB于 E，且 AE＝1〔 AB＋ AD〕，求∠ ABC＋∠ ADC的度2数．DCA BE〔 11 题图〕12.如图1、图2，△ AOB，△ COD均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠ COD ＝ 90o，〔 1〕在图 1 中， AC 与 BD 相等吗？请说明理由〔 4 分〕（2〕假设△ COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达力 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？为什么？（8 分〕B BCDDA C O A O图 1图 213.在⊿ ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点O 作直线 M N∥ BC ，与∠ ACB的角平分线交于点E，与∠ ACB的外角平分线交于点F，求证： OE=OFAOM E F NB C14. 如图 2-5 所示．在等边三角形ABC中， AE=CD， AD， BE交于 P 点， BQ⊥ AD于 Q．求证： BP=2PQ．15．如图，在△ABC中， AD是高， CE是中线， DC=BE， DG⊥ CE于 G．求证：① G是 CE的中点．②∠ B=2∠ BCE．AEBGC 〔 15 题图〕D16.如图，美伊战争中，特种兵在 C 处发现 E，F 处各有一股伊军，电传A， B 两处的美军，此时，△ABC为等边三角形，F， E 点恰好在BA ， BC 的延长线上，由于伊军分布情况， A 股美军抵 F 后分化一局部向 CE 中点 D 行军，经测量， AF=BE, 试判断 FD 能为 F 到 CE 的最近距离吗？并说明理由。
2020-2021学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》单元综合培优训练(附答案)
2020-2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优训练（附答案）1．在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．7对3．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A．3B．4C．5D．64．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°5．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5B．6C．7D．86．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条7．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（）A．10B．8C．6D．48．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．16D．329．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°11．有一直角三角板，30°角所对直角边长是6cm，则斜边的长是（）A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm12．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：，则△ABC是直角三角形13．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．14．如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝10，则DF等于．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝cm．16．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝．17．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．18．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝10，则线段MN的长为．19．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝．20．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于度．21．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝cm．22．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝°．23．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE＝DF．25．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，DE＝1cm，求BD 的长．26．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．27．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AB ＝AC．28．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．29．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？30．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：AD＝DC；（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF ⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．31．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．参考答案1．解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．2．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵AC＝AB，∵∠CAE＝∠BAD，∴△AEC≌△ADB；∴CE＝BD，∵AC＝AB，∴∠CBE＝∠BCD，∵∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BCE≌△CBD；∴BE＝CD，∴AD＝AE，∵AO＝AO，∴△AOD≌△AOE；∵∠DOC＝∠EOB，∴△COD≌△BOE；∴OB＝OC，∵AB＝AC，∴CF＝BF，AF⊥BC，∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．∵∠ABO＝∠ACO，AB＝AC，∠AOB＝∠AOC，∴△AOB≌△AOC，共7对，故选：D．3．解：∵在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．∴到三角形三边所在直线距离相等的点有4个．故选：B．4．解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠C＝40°，∴∠BAE＝∠BAE﹣∠CAE＝60°．故选：D．5．解：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选：D．6．解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．7．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×12＝6，故选：C．8．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝，∴A2B1＝，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝2，A4B4＝8B1A2＝4，A5B5＝16B1A2＝8，…∴△A n B n A n+1的边长为×2n﹣1，∴△A6B6A7的边长为×26﹣1＝×25＝16．故选：C．9．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．10．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A＝50°，故选：D．11．解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，∴斜边长为12cm．故选：D．12．解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；D、如果a：b；c＝3：4：，，则△ABC是直角三角形，正确；故选：D．13．解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．故答案为：AB＝DC．14．解：过D作DM⊥AC，∵∠DAE＝∠ADE＝15°，∴∠DEC＝30°，AE＝DE，∵AE＝10，∴DE＝10，∴DM＝5，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝15°，∴∠BAD＝∠DAC，∵DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM＝5．