用matlab实现线性常系数差分方程的求解

数字信号处理课程设计题目：试实现线性常系数差分方程的求解学院：专业：班级：学号：组员：指导教师：题目：用Matlab 实现线性常系数差分方程求解一． 设计要求1． 掌握线性常系数差分方程的求解2． 熟练掌握Matlab 基本操作和各类函数调用 3．结合Matlab 实现线性常系数差分方程的求解二．设计原理1．差分与差分方程与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。

设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k －1),f(k －2),…为f(k)的移位序列。

序列的差分可以分为前向差分和后向差分。

一阶前向差分定义为()(1)()f k f k f k ∆=+- （3.1—1）一阶后向差分定义为()()(1)f k f k f k ∆=-- （3.1—2）式中Δ和Δ称为差分算子。

由式（3.1—1）和式（3.1—2）可见，前向差分与后向差分的关系为()(1)f k f k ∆=∆- （3.1—3）二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。

此处主要采用后向差分，并简称其为差分。

由查分的定义，若有序列1()f k 、2()f k 和常数1a ，2a 则1122112211221112221122[()()][()()][(1)(1)][()(1)][()(1)]()()a f k a f k a f k a f k a f k a f k a f k f k a f k f k a f k a f k ∆+=+--+-=--+--=∆+∆ （3.1—4）这表明差分运算具有线性性质。

二阶差分可定义为2()[()][()(1)]()(1)()2(1)(2)f k f k f k f k f k f k f k f k f k ∆=∆∆=∆--=∆-∆-=--+- （3.1—5）类似的，可定义三阶、四阶、…、n 阶差分。

一般地，n 阶差分10()[()](1)()nn n j j n f k f k f k j j -=⎛⎫∆=∆∆=-- ⎪⎝⎭∑ （3.1—6）式中!,0,1,2,,()!!n n j n j n j j ⎛⎫== ⎪-⎝⎭ （3.1—7）为二项式系数序列f(k)的求和运算为()ki f i =-∝∑（3.1—8）差分方程是包含关于变量k 的未知序列y(k)及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为,(),(),,()0n F k y k y k y k ⎡⎤∆∆=⎣⎦ （3.1—9a ）式中差分的最高阶为n 阶，称为n 阶差分方程。

由式（3.1—6）可知，各阶差分均可写为y(k)及其各移位序列的线性组合，故上式常写为[],(),(1),,()0G k y k y k y k n --= （3.1—9b ）通常所说的差分方程是指式（3.1—9b ）形式的方程。

若式（3.1—9b ）中，y(k)及其各移位序列均为常数，就称其为常系数差分方程；如果某些系数是变量k 的函数，就称其为变系数差分方程。

描述LTI 离散系统的是常系数线性差分方程。

差分方程是具有递推关系的代数方程，若一直初始条件和激励，利用迭代法渴求的差分方程的数值解。

2. 差分方程的经典解一般而言，如果但输入—单输出的LTI 系统的激励f(k)，其全响应为y(k)，那么，描述该系统激励f(k)与响应y(k)之间关系的数学模型式n 阶常系数线性差分方程，它可写为1010()(1)()()(1)()n m m y k a y k a y k n b f k b f k b f k m --+-++-=+-++- （3.1—10a ）式中(0,1,,1)j a j n =-、(0,1,,)i b i m =都是常数。

上式可缩写为()()(=1)nmn jm i n j i ay k j a f k i a --==-=-∑∑式中 （3.1—10b ）与微分方程的经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。

齐次解用()h y k 表示，特解用()p y k 表示，即()=()()h p y k y k y k + （3.1—11）a.齐次解当式（3.1—10)中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程10()(1)()0n y k a y k a y k n -+-++-= （3.1—12）的解称为齐次解。

首先分析最简单的一阶差分方程。

若一阶差分方程的齐次方程为()(1)0y k ay k +-= （3.1—13）它可改写为()(1)y k ay k =--y(k)与y(k －1)之比等于－a 表明，序列y(k)是一个公比为－a 的等比级数，因此y(k)应有如下形式()()k y k C a =- （3.1—14）式中C 式常数，有初始条件确定。

对于n 阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为kC λ的序列组合而成，将k C λ代入到式（3.1—12），得111100k k k n k n n C a C a C a C λλλλ-----++++=由于C ≠0，消去C ；且λ≠0，以k n λ-除上式，得11100n n n a a a λλλ--++++=（3.1—15）上式称为差分方程式（3.1—10）和式（3.1—12）的特征方程，它有n 个根(0,1,,)j j n λ=，称为差分方程的特征根。

