用matlab实现线性常系数差分方程的求解
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数字信号处理课程设计
题目:试实现线性常系数差分方程的求解
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题目:用Matlab 实现线性常系数差分方程求解
一. 设计要求
1. 掌握线性常系数差分方程的求解
2. 熟练掌握Matlab 基本操作和各类函数调用 3.
结合Matlab 实现线性常系数差分方程的求解
二.设计原理
1.差分与差分方程
与连续时间信号的微分及积分运算相对应,离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k -1),f(k -2),…为f(k)的移位序列。序列的差分可以分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为
()(1)()f k f k f k ∆=+- (3.1—1)
一阶后向差分定义为
()()(1)f k f k f k ∆=-- (3.1—2)
式中Δ和Δ称为差分算子。由式(3.1—1)和式(3.1—2)可见,前向差分与后向差分的关系为
()(1)f k f k ∆=∆- (3.1—3)
二者仅移位不同,没有原则上的差别,因而它们的性质也相同。此处主要采用后向差分,并简称其为差分。
由查分的定义,若有序列1()f k 、2()f k 和常数1a ,2a 则
1122112211221112221122[()()][()()][(1)(1)][()(1)][()(1)]()()
a f k a f k a f k a f k a f k a f k a f k f k a f k f k a f k a f k ∆+=+--+-=--+--=∆+∆ (3.1—4)
这表明差分运算具有线性性质。 二阶差分可定义为
2()[()][()(1)]()(1)()2(1)(2)
f k f k f k f k f k f k f k f k f k ∆=∆∆=∆--=∆-∆-=--+- (3.1—5)
类似的,可定义三阶、四阶、…、n 阶差分。一般地,n 阶差分
1
0()[()](1)()n
n n j j n f k f k f k j j -=⎛⎫
∆=∆∆
=-- ⎪⎝⎭
∑ (3.1—6)
式中
!
,0,1,2,,()!!
n n j n j n j j ⎛⎫== ⎪
-⎝⎭ (3.1—7)
为二项式系数
序列f(k)的求和运算为
()k
i f i =-∝
∑
(3.1—8)
差分方程是包含关于变量k 的未知序列y(k)及其各阶差分的方程式,它的一般形式可写为
,(),(),,()0n F k y k y k y k ⎡⎤∆∆=⎣⎦ (3.1—9a )
式中差分的最高阶为n 阶,称为n 阶差分方程。由式(3.1—6)可知,各阶差分均可写为y(k)及其各移位序列的线性组合,故上式常写为
[],(),(1),,()0G k y k y k y k n --= (3.1—9b )
通常所说的差分方程是指式(3.1—9b )形式的方程。
若式(3.1—9b )中,y(k)及其各移位序列均为常数,就称其为常系数差分方程;如果某些系数是变量k 的函数,就称其为变系数差分方程。描述LTI 离散系统的是常系数线性差分方程。
差分方程是具有递推关系的代数方程,若一直初始条件和激励,利用迭代法渴求的差分方程的数值解。
2. 差分方程的经典解
一般而言,如果但输入—单输出的LTI 系统的激励f(k),其全响应为y(k),那么,描述该系统激励f(k)与响应y(k)之间关系的数学模型式n 阶常系数线性差分方程,它可写为
1010()(1)()
()(1)()
n m m y k a y k a y k n b f k b f k b f k m --+-++-=+-+
+- (3.1—10a )
式中(0,1,
,1)j a j n =-、(0,1,
,)i b i m =都是常数。上式可缩写为
()()(=1)n
m
n j
m i n j i a
y k j a f k i a --==-=-∑∑式中 (3.1—10b )
与微分方程的经典解类似,上述差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。齐次解用()h y k 表示,特解用()p y k 表示,即
()=()()h p y k y k y k + (3.1—11)
a.齐次解
当式(3.1—10)中的f(k)及其各移位项均为零时,齐次方程
10()(1)()0n y k a y k a y k n -+-++-= (3.1—12)
的解称为齐次解。
首先分析最简单的一阶差分方程。若一阶差分方程的齐次方程为
()(1)0y k ay k +-= (3.1—13)
它可改写为
()
(1)y k a
y k =--
y(k)与y(k -1)之比等于-a 表明,序列y(k)是一个公比为-a 的等比级数,因
此y(k)应有如下形式
()()k y k C a =- (3.1—14)
式中C 式常数,有初始条件确定。
对于n 阶齐次差分方程,它的齐次解由形式为k
C λ的序列组合而成,将
k C λ代入到式(3.1—12),得
111100
k k k n k n n C a C a C a C λλλλ-----++++=