故答案为：5．15．解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4（cm），∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，∴BD＝2AD＝8（cm），∴BC＝BD+CD＝12（cm）．故答案为：12．16．解：∵△ABC为锐角三角形，∴高AD和BE在三角形内．∵高AD和BE交于点H，∴∠ADC＝∠BEC＝90°．∵∠EBD+∠BHD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°，∠BHD＝∠AHE，∴∠EAD＝∠EBD，又∵BH＝AC，∠ADC＝∠BDH＝90°，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD＝AD，∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝45°．故答案为45°17．解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°18．解：∵MN∥BC∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE∴ME＝MB，NE＝NC∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝10故答案为：1019．解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．20．解：连接BC．设正方体的边长为1，则AB＝AC＝BC＝，所以△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°．故答案是60．21．解：在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD．∴∠BAD＝∠CAD．又∵AB＝AC，∴BE＝EC＝3cm．∴BC＝6cm．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝6cm．故答案为：6．22．解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，当P A⊥OA时，∠A＝90°，即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．故答案为：50或90．23．证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．24．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵点D为BC中点，∴DB＝DC，∴在△DBE和△DCF中，∴△DBE≌DCF（AAS），∴DE＝DF．25．解：如图，连接AD，∵等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CDE中，∵DE＝1cm，∴CD＝2DE＝2cm，在Rt△ABD中，BD＝2AD＝2CD＝2×2＝4cm．26．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°27．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，又∵BD＝CD，∠DEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．28．解：（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形；∵BE为角平分线，而AE⊥AB，ED⊥CE，故AE＝DE，故△ADE均为等腰三角形；∵BE＝BE，∠ABE＝∠DEB，∴△ABE≌△DBE（SAS），∴AB＝BD，∴△ABD和△ADE均为等腰三角形；∵∠C＝45°，ED⊥DC，∴△EDC也符合题意，综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；（2）AD与BE垂直．证明：∵△ABE≌△DBE（SAS），∴BA＝BD，EA＝EC，∴BE垂直平分相等AD，即AD⊥BE．（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE＝DE，在Rt△ABE和Rt△DBE中∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），∴AB＝BD，又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°，又ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC，即AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．29．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝10﹣2t，解得t＝，∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，y﹣10＝30﹣2y，解得：y＝．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．30．（1）证明：∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC，又∵AD＝BC，∴AD＝DC；（2）△DEF为等边三角形，证明：∵BC＝DC（已证），CF⊥BD，∴点F是BD的中点，∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF．∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，∴△DEF为等边三角形．31．（1）证明：如图1所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，BC＝．∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．∴DA＝DB．∵DE⊥AB于点E．∴AE＝BE＝．∴BC＝BE．∴△EBC是等边三角形；（2）结论：AD＝DG+DM．证明：如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，又∵DM＝DW，∴△WDM是等边三角形，∴MW＝DM，在△WGM和△DBM中，∵∴△WGM≌△DBM，∴BD＝WG＝DG+DM，∴AD＝DG+DM．（3）结论：AD＝DG﹣DN．证明：延长BD至H，使得DH＝DN．由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．。
完整word版北师大版八年级下第一章 三角形的证明练习题 培优训练
第一章培优训练 PAQ= AB和度．AC，那么∠QN1．在△ABC中，∠BAC=130°，若PM、分别垂直平分A AN M F E C CB B PQ D)(1题图) (2题图．则DE+DF= ，上一点，作DE⊥AB，DF⊥，2．在等腰三角形ABC中，AB=AC=5BC=6，D是BCAC3等，则折痕与．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使AB重合，∠B=30°，AC=DE3 ．于∠D=25°，∠ACB=∠E=105°FABC4．如图，△≌△ADE，BC的延长线交DE于，∠B=∠． DAC=10°则∠DFB= BDAEFF D DECG CE BAC(B)AB(5题图))(4 题图(3题图)DE?AB，FG?AC0，AC的中点，、，∠5.如图所示，在△ABC中，AB=ACBAC=120，D、F分别为ABE、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度6、如图，∠AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根。
7．两个三角形如果具有下列条件：①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中一定全等的有( )个A．2 B ．3 C ．4 D．51DMM是BC的中点，8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，是多少度？”大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出MABCMD=35°，则∠平分∠ADC，∠ C D( ) 了正确结论，你知道他说的是° B．35° C．55°D．70°A．20MBA( ) ．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为93A32222 D．A． B． C．2D也是等边三角，且△DEF D、E、F的三边上有三点10．如图，在等边三角形ABC F( ) ABC的高等于形，其中BD=3，CF=1，则△CBE3104 C．．A．3 B． 2 D)题图(101的度ABC＋∠ADC）（ABCEAC平分∠BAD，过C作⊥AB于E，且AE＝＋AD，求∠ABCD11．在四边形中，2D数．CBA E题图）（1190o，AOB＝∠COD＝，△12. 如图1、图2，△AOBCOD均是等腰直角三角形，∠分）BD相等吗？请说明理由（4与（1）在图1中，AC还相等吗？为什么？与BD的位置，顺时针旋转一定角度后，到达力2请问ACO）（2若△COD绕点8分）（BBCDDAA OOC2图1图2N∥BC，与是ABC中，点OAC边上一动点，过点O作直线M13.在⊿的外角平分线交于点F，求证：OE=OF ACB∠ACB的角平分线交于点E，与∠ AOF E NMB C．BP=2PQ．求证：于BQ⊥ADQ，所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，ADBE交于P点，如图14.2-5．于GDG是中线，DC=BE，⊥CECEABC15．如图，在△中，AD是高， BCE．CE的中点．②∠B=2∠G求证：①是AEGC BD（15题图）3ABC，B两处的美军，此时，△处发现E，F处各有一股伊军，电传A16.如图，美伊战争中，特种兵在C后分化一部分A股美军抵FE点恰好在BA，BC的延长线上，由于伊军分布情况，为等边三角形，F，（15分）能为F到CE的最近距离吗？并说明理由。