显然，形式为jk j C λ的序列都满足式（3.1—12），因而它们是式（3.1—10）方程的齐次解。

依特征根取值的不同，差分方程齐次解的形式见表3—1,其中j C 、j D 、j A 、j θ等为待定常数表3—1 不同特征根所对应的齐次解1C k ++sin()]k A βρ或1200)cos()]r r A A θθ--++- b.特解特解的函数形式与激励的函数形式有关，表3—2列出了集中典型的激励f(k)所对应的特解()p y k 。

选定特解后代入原差分方程，求出其待定系数()j P A θ或等，就得出方程的特解。

表3—2 不同激励所对应的特解1Pk P ++11Pk P -+++0()kPk P a + 当a 是特征单根时1110[]r r kr r P k P k Pk P a--++++ 当a 是r 重特征根时cos()k β或sin()k βcos()sin()cos(),A j P k Q k A k e P jQ θβββθ+-=+或其中所有特征根均不等于j e β±c.全解式（3.1—10）的线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。

如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为1()=()()()nk h p j j p j y k y k y k C y k λ=+=+∑（3.1—16）如果特征根1λ为r 重根，而其余n －r 个特征根为单根时，差分方程的全解为11()=()rnr jk k j jj j p j j r y k C kC y k λλ-==+++∑∑（3.1—17）式中各系数jC 由初始条件确定。

如果激励信号是在k=0时接入的，差分方程的解适合于k ≥0。

对于n 阶差分方程，用给定的n 个初始条件y(0),y(1),…,y(n －1)就可确定全部待定系数。

如果差分方程的特解都是单根，则方程的全解为式（3.1—16），将给定的初始条件y(0),y(1),…,y(n －1)分别代入到式（3.1—16），可得1211221111122(0)(0)(1)(1)(1)(1)n p n n p n n n n n p y C C C y y C C C y y n C C C y n λλλλλλ---=++++=++++-=++++-（3.1—18）由以上方程可求得全部待定系数(0,1,,)j C j n =。

2.1零输入响应系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用()zi y k 表示。

在零输入条件下，式（3.1—10）等号右端为零，化为齐次方程，即()0nn jzi j ay k j -=-=∑ （3.1—25）一般设定激励是在k=0时接入系统的，在k ＜0时，激励尚未接入，故式（3.1—25）的几个初始状态满足(1)(1)(2)(2)()()zi zi zi y y y y y n y n -=--=--=- （3.1—26）式（3.1—26）中的y(－1),y(－2),…,y(－n)为系数的初始状态，由式（3.1—25）和式（3.1—26）可求得零输入响应()zi y k 。

2.2零状态响应当系统的初始状态为零，仅由激励f(k)所产生的响应，称为零状态响应，用 表示。

在零状态情况下，式（3.1—10）仍是非齐次方程，其初始状态为零，即零状态响应满足()()(1)(2)()0nmn jzs m i j i zs zs zs ay k j a f k i y y y n --==-=--=-==-=∑∑（3.1—30）的解。

若其特征根均为单根，则其零状态响应为1()()nk zs zsj j p j y k C y k λ==+∑ （3.1—31）式中zsj C 为待定常数，()p y k 为特解。

需要指出，零状态响应的初始状态(1),(2),,()zs zs zs y y y n ---为零为零，但其初始值(0),(1),,(1)zs zs zs y y y n -不一定等于零。

3.线性常系数差分方程3.1一个N 阶线性常系数差分方程可用下式表示：1()()()M Ni i i i y n b x n i a y n i ===---∑∑ （1.4.1）或者()(),1N Miii i a y n i b x n i a==-=-=∑∑ （1.4.2）式中，x （n ）和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai 和bi 均为常系数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次幂，也没有相互交叉相乘项，故称为线性常系数差分方程。

差分方程的阶数是用方程y(n-i)项中i 的最大取值与最小取值之差确定的。

在（1.4.2）式中，y(n-i)项i 最大的取值N ，i 的最小取值为零，因此称为N 阶差分方程。

4． 线性常系数差分方程的求解已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。

求解差分方程的基本方法有以下三种：（1） 经典解法。

这种方法类似于模拟系统中求解微分方程的方法，它包括齐次解与特解，由边界条件求待定系数，上节已作简单介绍，这里不作介绍。

（2） 递推解法。

这种方法简单，且适合用计算机求解，但只能得到数值解，对于阶次较高的线性常系数差分方程不容易得到封闭式（公式）解答。

（3） 变换域方法。

这种方法是将差分方程变换到z 域进行求解，方法简便有效。

当然还可以不直接求解差分方程，而是先由差分方程求出系统的单位脉冲响应，再与已知的输入序列进行卷积运算，得到系统输出。