5-5充分统计量

T (t1 , t2 ) ( xi , xi2 )
是θ的充分统计量. 进一步, 它的一一对应变换 ( x, s )仍 是充分统计量.
证：
i 1 i 1
2
n
n
p( x1 ,
, xn ; ) (2 2 )
n 2
n
2
exp{
1 2 2
n
2 ( x ) } i i 1
, X n 1 xn 1 , X n t xi )
i 1 n 1 n
P ( X i t )

P( X
i 1
n 1
i 1
i
xi ) P(X n t xi )
t t Cn (1 )n t i 1
n 1

x 1 x (1 )
n
i 1
由因子分解定理可知, T x 是μ的充分统计量。
例5 设总体X分布为U(0,θ), x1 , x2……, xn是取自总体 的样本，则T=x(n) 是θ 的充分统计量.
证：
p( x1; )
1/ , 0 x p( x; ) 0 , else
0 min{xi } max{xi } (1/ )n ， p( xn ; ) else 0 ，
注：若θ是参数向量，T是随机向量，且满足因子分 解定理的条件，则T是θ的充分统计量. 但不能由T 关于θ是充分的, 推出T 的第i 个分量关于θ的第i 个 分量也是充分的. 例7. 设x1 , x2……, xn是取自均匀分布U(θ,2θ)的样 本，其中参数θ>0，试给出充分统计量.
例8 设x1 , x2……, xn是取自总体X的样本，其中X的密 度为 1
i i
n 1 i 1
t
xi
i 1
n1
(1 )
1t
xi
i 1
n1
t t Cn (1 ) n t
(1 ) 1 t t t n t Cn (1 ) Cn
t n t
该条件分布与θ 无关，因而T是充分统计量。 注1：用条件分布与未知参数无关来表示统计量不损失 样本中有价值的信息的方法是可行的. 2：充分统计量不唯一. 实际上, 样本本身就是参数的一 个充分统计量. 由此, 充分统计量总存在. 3：若样本容量为n, （在上例中）则T1=x1+x2不是充分统 计量. 显然,它浪费了n-2个样品的信息.
Tx
( xi , xi )
i 1 i 1 n
n
取t1 xi , t2 xi2 , 并令
i 1 i 1
n n 1 2 (2 2 ) 2 exp{ }exp{ ( x 2 xi )} 2 2 i 2 2 i 1 i 1 n n
2 n 1 2 2 g (t1 , t2 ; ) (2 ) exp{ }exp{ (t2 2 t1 )} 2 2 2 2 h( x1 , , xn ) 1 即可. n
定义:
T和θ可以是向量, 维数不一定相同
设x1 , x2 ,
, xn是总体分布函数为F ( x; )的样本， , xn )称为的充分统计量(也称为
统计量T T ( x1 , 样本x1 ,
该分布的充分统计量),如果在(任意)给定T 值后,
, xn的条件分布与 无关.
注：条件分布可用条件分布列或条件密度函数来表示. 定理1：设T=T(x1,…xn)是参数θ的一个充分统计量， z=ψ(t)具有单值反函数，则Z=ψ(T)也是θ的一个充分统 计量.（即充分统计量经一一对应变换后仍是充分统计量）
, xn )为充分统计量的充要条件是: , xn , 有
存在两个函数g (t , )和h( x1 , , xn ), 使得对任意的 和任一组观测值x1 ,
p( x1,..., xn ; ) g[T ( x1,
, xn ), ] h( x1,
, xn )
其中g( t,θ)是通过统计量T 的取值而依赖于样本的， 而h(x1,…,xn)不依赖于θ.
例4 设x1 , x2……, xn是取自总体N(μ,1) 的样本， 令 Tx 证： , 则T 为μ 的充分 统计量.
n 1 2 2 (2 ) exp{ ( x ) } , xn ) i 2 i 1 n
n
p ( x1 ,
n i 1
而 ( xi )2 ( xi x)2 n( x )2
(1/ )n I{ x( n ) } I{ x(1) 0}
取T x( n) , 并令g (t , ) (1/ ) I{t } , h( x1 , , xn ) I{x(1) 0}
n
由因子分解定理可知,T=x (n)是θ的充分统计量。
例6 设总体X分布为N(μ,σ2), x1 , x2……, xn是取自总体 的样本，θ=( μ,σ2) 是未知的, 则
由因子分解定理可知,T xi 是θ的充分统计量。 注：因为充分统计量的一一对应变换仍是充分统计量. 故例8中 n 1 几何平均 n x1 , , xn 及其对数 都是θ的充分统 ln x i n i 1 计量.
常见分布的充分统计量
分布
两点分布b(1, p)
Poisson分布P(λ) 几何分布Ge(θ) 均匀分布U(0, θ) 均匀分布U(θ1, θ2)
p( x; ) x
, 0 x 1, 0
n
试给出一个充分统计量. (P283) 解:
p( x1 ,....xn ; ) ( xi )
n i 1
1
取T xi , 并令g (t , ) t 1 n , h( x1 ,
i 1
n i 1
n
, xn ) 1
第五节 充分统计量
1、充分性的概念
2、因子分解定理
一、充分性的概念
不损失信息的统计量就是充分统计量.它概括 了样本中所含未知参数的全部信息. 例1 为研究某运动员的打靶命中率θ, 对其进行测试。 观测10次，发现除第三、六次未命中外，其余八次都 命中。此观测结果包括两种信息： （1）打靶10次命中8次； （2）两次未命中出现在第三、六次打靶上。
(2 )
n
2
1 取T x, 并令 g (t , ) exp{ n(t ) 2 } 2 n
h( x1 , , xn ) (2 )
n 2
1 1 2 exp{ ( xi x) }exp{ n( x ) 2 } 2 i 1 2 1 exp{ ( xi x)2 } 2 i 1
例2 设总体X分布为b(1,θ), X1 , X2……, Xn是取自总体的 样本，令T=X1 +….+Xn , 则在给定T 的取值 t 后, 对任意 n 一组 ( x1 , x2 ,..., xn ), ( xi t,) 有
i 1
P( X1 x1,
P( X 1 x1 ,
, X n xn | T t )
例3. 设总体X ~ P( )，即p( x; )
x
x! x1 , x2为样本，证明T =2x1 x2不是的充分统计量.
e , x 0,1,
二、因子分解定理
以下统称分布列和密度函数为概率函数. 定理2： 设总体的概率函数为p( x; ),x1 ,
, xn是样本，则
统计量T T ( x1 ,
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参数 p
λ θ θ (θ1,θ2)
充分统计量
Tx Tx Tx
T x(n)
( x(1) , x(n) )
( x(1) , x(n) )
2)
均匀分布U(θ, 2θ)
正态分布N(μ,σ
2)
θ
(μ,σ λ (α ,λ)
( x,
(x
i 1
n
n
i
x) 2 )
指数分布Exp(λ) 伽玛分布Ga(α ,λ)