北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 达标测试卷(含答案)
第一章三角形的证明达标测试卷一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A．2，3，4 B．3，4，5C．4，6，7 D．5，11，122．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，则∠B的度数是()A．50°B．65°C．80°D．130°3．对于命题“若x2＞y2，则x＞y”，能说明它是假命题的反例是() A．x＝－2，y＝－1 B．x＝－1，y＝－2C．x＝2，y＝1 D．x＝1，y＝24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A．5 B．6 C．8 D．10(第4题)(第5题)5．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是()A．AE＝DF B．∠A＝∠DC．∠B＝∠C D．AB＝DC6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，且AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列说法错误的是()A．∠CAD＝30°B．AD＝BDC．BE＝2CD D．CD＝ED7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CF A的度数是()A．100°B．105°C．110°D．120°(第7题)(第8题)(第10题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是() A．30°B．35°C．40°D．45°9．已知△ABC(AC<BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使P A＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是()10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，连接EF，则下列四个结论：①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；③DA平分∠EDF;④AD垂直平分EF.其中结论正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝________．12．命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是________________________，该逆命题是______命题(填“真”或“假”)．13．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C 向上拉升3 cm到D，则橡皮筋被拉长了________cm.(第13题)(第14题)14．如图，正方形的网格中，网格线的交点称为格点，已知点A，B是两个格点，若C点也是格点，且使△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数为________个．15．如图，△ABC中，AB＋AC＝6，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC 于点E，连接CD，则△ACD的周长为________．(第15题)(第16题)16．如图，等边三角形ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点．若AE＝4，则EM＋CM的最小值为________．三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)已知：∠ABC，射线BC上一点D(如图所示)．求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC 的内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．(要求：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)318．(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C 作CF∥AB，CF交ED的延长线于点F.(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．19．(8分)如图，锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．20．(8分)如图，AB⊥CD于B，CF交AB于E，CE＝AD，BE＝BD.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)求证：CF⊥AD；(3)当∠C＝30°，CE＝8时，直接写出线段AE、CF的长度．21．(10分)如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：5(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由；(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．22．(10分)已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点D为BC的中点．(1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，试探究BE和AF之间的数量关系，并说明四边形AEDF的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由；(2)如果点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．答案一、1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C7.C 8．C点拨：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ACB ＝12×(180°－30°)＝75°.∵∠1＝∠A＋∠AED＝145°，∴∠AED＝145°－30°＝115°.∵a∥b，∴∠AED＝∠2＋∠ACB.∴∠2＝115°－75°＝40°.9．D10.D二、11.110°12.等腰三角形是等边三角形；假13.214．815.616．4 7点拨：如图，在AB上截取AE′＝AE＝4，连接CE′，CE′与AD交于点M，连接ME，易知此时EM＋CM的值最小，即为线段CE′的长度．过点C 作CF⊥AB，垂足为F.∵△ABC是等边三角形，∴AF＝12AB＝6，∴CF＝AC2－AF2＝6 3，E′F＝AF－AE′＝2，∴CE′＝CF2＋E′F2＝4 7.三、17.解：如图，△PBD为所求作的三角形．18．(1)证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.∴△BDE≌△CDF(AAS)．7(2)解：∵△BDE ≌△CDF ，∴BE ＝CF ＝2.∴AB ＝AE ＋BE ＝1＋2＝3.∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴AC ＝AB ＝3.19．(1)证明：∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB .∵BE ，CD 是两条高，∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°.又∵BC ＝CB ，∴△BDC ≌△CEB (AAS)．∴∠DBC ＝∠ECB .∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形．(2)解：点O 在∠BAC 的平分线上．理由：∵△BDC ≌△CEB ，∴DC ＝EB .∵OB ＝OC ，∴OD ＝OE .又∵∠BDC ＝∠CEB ＝90°，∴点O 在∠BAC 的平分线上．20．(1)证明：∵AB ⊥CD ，∴∠CBE ＝∠ABD ＝90°.在Rt △CBE 和Rt △ABD 中，⎩⎨⎧CE ＝AD ，BE ＝BD ，∴Rt △CBE ≌Rt △ABD (HL)，(2)证明：∵Rt △CBE ≌Rt △ABD ，∴∠C ＝∠A .∵∠AEF ＝∠CEB ，∴∠AFE ＝∠CBE ＝90°，∴CF ⊥AD .(3)解：AE ＝4 3－4，CF ＝6＋2 3.21．解：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直．理由如下：∵点Q 到达点C 时，BQ ＝BC ＝6 cm ，∴t ＝62＝3.∴AP ＝3 cm.∴BP ＝AB －AP ＝3 cm ＝AP .∴点P 为AB 的中点．∴PQ ⊥AB .(2)能．∵∠B ＝60°，∴当BP ＝BQ 时，△BPQ 为等边三角形．9 ∴6－t ＝2t ，解得t ＝2.∴当t ＝2时，△BPQ 是等边三角形．22．解：(1)BE ＝AF ，四边形AEDF 的面积为定值．理由：如图①所示，连接AD .∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD ＝45°.∵点D 为BC 的中点，∴AD ＝12BC ＝BD ，∠F AD ＝45°.∵∠BDE ＋∠EDA ＝90°，∠EDA ＋∠ADF ＝90°，∴∠BDE ＝∠ADF .在△BDE 和△ADF 中，⎩⎨⎧∠EBD ＝∠F AD ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF (ASA)，∴BE ＝AF ，S △ADF ＝S △BDE ，∴S 四边形AEDF ＝S △ADE ＋S △ADF ＝S △ADE ＋S △BDE ＝S △ABD ＝12×12×4×4＝4， ∴四边形AEDF 的面积是定值，定值为4.(2)BE ＝AF ，理由如下：连接AD ，如图②所示．∵∠ABD ＝∠BAD ＝45°，∴∠EBD ＝∠F AD ＝135°.∵∠EDB ＋∠BDF ＝90°，∠BDF ＋∠FDA ＝90°，∴∠EDB ＝∠FDA .在△EDB 和△FDA 中，⎩⎨⎧∠EBD ＝∠F AD ，BD ＝AD ，∠EDB ＝∠FDA ，∴△EDB≌△FDA(ASA)，∴BE＝AF.。
2020-2021学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优提升训练
2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优提升训练（附答案）1．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°2．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）A．三角形的高线B．边的中垂线C．三角形的中线D．三角形的角平分线3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD4．如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（）A．60°B．75°C．90°D．105°5．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（）A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（）A．αB．αC．αD．α7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（）A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为．10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动秒时，△DEB与△BCA全等．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．（1）求证：△BDF是等边三角形；（2）若移动点D使EF∥AB时，求AD的长．12．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．13．如图，△ABC中AB＝AC，BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA，BD 交AC于F，连接AD．（1）求证：AD平分∠GAC；（2）求证：AD∥BC．14．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．15．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．16．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC＝∠B．17．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE 交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．18．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的面积．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．21．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．参考答案1．解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图2，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．2．解：三角形的中线平分三角形的面积，故选：C．3．解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD＝∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF＝∠CHE，∴∠CEH＝∠CHE∴CH＝CE＝EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE＝∠BAE，又∵∠ACB＝∠AFE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AEF，∴CE＝EF，∠CEA＝∠AEF，AC＝AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选：D．4．解：∵CD⊥AB，E为AC边的中点，∴AC＝2DE＝，∵AB＝2，AC＝1，∴BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∴∠DCE＝60°，∵DE＝CE，∴∠CDE＝60°，∴∠CDE+∠BCD＝90°，故选：C．5．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，解得x＝17，此时三边长7cm、7cm、17cm，∵7+7＜17∴此三角形不成立；若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得7+x+x＝31，解得x＝12，此时三边长7cm、12cm、12cm．答：该等腰三角形的腰长为12cm．故选：D．6．解：根据题意：在△ABC中，AB＝AC∴∠B＝∠C∵AE＝AD∴∠ADE＝∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC＝∠C+∠EDC化简可得：∠α＝2∠EDC∴∠EDC＝α．故选：A．7．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD，A正确，不符合题意；BD＝CD，B正确，不符合题意；∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∵∠EAD＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝ED，C正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意；故选：D．8．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．9．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．10．解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8﹣4＝4，∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12，∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，AE＝8+8＝16，点E的运动时间为16÷2＝8（秒），故答案为：0，2，6，8．11．（1）证明：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵DE⊥AB，∴∠EDB＝90°，∵∠EDF＝30°，∴∠FDB＝60°＝∠B，∴DF＝BF，∴△BDF是等边三角形；（2）解：∵EF∥AB，DE⊥AB，∴EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∵∠EDF＝30°，∴DF＝2EF，DE＝EF，设EF＝x，则DE＝x，DF＝2x，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵△BDF是等边三角形，∴DF＝BF＝BD＝2x，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣2x，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，∴AD＝DE，即2﹣2x＝•x，解得：x＝，∴AD＝2﹣2×＝．12．证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．13．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，∴DM＝DN＝DK，∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠GAD＝∠DAC，∴AD平分∠GAC．（2）证明：∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∠GAD＝∠DAC，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠GAD＝∠ABC，∴AD∥BC．14．证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝DE＝AC，∵F是BD的中点，∴EF⊥BD．15．解：（1）成立．理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝CE；（2）成立．理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF＝BF，由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴AE＝BC，∵BD＝BC，∴BD＝AE．16．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD ＝∠EDA，∴∠EAC＝∠B．17．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．（2）∵F是AC的中点，∴AF＝CF．∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE．由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG．∴AE＝GC＝8．∵GC＝2BG，∴BG＝4．∴BC＝12．∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．18．（1）证明：连接ME、MD，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵M是BC的中点，∴DM＝BC，同理可得EM＝BC，∴DM＝EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵BC＝10，ED＝6，∴DM＝BC＝5，DN＝DE＝3，由（1）可知∠MND＝90°，∴MN＝＝＝4，∴S△MDE＝DE•MN＝×6×4＝12．19．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．20．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．21．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图（2），∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°．。
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第一章培优训练
1．在△ABC中，∠BAC=130°，若PM、QN分别垂直平分AB和AC，那么∠PAQ= 度．
2．在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC上一点，作DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF= ．3．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A与B重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE等于．
4．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠E=105°∠DAC=10°则∠DFB= ．
(3题图) (4题图)
5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度
6、如图，∠AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……
添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根。
7．两个三角形如果具有下列条件：
①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对
应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中一定全等的有( )个
A．2 B ．3 C ．4 D．5
8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM (1题图)(2题图)
C
D
(5题图)
A B
C
D
E
F
E
D
(B)
B
C A
平分∠ADC ，∠CMD=35°，则∠MAB 是多少度？”大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出了正确结论，你知道他说的是( ) A ．20° B ．35°
C ．55°
D ．70°
9．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为( ) A ．
2
3
B ．32
C ．2
D ．22 10．如图，在等边三角形ABC 的三边上有三点D 、
E 、
F ，且△DEF 也是等边三角形，其中BD=3，CF=1，则△ABC 的高等于( )
A ．3
B ． 23
C ．10
D ．4
11．在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝2
1
（AB ＋AD ），求∠ABC ＋∠ADC 的度数．
（11题图）
12. 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90º，
（1）在图1中，AC 与BD 相等吗？请说明理由（4分） （2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗？为什么？（8分）
13.在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，与
∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF
(10题图)
14.如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．
15．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于G．
求证：①G是CE的中点．②∠B=2∠BCE．
（15题图）
16.如图，美伊战争中，特种兵在C处发现E，F处各有一股伊军，电传A，B两处的美军，此时，△ABC为
等边三角形，F，E点恰好在BA，BC的延长线上，由于伊军分布情况，A股美军抵F后分化一部分向CE
中点D 行军，经测量，AF=BE,试判断FD 能为F 到CE 的最近距离吗？并说明理由。
（15分） F
A
B C D E 图16
17.在中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，
交BC 的延长线于点M ，若0
40A ∠=. （1）求NMB ∠的度数；
（2）如果将（1）中A ∠的度数改为070，其余条件不变，再求
NMB ∠的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的A ∠改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？
18、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE=∠CDE ．
求证：AB=CD
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法提示，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
19、如图，已知：等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，则△ABC 高为h。
（1）若点P在一边BC上如图（1），请问h1、h2、h3、h之间有何关系？
（2）若点P在△ABC内如图（2），上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系？
20、已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，
求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．。